高考数学一轮复习考点总结-解三角形及其应用举例（含解析）

解三角形及其应用举例（2种核心题型+基础保分练+综合提

升练+拓展冲刺练）

m【考试提醒】

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.

3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养.

叫ill【知识点】

测量中的几个有关术语

术语名称术语意义图形表示

在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂1目标

/视线

平面内）所成的角中，目标视线在水平视线第4面角水平

仰角与俯角线角—视线

上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下

、目标

方的叫做俯角

视线

从某点的指北方向线起按顺时针方向到北］

■35。东

工

方位角目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位

角0的范围是0。忘6<360。

北|

匕有

正北或正南方向线与目标方向线所成的

方向角例：（1）北偏东a：

锐角，通常表达为北（南）偏东（西）a北|

/东

（2）南偏西a：/8

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（。为

坡角）;坡面的垂直高度与水平长度之比叫

坡角与坡比

坡比（坡度），即，=：=tan。

/

【核心题型】

题型一解三角形的应用举例

命题点1测量距离问题

【例题11（2023高三上•江苏徐州•学业考试）已知两座灯塔A和8与海洋观察站C的距离都

等于2km,灯塔A在观察站C的北偏东20。，灯塔8在观察站C的南偏东40。，则灯塔A与

灯塔3的距离为（）

A.2kmB.4kmC.2V2kmD.2V3km

【答案】D

【分析】利用余弦定理求得正确的.

【详解】依题意44c3=180。-20。-40。=120。，

所以=V22+22-2X2X2XCOS120°=2瓜m.

:B

【变式1］（2023•河南郑州,模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M,N间

架设一条索道.为测量N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度

MC=100V3m,NB=50V2m,在5c同一水平面上选一点N,测得M点的仰角为60。，N点

的人仰角为30°,以及NM4N=45°,则M，N间的距离为（）

M

A.100V2mB.120mC.100V3mD.200m

【答案】A

【分析】根据题意，在直角△/CM和直角中，分别求得血1=200和=1000，

再在A/MN中，利用余弦定理，即可求解.

【详解】由题意，可得/龌4。=60°,/附3=30°,^^=1000,NB=50后,NM4N=45°,

且NMCA=ZNBA=90°，

在直角ZX/CM中，可得/"=」"=200,

sin60°

在直角A/BN中，可得⑷/=』^一=100亚，

sin30°

在A/AGV中，由余弦定理得/N?=NA/2+/N2-2/ATNNcosNMN=20000,

所以MV=100V^〃.

故选：A.

【变式2】（2022•山东青岛•二模）如图所示，A,B,C为三个村庄，/3=7km,AC=5km,

SC=8km,则//CB=；若村庄。在线段BC中点处，要在线段NC上选取一

点E建一个加油站，使得该加油站到村庄4,B,C,。的距离之和最小，则该最小值为一

km.

【分析】利用余弦定理以及点关于线的对称点进行处理.

【详解】在中，由余弦定理有:

AC2+BC2-AB225+64-491

cosNACB=

2ACBC802

又N/C8e（（r,18（y）,所以N/C3=60。.

如图，作。关于/C的对称点尸，IJ1IJDE=FE,DC=FC=4,

ZACB=ZACF=60,所以N8CF=12（T,当且仅当

B,E,厂三点共线时，BE+EF最小.

BF2=BC2+FC2-2FC-BCcosZFCB

=82+42-2X8X4X（-^）=112.

所以BF=4近，所以AE+CE+BE+DE=AC+BE+EF>AC+BF=4近+5，

当且仅当3,E,尸三点共线时，等号成立.

故答案为：60、4近+5.

【变式3］（2023高三上•全国•专题练习）如图，/、8两点都在河的对岸（不可到达），若在

河岸选取相距20米的C、。两点，测得乙8c4=60。，ZACD=30°,ZCDB=^5°,ZBDA

=60。，那么此时43两点间的距离是多少？

【答案】10而米

【分析】根据正弦定理，分别在A/CD和△BCD中求出/C,BC,然后在“BC中，由余弦

定理求得AB.

