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文档简介
高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)
函数的图像(精练)
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
一、单选题
1.(2023・天津•高考真题)已知函数〃力的部分图象如下图所示,则〃尤)的解析式可能为()
5sinx
B.
x2+1
5eA+5e-x5cosx
D.
x2+l
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数,应用排除,先判断B中函数的奇偶性,再判断A、C中函数在(0,+q)上的
函数符号排除选项,即得答案.
【详解】由图知:函数图象关于y轴对称,其为偶函数,且〃-2)=〃2)<0,
由泮且=一转且即B中函数为奇函数,排除;
(-X)+1X+1
当、。时当着>。、即A、C中(。,+8)上函数值为正'排除;
故选:D
的图像为()
【分析】分析函数/(x)的定义域、奇偶性、单调性及其在(-8,0)上的函数值符号,结合排除法可得出合适
的选项.
【详解】函数/(x)=EK的定义域为{x|xwo},
|(-x)2-l||x2-l|
且/(f)==一/(对'
-xX
函数/(X)为奇函数,A选项错误;
又当x<0时,/(x)=E刊40,C选项错误;
当x>l时,/(x)=BK=—=x-L函数单调递增,故B选项错误;
故选:D.
3.(2022•全国•高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像,则该函数是()
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设=贝!]/⑴=0,故排除B;
设/z(x)=,当xe]o,9时,0<cosx<l,
所以〃(x)=1,故排除C;
7X+1X+1
设g(x)=要詈,贝必(3)=/>0,故排除D.
故选:A.
4.(2022•全国•高考真题)函数y=(3'3)cosx在区间-封的图象大致为()
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令/'(x)=(3-3T)cos尤”,
贝(]/(-x)=(3^-3^008(-x)=-(3'-3T)cosx=—f(x),
所以/(%)为奇函数,排除BD;
又当时,3x-3->0,cosx>0,所以f(x)>0,排除C.
故选:A.
【A级基础巩固练】
一、单选题
1.(2024•全国•模拟预测)函数“尤)=
2.(2024・四川南充•二模)已知函数/(x)=e'-eT,则函数y=〃x-l)+l的图象()
A.关于点(1,1)对称B.关于点(7,1)对称C.关于点(-L0)对称・关于点(1,0)
对称
3.(2024・湖北•模拟预测)已知某函数的部分图象如图所示,则下列函数中符合此图象的为)
A.y=~~:B.y=xcosx
e+e
C.y=x(e-eD.y=cosxIe+e
4.(23-24高三上•河北邢台・期末)已知函数/«=眄同,则函数y=-/(-x+l)的图象是()
6.(2024・上海奉贤•二模)已知函数了=/奉),其中y=x2+l,y=g(x),其中g(x)=4sinx,则图象如图
“X)
B.y=
g(x)
C.j=/(x)+g(x)-lD.y=/(x)_g(x)_l
2
7.(2024・辽宁抚顺・三模)函数/卜)=白r的图象大致为()
则加的取值范围是()
A.(0,2)B.(-2,0)
C.(0,1)D.(-1,0)
二、多选题
—X2—XW0
9.(23-24高三上•甘肃平凉•阶段练习)已知函数/(x)=';,若网</<W<匕,且
|log2x|,x>0
/(xJ=7'(x2)=/(尤3)=/(无4)=无,则下列结论正确的是()
A.Xj+x2=-lB.%通=1C.1<X4<2D.0<左<1
10.(2023•湖南岳阳•二模)设函数/卜)=。谢在[",+(»)上的最小值为名,函数g(x)=sin®在[0川上的最
大值为若-九=:,则满足条件的实数。可以是()
A.:B.—C.IOA/10
D.Vio
三、填空题
11.(2023•上海宝山一模)设服。为常数,若。则函数了=优+6的图象必定不经过第象
限
y—1
12.(23-24高一上•江苏南通•阶段练习)函数/(无)=一的对称中心是_________.
x—2
13.(22-23高二下•陕西西安・期中)直线>=2与函数y=N-6x|图象的交点个数为.
14.(23-24高三上•黑龙江•阶段练习)把函数了=log3(尤-1)的图象向右平移1个单位,再把横坐标缩小为
原来的J,所得图象的函数解析式是
4
15.(2023高三・全国・专题练习)函数了=/(x)的图象与〉=片的图象关于V轴对称,再把了=/(x)的图象向
右平移1个单位长度后得到函数卜=8(尤)的图象,则g(M=.
