方程与不等式（组）有关的含参问题-2025年中考数学一轮复习（解析版）

第二章方程与不等式

重难点02方程与不等式（组）有关的含参问题

（2种命题预测+17种题型汇总+专题训练）

【题型汇总】

已知方程的解求参数

已知方程的解求代工的值

同解方程

■方百满足的情况共

方的雌问题

方程有解、无解问题

.已知分式方程的增根求参数

利用方程解的范围求参数的取值范围

曝根的情况确定一历程中字母的m/s;值范围

不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值

根的判别式与韦达定理综合

与含参方程有关的新定义问题

已知解集求物的值范围

已知螃解的情况求参数的值或取值范围

已知不等式有/无解求参数的取值范围

不等式（组）含参问题（5种）

不等式与方稗s合求参数的取值范围

与含参（组）有关的新定义问题

类型一方程含参问题

【命题预测】

1）.一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，

解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法,

先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题;二是利用整体思想,

求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化

思想加以解决

2）.分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问

题的关键是化分式方程为整式方程，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程

中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的

解.

3）.一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解一元二次方程的解的情况、一

元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时

注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程有两个根分别为xi、X2,

则Xl+X2=-2,石x,=工注意运用根与系数关系的前提条件是ANO,知一元二次方程，求关于方

aa

程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有%+%,石々的式子，再运用根与系数的关

系求解.

题型01已知方程的解求参数

1.（2021•重庆・中考真题）若关于x的方程瞪+a=4的解是尤=2,则a的值为.

【答案】3

【分析】将x=2代入已知方程列出关于。的方程，通过解该方程来求。的值即可.

【详解】解：根据题意，知

4-2./

------Fa=4,

2

解得4=3.

故答案是：3.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次

方程的解.

2.（2024.四川凉山.中考真题）若关于%的一元二次方程（a+2）x2+%+a2-4=0的一个根是％=0,则a的

值为（）

A.2B.-2C.2或-2D.|

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0.由一元二次方程的定义,

可知a+2H0；一根是0,代入（a+2）/+汽+Q2—4=0可得小—4=o,即可求答案.

【详解】解：（a+2）x2+%+a2-4=0是关于久的一元二次方程，

，a+2W0,即aW—

由一个根久=0,代入（a+2）x2+x+a2-4=0,

可得M—4=0,解之得a=±2；（2）

由①②得a=2；

故选A

3.（2021•浙江金华・中考真题）已知二:是方程3久+2y=10的一个解，则m的值是.

【答案】2

【分析】把解代入方程，得6+2加=10,转化为关于根的一元一次方程，求解即可.

【详解】是方程3x+2y=10的一个解，

{y—iii

6+2加=10,

解得m=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一

次方程求解是解题的关键.

4.（2024•江西九江.模拟预测）已知％=2是分式方程三=工的解，则根的值为

X—6X

【答案】-2

【分析】本题主要考查了分式方程的解，把x=2代入分式方程，即可得出关于冽的方程，求解即可.

【详解】解：把久=2代入与=工，可得出：

x-6x

m_1

2-6-2’

解得：m=-2,

故答案为：-2

5.（2023・河北・中考真题）根据下表中的数据，写出4的值为.匕的值为.

X

2n

结果代数式

3%+17b

2%+1

a1

X

【答案】|-2

【分析】把x=2代入得三更=a,可求得a的值；把％=n分别代入3久+1=b和7=1,据此求解即可.

XX

【详解】解：当％=71时，3%+l=b,即3n+l=b,

当时，誓=。,即小号=|

、〕/n\2%+1tpt-t2n+l«

当久=九时，---即----

X=1,n=1,

解得几=一1,

经检验，九二一1是分式方程的解，

b=3x(—1)+1=-2,

故答案为：|；—2

【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键.

6.(2024.湖北.模拟预测)若关于x的一元二次方程久2+.-4=0有一个根是％=2,求Z?的值及方程的另

一个根.

【答案】b=0,方程的另一个根是％=-2

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元

二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定义.将％=2代入方程求得到b的值,然后解一元二次方程即可.

【详解】解：＜%=2是％24-—4=0的一个根，

.*.4+26-4=0

解得力=0,

将b=0代入原方程得/-4=0,

•\x2=4

角军得%1=-2,冷=2,

=0/方程的另一个根是％=—2.

