反比例函数（压轴专练）（六大题型）含答案及解析

反比例函数压轴专练（六大题型）

题型1:存在性问题

1.如图，直线y=|x与双曲线＞=£（左HO）交于/,8两点，点/的坐标为（九-3）,点c是双曲线第一象

限分支上的一点，连接3c并延长交X轴于点。，且8c=2CD.

⑴求左的值并直接写出点8的坐标；

⑵点用、N是了轴上的动点（M在N上方）且满足比乂=1,连接MB,NC,求+九W+NC的最小值；

（3）点尸是双曲线上一个动点，是否存在点P,使得NODP=NDOB,若存在，请直接写出所有符合条件的P

点的横坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数了=-；尤+3与反比例函数了=^^>0)的图象交于点4(。,2),

3(4/)两点.

⑴求反比例函数的表达式；

⑵点C是第一象限内一点，连接/C,BC,使NC〃龙轴，3C〃y轴，连接CM,OB.若点P在V轴上，

且AOPN的面积与四边形。4cB的面积相等，求点P的坐标；

(3)在直线。3上有一动点"，过”点做y轴的平行线交反比例函数于点N,当以A/、N、B、C四个点为顶

点的四边形是平行四边形时，求N点坐标；

(4)在平面内是否存在两点X、Q,使得四边形48”。是矩形，且该矩形面积为15?若存在，请直接写出X

点坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，一条直线与反比例函数y=1的图象交于/(1,4)、3(4,")两点，与X轴交于。点，NCLx轴,

(1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求〃的值及。点坐标；

(2)如图乙，若点£在线段40上运动，连接CE,作/CE尸=45。，EF交4C于F点.

①试说明△CDES^EAF；

②当△£%为等腰三角形时，直接写出p点坐标.

424

4.如图1,在平面直角坐标系中，直线＞=71+12与双曲线歹=—-交于4B两点（点A在点3左边）,

3x

过4。两点作直线，与双曲线的另一交点为。，过5作直线49的平行线交双曲线于点C.

O

⑵如图2,点尸在V轴负半轴上，连接P8,交直线49于点E,连接C£、PA,且工9=不S谶虚，将线段

尸。在V轴上移动，得到线段PO'（如图3）,请求出的最大值；

⑶如图4,点”在x轴上，在平面内是否存在一点N,使以点。、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在,

请直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由.

题型2：动点问题

12

5.已知反比例函数了=一,直线4：了=履+加(左片0),直线人与反比例函数交于点/(a,4),B(-2,b),与X

X

轴交于点C.

(1)求直线4的解析式：

⑵过点C作X轴的垂线34上有一动点过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N,连接4/8V,求

4W+MV+A®的最小值和此时M点的坐标；

(3)在(2)问的前提下，当/"+MN+N8取得最小值时，作点〃关于x轴的对称点。在坐标轴上有一

动点尸，^ZPAC=ZQCA,求点尸的坐标，并写出其中一种情况的过程.

6.如图1,已知双曲线了=幺经过口/BCD的C、。两点，且点4-1,0),5(0,-2),C(2,2).

X

(1)求双曲线和直线DC对应的函数关系式；

(2)如图2,点P在双曲线了=上上，点。在y轴上，若以点A、B、P、。为顶点的四边是平行四边形，请

直接写出满足要求的所有点。的坐标；

⑶如图3,以线段研为对角线作正方形/尸点T是边肝(不含点A、尸)上一个动点，点M是HT

的中点，MNLHT,交AB于点、N.当T在"'上运动时，N77W的度数是否会变化？若会的话，请给出你

的证明过程.若不是的话，只要给出结论.

7.已知：如图，正比例函数〉=◎的图象与反比例函数了=幺的图象交于点力(3,2).

⑴试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

(2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

⑶是反比例函数图象上的一动点，其中0<%<3,过点Af作直线A®〃x轴，交V轴于点8；过点

A作直线/C||y轴，交x轴于点C,交直线”3于点。.当四边形04DM的面积为6时，请判断线段9与

DM的大小关系，并说明理由.

题型3：旋转问题

8.如图①，一次函数必=2x+4的图像交反比例函数％=竺图像于点A,B,交x轴于点C,点3为

X

（1,加）.

