高考数学一轮复习练习卷：三角函数图像变换、求参数问题（原卷版和解析版）

高考仿真重难点训练-三角函数图像变换、求参数问题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

TT

1.将函数/（x）=2sin（2x-§）的图象向左平移加（加＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则冽的值可以

是（）.

2.将函数=sin（2x+9）（0＜夕＜兀）的图象向右平移TT2个单位长度后得到函数g（x）=sin出的图象,

则夕的值为（）

TT7T/兀2兀

A.-B.—C.—D.—

6433

3.设函数/（x）=acosox（aNO,。＞0）,若将/（x）的图象向左平移以个单位长度后在0胃上有且仅有两个

零点，则。的取值范围是（）

7B

B.[2,4)

35T

4.函数/（月=2$皿2》+9）［-］＜0＜3的图像关于点仁,0）中心对称，将函数/'（x）的图像向右平移1个

单位长度得到函数g（元）的图像，则函数g（尤）在区间［-兀,兀］内的零点个数为（）

5.已知函数/（无）=/sin（ox+e）（/＞0,。＞0,倒＜兀）的部分图象如图所示，将/（x）的图象向左平移;个单

位长度后得到函数g（无）的图象，若g（x）在区间［0川上的值域为卜62］,贝I"的取值范围为（）

。N\1

/T\/

6.设函数小）的图象与函数V=2COSTIXxe-1,|的图象关于x轴对称，将的图象向右平移3个单

位长度后得到函数g(x)的图象，则函数>=工的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为()

x-1

A.8B.6C.4D.2

7.已知函数/(x)=sin,x+^|+cos,x-5[3>0),将/⑴图象上所有的点的横坐标缩短到原来的g(纵

坐标不变)得到函数g(x)的图象，若g(x)在(。，合]上恰有一个极值点，则。的取值不可能是()

A.1B.3C.5D.7

TT(1

8.将函数/(x)=2cos2x的图象向右平移个二单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间[0,；]和

63

[2a,4]上均单调递增，则实数a的取值范围是()

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(1)=2$吊(5+3(0>0)且对于VxeR都有小一(]=一小+£|成立.现将函数

/(x)=2sin(s+*|的图象向右平移今个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)

得到函数g(尤)的图象，则下列说法正确的是()

A.函数g[3-x]+g卜+?)=0B.函数g(x)相邻的对称轴距离为左

C.函数g[x+母是偶函数D.函数g(x)在区间pj上单调递增

10.函数对任意xeR,都有"(x)-3/(-x)=5sin2x+cos2x,则关于函数g(x)=/(x)+l的命题正

确的是()

A.函数g(x)在区间上单调递增

B.直线x=-£是函数g(x)图像的一条对称轴

O

C.点是函数g(x)图像的一个对称中心

D.将函数g(x)图像向右平移w个单位，可得到y=二1-V2cos2x的图像

O

TT身上单调，且若卜仔1寸图，当X兰

11.已知函数/0)=45皿3+9)(/>0,。>0)在区间—

6

时，”X)取到最大值4,若将函数“X)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则

下列说法正确的是()

A.(o=2B.点(?,()］是/(x)图象的一个对称中心

TT7T

C.g(尤)是区间一2二上的增函数D.函数y=g(x)一卡+(的零点个数为7

00

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设a>0,已知函数/(月=111(/+办+2)的两个不同的零点4、*2，满足|国-即=1,若将该函数图像

向右平移“Z(机>0)个单位后得到一个偶函数的图像，则m=.

13.已知函数/(x)=sin(0x+o)［0>O,O<04；］,3和：为/'(x)的两个相邻零点，将/(力的图象向右平

移g个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数>=/(x)g(x)+/(x)+g(x)的值域为.

14.已知函数/(耳=5皿。》+。)(0>0,0<夕<兀)相邻两零点的距离为5，且/=将/(X)图象向左

平移:个单位长度，再将所得图象上的所有点保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍后得到函数g(x)的

图象.若存在非负实数。使得，尸(x)=〃x)+ag(x)在(0,“劝(〃eN*)内恰好有8个零点，则所有符合条件

的〃值组成的集合为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数〃》)=小山(如+?)/>0,0<0<1),且/(x)在上的最大值为啦.