题型02已知方程的解求代数式的值

7.(2024•云南怒江•一模)已知根是方程%2—3%+1=0的根，求代数式m3—8m+4的值()

A.1B.3C.4D.7

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，由题意得出tn?=3m-l,再整体代入血3一8血+4

计算即可得解.

【详解】解：,根是方程/—3%+1=0的根，

Am2—3m+1=0,

Am2=3m—1,

.*.m3—8m+4=m(3m—1)—87n+4=3m2—9m+4=3(3m—1)—9m+4=1,

故选：A.

8.(2022・四川雅安・中考真题)已知｛；二；是方程公+办=3的解，则代数式2a+46-5的值为一.

【答案】1

Y—1

【分析】把0_2代入“x+0y=3可得a+2b=3,而2a+4b-5=2(a+2b)—5,再整体代入求值即可.

【详解】解：把｛：Z，弋入ajc+by=3可得：

y-L

a+2b=3,

•••2〃+4。-5

=2(a+2h)-5

=2x3—5=1.

故答案为：1

【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体

代入的方法”是解本题的关键.

9.(2024•广东中山•模拟预测)已知｛j二1是方程组二I7的解，求代数式①+①①一切的值.

【答案】8

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，以及代数式求值，先根据二元

一次方程组的解得出新的二元一次方程组，再根据加减消元法求出a,6的值，然后代入求值即可.

【详解】解：依题意得方程组1-3匕=3巴，

[2b-3a=-7②

①X3+②X2得-5b=-5,

b=1,

把b=1代入①得a=3；

贝联a+b)(a-b)=(3+1)(3-1)=4X2=8.

10.(2022・广西・中考真题)阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a-6=2,求代数式6a-

2b-1的值.”可以这样解：6a-2b-l=2(3a-b)-1=2x2-1=3.根据阅读材料，解决问题：若x=2

是关于x的一元一次方程a久+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b—1的值是.

【答案】14

【分析】先根据x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+6=3,再把所求的代数式变形为

(2a+旷+2(2a+b)-l,把2a+b=3整体代入即可求值.

【详解】解：=2是关于x的一元一次方程ax+6=3的解，

2a+b=3,

4a2+4ab+/+4a+2b—1

=(2a+b)2+2(2a+b~)—1

=32+2x3-1

=14.

故答案为：14.

【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式

变形是解题的关键.

11.(2024・湖北十堰•三模)若小、九是一元二次方程/—久—3=0的两个实数根，多项式2/—nm+2nl的

值是.

【答案】11

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系.若一元二次方程a/+法+c=0(aH0)的两个根为修，^,

则%]+刀2=,冷=二由题意得声一n-3=0,m+n=1,mn--3,再代入计算即可求解.

xaa

【详解】解：由题意得：n2—n—3=0,m+n=1,mn=—3,

n2=n+3,

/.2n2—mn+2m=2n+6—mn+2m=2(m+n)—mn+6=2—(—3)+6=11,

故答案为：11.

题型03同解方程

12.(2024凉州区三模)已知关于x的方程瞪=%+5与3%-(%-1)=5的解相同，则血=.

【答案】T

【分析】先解3x-(x-1)=5求出x的值，然后代入以=%+-,解关于m的方程即可求出m的值.

2m

【详解】V3x-(x-l)=5

3%—%+1=5

・•・2%=4

/.x=2,

把％=2代入平=%+^,得

去分母，得

3(2—m)=12+2m,

解得

故答案为：

【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未

知数的值叫做一元一次方程的解.

13.(20241安顺市模拟)关于x的两个方程/一万-6=0与=—=白■有一个解相同，则m=

【答案】-8.

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这

个数代替未知数所得式子仍然成立；先解方程x2-x-6=0,将它的根分别代入方程工=工，去掉不符合题

意的根，求出m的值.

【详解】解：解方程/-X-6=0得：x=-2或3；

把x=-2或3分别代入方程二—=工,当x=-2时，得到一―=展，解得m=-8.

—2+m—2—3

故答案为-8.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义；本题注意分式方程中分母不为0.

14.(2020•河北邢台二模)已知关于久的方程5x-2=3*+16的解与方程4a+1=4(x+a)-5a的解相同,

则。=；若［m|表示不大于m的最大整数，那么g-1］=

【答案】72

【分析】求出第一个方程的解，因为两个方程的解释相同的，则把第一个方程的解代入第二个方程即可求

出a；将a代入弓-1］得到周，根据定义即可求出答案.