(2)如图②，点”为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数％=2x+4图像

于点N,连接9,若A3MM是以为底边的等腰三角形，求ABMN的面积；

(3)如图③，将一次函数必=2x+4的图像绕点C顺时针旋转45。交反比例函数%=%图像于点。，E,求

X

点石的坐标.

9.已知反比例函数〉=一的图象经过点4(4,3),且与一次函数V='+〃的图象在同一坐标系中.

x

⑵如图2,当直线V=x+〃经过点/时，它与反比例函数了=匚的另一个交点记为2,在〉轴上找一点

X

使△K48的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值；

⑶如图3,点尸是反比例函数图象上4点左侧一点，连接北，把线段的绕点/逆时针旋转90。，点P的

对应点。恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标.

题型4：新定义题

10.在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点•如图，已知双曲线>=«Q>0）经过

X

点/（2,2）,在第一象限内存在一点8（加,“），满足加〃＞4.

⑴求左的值；

（2）如图1,过点8分别作平行于x轴，V轴的直线，交双曲线＞=勺》＞0）于点C、D,记线段2C、BD、双

曲线所围成的区域为少（含边界），

①当加="=4时，区域少的整点个数为；

②当区域少的整点个数为4时，3点横坐标满足3＜4,直接写出纵坐标〃的取值范围：；

③直线V=ax-5“+4（。＞0）过一个定点，若点8为此定点，

问题1：B(,)；

问题2：这条直线将少分成两部分，直线上方（不包含直线）的区域记为小,直线下方（不包含直线）的区域记

为名,当少1与%的整点个数之差不超过2时，求。的取值范围.

11.如图，直线＞=-%+6与双曲线歹=&相交于A,5两点，点A坐标为（-2,3）,点8的坐标（见-2）,点?

x

是X轴负半轴上的一点.

⑴分别求出直线和双曲线的表达式；

(2)连接M3,BP,0A,OB,若%网=45叔。8,求点尸的坐标；

(3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做"美丽四边形在(2)的条件下，平面内

是否存在点0,使得以A,B,P,。为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出。点的坐标；

若不存在，请说明理由.

题型5：情景探究题

12.【发现问题】

小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形•那么，面积为定值的矩形中，其周长的

取值范围如何呢？

【解决问题】

小明尝试从函数图象的角度进行探究:

6

5

4

3

2

1

-3oTTTTTT^

(1)建立函数模型

4

设一矩形的面积为4,周长为加，相邻的两边长为x、J,则孙=4,2(x+y)=机，即了=一，

T=-x+p那么满足要求的(xJ)应该是函数了=。与了=-工+三的图象在第象限内的公共点坐标.

(2)画出函数图象

4

①画函数＞=—(x＞0)的图象；

X

②在同一直角坐标系中直接画出了=一工的图象，则＞+£的图象可以看成是由y=-x的图象向上平移

个单位长度得到.

(3)研究函数图象

平移直线了=-》，观察两函数的图象；

①当直线平移到与函数了=?(尤＞0)的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为，周长加的值

尤

为:

②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长加

的取值范围.

【结论运用】

(4)面积为10的矩形的周长加的取值范围为.

13.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的

过程.结合已有经验，请画出函数)=面一国的图象，并探究该函数性质.

(1)绘制函数图象

①列表：下列是X与J的几组对应值，其中。=:

X......-5-4-3-2-112345......

y......-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8......

②描点：根据表中的数值描点(X/),请在下图中描出点;

③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象：

6II

请写出函数>二词一国的两条性质：_____________________________________________

(3)运用函数图象及性质

①写出方程;|一国=5的解；

②写出不等式j-Wv1的解集;

③写出不等式与fTX>T的解集.

14.在图形的变换中，对称是一种常见的全等变换，我们需要掌握如何画对称点以及对称图形，并能求出

一些对称点的坐标以便帮助我们解决相关问题。

(1)图①中点A关于，轴的对称点H的坐标是:

【理解运用】

(2)如图③所示，直线4：y=3x,直线，2：y=x+2,请画出直线4关于直线4的对称直线并求出该直线的

关系式；

【拓展提升】

(3)①已知函数G：了=：(x>0)关于直线y=3x的对称图象为G，直线/：>=x+2与G相交于点A、点、B,

点尸是直线下方G图象上一个动点，请求出△尸48面积的最大值：

②若将第①问中的V=3x改成了=履(左>0),已知点“卜点,血)，点N(后，-夜)，点。(1,1)是函数图象

£:y=>0)上的一点,当k变化时，点。关于直线y=kx(k>0)的对称点0'也在不断变的运动路径和直

线"N围城的区域记为少，请画出点”到点N的最短路径并求出轨迹长.