(1)求/(刈的解析式；

(2)将函数/(X)图象上所有点的横坐标缩小为原来的!，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若=

求sin2a的值.

JT

16.已知函数/(可=5皿(5+9)(。＞0,0＜夕＜兀)的图象相邻对称轴之间的距离是5,若将“X)的图像向右

移5个单位，所得函数g(x)为奇函数.

0

⑴求/(X)的解析式；

⑵若函数6(x)=/(x)］的一个零点为%,且％€，!，力求C0S2知

17.已知函数/(x)=2sinxcosx—2A^sin&+6.

JT

⑴若0,-时，机＜/(对恒成立，求实数机的取值范围；

(2)将函数“X)的图象的横坐标缩小为原来的;，纵坐标不变，再将其向右平移？个单位，得到函数g(x)的

2O

图象若函数g(x)有且仅有4个零点，求实数f的取值范围.

18.函数/(》)=为皿8+夕)(/>0,0>0,阿<|^的部分图象如图所示.

⑴求函数〃无)的解析式；

(2)将函数/(x)的图象先向右平移;个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的g(纵坐标不变)，得到函

数g(无)的图象，求g(x)在xe-展，言上的最大值和最小值；

⑶若关于x的方程g(x)-加=0在尤e培年上有两个不等实根，求实数〃?的取值范围.

19.对于分别定义在A，2上的函数“X)，g(x)以及实数左，若存在王€2，马€。2使得1(玉)-g(%)=左，

则称函数“X)与g(x)具有关系M(左).

(1)若/(x)=cosx,xe[0,7t]；g(x)=sinx,xe[0,7i],判断了(x)与g(x)是否具有关系M(-2),并说明理

由；

⑵若/(x)=2sinx与g(x)=2cos2x+sinx-l具有关系M⑻，求上的取值范围；

(3)已知。＞0,〃(x)为定义在R上的奇函数，且满足：

①在[0,2可上，当且仅当x=T时，力卜)取得最大值1；

②对任意xeR,有〃(Q+X)=—〃(4一X).

判断了(x)=sin2m+/z(x)与g(x)=〃(x)-cos2M是否具有关系M(4),并说明理由.

高考仿真重难点训练-三角函数图像变换、求参数问题

一、选择题

1.将函数〃x）=2sin（2x-$的图象向左平移加（机＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则加的值可以

是（）.

兀4兀571

A.—B.nC.—D.—

333

【答案】D

【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得.

7T

【解析】将函数/（尤）=2sin（2尤-三）的图象向左平移加个单位，

得y=2sin12（x+加）一1）二2sin12x+2加一g）的图象，

因为歹=2sin12x+2加-的图象关于原点对称，

所以2m--=kTi,kEZ=—+—,A;GZ,

362

5兀

当左=3时，得加=茎，

,■rvn.7ikn机=巴+标=色的整数上不存在.

便加=——I---=—m=--\--=兀,

62362

故选：D

2.将函数/（x）=sin（2x+9）（0＜9＜兀）的图象向右平移巳个单位长度后得到函数g（x）=sin（2x-总的图象,

则夕的值为（）

7C7C兀2兀

A.—B.—C.—D.—

6433

【答案】B

【分析】先根据平移求出平移后的函数解析式，利用函数相等可求答案.

【解析】将/（》）=5皿2工+0）（0＜夕＜兀）的图象向右平移看个单位长度后得到的解析式为了=5["2工-]+。],

由题意sin（2x-1+0]=sin12x-曰，

TTTTTT

所以。一§=—+2E,k£Z,即。=-^+24兀，k£Z.

因为0＜夕＜兀，所以9=；.

故选：B.

3.设函数/a)=acos0x(awO,0>O),若将/(x)的图象向左平移击个单位长度后在"皆上有且仅有两个

零点，则。的取值范围是()

B.[2,4)C.口.[2,引

【答案】A

【分析】由平移变换法则得g(x)=acos]5+[,由题意g(x)在0,|上有且仅有两个零点，由此可列出

关于。的不等式组，解出不等式组即可得解.