【详解】解：5久一2=3久+16

5%—3%=2+16

2x=18

x=9

将％=9代入4a+1=4(%+a)—5a,

4a+1=4(9+a)—5a

4a+1=36+4a—5a

5a=36—1

a=7

a=7

呢"=剧=2.

故答案为：7；2.

【点睛】本题考查了解一元一次方程和新定义下的实数运算，熟练应用等式的性质解方程及理解新定义是

解题的关键.

15.（2024.贵州毕节・三模）已知关于x,y的二元一次方程组二?=表的解也是方程3“-y=26的解，

则k的值为（）

A.-4B.-2C.2D.无法计算

【答案】C

【分析】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立

的未知数的值.把k看作已知数求出x与.代入已知方程计算即可求出％的值.

【详解】解：［厂丁个幺

（2%+3y=5k②

由①+②得：3%=12fc,

解得：%=4fc,

把％=4k代入①得：4k-3y=7k,

解得：y=-k,

把％=4fc,y=一/c代入3%—y=26,

得：3x4k-（一口=26,

解得：k=2,

故选：C

题型04根据方程解满足的情况求解

16.（2023•河北沧州・模拟预测）对于a、b定义a团6=义，已知分式方程工团（-1）=/的解满足不等式

a—3-3%

（2-a）x-3>0,则a的取值范围是（）

A.a<1B.a>1C.a<3D.a>3

【答案】D

【分析】根据新定义的含义，转化为分式方程，按照解分式方程的步骤求出x的值，把龙的值代入不等式中，

解不等式即可.

【详解】解：根据新定义可得，f^=看,即二―，

x-(-l)23-3xx-13(x-l)

去分母得：3=-%,

解得x=-3,

经检验x=-3是分式方程的解，

把x=-3代入不等式可得，一3(2-a)-3>0,

解得a>3.

故选D.

【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，关键是理解新定义，并正确运算.

17.(2023・江苏无锡・二模)若关于x,y的二元一次方程组「二；。笠工2的解满足尢+丫〉。，则小的取值

范围_____.

【答案】m>2

【分析】两方程相加可得2久+2y=3m-6,根据题意得出关于小的不等式，解之可得.

【详解】解：3m-半

(x+3y=-4@

①+②，得：2x+2y=3m—6,

•••x+y>0,

解得m>2,

故答案为：m>2.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键.

18.(2023金乡县一'模)已知%1、%2是方程%?—kx+：k(k+4)=。的两个根,且满足(%1—1)(%2—1)=

则k=.

【答案】-3

【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入01-1)(%2-1)=今即

4

X62-01+%2)+1=?，即可得到一个关于人的方程，从而求得上的值.

【详解】解：•.”1、血是方程/-依++4)=0的两个根,

4

]

xx

xr+&=k，i2=小也+4),

：(尤1-1)(%-1)=?，

2q

••%-£%2—(%1+%2)+1=~4~9

解得：k=±3,

当/c=3时，方程为/一3%+2=0,A=9-21=-12<0,不合题意舍去；

4

当上=—3时，方程为第2+3%-三=0,△=9+3=12>0,符合题意.

4

二所求人的值为一3.

故答案为：-3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若修,%2是一元二次方程a-+bx+c=0(aH0)的

两根，则修+犯=4x62=5注意：运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程a/+b尤+c=0

的根的判别式A>0.

19.(2023・四川眉山・中考真题)已知关于居y的二元一次方程组二舞：；的解满足x—y=4,则相

的值为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】将方程组的两个方程相减，可得到久-y=/n+3,代入x-y=4,即可解答.

【详解】解：俨一"加+旧,

(%+y=2m—5。)

①一②得2%—2y=2m+6,

%—y=TH+3,

代入％-y=4,可得m+3=4,

解得m=1,

故选：B.

【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键.

20.（2024・广东汕头•一模）若关于x,y的方程组的解满足％+y=—4,则4m+2九的值为

（）

A.8B.-C.6D.-6

8

【答案】B

【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用①-②得：x+

y^2m-n-l,即可得到2m—n=—3,再将4巾+2n=2Z巾+2n=2?^-%代入即可得到答案.