【详解】根据正弦定理，

在A/CZ）中，有

CDsin（45°+60°）

（0）吊（米）

AC=20sin45°cos60+cos45°sin60°_

sin[180°-（30°+45o+60°j]sin45°—"、，

CDsin45°

在△BCD中，有屈==20

sin[180。-（30。+45。+60。）]（米）•

在“BC中，由余弦定理得AB=ylAC2+BC2-2,AC-BCcosZBCA=1076（米）.

所以48两点间的距离为10面米

命题点2测量高度问题

【例题2】（2024•广东，二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼

的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位

置，此时测量人和小镜子的距离为为=LOOm,之后将小镜子前移。=6.00m,重复之前的操

作，再次测量人与小镜子的距离为的=0・60m,已知人的眼睛距离地面的高度为〃=L75m,

则钟楼的高度大约是（）

C.26.75mD.26.25m

【答案】D

【分析】设钟楼的高度为PQ,根据相似得到尸。=-----，代入数据计算得到答案.

"1一42

【详解】如下图，设钟楼的高度为尸。，

由AMKE~APQE,可得：EQ=PQ-KE=出"Q

一MKh

由八NTF~APQF,可得：FQ=PQ,TF="啊,

〜NTh

故=生髻-隼”=a,

hn

ah6x1.7510.5

故尸。=26.25m,

oT

〃］一〃21-0.6

故选：D.

【变式l】（2024•湖南岳阳•二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山.因

范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小明为了测量

岳阳楼的高度他首先在C处，测得楼顶A的仰角为60。，然后沿8C方向行走22.5米

至。处，又测得楼顶A的仰角为30。，则楼高48为米.

A

采/---------

4

【分析】在中，用45表示8C,在Rt△然。中，用45表示BD,根据C。的长，

可求解45.

【详解】RtZkZBC中，Z.ACB=60°,----=tan60°=V3,BC=,

BC3

RtZUBD中，N4DB=30°,—=tan30°=—,BD=y/3AB,

BD3

因为CD=22.5米，所以2。-BC=VL1B-无竺=48=22.5,

33

解得：/2=竺叵

4

故答案为：至如

4

【变式2](2024•广东湛江•二模)财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江

经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，

小张选取了大厦的一个最高点4点N在大厦底部的射影为点O,两个测量基点8、C与。

在同一水平面上，他测得BC=102近米，Z50C=120°,在点2处测得点/的仰角为。

(tan6=2),在点C处测得点/的仰角为45。，则财富汇大厦的高度04=米.

BC

【答案】204

【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出△03C的边长关系，解方程求解即可.

aA卜

【详解】设神=力米，因为在点3处测得点/的仰角为。，所以黑=2,所以。2=^.

因为在点。处测得点/的仰角为45。，所以OC=力米.

由余弦定理，ITBC2=OB2+OC2-1OB-OC-cosZBOC,

ii7

即1022x7=一%力2=一〃2,解得2=204.

424

故答案为：204

【变式3］（2022•贵州安顺•模拟预测）如图，为测量某雕像N2的高度（B,C,D,尸在同

一水平面上，雕像垂直该水平面于点3,且8,C,。三点共线），某校研究性学习小组同学

在C,D,厂三点处测得顶点/的仰角分别为60。，30°,45°,CD=20米.

⑴求雕像的高度；

⑵当观景点C与尸之间的距离为多少米时，△CDF的面积最大？并求出最大面积.

【答案】（l）4B=10G

（2）C尸=20时，ACL•尸的面积最大，最大值为100百

【分析】（1）根据已知条件，在A/CA中，可求出/。=8=20.然后在口1448。中，根据

已知即可求得答案；

（2）根据（1）可求出8C=10.由已知可得出8尸=48=10力.进而根据面积公式表示出

△CDF的面积S=10073sinNDBF.即可得出面积的最大值以及AF_L5C,由勾股定理即可

求出CF.