【解析】将/(x)的图象向左平移以个单位长度后的图象所对应的函数表达式为

=〃COS67X+—L,

g(x)=/x+工”G)

3〃I3)

ITJnT717171

注意到①〉0,则当X£0,—时，COX+—€—,—CO+—,

3323

由题意g(x)在上有且仅有两个零点,

这意味着最祚7i7in5兀n兀n,且显然常不

一,一〃?+一,——任—,—0)+—

3232323

71兀、3兀

—CD+—>——

23：,解得(v13

也就是说(D<—.

7171J7T33

一切+―〈——

〔232

故选：A.

4.函数/(x)=2sin(2x+p)lm<p<mj的图像关于点]，°]中心对称，将函数「⑺的图像向右平移;个

单位长度得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在区间[-兀,句内的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换

【解析】••・函数/(x)的图像关于点(%。]中心对称，・•・/g]=2sin(g+,=0,.•.g+"=EXeZ,

又一■|<夕<],...夕=三，贝lj/(x)=2sin]2x+mj.

将函数/(x)的图像向右平移(个单位长度得到函数g(x)=2sin12x-；j的图像

令2尤-5=杭强2,得尤=2+g,左eZ,.•.函数g(尤)在区间[一兀，可内的零点有

5兀兀7T2兀।[»

x=-----,x=---,x——,x=—,4|.

6363

故选：D.

5.已知函数/(x)=/sin(0x+e)(Z>OM>O,|d〈兀)的部分图象如图所示，将/⑺的图象向左平移;个单

位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0J]上的值域为卜有,2],贝I"的取值范围为()

【答案】C

【分析】先由图象求出函数7'(x),再由平移变换得函数g。)，结合整体法求值域，从而求r的取值范围.

【解析】设〃X)的最小正周期为7,由图象可知/=2弓Q7=，mTT+展7T=学Qjr,

所以7=兀，则0=2,故/(x)=2sin(2x+0),

又的图象过点(号,2)所以2xg+e=]+2伍左£Z,

所以9=——+2kji,kGZ,又倒＜兀，所以夕=——,

66

贝l|/(x)=2sin(2x-*j,

贝1Jg(x)=/(x+：)=2sin

当X£[0/]时，2%-三£-y,2/-y

当2苫一]=一三或与.即尤=0或尤=^^时，g(x)=-V3,

当2Tp即x=时，g(x)=2,

57r57r

所以/的取值范围为.

126

故选：C.

6.设函数/(x)的图象与函数y=2cos;uxe-1,|的图象关于x轴对称，将/(x)的图象向右平移g个单

位长度后得到函数g(x)的图象，则函数＞=工的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为()

X-1

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【分析】利用轴对称求得函数f(x),利用三角函数平移变换得到函数g(x),再利用函数的对称中心计算得

到结果.

【解析】由题意得/(X)=-2COSTTC(Xe-p|,贝!|g(x)=-2c°s=-2sin7ix(xe[0,2]).

函数N=工的图象由函数＞=▲图形向右平移1个单位得到.

x-1X

由函数匚的图象与y=g(X)的图象关于点(1,0)对称，在定义域内有4个交点.

x-1

所以函数”占

的图象与N=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为2x2=4

故选：C.

7.已知函数"x)=sin10x+B+cos[0x-^(o＞O),将/⑴图象上所有的点的横坐标缩短到原来的g(纵

坐标不变)得到函数g(x)的图象，若g(x)在(0,二]上恰有一个极值点，则。的取值不可能是()

A.1B.3C.5D.7

【答案】A

【分析】利用三角恒等变换得到〃刈=2呵妙+3，结合伸缩变换得到g(尤)=2sin12ox+；],o＞0,整

体法得到2ox+J+根据极值点个数得到不等式，求出1＜。47,得到答案.

3(363)

【解析】因为/(x)=sin[m+方]+(：05(尔一力二去出5+5+^eoscox+^sincox

=sincox+百coscox=2sincox+—\,

又将/(X)图象上所有的点的横坐标缩短到原来的g(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,

所以g(x)=2sin2cox+—|M>0.

、r,(八兀)rIc兀(兀COTt71］

当％,°，77时，，

\1273(363)

又因为g(x)在，，3上恰有一个极值点,

71COTI71371~/口<一

所以7<二+7(=~，解得1〈047.