(说明：路径只能在直线右上方画，且不能穿过少区域)

题型6：反比例函数的实际应用

15.综合与实践

如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块/BCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木

栏围住，木栏总长为am,

A

B

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若a=10,能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：

O

设45为由，3c为冲.由矩形地块面积为8m2,得到少=8,满足条件的(x,y)可看成是反比例函数y=1

的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m,得到2x+y=10,满足条件的(x/)可看成一次函数

y=-2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(xj)就可以看成两个函数图象交点的坐

标.

Q

如图2,反比例函数y=\(x>0)的图象与直线4：y=-2x+10的交点坐标为(1,8)和,因此，木

栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=lm,5C=8m；或48=m,BC=

(1)根据小颖的分析思路，完成上面的填空.

【类比探究】

(2)若a=6,能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.

【问题延伸】

当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=-2x+”.发现直线y=-2x+a可以看成是直线y=-2x通过

Q

平移得到的，在平移过程中，当过点（2,4）时，直线y=-2x+a与反比例函数>=?x>0）的图象有唯一交点.

（3）请在图2中画出直线了=-2x+a过点（2,4）时的图象，并求出“的值.

【拓展应用】

Q

小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=-2x+”与了=2图象在第一象限内交点的

X

存在问题”.

（4）若要围出满足条件的矩形地块，且N8和3c的长均不小于1m,请直接写出“的取值范围.

16.某果农今年试种了一种新品种的水果，5月份开始上市.根据其它相似产品的销售经验，若设该水果上

市第t天的销售单价为（元/千克），则与之间满足如下关系：

t123456

P（元/千克）1206040302420

而该水果每天的销售量(千克)与t之间满足的函数关系如下图所示:

(1)猜想销售单价P与，之间满足我们学过的哪种函数关系？并直接写出销售单价P与f之间的函数关系式

(不必写出自变量取值范围)；

(2)求每天的销售量s(千克)与f之间的函数关系式，并求上市第几天销售量最大，最大销售量是多少千

克？

(3)当每天的销售收入低于600元时，该水果将失去生产销售的价值.该水果最只能上市销售几天？最低销

售单价是多少元？(销售收入=销售单价Px销售量S)

(4)当每天的销售量不低于200千克时，这种水果的最低售价是多少元？

17.为了探索函数〉=x+L(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法，列表:

X

(1)如图1,观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象;

⑵己知点(再,%),(%,%)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：

右0<X]<工2W1,贝|J弘%；右1<X]<工2，贝U必%；(填“

(3)某农户积极响应厕所改造工程，要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1

米.已知下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水

池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元.

①请写出〉关于x的函数关系式；

②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？

反比例函数压轴专练（六大题型）

题型1:存在性问题

1.如图，直线y=|x与双曲线＞=£（左HO）交于/,8两点，点/的坐标为（九-3）,点c是双曲线第一象

限分支上的一点，连接3c并延长交X轴于点。，且8c=2CD.

⑴求左的值并直接写出点8的坐标；

⑵点用、N是了轴上的动点（M在N上方）且满足比乂=1,连接MB,NC,求+九W+NC的最小值；

（3）点尸是双曲线上一个动点，是否存在点P,使得NODP=NDOB,若存在，请直接写出所有符合条件的P

点的横坐标.

【答案】⑴左=6,5（2,3）；

(2)1+765;

（3）点P的横坐标为：4-2^5,4+273,4-273

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的性质与判定；

（1）运用一次函数与反比例函数的交点坐标即可求解；

（2）根据BC=2CD,求得点C的坐标，再把将军饮马模型在坐标系中直接运用，根据勾股定理求解即可;

（3）根据题意画图分析，根据平行求相关函数关系式，再求两条线的交点解方程组，即可得解.