【详解】（1）由已知可得，

在ANCZ）中，有N/DC=30。，ZACD=180°-ZACB=120°,CD=20,

所以,ADAC=180°-NADC-NACD=3Q°=ZADC,

所以，A/C。为等腰三角形，4c=CD=20.

在RtZ\/BC中，有/ZC8=60。，ZABC=90°,AC=20,

AB_43

所以，sinZACB^—

AC而一V

所以，AB=1。6

(2)由(1)可得，3c=/Csin60°=10,

在RM48b中，ZAFB=45°,所以Bb=48=io6.

因为VCBF的BC边上的高〃=2尸sinNDBF=1073sinNDBF，

且ACDF的CD边上的高也等于〃=10百sinNDB尸，

所以KDF的面积为S=；CD-/?=；x20x106sin/DBF=1006sinZDBF.

当sin/D8尸=1,即BFLBC时，面积最大，最大值为100。.

此时有CF=ylBF2+BC2=20.

命题点3测量角度问题

【例题3】（2024•上海嘉定•二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动.太阳高

度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角.测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面

为水平平面.如图，两竖直墙面所成的二面角为120。，墙的高度均为3米.在时刻心实地

测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、L5米.在线查阅嘉定的

天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻f最可能为（）

太阳高度角时间太阳高度角时间

43.13°08:3068.53°10:30

49.53°09:0074.49°11:00

55.93°09:3079.60°11:30

62.29°10:0082.00°12:00

A.09:00B.10:00C.11:00D.12:00

【答案】B

【分析】作出示意图形，在四边形/BCD中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形/BCD的

外接圆直径大小，然后在中利用锐角三角函数定义，算出入D2E的大小，即可得

到本题的答案.

【详解】如图所示，

设两竖直墙面的交线为。£，点£被太阳光照射在地面上的影子为点B,

点4c分别是点B在两条墙脚线上的射影，连接AC,BD,BE,

由题意可知ZDBE就是太阳高度角.

:四边形N8C。中，ABAD=ZBCD=90°,ZADC=U0°,

；.ZABC=360°-（ZBAD+NBCD+ZADC）=60。，

中，AC2AB2+BC2-2ABBCcos6G=1.52+12-2xl.5xlJ-=1.75,

2

可得=々1.32,

•.•四边形/BCD是圆内接四边形，2。是其外接圆直径，

Ar

...设^ABC的外接圆半径为R,则8。=2R=——。1.53,

sin60J

ED3

在RtABDE中，tanZDBE=----=------®1.96,

BD1.53

所以ZDBE=arctan1.96-63.02°,

对照题中表格,可知时刻:=10:00时，太阳高度角为62.29°,与63.02°最接近.

故选：B.

【变式1】（2023・四川绵阳•三模）《孔雀东南飞》中曾叙"十三能织素，十四学裁衣，十五弹

箜篌，十六诵诗书."箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是

箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A,3处分别

作切线相交于点C,测得切线/C=99.9cm,5C=100.2cm,48=180cm,根据测量数据

可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（）

A

A.0.62B.0.56C.-0.56D.-0.62

【答案】A

【分析】由图形可知乙4。5+//。5=180°,由余弦定理求出cos乙4c3,可得cos乙4。瓦

【详解】由题意，DOAC=DOBC=90°,所以N4O8+//CB=180°,

切线/C=99.9cm,5C=100.2cm,由切线长定理，不妨取AC=3C=100cm,

又AB=180cm,由余弦定理,

AC?+BC2-AB2Wtf+lOtf-lStfc

有cosZACB=-----------------------=-0.62，

2ACBC2x100x100

cosZAOB=cos^180°-ZACB^=-cosZACB=0.62.

故选：A

【变式2】（2023•河北•模拟预测）如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时

将5下压，E接触平台，。紧邻自此时钝角力增大了（）（参考数据：

x；+%3（%3-2%2）cosa=3,-Ix^sina-2x2x3cos<z=4,

.X.X.XAX.X.COSar-

x3sina++---------x,=

玉工5演

A.15°B.30°

【答案】D

【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.