2632

故选：A.

Tna

8.将函数/(x)=2cos2x的图象向右平移个：单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间［0.］和

63

［2a,77?r］上均单调递增，则实数a的取值范围是(

6

C・弓币

BF63

【答案】A

【分析】根据函数^=/$吊(侬+夕)的图像变换规律推得g(X)的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的

单调增区间，再结合函数g。)在区间［0,白和［2凡马上均单调递增，列出关于。的不等式组进行求解即可.

36

7T

【解析】根据题意，将函数〃x)=2cos2x的图象向右平移个5单位后得到函数g(x)的图象，则

6

g(x)=2cos2=2cos

I2x~—3

根据函数g(x)的单调增区间满足一〃+2左〃<2x-—<2k7r,(keZ),解得一工+左〃WxW工+左肛(左£Z).

336

777

当左=0时，函数的增区间为-彳jr,j£r,当左=1时，函数的增区间为17T.

36J\_36_

若满足函数g(x)在区间［0,白和［2a,上均单调递增,则

3L6_

八a,兀

0<—<—

36

解得“e

2万，个77r

——<2a<——

I36

故选：A.

【点睛】本题主要考查函数y=/sin(ox+9)的图像变换规律以及根据三角函数的单调性求参数范围.

二、多选题

已知函数/(x)=2sin"+*|3>0)且对于VxeR都有小一"=一小+?)成立.现将函数

9.

/(%)=2sin15+£的图象向右平移彳个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)

6

得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.函数g[^-x]+g[x+.]=OB.函数g(x)相邻的对称轴距离为万

C.函数g(x+副是偶函数D.函数g(x)在区间pj上单调递增

【答案】ABCD

【解析】先利用已知条件求出的周期？=万，即可得。=2,再利三角函数图象的平移伸缩变换得g(x)

的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【解析】因为对于VxeR者B有/；工一?)=一/1》+:]成立

所以=+f^X+^=-f(X+7T),

所以/(工)=一(一〃苫+万))=/(》+句对于VxeR都成立,

可得〃x)的周期T=*所以。=学=2,

所以/(x)=2sin]2x+1J,

将函数〃幻=2点11,+三|的图象向右平移今个单位长度，可得

y=2sin21-^+今=2sin,x-J再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得g(x)=2sin[x-3,

对于选项A:

gpd+g")

=2sin+2sin[x+?—£)=2sin(-x)+2sinx=0,

故选项A正确;

27rT

对于选项B：函数g(x)周期为了=7=2»,所以相邻的对称轴距离为丁冗,故选项B正确;

对于选项C：故选项C正确;

对于选项D：当Jvxvf,0<x-^<^,所以函数g(x)在区间上单调递增，故选项D正确,

6366L63

故选：ABCD

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由-彳恒成立得出

/(X)=/(》+%)可得。的值，求出/(X)的解析式.

10.函数〃x)对任意xeR,者B有27(x)-3〃r)=5sin2x+cos2x,则关于函数g(x)=+1的命题正

确的是()

函数g(x)在区间1。，:

A.上单调递增

B.直线'?是函数g(x)图像的一条对称轴

o

等,0)是函数g(x)图像的一个对称中心

C.点

D.将函数g(x)图像向右平移2个单位，可得到y=l-&cos2x的图像

O

【答案】BD

【分析】对于题干条件，用-X替代X得到新的方程，联立先算出一(X)表达式，从而得出g(x)的表达式，然

后根据正弦函数的性质逐一判断每个选项.

【解析】由2〃x)-3/(-尤)=5sin2Hcos2x,用t替代x得到

2f(-x)-3/(x)=5sin(-2x)+cos(-2x)=cos2x-5sin2x,

联立上述两式得到，/(%)=sin2x-cos2%=后sin]2x-：卜

则g(x)=/(x)+l=&sinf2%-^-1+1.