【解析】（1）解：根据题意可知点4冽，-3）在直线y=a和双曲线歹=k?左W0）的图象上，

3

2加=一3,角星得m=-2,

：.点A的坐标为（-2,-3）,代入双曲线歹=勺后/0）得：

k=(-2)x(-3)=6,

由图象可知点5与点A关于原点对称,

.•.2(2,3)；

(2)过点8、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F,作点8关于y轴的对称点点夕，并向下平移一个

单位记为5",连接"C,

y/k

则AE〃CF,=

:.ADCFS^DBE,

.CFDC

vBC=2CD,5(2,3),云(-2,3),3〃灰2,2),

DC1clc

••---=—,BE=3,

DB3

：,CF=\,即点。的纵坐标为1,

・••点c在反比例函数y=9的图象上，

X

•••C(6,1),B"C=^(2-1)2+[6-(-2)]2=J1+64=病，

.•.八"+九亚+阳的最小值即为8'8"+丁。=1+而；

(3)当=时，当。尸在x轴下方时，DP//AB,

设直线BC的解析式为y=kxx+b,

由(2)可知：5(2,3),C(6,l),

2左+6=3k=­

解得।}2

6k+b=\

xb=4

y=—x+4,

2

当y=0时，一gx+4=0,解得x=8,

3

DP//AB,直线力B的解析式为y=

3

•••设直线DE的解析式为y=-x+n,

把。(8,0)代入得：12+〃=0,

n=—12,

y——x—12,

2

由尸是直线DE与反比例函数的交点可得：

3-

y=-x-\2

V2解得石=4+2百X2=4-2A/5,

y=-

lx

此时点尸在第三象限，西=4+2右不符合题意,

当。尸在x轴上方时，则与下方的D尸关于x轴对称,

3

可得直线DP的解析式为：y=--x+12,

3

y=——x+12

/得士=4+2#,

联立x2=4-2-s/3,

6

y=-

X

此时点尸在第一象限，两个都符合题意,

，点尸的横坐标为：4-2百4+2后,4-.

1k

2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=-5》+3与反比例函数y=((x>0)的图象交于点/(。,2),

8(4,6)两点.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)点C是第一象限内一点，连接4C,8C,使/C〃龙轴，8C〃y轴，连接CM,OB.若点尸在V轴上，

且AOPA的面积与四边形OACB的面积相等，求点P的坐标；

(3)在直线08上有一动点M,过M点做y轴的平行线交反比例函数于点N,当以M、N、B、。四个点为顶

点的四边形是平行四边形时，求N点坐标；

(4)在平面内是否存在两点〃、0,使得四边形是矩形，且该矩形面积为15?若存在，请直接写出〃

点坐标；若不存在，请说明理由.

4

【答案】(1)»=—(x>0)

x

(2)(0,4)或(0,-4)

(4)存在，〃(7,7)或。,-5)

【分析】(1)根据点4。,2),5(4,6)在一次函数了=-3》+3的图象上求出。、6的值，得出A、B两点的

坐标，再运用待定系数法解答即可;

(2)延长C/交V轴于点E,延长CB交x轴于点尸，构建矩形OECF,根据

S四边形WCfi=S矩形OECF-S^OAE~S^OBF，设点尸(0,⑼，根据反比例函数的几何意义解答即可；

(3)先求出直线的函数关系式为y="x,设再分为当点M在线段。8延长线上时及当点M

在线段上时，两种情况进行分类讨论求解即可；

(4)分为当点打在直线N3的上方时及当点8在直线的下方时，两种情况分类讨论求解即可.

【解析】(1)解：.••点4%2),仅4,6)在一次函数歹=-3》+3的图象上，

—a+3=2,b=—x4+3,

22

..〃=2,Z?—1,

・••点A的坐标为(2,2),点§的坐标为(4,1),

又•.♦点/(2,2)在反比例函数y=±的图象上，

X

「"=2x2=4,

4

・••反比例函数的表达式为>=-(x>0)；

x

(2)解：延长。1交V轴于点延长。5交x轴于点厂，

•・・4C〃x轴轴,

则有轴，(/，工轴，点。的坐标为(4,2)

二•四边形OECF为矩形，且C£=4,C尸=2,

一S四边形0/C3=S矩形0反尸—S^OAE-S^OBF

=2x4——x2x2——x4xl

22

=4,

设点P的坐标为(0,m),

则S0p=gx2・|加|=4,

m=±4,

二点尸的坐标为(0,4)或(0,T).

