高考数学一轮复习题型专练：幂函数与二次函数（含解析）

幕函数与二次函数

目录

01模拟基础练..................................................................................2

题型一：鬲函数的定义及其图像..................................................................2

题型二：鬲函数性质的综合应用..................................................................4

题型三：由幕函数的单调性比较大小..............................................................5

题型四：二次函数的解析式......................................................................6

题型五：二次函数的图象、单调性与最值..........................................................7

题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题...................................................9

题型七：二次方程实根的分布及条件.............................................................12

题型八：二次函数最大值的最小值问题...........................................................13

02重难创新练................................................................................15

03真题实战练.................................................................................23

埠阳算础砧:

\\

题型一：幕函数的定义及其图像

1.（2024•四川成都•一模）已知幕函数/（x）=—的图象过点P（3,9）,则。=（）

A.yB.IC.2D.3

【答案】C

【解析】因为幕函数=/的图象过点P（3,9）,所以3a=9,解得a=2.

故选：C.

2.已知幕函数的图象经过点尸（8,4）,则该幕函数在第一象限的大致图象是（）

【答案】B

【解析】设1（x）=x",则8"=4O23"=22,所以3a=2,所以

2_2

所以〃力=/=疗,因为0<]<1，

因为函数;■（“在（0,+8）上递增，且增加的速度越来越缓慢，

故该幕函数在第一象限的大致图象是B选项.

故选：B.

3.函数》=1?的大致图像是（）

【解析】根据基函数的特点知选项A的图象为函数＞=/的大致图像.

故选：A.

4.基函数y=（加2一冽一1）.%-5*3,当X£（O,+R）时为减函数，则实数小的值为（）

A.m=2B.m=-\C.根=2或加=-1D.m手1土石

2

【答案】A

【解析】幕函数歹=（加2_加_1）“一5*3,

/.m2-m—1=1，

解得加=2或加=-1；

当根=2时，幕函数为＞=%T3,

且在X£（O,+e）时为减函数，满足题意；

当加=-1时，幕函数为歹=%2,

且在X£（0,+”）时为增函数，不合题意；

综上，实数加的值为2.

故选：A.

5.（2024・湖南岳阳•模拟预测）如图，已知幕函数歹=//=—,y=在（0,+"）上的图象分别是下降，急

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】由题意结合图象可知a〈0〈c〈l〈b.

故选：B.

题型二：幕函数性质的综合应用

6.(2024・高三•福建三明•期中)已知<11><1,log“g<l，则实数。的取值范围是.

【答案】(0,1)

【解析】：已知logjvl,或0<”1■①；

；(；)"<1，.SO②；

综合①②③，求得实数。的取值范围为((),；).

故答案为：(0,—).

7.函数>=/+2)+4,其中“开-8,则其值域为.

【答案】［3,+8)

【解析】设一/，贝幼=/+2，+4=a+iy+3.因为X开-8,所以不-2.当/=一1时，/n=3.所以函数的值

域为［3,+s).

故答案为：［3,+8)

8.当xe(O,”)时，塞函数了=(苏-2加-2)廿〜一为单调递减函数，则加=.

【答案】T

【解析】由题意可知机2-2机-2=1=>机=-1或%=3,

当以=-1时，疗一加一3=-1，此时夕=”在第一象限是单调递减函数，符合题意；

当机=3时，用一加一3=3,此时y=d在第一象限是单调递增函数，不符合题意；

综上：m=-\.

故答案为：-1

9.(2024•高三・上海浦东新•期中)已知ae1-3,-2,-若幕函数/(x)=x"为奇函数，且在

(0,+e)上严格单调递减，贝！|。=.

【答案】-1或-3

【解析】由哥函数的性质知，f［x}=xa,在第一象限内，当a<0时，函数单调递减，当c为奇数时，函数

为奇函数，

所以当a=T或-3时，幕函数在(0,+8)上单调递减，且为奇函数.