..兀7113兀

A选项，时，2%—G,根据正弦函数的单调性,

4

兀717113兀

y=sinx在上递增，在上递减,

45225~12~

根据复合函数的单调性可知g(x)在区间上先递增后递减，A选项错误;

71

B选项，x=4时,仙2X-：一，取到了最小值,

4

故尤=-丁是函数g(x)图像的一条对称轴，B选项正确;

O

5jr

C选项，x=.时,sin121一：=0,则汗，o］是"也sinf2x——j的对称中心,

8

*，1］是是函数g(x)图像的一个对称中心，C选项错误;

故

D选项，函数g(x)图像向右平移弓个单位，得到

O

7171

gY=V2sin2x+1=&sin12x-^j+1=1^/^COS2J,D选项正确.

故选：BD

TTJT71

11.已知函数/(x)=/sin(s+e)(4>0M>0)在区间—上单调，且/，当可

62

时，/(x)取到最大值4,若将函数/(幻的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象，则

下列说法正确的是()

A.a>=2B.点与0)是一(X)图象的一个对称中心

C.g(x)是区间一黑上的增函数D.函数尸且⑴一值目的零点个数为7

【答案】ABCD

【分析】根据单调性求得0<。43,再由已知得出对称轴和对称中心求出周期，代入最值即可求出解析式,

数形结合可判断零点.

【解析】因为/(“在［J,上单调，所以1一5《=!"”=%，解得0<°W3,

_o2J2622<2?co

又

TC2兀TCTC/\

所以Y1+V7万为对称轴，且万十/万，贝！||f,0］为一个对称中心，故B正确;

21223v7

由于0<。43,所以x=1|与］(，0)为同一周期内相邻的对称轴和对称中心，

则7=4临-1|=万，所以。3=2,故A正确，

因为一(X)的最大值为4,所以4=4,

TT77TTTTTTTT

贝1/(77)=45皿工+0)=4则夕+—=一+左肛左cZ,即。=一■\-2k7r,keZ,取0=一，

1266233

贝i]g(x)=4sin[x+1^,

、［,兀兀।兀71TTTT

当X‘一『不时’X+?G，根据正弦函数的单调性可得g(x)是区间吟上的增函数，故C正

362oOO

确；

因为8(司=45皿］》+|^在］-9,0)处的切线斜率为8［—1^=435］—会+|^=4,

J=2［在处切线斜率不存在，即切线方程为x=-2，

所以x=-g右侧g(x)图象较缓，如图所示，

同时+(>4时,X>16-y,所以函数y=g(x)-j二1的零点有7个，故D正确.

故选：ABCD.

三、填空题

12.设a>0,已知函数/(x)=ln(*+ax+2)的两个不同的零点不、巧，满足|国-%|=1，若将该函数图像

向右平移加(加>0)个单位后得到一个偶函数的图像，贝|机=.

【答案】(

2

【分析】根据N-X21=l可求。，再求出平移后图像对应的解析式，根据其为偶函数可求参数的值.

【解析】令/(x)=0,故ln(—+办+2)=0即比+欠+2=1,

tz-4>0

故％2+办+1=0，由题设有,Jq-4，故4=5.

-----二1

I1

故/(x)=ln(%2+5%+2),

将/(%)图像向右平移加(加>0)个单位后所得图象对应的解析式为：

g(x)=In[(x—加)2+5(x—+2],

整理得至!J：g(x)=In+(5—2m)x+m2-5m+2j,

因为g(x)为偶函数，故g(-x)=g(x)，

所以+(5—2m)x+m2-5m+2=x2-(5-2m)x+m2-5m+2,

故(5-2加)％=—(5—2m)x对无穷多个x恒成立，故5-2加=0，

故加=一.

2

故答案为：I

13.已知函数/卜)=5诒(5+。)(0＞0,0＜。4鼻，g和|■为/(x)的两个相邻零点，将/(无)的图象向右平

移3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数y=/(x)g(x)+/(无)+g(x)的值域为.

【答案】-，+姿

【分析】根据两个相邻零点求函数的周期得出。，即求出“X),根据平移变换求出g(无)，令cos口+sina=/,

结合二次函数求值域得出结果.

【解析】由题意知/'(x)的最小正周期7=2(］-：］=2,所以。=7=兀，又/(£|=0,

所以sing+，=°，所以■|'+夕=E(左eZ),即0=-■I'+Mr(左eZ),

又0＜(p*,所以0=］,所以/(x)=cos7tr,

所以8卜)=/1_:=sinm:,

故y=cosTExsiniix+COS7EX+siniix.