(3)解：设直线。2的函数关系式为〉=。丫,

••,点3的坐标为(4,1),

•.4P=1,

1

•••直线的函数关系式为N=Jx，

4

设,

如图，当点M在线段08延长线上时,

••・以M、N、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形,

MN〃BC且MN=BC,

4

由可得

•••点。的坐标为(4,2),点8的坐标为(4,1),

：.MN=BC=\,

141

-t—=I,

4t

解得：/=26+2或/=-26+2（舍去）,

当点M在线段05上时，

4I,

------1=I,

t4

解得：”2百-2或/=-2百-2(舍去),

(4)解：存在，

如图，当点H在直线的上方时,

过点〃作交的延长线于点凡

•・•点A的坐标为(2,2),点3的坐标为(4,1),

AB=V22+l2=V5，

•.•矩形45"。面积为15,

=15,即退3"=15,

:.BH=3指,

•.•四边形是矩形，

:"ABH=NACB=ZBRH=90°,

ZCAB+ZABC=90°,AABC+ZRBH=90°,

NCAB=2RBH,

:ACABS^RBH,

*-A-C--_B__C_---A-B-

-BR-RH-BH，

,2_1V5

一BQRH_36

:.BR=6,RH=3,

.•・”（7,7）；

当点、H在直线AB的下方时，

则点H与点（7,7）关于点3对称，

设加,〃），

m+7,〃+7y

/._=4,一=1,

:.m=\,n--5,

综上所述，〃（7,7）或（1,-5）.

【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及与几何结合问题，涉及的知识有：直线与坐标轴

的交点，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性质与判定及相似三角形的判定与性质，

作出恰当的辅助线是解本题的关键.

3.如图，一条直线与反比例函数〉=:的图象交于4（1,4）、*4,〃）两点，与x轴交于。点，轴，

（2）如图乙，若点E在线段4。上运动，连接CE,作/CE尸=45。，EF交4c于F点.

①试说明ZXCDES^EAF；

②当△ECF为等腰三角形时，直接写出尸点坐标.

【答案】⑴①了二：，②〃=1,。（5,0）

⑵①见解析；②。,2）或（1,4）或（1,8-4夜）

【分析】（1）①把/的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得函数的解析式，②根据反比例函数的解析

式，求得8的坐标，即可得到〃的值，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式，进而求得与x轴的

交点。的坐标；

（2）①根据题意易证A/CD是等腰直角三角形，利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得；②分

。/=位,即=/。,即=以三种情况，利用等腰三角形的性质，即可求得CF的长，则尸的坐标可以求得.

【解析】（1）解：①把/（1,4）代入y得：4=1,

解得：k=4,

4

则反比例函数解析式是：＞=—；

44

②把％=4代入歹=一得：〃=：=1,

x4

.*.5(4,1),

设直线48的解析式为v=,

把4(1,4)、2(4,1)代入-凡+%得：I=4《+6'

[k'=—\

解得：入＜，

[b=5

则直线N3的解析式是：y=-x+5,

令V=0,解得：x=5,

则。的坐标是：0(5,0)；

(2)解:①•••/(l,4),D(5,0),/C，x轴，

CD=AC=4,

9：ACLCD,

工NCAD=NCDA=45。,

又•；/FEC=45。,

：.ZAFE=ZACE+ZFEC=ZACE+45°,/DEC=/ACE+ACAD=ZACE+45°,

・•・ZAFE=/DEC,

：./\CDEs△区4尸，

②・・・△EC厂为等腰三角形分三种情况.如图乙：

图乙

当CF=CE时，ZCEF=ZCFE=45°,

又,:ZCAB=45°,

・・・4,尸重合，则尸的坐标是(1,4)；

当£尸=FC时，NFCE=ZCEF=45°,

•••CE是等腰直角^ACD的角平分线，

是3的中点，ZFEC=ZECD=45°,

：.EF//CD,

二尸是NC的中点,

CF=1,

尸的坐标是：（1,2）；

③当£F=C£•时，

/\CDES&EAF,

ACDE=^EAF,

：.CD=EA=4,

■：AD=y/CD2+AC2=472

DE=AF=AD-EA=442-4

；.CF=^C-T1F=4-（4V2-4）=8-4V2,

的坐标是：（1,8-4收）.