故答案为：-1或-3

10.已知幕函数〃x）=;3,若"a-l）</'（8-2a）,则。的取值范围是.

【答案】（3,4）

【解析】幕函数［（x）=J5，所以/（x）定义域为（0,+”）且在定义域上单调递减,

所以需满足"l>8-2a>0,解得3<a<4,

故答案为：（3,4）.

题型三：由黑函数的单调性比较大小

11.（2024・贵州毕节•二模）已知<l,a5<l,则实数。的取值范围为（）

A.B.fo,lL（l,+»）

【答案】D

【解析】=根据指数函数y=在R上单调递减得a>0,

flI<1=1L根据幕函数了=苫；在［°，+8）上单调递增知04。<1，贝U0<a<l，

logfl1<l=logaa,根据对数函数y=b&x,（O<a<l）在（0,+旬上单调递减得0<a<；,

综上0<a<—.

4

故选：D.

12.记。=3°2,6=0.39,。=108020.3,则（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】因为6=0.3-02毫函数卜=》。2在（0,+e）上单调递增,

Xy>3,所以［2：2>3。2>3。=1,

所以,

又对数函数klog。/在(0,+8)上单调递减，所以C=log020.3<log020.2=1,

故6>a>1>c.

故选：D.

13.已知a=0.6%6=0.5%c=0.506.则()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】设/'(xbOS,由指数函数的性质知/'(无)=0.5'在R上单调递减，

所以b=/(0,5)=O.50-5>c=/(O.6)=O.50-6,

令"x)=产，由幕函数的性质知h[x}=严在[0,+功单调增，

所以a=〃(0.6)=O.605>b=h(O.5)=O.50-5,

所以a>6>c.

故选：C

14.已知函数〃x)=(济-〃是幕函数，对任意的士,々€(0,+划且玉片马，满足"‘)一"")>0,

\，xx-x2

若a,bwR,a+b〈G,则/(a)+/(6)的值()

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

【答案】B

【解析】根据函数为幕函数以及函数在(0,+⑹的单调性，可得加，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单

调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数〃x)=(疗-是幕函数

则加2一加一1=1=>加=2或加=T

又对任意的X],%e(0,+oo)且%,满足"%)>0

石-x2

所以函数/(x)为(0,+8)的增函数，故%=2

所以/&)=/，又以T)=-/(x),

所以/(X)为五单调递增的奇函数

由a+6<0,则。<-6,所以/(a)</(-6)=-/(6)

贝(l/(a)+/3)<0

故选：B

题型四：二次函数的解析式

15.已知二次函数y(x)的两个零点分别是o和5,图象开口向上，且/(X)在区间上的最大值为⑵

则函数/(X)的解析式为.

【答案】/(x)=2x2-10x

【解析】设〃x)="x(x-5),(a>0)其对称轴为直线x=g,又/'(x)在区间[-1,4]上的最大值为12,

所以/(T)=64=12,o=2,所以/(x)=2X2-10X.

故答案为：/(X)-2X2-10X.

16.已知〃尤)=2/+bx+c⑶c为实数)，且/⑴=1,/(3)=1,则/(x)的解析式为.

【答案】m)=21-8x+7

f2+b+c=\fZ)=-8

【解析】解法一：由题意知〈。稣，，解得「，

[18+3b+c=l[c=7

所以/(X)的解析式为/(X)=2X2-8X+7.

解法二：由题意知-3=1=2,得6=-8,贝ij〃l)=2-8+c=l,得c=7,

所以/(无)的解析式为/(X)=2X2-8X+7.

故答案为：/(尤)=2/-8x+7

17.已知函数/(尤)对任意x满足:3/(x)-/(2-x)=4x,二次函数g(x)满足：g(x+2)-g(x)=4xM

g(l)=-4.则/(尤)=，g(x)=.