【详解】解：卜一y=2^u①

Ix—2y=n（2）

①—②得：x+y=2m-n—1,

«•%+y=—4,

•••2m—n—1=—4,

'-2m—n=—3,

.•.4mq2n=22rn-2n=22?n-n=2-3=-

~~~-8'

故选：B.

题型05方程的整数解问题

21.（2022•广东揭阳・模拟预测）如果关于x,y的方程组[广匚3y=6的解是整数,那么整数小的值为（）

J（6%+my—26

A.4,-4,-5,13B.4,-4,-5,-13

C.4,-4,5,13D.-4,5,-5,13

【答案】B

【分析】先将小看作已知量，解二元一次方程组，用m表示出y,再结合x,y为整数，得出y的整数解，然

后把y的整数解代入①，得出方的解，再把方程组的整数解代入②，即可得出山的值.

【详解】解」，一"=震,

[6x+my=26@

由②X2一①X3,可得：y=就，

Vx,y为整数，

...当（2巾+9）为-34,-17,-2,-1,34,17,2,1时，y为整数，

...把（2m+9）的值代入y=可得：y=—1，y=—2,y=-17,y=—34,y—1,y=2,y=17,

y=34,

・••把y的整数解代入①，可得：%=|,%=0,%=—?,x=—24,%=£%=3,%=苧,x=27,

••方程组：26的整数解为「二_°2x=-24(x=3(x=27

y=-34'(y=2'[y=34

把方程组的整数解代入②，可得：m=-13,m=-5,m=4,m=-4.

故选：B

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含小的代数式表示y.

22.（19-20八年级上•重庆沙坪坝•期末）若二次根式我二元有意义，且关于x的分式方程4+2有正

1-xX-1

数解，则符合条件的整数机的和是（）

A.-7B.-6C.-5D.-4

【答案】D

【分析】根据二次根式二元有意义，可得m<2,解出关于x的分式方程F+2=2的解为x=噂，

1-xx-12

解为正数解，进而确定加的取值范围，注意增根时机的值除外，再根据，〃为整数，确定机的所有可能的整

数值，求和即可.

【详解】解：去分母得，—m+2（x—1）=3,

解得，乂=等

・•・关于x的分式方程三+2==有正数解,

•••等>0，

/.m>—5,

又・・5=1是增根，当％=1时,

等=1,即巾=-3

.".m*—3,

有意义,

2-m>0,

m<2,

因此一5<m<2且小中-3,

•••根为整数，

.•.根可以为-4,-2,-1,0,1,2,其和为-4,

故选：D.

【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理

解正数解，整数加的意义.

23.（2024•河北保定.一模）若关于x的方程mx+x=4的解是整数，写出一个满足条件的正整数机的值:

【答案】3（答案不唯一）

【分析】本题考查解一元一次方程，求出方程的解后，根据解为整数，写出一个满足条件的正整数，”的值

即可.

【详解】解：：mx+K=4,

解得：x=^~,

m+1

:方程的解为整数，

；.巾+1能被4整除，

当m=3时，x=1满足题意，

.•.正整数机的值可以为3；

故答案为：3（答案不唯一）.

24.（2024・辽宁•模拟预测）若关于x的一元二次方程（k-2）/—2x+2=0无实数根，则整数k的最小值

为.

【答案】3

【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知识，解题的关键

是掌握根的判别式.要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于。且根的判别式小于0,由此可求

出人的范围，再找出最小值即可.

【详解】解：二•关于x的一元二次方程（k-2）/-2x+2=0没有实数根，

:.k—2丰0且△=（—2）2-4（fc-2）x2<0,

解得kH2,k>l，

••/>1，

整数%的最小值是3,

故答案为：3.

题型06方程有解、无解问题

25.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）已知关于x的分式方程卫-2=工无解，则左的值为（）

x-33-x

A.fc=2或k=-1B.fc=-2C.k=2或k=1D.k=-1

【答案】A

【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键.先将分式方程去分

母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可.

【详解】解：去分母得，kx-2(%-3)=-3,

整理得，(fc-2)%=-9,

当k=2时，方程无解，

当k丰2时，令久—3,

解得k=-1,

所以关于无的分式方程与一2-无解时，卜=2或k=一1.

故选：A.

26.(2024•辽宁丹东•模拟预测)已知关于x的分式方程岑=a有解，贝必的取值范围是.

X+1

【答案】aH［且QW0

【分析】本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件.分式方程去分母转化为整式方程，表示