16.(22-23高一上•内蒙古包头•期末)函数/(》)=一+》'">°,若函数y=/(x)-加,有三个不同的零点,
2-x,x<0
则实数小的取值范围是.
【B级能力提升练】
一、单选题
1.(2024・广西•模拟预测)已知函数〃力二二三,g(x)=log2|x|,如图为函数〃(x)的图象,则〃(x)可能
为()
A.h(x)=f(x)+g(x)B./z(x)=/(x)-g(x)
C.A(x)=/(x)g(x)D.=
2.(2024•陕西西安・模拟预测)以下四个选项中的函数,其函数图象最适合如图的是()
11(x2+l)ex
AeD.y=与
A.y=---B.y=------------c
2xX
3.(2023•河北•模拟预测)已知函数,则下列函数为奇函数的是()
A./(x)-lB./⑺-2C./(%-2)D./(x+2)
I2x+3x>0
4.(2024•浙江温州三模)已知函数/(x)=《工'彳<0,则关于工方程/(力=依+2的根个数不可能
是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
5.(2024・安徽・模拟预测)如图,直线/在初始位置与等边“BC的底边重合,之后/开始在平面上按逆时针
方向绕点A匀速转动(转动角度不超过60。),它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时间f的函数.这个函
数的图象大致是()
A.B.
OO
ss,
D.
二、多选题
6.(2024高三•全国・专题练习)(多选)某学习小组在研究函数/(x)=面\的性质时,得出了如下结论,
其中正确的结论是()
A.函数/(x)的图象关于点(2,0)中心对称
B.函数/(x)在(-2,0)上单调递增
C.函数/(x)在[0,2)上的最大值为一;
D.方程/(x)—x=0有2个不同实根
三、填空题
8.(21-22高三上•陕西渭南•阶段练习)把函数/(无)=13x-l|的图象向左平移f(t>0)个单位长度后,所得
图象对应的函数g(x)在(0,+。)上单调递增,则f的取值范围为.
9.(2024・全国•模拟预测)方程(-l+lnx)x+左=0有两个不相等的实数根,则实数左的取值范围为.
【C级拓广探索练】
一、单选题
1.(2024•河南•模拟预测)在棱长为1的正四面体4BCD中,尸为棱48(不包含端点)上一动点,过点产
作平面a,使a与此正四面体的其他棱分别交于£,尸两点,设/尸=x(0<x<1),贝ij!尸£尸的面
lg(-x),x<0
2.(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知函数〃x)=1-|尤-1|,0"<2的图象在区间(TJ)("0)内
/(x-2),x>2
恰好有5对关于y轴对称的点,贝!h的值可以是()
A.4B.5C.6D.7
二、填空题
2x+l,x<0
3.(2024高三・北京•专题练习)已知函数=<,则下列说法正确的有一
|log2x|-l,x>0
①函数/(无)的值域为[-1,+8);
②方程〃尤)=2有两个不等的实数解;
③不等式/V3)>0的解集为10,、U|?,2折u(8,+e);
④关于x的方程/2(X)-2/(X)=1-/的解的个数可能为2,4,5.
高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)
函数的图像(精练)
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
一、单选题
1.(2023•天津・高考真题)已知函数/(X)的部分图象如下图所示,则/(无)的解析式可能为()
5sinx
B.
x2+1
5e"+5er5cosx
D.
•X2+2x2+l
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数,应用排除,先判断B中函数的奇偶性,再判断A、C中函数在(0,+功上的
函数符号排除选项,即得答案.
【详解】由图知:函数图象关于J轴对称,其为偶函数,且/(-2)=/(2)<0,
5sin(-x)_5sinx
由且定义域为R,即B中函数为奇函数,排除;
(-JC)2+1x2+l
当、。时3汗>。,即A、C中(。产)上函数值为正‘排除,
>0、
故选:D
2.的图像为()
【答案】D
【分析】分析函数/(x)的定义域、奇偶性、单调性及其在(-8,0)上的函数值符号,结合排除法可得出合适
的选项.
亡^的定义域为卜,NO},
【详解】函数/(x)=
X
|(-X)2-1|_|x2-l|
且/(-x)==一/(对'
-XX
函数/(X)为奇函数,A选项错误;
又当x<0时,/(x)=E刊40,C选项错误;
当x>l时,/(x)=BK=—=x-L函数单调递增,故B选项错误;
故选:D.
