试验统计方法 5.第五章假设检验-平均数学习资料

为什么以样本平均数作为检验对象呢？这是因为样本平均数具有下述特征：

1、样本平均数是总体平均数的无偏估计值，即2、根据统计学中心极限定理，样本平均数服从或逼近正态分布。所以，常以样本平均数作为检验对象，推断样本所属总体平均数与指定常数或其它总体平均数是否相同。第二节平均数的假设测验

平均数假设测验的类型一个平均数假设测验---检验一个样本平均数是否来自某一总体平均数。(已知总体的平均数一般为一些公认的理论数值、经验数值或期望数值。)二个平均数的假设测验---推断两个样本平均数所属总体的平均数是否相同。多个平均数的假设测验。---F测验。（以后章节内容）求样本平均数概率的测验方法：

u测验:

已知总体为正态分布，且方差已知;总体方差未知，但样本较大时（n≥30）

t测验正态分布总体方差未知，且样本较小时(n<30)。一、t分布从一个已知正态总体N(μ,σ2)进行抽样，其样本平均数形成的新变量也呈现正态分布。服从

将样本平均数的抽样分布标准化后，则u～N(0,1)。当计算样本平均数分布的概率分布时，需要总体方差σ2为已知。在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，因而无法求得。此时，通常用样本标准差s估计σ。于是，由于s2≠σ2，标准离差其形成的分布就不再服从N（0，1）。由t形成的分布叫t分布，其形状与自由度df=n-1有关，是一组曲线。上式中，为样本平均数的标准误，是的估计值。附表3（P339）列出了不同自由度下两尾概率为某一值时的临界值tɑ。t分布具有以下特征(1)t分布是对称的，围绕μt=0向两侧递降。（2）t分布曲线与横轴所围成的面积等于1。这与正态分布一致。（3）t分布受自由度df=n-1的制约，每一条自由度都有一条t分布曲线。（4）和正态分布相比，t分布的顶部偏低，尾部偏高。

（5）df>30时，其曲线就接近正态分布曲线。当df→∝时，其曲线与正态分布曲线完全重合。二、单个样本平均数的假设测验测验样本平均数所在总体平均数与某一指定总体平均数是否有显著差异。当正态总体方差已知时，无论样本大小，均可直接用u测验。当总体方差未知，但n≥30时，可用样本方差s2代替总体方差δ2，采用u测验。当总体方差未知，但n＜30时，小样本s2与δ2相差较大，样本平均数的标准离差不呈正态分布、而呈自由度为n-1的t分布，采用t测验。

例题1:已知某品种玉米单穗重(g)服从N(300,11.52)。在种植过程中喷洒了某种药剂。欲了解该药剂对玉米穗重是否产生影响，从喷过药的植株上随机选取9个果穗，测得样本单穗重的平均数为307克，标准差为12.3。测验药剂对玉米穗重是否有影响？解（1）HO：μ=μ0对HA:μ≠μ0

（2）计算：（3）因u0.05=1.96，u<u0.05，P>0.05，所以接受H0。即该药剂对玉米穗重没有影响。例题2：生产某种纺织品，要求棉花纤维长度大于或等于30mm。现有一棉花品种，以n=100进行抽样，测得样本纤维平均长度为29.8mm，样本标准差为2.5mm。问该棉花品种的纤维长度是否符合纺织品要求？解：已知μ0=30mm,=29.8mmσ2未知，但n＞30,可用s代替σ，用u测验。（1）假设HO：μ=30mm。HA:μ＜30mm(单尾测验）

(2)计算：(3)推断：u>-u0.05(=1.64,单尾测验)，p>0.05，故接受HO，否定HA，认为该棉花品种纤维长度符合纺织品生产的要求。

例题3：

某地生产上种植的春小麦良种的千粒重μ0＝34g。现自外地引入一新品种，在8个小区种植，测得其千粒重（g）分别为：35.6、37.6、33.4、35.1、32.7、36.8、35.9、34.6，问新引入品种的千粒重与当地良种有无显著差别？分析：总体方差σ2未知，样本容量n＝8，小样本，所以需用t测验。解题：（1）H0:μ=μ0＝34g；HA:μ≠34g（两尾检验）

（新引入品种可能高于、也可能低于当地良种。）（2）计算查附表3，自由度df＝n-1=7时，

t0.05＝2.365。

t

<t0.05,p>0.05

（3）推断：接受H0，即认为新引入品种千粒重与当地良种千粒重没有显著差异。三、两个样本平均数（成组数据）的假设测验

复习样本平均数差数的分布样本平均数差数分布的平均数等于总体平均数的差数。样本平均数差数分布的方差1、当两个样本所属的总体方差σ12和σ22为已知时，或总体方差未知但两个样本均为大样本时，用u测验。样本平均数差数的标准误为:

当假设H0:μ1=μ2时例题1两个用发酵法生产青毒素的工厂，其长期产品回收率方差的经验值分别为：δ12=0.46，δ22=0.37。现甲工厂测得25个数据，

乙工厂测得30个数据，

问两个工厂的产品回收率是否相同？解:总体方差已知，采用u检验；根据题意，应进行两尾测验。(1)H0:μ1=μ2；HA:μ1≠μ2(2)计算概率(3)推断u<u0.05=1.960,p>0.05。接受H0，认为两工厂回收率相同。例题2为了比较甲、乙两个橡胶品种的割胶产量，分别从两个品种中随机抽取55株和107株，割胶平均产量分别是95.4ml/株和81.6ml/株，割胶产量的方差分别是936.36（ml/株）2和800.89（ml/株）2，试测验两个橡胶品种的割胶产量是否有显著差异。分析：总体方差未知，但两样本较大，可用样本s2估计代替总体δ2，采用u测验。解题：已知s12=936.36,s22=800.89,n1=55,n2=107(1)假设H0:μ1=μ2,HA:μ1≠μ2

（2）测验计算

(3)推断：因u>u0.01,P<0.01,故否定H0，接受HA。又因，所以得出结论两个品种的割胶产量有显著差异，甲品种的割胶产量极显著高于乙品种。2、总体方差σ12和σ22未知，两样本n1和n2容量较小，但可假定σ12＝σ22＝σ2时。用t测验。

两个样本方差的加权平均值。

该公式可变形为两样本差数的标准误于是在假设H0:μ1=μ2时可进行t测验自由度为df=(n1-1)+(n2-1)例题3：研究矮壮素使玉米矮化的效果，在抽穗期测定喷矮壮素小区8株，未喷的对照玉米9株，其株高（cm）结果见下表，试问矮壮素是否确有效果？X1（喷矮壮素）X2（对照）160180160270200190160250200270170270150260210230180解：从原始数据可计算出喷矮壮素处理=176.3cm,s12=541.1，n1=8未喷矮壮素的对照处理=233.3cm,s22=1575.0，n2=9

（1）H0:μ1=μ2;HA:μ1<μ2（2）计算经F测验，S21和S22差异不显著，可假定两个方差相等。可以计算合并方差。（并进一步计算平均数差数标准误。）(3)推断当df=(n1-1)+(n2-1)=15时，查表得，一尾t0.05=1.753。因为|t|>t0.05，P<0.05，拒绝H0，接受HA。

结论：玉米喷矮壮素后，株高显著矮于对照。3、总体方差σ12和σ22未知,两样本n1和n2容量较小，而且σ12≠σ22时,可用近似

t测验tˊ(P80-81)样本差数的标准误为：tˊ是通过自由度的矫正，进行概率计算。有效自由度的计算

四、两个样本平均数（成对数据）的假设测验【例题】现从8窝仔猪中每窝选出性别相同、体重接近的仔猪两头进行饲料对比试验，将每窝两头仔猪随机分配到两个饲料组中，时间30天，试验结果见下表。问两种饲料喂饲仔猪增重有无显著差异？【例题】试验某种药物对血液中血红蛋白含量的影响。测试10名病人，服药前后病人血液中血红蛋白含量的情况见下表。问该药是否引起人体血红蛋白含量的变化？成对数据：两样本间配偶成对，对内条件相近，

对间可以有一定差异。成对数据由于配对出现，两样本容量一定是相等的。虽然是两个样本，但可将每对数据计算一个差值d，看成一个观察值。因此相当于是由差数d所组成的一个随机样本，检验差数d的平均数是否为零(或一固定值)。依样本容量，选择u测验或t测验。配对资料的一般形式处理观察值Xij样本容量平均数1x11x21…xn1n2x12x22…xn2ndjd1d2…

dnn

注：di=xi1–xi2样本的平均数样本的标准差样本平均数的标准误因此（用t测验的机会较多）在假设μd

=0时，，df=n-1。配对数【例题】现从8窝仔猪中每窝选出性别相同、体重接近的仔猪两头进行饲料对比试验，将每窝两头仔猪随机分配到两个饲料组中，时间30天，试验结果见下表。问两种饲料喂饲仔猪增重有无显著差异？解：（1）提出无效假设与备择假设

（2）计算t值（3）推断当df=8-1=7时，查表得t0.01（7）=3.499。因为t>3.499，P<0.01，否定H0，接受HA。结论：两种饲料喂饲仔猪平均增重差异极显著，甲种饲料优于乙种饲料。

两个样本试验设计的另一种类型

成组数据：进行试验时，将试验单位完全随机地分成两个组，分别施加不同处理获得的数据。或者从两个总体分别独立地抽出两个样本获得的数据。

(前面已经介绍）

成组数据的一般形式处理观察值样本容量平均数1x11x12…x1n1n1

2x21x22…x2n2n2

成组数据的两个样本容量不一定相等。成组数据与成对数据1、成对数据的对内两个供试单位是相关的，而成组数据的各供试单位是相互独立的。2、成对数据对间的差异可以通过同一配对的差数予以消除。因此可以控制试验误差，有较高的精确度。3、成对数据以对内差数为检验对象，相当于一个平均数的测验；而成组数据是两个平均数间的测验。4、将成对数据按成组数据分析，容易发生第二类错误，即不易鉴别出真实的差异。【课堂作业1】晚稻良种汕优63的千粒重。现育成一高产品种协优辐819，在9个小区种植，得其千粒重为：32.5、28.5、28.5、25.0、29.0、27.5、30.0、33.0、29.5(g)问新育成品种的千粒重与汕优63有无显著差异？【课堂作业2】调查某农场每667m2两种密度30万株和35万株的稻田各5