出分式方程的解，确定出。的范围即可.

【详解】解：分式方程去分母得：2a+l=a%+a,

整理得：ax=a+1,

当。=0时，方程无解，

•・•分式方程的增根是：%=-1,

把％=-1代入a%=a+1,得

—a=a+1,

解得：a=—I，

所以。的范围是且aWO.

故答案为：且aW0.

27.(2024・四川绵阳•二模)若关于x的分式方程公=1有解，且关于y的方程'2一2、+血=0有实数根，

则根的范围是.

【答案】m<1且THW0

【分析】本题考查了分式方程的解有意义的概念，一元二次方程实数根的判断，掌握求解的方法是解题的

关键.

根据分式有意义的情况得到X73,化简分式后代入即可得到小的取值，再根据一元二次方程根的判别式求

解即可.

【详解】解：—=1,化简得：x=3-m,

3-x

3—%0,即无。3,

/.3—m3,解得：m0,

Vy2-2y+m=0有实数根，

/.△=b2—4ac=（-2）2—4xlxm>0,

解得：m<l,

二・综上m<1且?nW0,

故答案为：血<1且7nH0.

28.（2021・上海・中考真题）若一元二次方程2/一3%+。=0无解，则c的取值范围为.

【答案】c>l

O

【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到△=（一3）2_4X2c<0,然后求出C的取值范围.

【详解】解：关于x的一元二次方程2/-3x+c=0无解，

•[a=2,b=—3,c=c,

/.△=b2—4ac=（-3）2—4x2c<0,

解得c>[

o

；.C的取值范围是c>:

o

故答案为：c>

o

【点睛】本题考查了一元二次方程加+6x+c=0（存0）的根的判别式△=/-4℃：当△>0,方程有两个不相

等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.

2

29.（2024.安徽六安.模拟预测）已知关于久的一元二次方程/_kx+k=3有解.

（1）当k=0时，方程的解为；

（2）若根是该一元二次方程的一个根，令y=-m2+km+k2,则y的最大值和最小值的和为.

—

【答案】%i-V3，x2—V32

【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点并灵

活运用是解此题的关键.

(1)当k=0时，则久2=3,再利用直接开平方法求解即可；

(2)根据原方程有解得出卜？<4,将ni代入方程得出一巾2+km=k2-3,从而得到y=-m2+km+k2=

2k2-3,求出y的最大值与最小值即可得解.

【详解】解:(1)当k=0时，则/=3,

解得Xi=V3,不=-V3,

故答案为：%i-V3,x2=-V3；

(2),关于万的一元二次方程/-fcx+fc2=3有解,

k2-4(k2-3)>0,

得卜2<4.

若m是该一元二次方程的一个根，则nt?-/cm+fc2=3,

得—巾2+km=k2—3,

y=—m2+km+k2=2fc2—3,

•••1的最大值为4,

.•.当1取最大值时，y取最大值，y的最大值为2x4—3=5.

的最小值为—3,

.••y的最大值和最小值的和为5+(—3)=2,

故答案为：2.

30.(2024九年级下•全国・专题练习)小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：一；+3=

X-2

1

2-x'

(1)她把这个数“？”猜成5,请你帮小华解这个分式方程；

(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是久=2,原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”

代表的数是多少？

【答案］⑴x=0

(2)-1

【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程

的分母为。的根增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可

求得相关字母的值.

(1)“？”当成5,解分式方程即可,

(2)方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将％=2代入即可解答.

【详解】(1)解：依题意，-^-+3=—

x-22-x

方程两边同时乘以0-2)得

5+3(%-2)=-1

解得久=0

经检验，x=0是原分式方程的解；

(2)解：设?为m,

方程两边同时乘以O-2)得

m+3(%—2)=—1

••"=2是原分式方程的增根，

.•.把x=2代入上面的等式得

m+3x(2—2)——1

m=—1

原分式方程中“？”代表的数是-1.

题型07已知分式方程的增根求参数

31.(2023•山东德州•模拟预测)己知关于x的分式方程三+1等标=2时出现增根，则机的值可能是

x-1(x-l)(x+2)x+2

()

A.-6B.-3C.-2D.1

【答案】A