3.(2022・全国•高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像,则该函数是()
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设=则/⑴=0,故排除B;
设/z(x)=,当时,0<COSX<1,
所以=故排除C;
''X+1X+1
设g(x)=要詈,则g(3)=T>0,故排除D.
故选:A.
4.(2022•全国•高考真题)函数y=(3'-3fcosx在区间-封的图象大致为()
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令/'(x)=(3-3T)cos尤”,
贝(]/(-x)=(3^-3^008(r)=一(3,一3T)cosx=—f(x),
所以/(%)为奇函数,排除BD;
又当x〈0,m时,3x-3->0,cosx>0,所以f(x)>0,排除C.
故选:A.
【A级基础巩固练】
一、单选题
1.(2024・全国•模拟预测)函数〃x)=1^-1卜inx的部分图象大致为(
【答案】A
【分析】先判断函数奇偶性,再考虑特殊点代入检验,即得.
【详解】依题意得/(x)=[二]sinx,函数的定义域为R,
[1+2)
1-2、
因为/(f)=sinx=/(x),
1+2、
所以/(X)为偶函数,图象关于y轴对称,排除B,D两项,
又〃l)=-;sinl<0,排除C项,所以只有A选项符合.
故选:A.
2.(2024・四川南充•二模)已知函数〃x)=e,-er,则函数>=/(》-1)+1的图象()
A.关于点(LD对称B.关于点(TD对称C.关于点(-L0)对称D.关于点(1,0)
对称
【答案】A
【分析】先求/(x)的对称中心,结合图象变换可得答案.
【详解】因为〃x)=e'-eT,所以“r)=ef即/⑴的图象关于原点对称,
函数y=〃x-l)+l的图象可由"X)的图象,先向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到,
所以函数V=〃xT)+l的图象关于点。,1)对称.
故选:A.
3.(2024・湖北•模拟预测)已知某函数的部分图象如图所示,则下列函数中符合此图象的为()
e+e-
C.y=x(eAD.y=cosx+exj
【答案】A
【分析】利用排除法,根据选项代特值检验即可.
【详解】设题设函数为/(x),由选项可知:ABCD中的函数定义域均为R,
对于选项D:若/(x)=cosx(e"+e-,),但此时/(0)=2,矛盾,故可排除D;
对于选项C:若/(x)=x(eief),但此时=矛盾,故可排除C;
对于选项B:若〃x)=xcosx,但此时/审=0,矛盾,故可排除B.
故选:A.
4.(23-24高三上•河北邢台•期末)已知函数=则函数y=-〃-x+l)的图象是()
【答案】D
【分析】利用函数的定义域和值域,排除法选择正确选项.
【详解】因为=的定义域为k|x#0},所以y=-/(r+l)的定义域为所以排除A,C.
因为〃x)=|ln|x能0,所以了=-/(-x+l)V0,所以排除B.
故选:D
Ycos2x
5.(2024・四川成都•三模)函数〃x)=2的图象大致是()
ln(x+二1)、
【分析】由函数的奇偶性排除两个选项,再根据工£(0,2)时的函数值为正排除余下两个中的一个即得.
4
S
【详解】函数〃x)=:竽]的定义域为(-8,0)U(0,+s),/(-x)=;^^=-/W,
ln(x+1)ln(x+1)
函数/(%)是奇函数,图象关于原点对称,BD不满足;
JT
当xw(0,W)时,cos2x>0,ln(x2+l)>0,贝!)/(%)〉0,C不满足,A满足.
故选:A
6.(2024•上海奉贤•二模)已知函数y=/(x),其中y=x&+l,y=g(x),其中g(x)=4sinx,则图象如图
B.
y=g(尤)
C.y=1(x)+g(x)-lD.y=f(x)一g(x)-l
【答案】A
【分析】根据函数图象和1(x),g(x)的奇偶性判断.
【详解】易知/■(》)=/+1是偶函数,g(x)=4sinx是奇函数,给出的函数图象对应的是奇函数,
,z、g(x)4sinx一、
A.y=h(x)=——=,定乂域为R,
J(xJx2+1
4sin(-x)_4sinx
又〃(-%)=所以力⑴是奇函数,符合题意,故正确;
(-x)2+l-x2+l=-2,
2
B."品f(二X)kX+1,户就丘Z,不符合图象,故错误;
C.y==/(x)+g(x)-1=/+1+4sin尤-1=x?+4sh),定义域为R,
但故函数是非奇非偶函数,故错误;
21
D.y-h^x)-/(x)-g(x)-1=x+1-4sinjc-1-x-4shJ,定义域为R,
但故函数是非奇非偶函数,故错误,
故选:A
7.(2024•辽宁抚顺•三模)函数/(x)==的图象大致为()
【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象.