【答案】x+1X2-2X-3

【解析】(1)3/(x)-/(2-x)=4x0,用2-x代替上式中的x,得3/(2-X)-/(X)=8-4A^,联立①②,

可得/(x)=x+l;设g(x)="2+6x+c(q40),所以

g(x+2)-g(x)=a(x+2)~+/)(x+?+c-加-bx—c—4},即4ax+4a+26=4x,

(4a=4

所以彳4。+26_0，解得4=1，b=-2,又g(l)=-4,得。二一3,所以g(x)=/一21一3.

故答案为：1+1,x2-2x-3

题型五：二次函数的图象、单调性与最值

18.(2024•辽宁沈阳•一模)已知函数/(x)=ax?+bx+c,若〃>6>c且a+b+c=0,则它的图象可能是

()

【答案】D

［解析］由a>b>c且a+b+c=O,得a>0,c<0,

所以函数“X)是二次函数，图象开口向上，排除A,C；

又〃0)=c<0,所以排除B；只有D符合.

故选：D.

19.已知二次函数/(x)的图象的顶点坐标是(2,2),且截x轴所得线段的长度是4,将函数/(无)的图象向右

平移2个单位长度，得到抛物线y=g(x),则抛物线y=g(x)与y轴的交点是()

A.(0,-8)B.(0,-6)C.(0,-2)D.(0,0)

【答案】B

【解析】因为二次函数/(x)的图象的顶点为(2,2),

故/(x)的对称轴为直线x=2,

又/(x)的图象截x轴所得线段的长度是4,

所以/(x)的图象与x轴的交点坐标为(0,0)和(4,0),

设/(x)=a(x-2)2+2(。30),将点(0,0)代入得°(一27+2=0,解得a=-;，

19

所以〃尤)=-j(x-2)一+2,

因为g(x)的图象为〃x)的图象右移2个单位得到的，

171?

所以g(x)-2)=-5(x-2-2)+2=--(x-4)+2,

19

令x=0,贝lJy=g(O)=_］(O_4)+2=-6,

所以g(无)与y轴交点生标为(0,-6).

故选：B.

20.已知函数/(无)=ax2+2ax-3(a>0),贝！］()

A./(0)>/(l)B./(-2)>/(4)C./(-3)>/(l)D./(-4)>/(l)

【答案】D

【解析】/(x)=ax2+lax-3(a>0)对称轴为x=—1,

则f(x)在(-8,-1］上单调递减，在［-1,+co)上是单调递增,

A：/(0)</(1),故A错误；

B：/(-2)=/(0)</(4),故B错误；

C：/(1)=/(-3),故C错误；

D：/(1)=/(-3)</(-4),故D正确.

故选：D.

21.(2024・高三・上海•期中)已知函数/^)=-/+如一2在(-«),2］上是严格增函数，则实数加的取值范围

是.

【答案】［4,+8)

【解析】由题意晟22,解得皿24,

故答案为：［4,+8).

题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题

22.已知函数/(X)=X2-26X+3(6eR).

(1)若/'(x)在区间［-3,1］上单调递减，求6的取值范围；

⑵若/卜)在区间［-2,2］上的最大值为9,求6的值.

【解析】(1)由题意得，二次函数〃x)=f-2瓜+3(6eR)的图象开口向上，对称轴为直线x=b,

•.•函数在上是单调递减，则621,

的取值范围是［1,+8).

(2)由题意得，当622时，函数/(X)在区间［-2,2］上单调递减，

则/(x)1rax=/(—2)=4+必+3=9,解得6=g,不合题意，舍去；

当，<-2时，函数/'(x)在区间［-2,2］上单调递增，

贝U/(x)1mx=/P)=4-46+3=9,解得6=不合题意，舍去；

当-2<6<2时，函数/'(X)在区间卜2,6)上单调递减，在区间(6,2］上单调递增，

则/(x)max在〃一2)或/(2)中取得，又〃-2)=7+46，f(2)=7-4b,

.•.当0<6<2时，/(力1mx=/(-2)=9,解得6=；；

当-2<6<0时，/(x)_=/(2)=9,解得6=-;；

当6=0时，/(-2)=7=/(2),显然不合题意;

综上所述，b=+\.