【详解】如图1,过点/作尸，ANLBC,垂足为M,N,则

AM=x3sina,MF=x3cosa,BN=CM=x2-x3cosa,AN=\x3sintz-xj,

故

2

AB=[AN、BN。=J(x3sina-x[J+k2-x3costz)=+尤;-2rpc3sina-2r2r3cosc=2

连接/C,在△/B中，由余弦定理可得:

22

AC=CF+AF~-2AF-CFcosa=尤;+x；-2x2x3cosa=3,即/。=百，

'：AC<AB,即此时。为锐角，

如图2,设GH平台，即RE,G三点重合，贝IJ

cosZGFH=里=区,cosZAFC=cos（兀-ZGFH）=-cosZGFH=-区，

GFx5x5

连接/C,在尸中，由余弦定理可得：

AC2=CF1+AF2-2AF-CFcosZAFC=x\+x\+2x^x^

在“3C中，由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+x：-4占cosZABC,

则

尤；+2WX3X4=4+x；_4rlcosZABC=x；+x；-2xrx3sinct-2x2x3coscfrx；-4rlcosZABC

x.x.cosaj-

整理得-2cos/4BC=x3sina+/X3"+--------4，ipcosZABC=~—

再N5再2

又・.・ZABC£（O,兀），则兀，

6

5IT7T

此时钝角B增大的值大于二兀-彳=；,符合题意的只有D选项.

623

【变式3］（2022•河北衡水•模拟预测）瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山

瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为

了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底

端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为沿山道继续走20m,测得

2

瀑布顶端的仰角为:7T.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角

为;.根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为m；若第二次测量后，继

续行进的山道有坡度，坡角大小为:7T，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进

20亚m,则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为.（此人身高忽略不计）

【答案】603

【分析】根据题意画出图形，设高度为〃，则可表示出/C=2，,3C=正力，在“8C中利

33

用余弦

定理即可求出〃的值；由已知数据易知CG=C4=40,则E尸=40,则可得到

tanNDFE=1,tanZCFE=1,再由两角和的正切公式计算出结果.

【详解】如图，设瀑布顶端为。，底端为C,高为〃，

该同学第一次测量的位置为A,第二次测量的位置为8,

371

则tanZCUC=i,45=20,ZDBC=ZCAB=-f

所以4C=|■瓦8C=，/!,

在中由余弦定理可知：BC2=AC2+AB2-2AC-AB-cosZCAB

力2421

即一=—+400—2x—〃X20x—，

3932

解得：A=60;

如图，两段山道为B尸,过/作于点E,

由题意知：/-FBG=-,BF=20>/2»

所以BG=FG=20,

在、4BC中/C=40,BC=206,AB=2Q,即AB2+BC2=AC2,

所以C8L8G,

所以CG=4CB1+BG2=40，

所以跖=CG=40,

又EC=FG=2Q,

所以DE=40,

DFCF1

tan/DFE=—=1,tan/CFE=—=

EFEF2

1+-

tanZDFE+tanZ.CFE_

所以tanZDFC=tan(NDFE+ZCFE)=

1-tan/DFEtanZCFE十

2

故答案为：60；3.

D

题型二解三角形中的最值和范围问题

解三角形中最值（范围）问题的解题策略

利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式,

利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）.

【例题4】（2024•江西南昌•三模）如图，在扇形048中，半径。4=4,ZAOB=90°,C在

半径上，。在半径ON上，£是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形3CDE

的周长的取值范围是（）

B.(872,12]

D.(4,8A/2]

【答案】A

【分析】由于点E在弧上运动，引入恰当的变量N/OE=26,从而表达再利用

正弦定理来表示边，来求得周长关于角。的函数，然后求出取值范围；也可以建立以圆心为

原点的坐标系，同样设出动点坐标E（4cos2a4sin2。），用坐标法求出距离，然后同样把周

长转化为关于角。的函数，进而求出取值范围.