【详解】易知xeR,因为13=号",令八x)=0,得x=0,或x=2,
则•¥€(-00,0)32,+00)时,f\x)<0,xe(O,2)时,f\x)>0,
所以/(无)在(-叫0)和(2,+对上单调递减,在(0,2)上单调递增,
所以选项A符合题意,
故选:A.
8.(23-24高三上・贵州遵义•阶段练习)已知函数〃x)=।1,若函数g(x)=/(x)+%有3个零点,
log2x,x>1
则机的取值范围是()
A.(0,2)B.(-2,0)
C.(0,1)D.(-1,0)
【答案】D
【分析】
转化为/(力与歹=-加图象有3个不同的交点,画出两函数图象,数形结合得到答案.
【详解】令g(x)=/(x)+加=0,故/(》)=-加,
画出〃x)={1与卜=-阳的图象,
log2x,x>1
函数g(x)=/(x)+加有3个零点,即〃尤)与夕=-加图象有3个不同的交点,
则-"7€(0,1),
解得机e(-1,0).
故选:D
二、多选题
——2x%(0
9.(23-24高三上・甘肃平凉•阶段练习)已知函数/(x)={,';],若再<%<当<匕,且
Jlog2x|,x>0
/(%)=/(%)=/卜3)=/(匕)=左,则下列结论正确的是()
A.再+%=-1B.&%=1C.1<X4<2D.0<左<1
【答案】BCD
【分析】根据分段函数的表达式作出函数图象,由二次函数的对称性即可判断A,根据对数的运算性质可
判断B,结合函数图象即可求解CD.
——2%xW0
【详解】解:由函数/(尤)=hI'1,作出其函数图象如图所示,
|log2x|,x>0
由图可知,xy+x2=-2,-2<^<-1.
当歹=1时,令|log2x|=l,x或x=2,
所以;<X3<1<X4<2;
由/■(演)=/(4),得|log2X3|=|log2x41,
即log2x3+log2x4=0,
所以王%=1,由图可知0〈发<1,
故选:BCD.
10.(2023•湖南岳阳,二模)设函数/'(x)=|lgr|在|«,+<»)上的最小值为加",函数g(x)=sin号在[0川上的最
大值为M“,若则满足条件的实数。可以是()
A.|B.|c.IOVIO
D.Vio
【答案】BD
【分析】根据对数函数和正弦函数的图象,对a分类讨论,结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数/(x)和g(无)的图象,如图,
当0<”1时,函数〃x)=|lgx|在(凡1)上单调递减,在(1,+s)上单调递增,所以加,=lgl=0,
函数g(x)=sin葭在[0,a]上单调递增,所以此=sin/,
所以此一%=si《=;,解得a=g
当aNl时,函数/(尤)=旭司在[2+00)上单调递增,所以?=|lga|=lga,
由图可知,函数g(x)=sin?在[0间上,有OM.v",得以=1
所以""一"%=1-lga=;,解得
结合选项,实数a可以是g和
故选:BD.
三、填空题
11.(2023・上海宝山•一模)设/。为常数,若则函数y=a,+6的图象必定不经过第象
限
【答案】二
【分析】由指数函数的性质与图象的平移可得.
【详解】已知。
则指数函数了=/单调递增,过定点(0,1),且例>1,
函数>=屋+6的图象是由函数函数)=优向下平移同个单位,
作出函数>="+6的图象,可知图象必定不经过第二象限.
故答案为:二.
Y-I
12.(23-24高一上•江苏南通•阶段练习)函数/(力==的对称中心是.
【答案】(2,1)
【分析】变形函数解析式,再借助反比例函数的性质,结合函数图象平移变换求解即得.
【详解】函数〃月=止铝=1+—二,
x—2x-2
显然函数了=〃尤)的图象可以由函数y=工的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位而得,
X
而函数>=■1■的图象的对称中心为(0,0),所以函数了=/(X)的图象的对称中心为(2,1).
X
故答案为:(2,1)
13.(22-23高二下•陕西西安•期中)直线>=2与函数/=产-6凡图象的交点个数为
【答案】4
【分析】根据二次函数的性质,结合图象变换,作图,可得答案.