2

23.已矢口函数/(x)=+"一4.

⑴若"X)的最大值为0,求实数Q的值；

⑵设/(X)在区间［0,2］上的最大值为M(〃)，求M(a)的表达式；

(3)令g(x)=-Z<2,若g(无)在区间［1,2］上的最小值为1,求正实数。的取值范围.

X

【解析】(1)/(x)=-x2+ax-a=+?一。，

2

因为/(X)的最大值为0,所以^--〃=0,

4

所以Q=0或Q=4.

(2)函数/(%)=—，+办一。的对称轴为x=］,

当•!4()，即时，小)在［0,2］上是减函数，所以M⑷=40)二—

当0<事<2,即0<Q<4时，

当工£2时，/(%)是减函数，当0,|时，/(%)是增函数，

所以/⑷；

当即024时，/*)在［0,2］上是增函数，所以M(a)=/(2)=a-4,

-a,a<0

2

所以Af(a)=<?-〃,4£(0,4).

a-4,a>4

(3)由题意g(%)=_/()=XT---a,

XX

令x=@可得x=6,简图如下，

当0<血41时，即0<。41时,g(x)在xe［l,2］是增函数，

所以g(l)=l+a-a=l，成立.

当1<&<2时，即1<°<4时，

g(x)在［1,G］上是减函数，在［6,2］上是增函数，

所以g(G)=G+G-。=1,解得”1,不成立；

当右22时，即“24时，g(x)在［1,2］上是减函数，

所以g(2)=2+；〃—q=l,解得〃=2,不成立；

综上所述，0<aVL

24.已知函数/(x)=--2ax+a(aeR).

⑴若函数/'(x)在［2。-4,20-1］上单调，求。的取值范围：

(2)是否存在实数”，使得函数/(x)在区间［-M］上的最小值为-2?若存在，求出。的值；若不存在，请说明

理由.

【解析】(1)由题意可得/(x)=--2ax+a(aeR)开口向上，对称轴》=一3=。，

2x1

函数在(F,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，

:函数/(力在［2a-4,2a-1］上单调,

2a-1Wa或2。-42a,

解得a41或a24,

二。的取值范围为：(-00内。［4,+8)

(2)由题意可得〃x)=x2_2ax+q(aeR)开口向上，对称轴》=_孟=。，函数在对称轴处取最小值，

2x1

21

f(x)mjn=f=a-2a-a+a=-a+a,

若函数f(x)在区间HM］上的最小值为-2,

则〃x)向„=-。2+。4-2，解得：或心2,

当aVT时，〃x)在区间［-M］上单调递增，

此时函数的最小值为/(-1)=(-1)2-2ax(-l)+“=3a+l=-2,

解得:a=-1,

当。22时，/(x)在区间［-1,1］上单调递减，

此时函数的最小值为/。)=『一2。、1+。=一。+1=—2,

解得：a=3,

综上，存在实数。=-1或a=3,使得函数/(x)在区间上的最小值为-2

题型七：二次方程实根的分布及条件

25.(2024・高三・陕西商洛・期中)若〃eN*，则一元二次方程2x2+3x+”=0有整数根的充要条件是()

A.n=lB.n-2C.〃=1或〃=4D.〃=3或〃=4

【答案】A

【解析】由2X2+3X+”=0，得〃=-2--3丫.

作出函数〃幻=-2/-3工的图象，

9Q

由图可知，,HP??<—,又〃€N*,

oo

所以"=1.

当〃=1时，方程2苫2+3尤+1=0有整数解x=-l.

综上，〃=1是方程有整数解的充要条件.

故选;A.

26.若关于x的一元二次方程，-2公+4=0有两个实根，且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数。

的取值范围是.

【答案】(g，+oo)

【解析1设f(x)=x2-lax+4,

A=4Q2—16>0

由题意</(1)=1-2〃+4<0,解得a>*,

"2)=4-4a+4<0

故答案为：(-1,+00).