【分析】本题考查分式方程有增根的情况.先将分式方程去分母后化为整式方程(皿+1)X=-5,根据原分

式方程有增根得到67-1,%=一一三，进而当x=-一，时，(X-1)(久+2)=0,求解即可解答

m+1m+1

【详解】解：方程两边同乘(％-1)(%+2),得2(%+2)+771%=%-1,

整理，得(血+1)%=-5,

・・,分式方程有增根，

*.m+1W0,即mH—1

・5

••X=---------,

m+1

•••分式方程有增根

当％=---二时，(汽—1)(%+2)=0,

m+l

即(----1)(--—+2)=0,

解得：m=-6或TH=|,

经检验，m=—6或m=|都是方程(—《7一1)(—^71+2)=0的解.

工机的值为一6或|.

故选：A

32.(2023・四川巴中・中考真题)关于X的分式方程把*=3有增根，则僧=

x-22-x

【答案】-1

【分析】等式两边同时乘以公因式(X-2),化简分式方程，然后根据方程有增根，求出x的值，即可求出山.

【详解】可+r=3,

x-22-x

解：方程两边同时乘以(x—2),得乂+??1+(-1)=30-2),

m=2%—5,

•••原方程有增根，

x—2=0,

.*.%=2,

Am=2x—5=—1,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根.

33.(2023・四川乐山・模拟预测)已知关于x的分式方程嚏+E=1.

x+2x2-4

(1)当TH=4时，解这个分式方程；

⑵若方程有增根，求相的值.

【答案】(1)%=4

(2)m=-8

【分析】本题考查了解分式方程，分式方程有增根的条件；

(1)按步骤：去分母，解方程，检验，进行解答，即可求解;

(2)化成整式方程，求出含有TH的解，由方程有增根得％=±2,即可求解；

掌握解分式方程的步骤及分式方程有增根的条件，并能将求出小的值进一步检验是解题的关键.

【详解】(1)解：方程两边同时乘以(％+2)(%-2)得

—2)+4=/—%

解得久=4,

检验：当％=4时，

(x+2)(%—2)

=(4+2)(4-2)

=8W0,

:•x=4是原分式方程的解.

(2)解：去分母得

x(x—2)+m=x2—4,

m+4

・••X=--，

2

・••方程有增根，

••.(%+2)(%—2)=0,

•••x=±2,

・m+4,0

•.x=-----=+2,

2一

解得血=0或一8,

当m=0时，

—=1,

x+2

整理得：2=0,矛盾；

.・.m=0舍去，

・•・m=-8.

题型08利用方程解的范围求参数的取值范围

34.(2022・四川德阳・中考真题)如果关于久的方程”=1的解是正数，那么m的取值范围是()

X-1

A.m>—1B.m<—1且TH-2C.m<—1D,m>—1且znW0

【答案】B

【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程

化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分

式方程的解.

【详解】解：：生子=1有正数解，

X-1

x—10,则％W1,

2x+m"

-1,

x-1

去分母，得，2%+TH=X-1,

移项合并，得，x=—1—m,

•.•方程W=1的解是正数，

X-1

.(—1—m>0

"t—1-m41'

解得：m<一1且zn丰-2,

故选：B.

35.(2023•江苏苏州•三模)关于x的一元二次方程/+(a+4)x+3a+3=0有一个大于一2的非正数根，那

么实数a的取值范围是.

【答案】—1Wa<l/l>a2—1

【分析】先计算△>0,再利用因式分解法解方程得/=-3,亚=一。—1，再根据题意得到-2<-a-l<0,

然后解不等式组即可.

【详解】解：根据题意，△=(a+4)2-4(3a+3)=(a-2)2>0,

解方程/+(a+4)x+3a+3=(x+3)(x+a+1)=0得x1=—3,x2=-a—1,

♦.•该方程有一个大于—2的非正数根，-3<-2,

—2<—CL—1<0,解得—1<Gt<1,

故答案为：—1<a<1.

【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式组，理解一元二次方程的解，

正确得到关于。的不等式组是解答的关键.

36.(2023•浙江杭州•一模)已知关于x的分式方程a+&=1的解是非负数，则m的取值范围是___,m=4

x-11-x

时，分式方程的解为.

【答案】m22且mH3x=2/2

【分析】本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解出分式方程，根据解是非负数求出血的取

值范围，再根据久=1是分式方程的增根，求出此时TH的值，得到答案再把4代入求出久=2,然后检验

即可，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键.

【详解】解：原方程去分母得：m-3=x-l,

解得：%=m-2,

・・,原方程的解是非负数，

m-2>0且zn—2W1,

解得：m>2且mW3；