【详解】令f-6x>0,x(x-6)>0,解得x<0或x>6,
将x=3代入y=F_6x|,解得y=|9-6x3|=9,可作图如下:
由图可知,直线'=2与函数^=N一6同图象的交点个数为4.
故答案为:4.
14.(23-24高三上•黑龙江•阶段练习)把函数y=10g3(尤-1)的图象向右平移1个单位,再把横坐标缩小为原
来的J,所得图象的函数解析式是_____.
4
【答案】k1%(以-2)
【分析】根据函数图象变换的性质进行求解即可,
【详解】函数了=皿3(xT)的图象向右平移1个单位,得到了=log3(x-l-l)=log3(x-2),
函数N=log3(x-2)的横坐标缩小为原来的;,
所得图象的函数解析式是了=log3(4尤-2),
故答案为:j=log3(4x-2)
15.(2023高三・全国・专题练习)函数了=/(幻的图象与>=^的图象关于V轴对称,再把了=/1)的图象向
右平移1个单位长度后得到函数^=g(x)的图象,则g(x)=.
【答案】L
【分析】根据函数的对称性及函数图象变换的原则即可求解.
【详解】解:由题意可知/(尤)=e,
把V=/(x)的图象向右平移1个单位长度后得g(x)=eVf=,
故答案为:e-+1.
16.(22-23高一上•内蒙古包头•期末)函数/(x)=<"+X'">°,若函数夕=/(x)-加,有三个不同的零点,
2\x<0
则实数m的取值范围是.
【答案】m>2
【分析】对分段函数的每一段进行单调性分析,画出对应的图象,然后结合题意可得到了(可与卜=加有三
个不同的交点,结合图象即可求解
【详解】当x>0时,根据对勾函数可得/(x)=x+:在。,+8)上单调递增,在(0」)上单调递减,故此时最
小值八1)=2;
当x40时,根据/(x)=2-,在(-8,0]上单调递减,故此时最小值/(0)=1;
作出对应的图象,如图所示
函数y=/(x)-加有三个不同的零点,可看作/(x)与y=加有三个不同的交点,
从图象可得到实数m的取值范围是加>2
故答案为:m>2
【B级能力提升练】
一、单选题
1.(2024•广西•模拟预测)已知函数/(工)=冷次,g(x)=log2|x|,如图为函数访(x)的图象,则力⑴可能
为()
A.〃(x)=/(尤)+g(尤)B./?(%)=/(x)-g(x)
,,\/(x)
c.A(x)=/(x)g(x)D•始)苗
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性结合函数的定义域和图象逐项分析即可;
1_2~2X
【详解】依题意可知,函数/(X)的定义域为R,/(-月=币石
所以函数/(x)为奇函数.
函数g(x)的定义域为{小片0},g(-x)=log2|-x|=g(x),
所以函数g(x)为偶函数.
对于A,Mx)=/(x)+g(x)的定义域为定义回0},力⑺既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;
对于B,函数〃(无)=/(x)-gq)的定义域为&|x/0},〃(x)既不是奇函数也不是偶函数,故B错误;
对于C,函数(x)=/(x)g(x)的定义域为的XKO},h(-x)=-h(x),所以为/(x)奇函数,故C正确;
对于D,函数"尤=+的定义域为3*0且xw±l},故D错误;
故选:C.
2.(2024・陕西西安・模拟预测)以下四个选项中的函数,其函数图象最适合如图的是()
【答案】C
【分析】利用排除法,结合函数值的符号和定义域逐项分析判断.
【详解】根据题意,用排除法分析:
|x|
对于选项A:/(x)=|-,当x<0时,有f(x)<0,不符合题意;
对于选项B:当x<0时,〃x)=(-+l)e'<0,不符合题意;
对于选项D:>=5的定义域为R,不符合题意;
故选:C.
3.(2023・河北•模拟预测)已知函数尤,则下列函数为奇函数的是()
A./(x)-lB./(x)-2C./(x-2)D.f(x+2)
【答案】B
【分析】根据对称性分析可得函数/(x)有且仅有一个对称中心(0,2),结合图象变换分析判断.