27.方程/-2办+4=0的两根均大于1,则实数。的取值范围是

【答案】23

【解析】,二/一2〃%+4=0的两个根都大于1

a>1

「.<5-2。〉0,解得一

A=4a2-16>0

可求得实数。的取值范围为［2,|)

故答案为：［2,$

题型八：二次函数最大值的最小值问题

28.已知函数/(尤)=x2-x-3.

(1)求函数Ax)的单调区间；

(2)当x«0,3］时，求证：x-4</(x)<x；

⑶设/(无)=|/(尤)-(x+a)|(aeR),及尸(x)在区间［0,3］上的最大值为M(a).当/⑷最小值，求。的值.

【解析】⑴f(x)=x2-x-3,故开口向上，且对称轴为x=g,

故单调递减区间为,单调递增区间为

(2)由题意可知，问题转化为xe［l,3］时，x-4<f(x),且恒成立，

即g(x)=x2-2x+l>0,且/i(x)=x2-2x-3<0,在区间［1,3］上恒成立,

因为g(x)=(x-l)2>0显然恒成立，

h(X)=(X-l)2-4,开口向上，且对称轴为％=1,故〃OOmax=〃(3)=。，

即〃(x)W0恒成立，故原不等式成立;

(3)尸(x)=*—2x—(3+,

函数9=/一2%一(3+〃)=(工一1)2一(4+4)在[1,3]上单调递增,

|4+444+4>\a\

故x=l时，y=-4-a,X=3时，Vn=-a,所以“(。)=

min1ax同/4+4<\a\

4+〃N—2

化简得“(a)3

\a\,a<-2

可知，02-2时，Af(a)>2；0<一2时，M(a)>2,

故。=-2时，M(a)取得最小值2.

29.已知函数/(力=/+狈+6的图象经过点(0,一3)和(-LT).

⑴求函数/("的解析式；

(2)当xe［0,3］时，求证：x-4</(x)<x；

⑶设尸(x)=|〃x)-(x+c)|(ceR),记尸(x)在区间［0,3］上的最大值为M(c).当M(c)最小时，求c的值.

b=—3a——1

【解析】(1)由已知得,……解得

b=-3'

，函数〃x)的解析式为/(x)=X2-X-3.

(2)令g(x)=/(x)-x=x2-2x-3,xe[0,3],

则二次函数g(x)的对称轴为x=1.

所以g(x)在区间［0,1］上单调递减，在区间［1,3］上单调递增,

所以当x=l时，g(x)取得最小值g(l)=-4,

又g(0)=Tg(3)=0,所以x=3时，g(x)取得最大值g(3)=0,

所以TVg(x)V0,即x-44/(x)Wx.

(3)由(2)知，F(x)=\f(x)-(x+c)|=|g(x)-c|,

令/=g(x)，贝iJ-4W，W0,问题转化为求y=|/-c|在［-4,0］上的最大值,

易知y=|f-c|关于，=c,作出图象如下，

当c<-2时，当/=0时，>="c|取得最大值，则M(c)=|0-c|=-c>2,

当c>-2时，当/=T时，y="c|取得最大值，M(c)=|-4-c|=4+c>2,

当c=-2时，当t=0或f=-4时，y=，-c|取得最大值，M(c)=2,

综上，当"(c)最小时，c=-2.

1.(2024•北京朝阳一模)已知aeR,则“0<a<1”是“函数/⑴=在R上单调递增”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】对于函数〃切=(1-。)/

当a=l时，/(尤)=0,为常数函数，

当。>1时，函数/=在R上单调递减，

当a<1时，1-°>0,函数/(x)=在R上单调递增，

所以"0<a<1”是“函数"X)=(1-在R上单调递增”的充分而不必要条件.

故选：A.