当m=4时，x=4—2=2,

检验：当％=2时，％-2。0,

故此时原方程的解为％=2,

故答案为：m22且znW3；%=2.

37.(2023九年级•全国•专题练习)当机取何值时，关于x的方程|%-1=6m+5(%-m)的解是非负数？

【答案】m<-1

【分析】根据解的定义直接计算，非负即大于等于0.

【详解】|%—1=6m+5(%—m),

2

-x—5x=6m—5m+1,

3

13.<

-----x=m+1,

3

解得％=-^(m+1),

由题意得一((血+1)20,

m+1<0

解得m<-1.

【点睛】此题考查含参数的一元一次方程，以及一元一次不等式，解题关键是先求出解，然后对解进行运

算.

38.(2023•陕西西安・三模)已知关于x、y的二元一次方程组/17,它的解是正数.

(1)求机的取值范围；

(2)化简：-2|—(Vm+I)2—^/(m—I)2.

【答案】⑴一卷〈巾<9

(4-

—m,-----<m<1

(2)原式=159

2—3m,1<m<-

<5

【分析】(1)先解方程组，用含，”的式子表示出尤、》再根据方程组的解是一对正数列出关于根的不等式

组，解之可得；

(2)根据他的取值范围判断出巾-2,6+1与皿-1的范围，再根据绝对值的性质化简即可.

【详解】⑴解关于X、y的二元一次方程组「工北蓝上7,得."二3：不，

5

・••方程组的解是一对正数，

(4

3m+->0

3,

—m+->0

、5

解得一卷<m<^；

、4.Q

(2)--<m<-,

155

当—2<m<1时,

m—2<0,m4-1>0,m—1<0,

\m-2\—(Vm+I)2—J(Tn-l)2

=2—m—(m+1)—(1—m)

=2—m—m—1—1+m

=­m；

当1WTHVg时，

m—2<0,m+1>0,m—1>0,

|m—2|—(Vm+l)2—J(m—l)2

=2—m—(m+1)—(m—1)

=2—m—m—1—m+1

=2—3m.

【点睛】本题考查了二元一次方程组及解法、一元一次不等式组及解法.解题的关键是根据题意列出关于加

的不等式组及绝对值的性质.

39.(22-23九年级上•北京东城•期末)已知关于x的一元二次方程/+(1一2爪)％+爪2一机=0.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若此方程的两个实数根都是正数，求小的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)m>1

【分析】(1)根据一元二次函数的判别式，进行求解即可；

(2)首先根据十字相乘法解一元二次方程，得出力=血，x2=m-l,然后再根据题意：方程的两个实数

根都是正数，得出不等式组，解出即可得出结果.

【详解】(1)证明：在关于％的一元二次方程式2+(1—2m)%+血2—7n=0中，

*.*△=b2—4ac=(1—2m)2—4(m2—m)=1>0,

・・・方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：x2+(1—2m)x+m2—m=0

因式分解，可得：(x-m)(x-m+1)=0,

于是得：％—m=0或％-zn+1=0,

.\xr=m,冷=6—1，

・・・方程的两个实数根都是正数，

二可得：｛臂"，

—1>0

解得：m>1,

的取值范围为：m>1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、因式分解法解一元二次方程、解不等式组，熟练掌握一元二

次方程的解法及根的判别式是解本题的关键.

题型09根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围

40.(2024.山东泰安・中考真题)关于久的一元二次方程2/一3久+k=0有实数根,则实数k的取值范围是()

A.fc<—B.fc<—C.k2—D.k<—

8888

【答案】B

【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键.

根据一元二次方程有实数根的条件是△>0,据此列不等式求解即可.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程2/—3x+k=0有实数根，

；.△=（-3）2-4x2fc>0,解得k<

8

故选B.

41.（2024.黑龙江大兴安岭地.中考真题）关于x的一元二次方程（加一2）%2+4%+2=0有两个实数根，则

m的取值范围是（）

A.m<4B.m>4C.7nZ—4且mW2D.zn44且znW2

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程a/+族+。=0缶。0）的根的判别式△=

b2-4ac的意义得到m-2W0且4>0,即4?-4x（m-2）X2>0,然后解不等式组即可得到?n的取值范

围.

【详解】解：•・・关于工的一元二次方程（m-2）%2+4%+2=0有实数根，

・•・m-2W0且4>0,

即42-4x（m-2）X2>0,

解得：m<4,

・•.m的取值范围是771<4且772