4-=COSTIX+sirntx=V2sin贝ijfe［一行,后］,且cos^simcc=,

所以y=/21+/=+炉-1，

当t=-l时，=-1；当;/时，Nmax=；+应，

所以所求函数的值域为-1,1+V2.

故答案为：T,；+拒.

14.已知函数/"卜)=5诒(0丫+夕)(。＞0,0＜夕＜兀)相邻两零点的距离为］,且=将/(x)图象向左

平移;个单位长度，再将所得图象上的所有点保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍后得到函数g(x)的

图象.若存在非负实数。使得，b(x)=〃x)+ag(x)在(0,时(〃eN*)内恰好有8个零点，则所有符合条件

的"值组成的集合为.

【答案】{4,5,7,8}

【分析】根据题意，求得/(x)=cos2x和g(x)=—sinx,得至1]产(%)=1一25出葭一公111¥,令尸(x)=0且/=sinx,

得至！)2*+〃—1=0,结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.

【解析】由函数/'(x)=sin(s+协相邻两零点的距离为可得女=2、^=兀，可得。=2,

2co2

贝1==—1,因为0<夕<兀，则9=不

所以/(%)=sin^2%+=cos2x,可得g(x)=cos[x+=-sinx,

则F(x)=f(x)+〃g(x)=cos2x-asinx=1-2sin2x-osinx,

令尸(x)=0且,=sinx,此时2r+办一1=0,

则A=Q2+8〉0且t{t2=-5，。+/2=一万，

则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，不妨设[2<0<。，

①当才2<-1时，。<4<；，此时。>1,»2<-1无解,

对于0y<g,尸⑺在(0,6兀)内有6个零点，(0,7兀),(0,8兀)内都有8个零点，(0,9兀)内有10个零点，则〃=7

或"=8；

②当4=-1时，4=；,此时。=1,尸(无)在(0,4兀)内有6个零点，在(0,5兀)内有8个零点，在(0,6兀)内有

9个零点，故〃=5；

③)当—时，.>5，此时a<1,令g(f)=2厂+af—1,

因为aN0,则g(l)=2+a_l=l+a>0,故;<A<1;尸(x)在(0,3冷内有6个零点，在(0,4兀)内有8个零点，

在(0,5兀)内有10个零点，故〃=4,

综上可得，〃e{4,5,7,8}.

故答案为：{4,5,7,8}.

四、解答题

15.已知函数/(x)=Nsin[g+?](4>0,0<0<1),/且/⑴在[(),?)上的最大值为及.

(1)求/(x)的解析式;

(2)将函数/(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的g,纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若gaI

求sin2a的值.

【答案】(1)/(月=国11+++；

⑵q

【分析】(1)由0＜。＜1求得7＞2%,再结合/(x)在上的最大值为收且;=知

/(—)=72,求出4。即可；

8

，a、1TC1

(2)先求出g(x),由=5求得sin(a+1)=云方，结合诱导公式及倍角公式即可求得sin2a.

【解析】(1)因为0＜。＜1,所以周期7=7＞2%,又"X)在上的最大值为血，且

所以当》=：(£+力=¥时，/⑴取得最大值后，所以/=收，且/(苧)=后，即&sin1寿0+小=五，

24288\o47

«+-＜—,故红。+卫=%，解得。=2,故/(x)=J^sin(2x+&)；

4848842334

(2)g(x)=/(3x)=£sin(2x+令，又g„Ain(a+：)=：,则sin(a+?)=,

sin2a=-cos(2a+—|=2sin2\a+—1-1=--.

I2；I4；4

jr

16.已知函数〃x)=sin(0x+°)(o＞0,0＜夕＜兀)的图象相邻对称轴之间的距离是万，若将〃x)的图像向右

移£个单位，所得函数g(x)为奇函数.

O

⑴求/(X)的解析式;

(2)若函数人(x)=/(x)的一个零点为毛,且［联(J，求cos2x0.

【答案】(l)〃x)=sin12x+：j

(2)卫

10

【分析】(1)由周期求出。，再由题意可得函数g(x)为奇函数，可得。的值，可得函数〃x)的解析式;

|2%+升3再由三卜三及两角差的余

(2)由题意可得sin即可求出coscos2x0=cos12%+

5

弦公式计算可得.