,、x2+x,-2<x<0,、

2.(2024•北京西城・一模)已知函数/(X)=厂，若/(x)存在最小值，则c的最大值为(

-A/X,0<X<C

A.—B.—C.—D.~

16842

【答案】A

【解析】当一2<x<0时:/(x)=—+一；，故当％=一；时，/(x)有最小值为一；；

0Wx<c时，=单调递减，所以—W</(x)40,

由题意/(x)存在最小值，则-解得0<cW上，即。的最大值为j

41616

故选：A

3.(2024・广东•一模)已知集合/=卜:*(2,3),若a,仇』且互不相等，则使得指数函数y=a

对数函数了=log,x,塞函数y=炉中至少有两个函数在(0,+◎上单调递增的有序数对(0也c)的个数是(

A.16B.24C.32D.48

【答案】B

【解析】若y和y=log/在（0,+s）上单调递增，〉=/在（0,内）上单调递减，

则有A>C；=4个；

若夕=疗和7=/在（0,+功上单调递增，y=logAx在（0,y）上单调递减，

则有C；C；C=8个；

若y=logftx和y=/在（0,+◎上单调递增，y=/在（0,舟）上单调递减,

则有C1C；C=8个；

若y>=1嗨彳和〉=X,在（0,+=0）上单调递增，贝第A7C；=4个；

综上所述：共有4+8+8+4=24个.

故选：B.

4.已知幕函数/卜）=（一+如-2卜-37,€（1）的图象在（0,+8）上单调递减，贝匹的取值是（）

A.1B.-3C.1或-3D.2

【答案】A

【解析】•；/'（无）为幕函数，,/+2a-2=l=”=1或。=一3；

当°=1时，1（力=》”,在（0,+s）上单调递减；

当”=-3时，f（x）=x14,在（0,+8）上单调递增，不满足题意.

综上可知：a=1

故选：A.

5.（2024・四川宜宾•模拟预测）给出下列四个函数:①“X）=x+1；②〃x）=L③=2/；④/⑴=­.其

中在（0,口）上是增函数的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】/（x）=x+l和〃X）=2X2在（0,+8）上是增函数，“X）」和/（x）=-x在（0,+co）上是减函数，

故选：C

6.函数/（x）=（机2一加一1）//-/-1是幕函数，对任意的占名€（0,+8）,且占W超,满足二（“2）>0,

若a,beR,且a+6>0,则+的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

【答案】A

【解析】函数/(%)=(加2—冽一1)%4"一m5T是幕函数，所以冽2—冽—1=],解得加=2或次=—1.

当加=2时，f(x)=x2015；

当初=—1时，flx)=x~4.

又因为对任意X/,x2E(0,+oo)且X#X2,满足〃网)一/(%)>0,所以函数外)是增函数，

X]-x2

所以函数的解析式为40=X2。5,

函数於)=/。乃是奇函数且是增函数，

若a,66R且a+6>0,ab<0,则a,6异号且正数的绝对值较大，所以人a)+火田恒大于0,故选A.

幕函数1-xi在第一象限内的图象依次是如图中的曲线()

7.y—x,/一v-人Y?-y—vA，/一人

B.C15C4,C3,C2

c.c3,c2,c15c4D.Gccc

【答案】D

【解析】在第一象限内直线尤=1的右侧，幕函数y=的图象从上到下相应的指数a由大变小，即“指大图

高”，

所以幕函数y=x?在第一象限内的图象为G，y=/在第一象限内的图象为C『

11

y=,在第一象限内的图象为C2，y=xE在第一象限内的图象为OS.

故选：D

8.已知ae.l,2,g,3,?,若/(x)=x"为奇函数，且在(0,+旬上单调递增，则实数a的取值个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】当a=-l时，/(x)=e在(0,+巧上单调递减，不合要求，

当a=2时，/(-x)=(-x)2=x2=/(%),故/(x)=J为偶函数,不合要求,

当。=1■时，/(耳=£的定义域为(°，+8)，不是奇函数，不合要求,

当a=3时，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),/(彳)=X3为奇函数,

且〃x)=x3在(o,+功上单调递增，满足要求，

1111t

当。=§时,/(-X)=(-尤)3==-/(力故/(工)=户为奇函数,

且/口)=工9在(°，+8)上单调递增,满足要求.