【详解】由题意可得:/(x)=1+3x2'=3--,
V71+2,1+2工
因为=9--6-2
2-2*+2X2'+2"
=6—2x-------------------
2。+2工+(2”+。7+于,
、,/、/c2a+2l+2x2x+T
若"a+x)+/(a-x)=6-2x为定值,
乙II乙IXI乙I乙
则22。+1=2,解得“=0,此时/(x)+/(r)=4,
所以函数〃x)有且仅有一个对称中心(0,2).
对于选项A:/(尤)-1有且仅有一个对称中心为(0,1),不合题意,故A错误;
对于选项B:l(x)-2有且仅有一个对称中心为(0,0),符合题意,故B正确;
对于选项C:/(》-2)有且仅有一个对称中心为(2,2),不合题意,故C错误;
对于选项D:/(x+2)有且仅有一个对称中心为(-2,2),不合题意,故D错误;
故选:B.
4.(2024•浙江温州•三模)已知函数〃尤)=+,则关于x方程/⑴=办+2的根个数不可能
是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线>=办+2与函数y=/(x)的图象交点的个数,作出了=/(尤)的图象,分。>0、
。=0、a<0三种情况,结合图象求解即可.
【详解】作出函数>=/(x)的图象,如图所示:
将原问题转化为直线>=ax+2(过定点(0,2))与函数y=的图象交点的个数,
由图可知,当。=0时,直线y=2与函数y=〃x)的图象只有一个交点;
当"0时,直线>="+2与函数了=〃x)的图象没有交点;
当。>0时,直线了=办+2与函数y=/(x)的图象有三个交点;
所以直线了=办+2与函数y=/(x)的图象不可能有两个交点.
故选:C.
5.(2024•安徽•模拟预测)如图,直线/在初始位置与等边“3C的底边重合,之后/开始在平面上按逆时针
方向绕点A匀速转动(转动角度不超过60。),它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时间/的函数.这个函
数的图象大致是()
SAS
A.|/B.
OO
s,s,
0」
o7oT
【答案】c
【分析】取3c的中点E,连接NE,设等边“BC的边长为2,求得S.®=曰+gtan(a-30。),令
S(x)=y^+|tan(x-30°),其中0YxV60°,结合导数,即可求解.
【详解】如图所示,取8c的中点E,连接/E,因为“3c为等边三角形,可得/胡8=30。,
设等边18c的边长为2,且=其中(TVaV60。,
可得|。同=|^||tan(30°-a)|=A/3|tan(30°-a)|,
又由“Be的面积为S/BC=G,可得
AABE2
且邑=;、e*百忖11(30°_(/)|=:忖11(30°_0)|,
则LABD的面积为5=冬狼-邑3=g-3an(30。一夕)=^+|tan(«-30°),
令S(x)=^+gtan(x—30。),其中(TVxV60。,
31
可得S(x)=1Xco30。)>°,所以5(尤)为单调递增函数,
又由余弦函数的性质得,当x=30。时,函数S(x)取得最小值,
所以阴影部分的面积一直在增加,但是增加速度先快后慢再快,
结合选项,可得选项C符合题意.
故选:C.
二、多选题
6.(2024高三・全国・专题练习)(多选)某学习小组在研究函数/G)=/1的性质时,得出了如下结论,
其中正确的结论是()
A.函数/(x)的图象关于点(2,0)中心对称
B.函数/(x)在(一2,0)上单调递增
C.函数/(x)在[0,2)上的最大值为一3
D.方程/(x)—x=0有2个不同实根
【答案】BCD
【详解】
解析:由「三为=「S的路线,结合图象变换规则,可得J=y(X)大致图象如图.
由函数/G)是偶函数及图象知,函数/(x)的图象不关于点(2,0)中心对称,故A错误;由图
象知,函数/(x)在(-2,0)上单调递增,故B正确;由图知,函数/(*)在[0,2)上单调递减,因此
XG[0,2)时,f(X)max=/(0)=—1,故C正确;当X<0时,f(X)令一^~~=X,得f+ix
+1=0,得x=T.且由图象知,当x>0时,J=X与尸/G)有一个交点,故D正确.故选BCD.
【考查意图】分段函数的图象及单调性、最值应用
7.(2024・安徽合肥•一模)函数“X)=©R)的图象可能是()
【答案】ABD
【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系,结合函数的性质即可求解.