【详解】

jr

（法一）如图，连接O£,AB.设/AOE=28,则=——26,ZABE=3,

2

BE_OE

故=.在独中，由正弦定理可得/」兀叽研，

UJI4；

Orsini--26»|OE'sinl26»+-|/、

贝I]BE=——12J=-------A__2j=8cos（6+彳].

sinf6）+—sinf^+—）

I4JI4；

DEOE

在Rt/XODE中，由正弦定理可得sin2。一.兀,贝l|DE=OEsin2。=4sin2。.

sin—

2

平行四边形BCOE的周长为

2（BE+Q£）=16cos6++8sin20=16cos19+；J-8cos[20+^-

=-16cos2[e+：）+16cos[e+；）+8=-16cosf0+£-+12.

因为0<2。苦，所以0<T，所以卜+泻,所以0<迎6+小字,

-|2

所以OVcos[e+：]-g<：,贝！）8<—16cos（9+：）

-+12<12，

2

即平行四边形BCDE的周长的取值范围是（8/2].

（法二）以。为原点，0B,04所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系.

没NBOE=2。,贝I]£（4cos26,4sin26）,

从而DE=4cos2。，OD=4sin20,OC=4-4cos20,

DC=yj0C2+0D2=J（4-4cos26）2+（4sin24）2=8sin<9，

故平行四边形3CDE的周长为2（。£+。。）=2（4侬2。+8$亩。）=-16,11。-!|+12.

因为0<6<；,所以0<sin0<，^,所以Ovjsin。-，]<—,

42I2）4

则8<-16卜in。+12<12,即平行四边形8cDE的周长的取值范围是（8,12］.

故选：A.

【变式1］（2024•重庆•模拟预测）已知的内角4民。所对的边分别为。也c,满足

sinS-sinC_42b-a

smAsinB=—，_&^AABC=1则边。=

sin4b+c5

【答案】V5

IT

【分析】利用正弦定理结合余弦定理可得C=a，由面积公式可得仍=2后，由正弦定理得

上［=，_.上，化简可得结果.

sinC）sinAsinB

【详解】因为—=-由正弦定理可得：j=同-。,

sin/b+cab+c

所以〃2+〃一02=也/,由余弦定理可得：C0SC=a+♦—J

lab2

7T

因为Ce（0㈤，所以C=：,

4

因为鼠瓯=ga6sinC=l,所以仍=2后，

cab

由正弦定理可得:~;一—;一—,

sinCsiih4sinB

c_。二而_

所以sin。V2，即c=V?

故答案为：石

【变式2】(2024•山西•三模)已知的内角4B,C的对边分别为a,b,c,满足

.2C

2cos4cos5=2sin—.

2

⑴试判断“3C的形状；

(2)若“BC的外接圆半径为2,求“3C周长的最大值.

【答案】(1)“3C为等腰三角形

(2)673

【分析】(1)根据题意结合三角恒等变换可得cos(/-2)=1,结合48e(O,兀)分析求解;

(2)利用正弦定理可得周长£=8sin4+4sin24,构建函数

/(x)=8sinx+4sin2x,xe[og),利用导数求最值，即可得结果.

r

【详解】(1)由题意可知：2cosAcosB=2sin2y=1-cosC=1+cos(^4+5)

=1+cosAcosB-sinAsinB,

整理得cos4cos5+sin/sin8=cos(4-5)=1,

且45.0㈤,贝！］4一8£(-兀,兀)，可知/一5=0,即

所以段为等腰三角形.

（2）由正弦定理^^=—^—=—^—=4,可得。=4sin46=4sinB,c=4sinC,

sinAsinBsinC

则&4BC周长L=a+6+c=4sin/+4sinB+4sinC=4sin/+4sin5+4sin（/+B）,

由（1）可知：/=

可得£=4sin4+4sin/+4sin2/=8sin/+4sin24,

构建函数/（%）=8sinx+4sin2x,x。微），

贝（1/r（x）=8cosx+8cos2x=8（cosx+l）（2cosx-l）,

因为工小。，!"），则COSX£（0,1）,

当时，cosxeQ,l^,则〃（x）>0；

当时，cosxe[。,；），则/'（x）<0；

可知〃x）在陷内单调递增，在段）内单调递减，

则6日

所以当且仅当“BC为等边三角形时，^ABC周长取到最大值6人.