故选：B

9.(2024•山东济南•三模)已知函数/'(X)的定义域为R,且0(司-犷(田=孙(x-y),则下列结论一定成

立的是()

A./(1)=1B./(X)为偶函数

C./(x)有最小值D.“X)在［0川上单调递增

【答案】C

【解析】由于函数“X)的定义域为R,且W(x)-犷(了)=中(无-了)，

令了=1,则〃x)-切⑴=x(x-l),得=

尤=1时，=一1］恒成立，无法确定/0)=1,A不一定成立；

由于/⑴=1不一定成立，故八同=%2+［〃1)-1］X不一定为偶函数，B不确定；

由于/(x)=f+［/■⑴-l］x的对称轴为x=-1］与［0』的位置关系不确定，

故/(X)在［0,1］上不一定单调递增，D也不确定，

由于=f+表示开口向上的抛物线，故函数/(x)必有最小值，C正确，

故选：C

10.(2024・陕西•模拟预测)设函数/(x)的定义域为R,且/(f+l)=-/(x+l)J(x+2)=/(-x+2),当

xe［0,l］时,/(x)=2x2+te+c,/(3)-/(2)=6,则6+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

【答案】D

【解析】由题意可得〃-x+l)=-/(x+l)①；/(x+2)=/(r+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-/⑵=c,

令x=l,由②得/(3)=/■⑴=2+b+c,因为［⑶一"2)=6,

所以2+6+c+c=6,即6+2c=4.

令x=0,由①得/⑴f⑴n/⑴=0n2+6+c=0,

解得b=-8,c=6,所以b+c=-2.

故选：D.

11.（多选题）若基函数/（x）的图像经过点（2,；］,则下列命题中，正确的有（）

A.函数/⑸为奇函数B.函数/⑸为偶函数

C.函数"X）在（0,+8）为减函数D.函数/（X）在（0,+8）为增函数

【答案】AC

【解析】因为/（X）是幕函数，所以设/。）=/，

乂“X）的图像经过点上,：），所以*=；,所以a=-l,即〃尤）=/，

所以函数Ax）为奇函数，且在（0,+s）为减函数，故AC正确，BD错误；

故选：AC.

12.（多选题）已知幕函数/（力=/（〃?，«eN,，小〃互质），下列关于/（无）的结论正确的是（）

A.m,〃是奇数时，幕函数/（无）是奇函数

B.加是偶数，〃是奇数时，幕函数/（x）是偶函数

C.加是奇数，〃是偶数时，幕函数/（x）是偶函数

D.0<‘<1时，幕函数/（X）在（0,+。）上是减函数

n

【答案】AC

【解析】"x）=m=Q

对A,当机,"是奇数时，/（无）的定义域为R,关于原点对称，

/（-外=4二了=-亚=-/（力，则褰函数/'（x）是奇函数，故A中的结论正确；

对B,当加是偶数，〃是奇数，幕函数［（无）在x<0时无意义，故B中的结论错误；

对C,当"是奇数，咒是偶数时，/（x）的定义域为R,关于原点对称，

/（-x）==也=f（x）,则幕函数/'（x）是偶函数，故C中的结论正确；

对D,0〈竺<1时，幕函数/（无）在（0,+句上是增函数，故D中的结论错误；

n

故选：AC.

13.（多选题）幕函数〃x）=（2/+%-2）x-"i,"7eN*,则下列结论正确的是（）

A.m=lB.函数/（x）是偶函数

C./（-2）</（3）D.函数/⑴的值域为（0,小）

【答案】ABD

3

【解析】由募函数定义可知，系数2/+加一2=1,解得皿=1或机=-；，

2

又因为AWEN*，所以加=1；故A正确；

加=1时，/(X)==二，其定义域为(-℃,0)U(0,+oo),且满足了(工人二二八-刈，所以函数/(X)是偶函数,

XX

即B正确；

由〃尤)=3可知，函数”X)在(0,+8)为单调递减，所以〃-2)=/(2)>/(3),所以C错误；

X

函数〃x)=3的值域为(0，y)，即D正确；

X

故选：ABD.