【详解】由题意可知,函数〃X)的定义域为(-8,0)5。,+8),
当加>0时,r(x)=3x2+^->0,函数/(X)在(-8,0),(0,+8)上单调递增,故B正确;
当机=0时,f(x)=x3,f(x)=3x2>0,所以在(-双0),(0,+s)上单调递增,故D正确;
当加<0时,当x>0时,f(x)=x3-->0;当x<0时,f(x)=x3-—<0;
故A正确;C错误.
故选:ABD.
三、填空题
8.(21-22高三上•陕西渭南•阶段练习)把函数f(x)=ln|x-l|的图象向左平移t(/>0)个单位长度后,所得图
象对应的函数g(x)在(0,+司上单调递增,贝盘的取值范围为.
【答案】[1,+s)
【分析】作出f(x)的图象,根据f(x)单调性即可和函数图象的平移即可求解.
【详解】函数〃x)=lnkT的图象如图:
f(x)图象关于x=l对称,在xVl时单调递减,x>l时单调递增,
将f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位得到g(x)图象,
要使g(x)图象在(0,+8)上单调递增,则t”.
故答案为:[1,+8)
9.(2024・全国•模拟预测)方程(T+lnx)x+左=0有两个不相等的实数根,则实数人的取值范围为.
【答案】(0,1)
【分析】分离参数,构造函数。(x)=。-lnx)x,利用导数研究其单调性与最值,作出函数大致图象,数形
结合计算即可.
【详解】由题意,得方程左=0Tnx卜有两个不相等的实数根.
令0=—Inx)尤,则(Inx,
所以当0<x<l时,”(力>0,0(x)单调递增;
当x>l时,夕'(力<0,0(x)单调递减.所以当x=l时,0(x)取最大值姒1)=1.
作出函数。(x)的大致图象,如图.
由图可知,当0〈斤<1时,直线>=后与函数3(x)的图像有两个交点,
所以实数后的取值范围为(0,1).
【C级拓广探索练】
一、单选题
1.(2024・河南•模拟预测)在棱长为1的正四面体/BCD中,P为棱AB(不包含端点)上一动点,过点尸
作平面a,使a与此正四面体的其他棱分别交于£,厂两点,设Z尸=x(0<x<1),贝ij!尸£尸的面
积S随x变化的图象大致为()
【答案】C
【分析】取线段的中点。,连接OC、OD,证明出431平面OCD,分析可知平面C与平面OCD平行
或重合,分0<x<;、x=g<x<l三种情况讨论,计算出"CD的面积,利用三角形相似可得出“X)
的表达式,即可得出合适的选项.
【详解】取线段的中点O,连接OC、OD,
因为“3C、△48。为等边三角形,。为月8的中点,贝!JOCL/B,ODLAB,
■:OCr\OD=O,OC、ODu平面OCD,1平面OCD,
因为平面a,所以,平面C与平面OCD平行或重合,
S.OD=OC=yjAC2-OA2=—,
2
取CD的中点M,连接。M,则(WLCD,
旦OM70c2—CM?=与,故=gcD°M=^.
①当0c时,平面a〃平面OC£),平面an平面/3C=PE,
平面。CDPl平面48c=OC,PEHOC,同理可知,PFHOD,EF//CD,
PEAEEFAFPF
所以,—=—,故XAPEFs/A\OCD,
OCACCDADOD
如下图所示:
c
贝!I--—=4x2,则S=/(%)=V^2;
S^OCDI4°J
②当x=g时,S=f
③当g<x<l时,平面a〃平面OCD,平面ap|平面/8C=P£,
平面OCZ)n平面48c=OC,PEHOC,同理可知,PFHOD,EF//CD,
CCKIPEBEEFBFPF生“A
所以,一=—=—=—=——,故APEFSAOCD,
OCBCCDBDOD
如下图所示:
S
则4(1-X)2,则S=/(x)=0(l_x『.
,△OCD
A/2X2,0<x<—
2
综上所述,s=f(x)=<,故函数/(X)的图象如C选项中的图象.
L1
V2(x-1)?,-<%<1
故选:C.
【点睛】关键点点睛:解题的关键对x分类讨论,求出函数〃x)的解析式,进而辨别出函数〃x)的图象.
lg(-x),x<0
2.(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知函数/(无)=1-卜-1],04尤<2的图象在区间(TJ)(t>0)内
f(x-2),x>2
恰好有5对关于V轴对称的点,贝!I,的值可以是()
A.4B.5C.6D.7
【答案】C
l-|x-l|,0<x<2
【分析】令g(x)=,7M(X)=lg无,根据对称性,问题可以转化为〃7(x
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