【变式3](2024•山东济宁•三模)在中，角/,B,。所对的边分别为a,b,c,已知

(1-cos2C)(sinA+l)-cosAsin2C=0.

jr

⑴求证:2=C+]；

7171

⑵若。=G

4,Cr6,求“BC面积的取值范围.

【答案】⑴证明见解析

(2)(4,4⑹

【分析】(1)根据两角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简计算可得2sinC(sinC+cosB)=0,

结合诱导公式计算即可证明;

(2)由(1)得”=5-2C且'根据正弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换

化简可得S,皿=4tan2C,结合正切函数的性质即可求解.

【详解】(1)(1-cos2C)(sinA+l)-cos^4sin2C=0,

sin/+1—cos2CsinA-cos2C-cos/sin2c=C,

sinA-cos2C+1-sin(/+2C)=0,又4+。=兀一5,

则sin(5+C-cos2C+l-sin(B—C=0,

sin^cosC+sinCcos5-l+2sin2C+l-sin5cosC+sinCcos5=0，

2sin2C+2sinCcos5=0,BP2sinC(sinC+cos5)=0,

XsinC>0,所以sinC+cos3=0,BPcos5=-sinC=cos(1-+C),

TT

又0＜B＜兀,0＜。＜兀，所以5=]+。；

(2)由(1)知B=5+C,A+B+C=n,得/=]-2C,

a

由六得由正弦定理得-一—，

sinAsinC

«sinCasinC4sinC

得"sin"_sin^_2C)-cos2C,

-acsin3=-x42SmCxsi,iJii1箱sinC4sin2C._

所以义加in(-+C)-x4--------xcosC=-----=4tan2z(,

22cos2C22cos2Ccos2c

又t<C<3所以3<2C<5,又>=tanx在(_g,g)上单调递增,

O04322

则tan2Ce(l,6),所以4tan2Ce(4,4x/5),

即AA8C的面积我取值范围为（4,4人）.

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

1.（2022・吉林•模拟预测）位于灯塔/处正西方向相距（56-5）nmile的8处有一艘甲船需

要海上救援，位于灯塔/处北偏东45。相距5后nmile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船

的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（）

A.30°B.60°C.75°D.45°

【答案】B

【分析】根据已知条件作出图形，找出要求的角为N8C。，运用解三角形的知识进行求解.

【详解】依题意，过点C作CD，创的延长线交于点。，如图，

则NB=58-5,/C=5夜，ZACD=45°,

在Rb/DC中，AD=DC=5,

在MBDC中，BD=54,DC=5,

tanZBCD=—=y/3XvZSCDef0,-|

DCI2）

TT

ZBCD=-,

3

则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60。.

故选：B.

2.（2024•内蒙古赤峰•模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅"冈仁波齐山峰的高度，

通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知

竖立在8点处的测量觇标高20米，攀登者们在A处测得，到觇标底点B和顶点C的仰角分

别为45。,75。，则为耳的高度差约为（）

C.27.32米D.30米

【答案】A

【分析】画出示意图，结合三角函数的定义和正切展开式求解即可.

模型可简化为如上图，在RM4DC中，NBAD=45。，NCAD=75°,

所以BDxtan75°-3。=20,而

tan45°

tan450+tan30°_

tan75°=tan（45°+30°）=

1-tan45°xtan300-

代入上式并化简可得BD=7.32米,

故选：A.

3.（2024•云南昆明•一模）早期天文学家常采用"三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理

想状态：地球E和某小行星又绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置

如图所示.地球在4位置时，测出=行星M绕太阳运动一周回到原来位置，

37r7T

地球运动到了耳位置，测出NE\SE°=f.若地球的轨道半径为尺，则下列选

项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：V3«1.7）（）

A.2.17?B.2.27?C.2.37?D.2.47?