14.(多选题)(2024・甘肃定西一模)已知函数/'3=|2工-1卜0遭(吊=£-4.，+2-4,则()

A.当g(x)有2个零点时，/(x)只有1个零点

B.当g(x)有3个零点时，/(x)只有1个零点

C.当/(无)有2个零点时，g(x)有2个零点

D.当/(x)有2个零点时,g(x)有4个零点

【答案】BD

【解析】令/(x)=0,g(x)=0,得|2:1卜4,/一4闵+2=4,

利用指数函数与二次函数的性质作出了=|2*-1|,了=/一4区+2的大致图象，如图所示，

y=^-4\x\+2号月2'1|

-2

由图可知，当g(x)有2个零点时，。=-2或。>2,

此时/(尤)无零点或只有1个零点，故A错误；

当g(x)有3个零点时，«=2,此时/(尤)只有1个零点，故B正确；

当「(X)有2个零点时，0<。<1,此时g(x)有4个零点.故C错误，D正确.

故选：BD.

15.(2024•北京延庆•一模)已知函数/(x)=xa(0<a<l)在区间(T,0)上单调递减，则夕的一个取值

为.

【答案】j(不唯一)

【解析】因为/。)=廿(0<&<1)在(0,+8)上单调递增，又/(X)在区间(-1,0)上单调递减,

2

所以"》)可以为偶函数，不妨取a=§,

2

此时/8)=#=收，函数定义域为xeR,

且/(-X)=(-那=y(-=/(x)，故/(x)=/为偶函数，

满足在区间(-1,0)上单调递减.

故答案为：I(不唯一)

16.(2024・全国•模拟预测)写出满足下列条件①②③的一个函数：/(%)=.

①/(X)的定义域为R；②xeR,-③0<%<%，都有(土］

【答案】f(答案不唯一，形如=p,q为奇数，且1<，<2均可)

/(再)/(9)

丫

【解析】由③知:、(不妨取x>0时f(x)>0),

------------------<S

X]

所以函数/区在(0,+8)上是增函数，函数£国在(0,+“)上是减函数,

XX

又由①②，函数为奇函数且定义域为R,

5

所以可取幕函数/(x)=/.

故答案为：)(答案不唯一，形如/(x)=J，P，q为奇数，且1<，<2均可).

17.(2024・河北•模拟预测)已知函数/(x)=5-》-3/，若/(“-1)+〃2。)210,则实数。的取值范围

为.

【答案】(-咫；

【解析】令g(x)=x+3x)

因为g(f)=-x-3d=-g(x),所以函数g(尤)为奇函数，

由函数y=x,y=3x3都是增函数，可得g(x)=x+3/为增函数，

f(x)=5-x-3x3=5-g(x),

则不等式/(。-1)+/(2。及10,

即为5-g(a-l)+5-g(2a)210,即-g(a-l)Ng(2a),

即g(l-a)>g(2a),

所以1一°22a,解得avg,

所以实数。的取值范围为1-叫g

故答案为：卜°$.

18.不等式（X?—1『"+/°22+2》2一1《0的解集为:

【答案】

［解析］不等式变形为（x2-l）1011+x2-l+（x2）1011+x2<0.

所以kTVl,*I*卜

令人月=产"+工，则有八一/小…），

因为函数了=3°"/=*在R上单调递增，

所以/（X）在R上单调递增，

则解得一遮4x4正，

22

-B歹

故不等式的解集为-当，）.

逝V2

故答案为:

19.已知正实数满足2x+3y=l,且十-/wx-y对任意x,V恒成立，则实数，的最小值是

17

【答案】v

O

x>0

【解析】依题意，l-2xZ解得0<x<1,贝世>2

y=----->02x

I3