TTT

【解析】(1)由题意可得5=5,可得7=兀，又。〉0,

971

而7='=兀，可得0=2,

(O

此时/(x)=sin(2x+°),

71

由题意可得g(无)=sin2x+。=sinI2x-丁(p

要使函数g(x)为奇函数，则-g+0=E,keZ,

兀

即夕=§+E,keZ,而0＜夕＜兀，

所以。=5,

所以/(x)=sin2x+-；

I3j

3

(2)由题意令//(x)=/(x)-1=0,

33

可得/(%)=不，即sin

5

因为/E

兀714

所以2%+§£2,71,所以cossin

5

.兀

所以COS2/=cos二cossin—

3

3=地心

525210

17.已知函数/(x)=2sinrcosr—2\§sin&+

JT

(1)若XC0,-时，恒成立，求实数加的取值范围;

⑵将函数/(X)的图象的横坐标缩小为原来的；，纵坐标不变，再将其向右平移g个单位，得到函数g(x)的

2O

图象.若X£[OH,函数g(x)有且仅有4个零点，求实数方的取值范围.

【答案】⑴(-叫1)

5兀13兀

⑵

~69~12

【分析】(1)利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值,

即可得到答案；

（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合,

就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.

【解析】(1)|3/(x)=2sinxcosx-2V3sin2x+A/3=sin2x+V3cos2x=2sin+y

、r,八71,__7C7T5兀

当XE0,—时，可得+，

4」3|_36_

当2x+卜浮即x毛时,/(可取得最小值2sin"=l,

3646

因为xe0,(时，加＜/(x)恒成立，所以根＜1,

即实数加的取值范围为

（2）由〃x）=2sin[2x+m图象的横坐标缩小为原来的9可得：7=2sin^4x+^j,

再将其向右平移e，可得：>=2sin4n=2sin1x-I,

即函数g（x）=2sin

因为xe[0j],所以-p4^-y,在给定区间的正弦函数的零点是x=0,私2兀,3%，

再由函数g（x）有且仅有4个零点，则满足3兀W4/-|•<4兀,

兀兀兀

解得5?1誉3，所以实数f的取值范围57i13

612~69~L2

18.函数/(x)=4sin(69x+°)A＞0.S>0,附<段的部分图象如图所示.

⑴求函数「（X）的解析式;

（2）将函数[（x）的图象先向右平移:个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的g（纵坐标不变），得到函

数g@）的图象，求g@）在xJ-上的最大值和最小值；

12o

⑶若关于X的方程g(x)-〃?=0在xe7^,7上有两个不等实根，求实数加的取值范围.

126

【答案】(l)〃x)=2si“2x+W；

(2)gmax(x)=VLgnoiO-Z;

(3)-2<m<.

【分析】(1)利用函数图象的顶点求出4=2,利用周期求出。=2,由特殊点求出9=3,即可求出解析式;

(2)利用三角函数图象变换求得g(x)=2sin[4x-1],结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；

(3)结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.

【解析】(1)由函数，(x)=4sin(s:+0)4〉。),0〉o,|^|<3的部分图象可知力=2,

1113T『2兀仁立,

--7T---71=-T:.T=71,①=----2,3^f2,

1264fT

2x^-+^=^-+2^71,keZ,解得9=己+2左兀，左£Z,由|同<]可得"=[

.­./(x)=2sin^2x+^j；

(2)将/(x)向右平移:个单位，得至匕=2sin1271+兀2sin]j,

X——2x-^

再将所有点的横坐标缩短为原来的9得到g(x)=2sin14x-；],

令f=由xe,可得fe-斗(，

3126」L33_

27rirITIT

因为函数歹=2siW在-5，-万上单调递减，在-55上单调递增,

又2sin-2,2sin—

3

可得gmax(%)=百,gmin(%)=~2；

7ITITTTTT

(3)由(2)可得y=2si皿在-《-，-]上单调递减，在-于孑上单调递增,

可得Zsin[-])=-2,2sin；=6,2sin^-^-^=-^3,

因为关于x的方程g(x)-加=0