【答案】A

【分析】连接根据给定条件，在△"纭用中利用正弦定理求出〃耳，再在△SME1中利

用余弦定理求解即得.

7T

【详解】连接44,在―4片中，SE°=SE1=R,又/E1SE°=],则AS/耳是正三角形,

E°Ei=R,

27rSTTTT37r

由25综四=3，ZSE{M=—,得/月EOM=H，AEaExM=—,

E、M4耳

7171

在中，ZE0ME1=—,由正弦定理得红。sin

4Sm3Sm4

在A£W片中，由余弦定理得

SM=.Ji2+*R)2-2R-R.(W)=J-7?24^37?2^fT2Ra2.11.

\<2V22V2

4.（2024・陕西西安•模拟预测）在100m高的楼顶A处，测得正西方向地面上8、C两点（8C

与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75。和15。，则5、C两点之间的距离为（）.

A.200V2B.240也C.180V3D.20073

【答案】D

【分析】根据图形,利用直角三角形求解即可.

【详解】由题意,

100100.tan750-tan1501八八tan60T1+tan15°tan75

BC=---------------------=lOOx--------------------=lOOx------------------------------—

tanl5°tan75°tanl50tan75°tanl5°tan75°

sin15。sin75。sin15°cos15°

而tan15°tan75°=

cos15°cos75°cos15°sin15°

所以8c=100x26=200"

故选：D

二、多选题

5.（2023・重庆•三模）如图，为了测量障碍物两侧8之间的距离，一定能根据以下数据

确定长度的是（）

A.a,b,YB.a,/，y

C.a,P,YD.a,尸，b

【答案】ACD

【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定.

【详解】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都

可以唯一确定三角形;

法二、对于A项，由余弦定理可知/=a?+6?-2abcos/,可求得c,即A正确;

对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误;

acasmy

对于C项,由正弦定理可知sin（兀_万_打=而一c=,即。正确;

对于D项，同上由正弦定理得c=”所/一:一©,即D正确；

smp

故选：ACD.

6.（2024•河北邯郸•三模）已知的三个内角/,B,C的对边分别是a,b,c,面积为

^-（a2+c2-b2）,则下列说法正确的是（）

A.cos/cosC的取值范围是

B.若。为边NC的中点，且区0=1,则AA8C的面积的最大值为"

3

C.若“BC是锐角三角形，则£的取值范围是1g,2〕

D.若角8的平分线8E与边/C相交于点E,且BE=^,则。+4c的最小值为10

【答案】ABC

【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得2=JgT,对A：借助三角恒等变换公式可将其

化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等

式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：

借助等面积法及基本不等式计算即可得.

【详解】由题意知5=；这$也8=号,2+,2_62）,整理得/+02-62=5碇sin8,

由余弦定理矢口/+。2一/=2〃ccos5,:.tanB=6,5G（0,7i）,B=.

对A,cosZcosC=cos4cos（空一/]=^sinZcos/-Los2A

I3J22

=@sin24」+cos2)=Lsin(2A-J

4424

兀7兀,sinf2A

,/.2A--EGf卜

66，-6-

.•.cos/cosC的取值范围为’故A正确;

对B,为边4C的中点，「.2丽=就+说,

则4=a?+c?+2BA-BC=/+/+。。23QC，

4

A^c<-,当且仅当〃=c时，等号成立，

0eJacsinB巫ac史建王

As故B正确;

*24433

Sin

(t-4fcosC+lff।i_

对于C,a_sin/

csinCsinCsinCtanC2

••RBC是锐角三角形，*＜。音，

tanCG——,-^-00,/.—G|—,2|,故C正确;

I3J。(2J

对于D,由题忌得SMBE+S/\RCF,=SMBC，

日n1DZ7,兀I1DZ7•兀1.71

即—exBExsin—