综上，点尸的坐标为：（1,2）或（1,4）或0,8-4后）.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形相似的判定条件坐标与图

形，等腰三角形的存在问题，综合性性强.

424

4.如图1,在平面直角坐标系中，直线＞=彳、+12与双曲线歹=-一交于45两点（点A在点5左边），

3x

过4。两点作直线，与双曲线的另一交点为。，过5作直线49的平行线交双曲线于点C.

（1）则点A坐标为点3坐标为并求直线8C的解析式；

Q

（2）如图2,点P在V轴负半轴上，连接P8,交直线49于点E,连接CE、PA,且=77s弱虚，将线段

R9在〉轴上移动，得到线段尸‘。'（如图3）,请求出|尸'8-。'0的最大值;

⑶如图4,点/在x轴上，在平面内是否存在一点N,使以点C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在,

请直接写出符合条件的N点坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（-6,4）,（-3,8）,y=-jx+6

⑵

（3）点N的坐标为（10,-6）或（12-2跖2）或（12+2跖2）或（0,-2）

4-

y=—x+12

3

【分析】（1）联立方程组24即可得出点45的坐标，利用待定系数法先求出直线的解析式,

V=-----

Ix

再求出的解析式即可；

（2）设尸（0,。），先表示出，再求出％CE=45,结合S.BU^SABCE，求出。=-4,从而得

出尸（0,-4）,将点5向上平移4个单位长度，得到点与（-3,12）,设点用、巴关于了轴对称，则鸟（3,12）,

连接。当并延长交y轴于点。，即可得解；

（3）设M（见0）,N（s,t）,分三种情况：当CD为对角线时，当CO为边时，菱形为CZ）MN时，当CD为边

时，菱形为CD7W时；分别利用菱形的性质结合勾股定理求解即可.

4

y=—x+12

3

【解析】（1）解：联立方程组24,

y=—

IX

:点A在点8左边，

.•.4(-6,4),5(-3,8),

设直线AO的解析式为y=kx(k丰0),

将”(-6,4)代入解析式得：-6左=4,

解得：k=j

2

...直线ZO的解析式为y=

BC〃OA,

2

设直线2C的解析式为：y=--x+b,

将2(-3,8)代入解析式得：一：义(-3)+6=8,

解得：6=6,

2

直线3C的解析式为：v=-jx+6；

(2)解：•.•点A、。关于原点对称，A(-6,4),

D(6,—4),

:点P在V轴负半轴上，

设尸(0,。)，

令直线A5交了轴于尸，

4

在y=§x+12中，当x=0时，y=i2,即厂(0,12),

PF=12—a,

1x13

SA*BP=S.APF—S.BPF=~(12-a)x6--x(12-a)x3=18--a,

2,

y=——x+6

-3

联立

24

y=—

X

解得:

：.C(12,-2),

：•BC=^[12-(-3)]2+(-2-8)2=5岳，

作。G_L8C于G,连接CD、BD,则BD=J(-3-+[8-(-4)了=15,C£>=^(12-6

由勾股定理得：BG7BD?-DG?=」225-/，CG=y/CD2-DG2=740-A2>

■:CG+BG=BC=5岳,

J225-为2+,40-/=5713，

解得：h兽叵（负值舍去）,

13

.八厂_18后

13

BC〃CU,

.c1D厂八厂1</7718V13

・・S=—BC,DG=—x57、Jx--------=45,

△BCE2213

•S^PAB=百^/\BCE，

38

A18——Q=—x45,

215

解得：a=-4,

・・・P(0,—4),则OP=4,

如图，将点3向上平移4个单位长度，得到点耳（-3,12）,则8用=P。=4=户。，则34。下为平行四边形,

P'B=O'Bl,

设点与、鸟关于y轴对称，则与（3,12）,连接。坊并延长交y轴于点O,

/.\P'B-O'D\=\O'B}-O'D\=\0'B2-。到的最大值为DB2=J(6-3『+(-4-12『=屈；

(3)解:由(2)可得：C(12,-2),D(6,-4),

设M(加,0),Ng),

•.•以点GD、M、N为顶点的四边形是菱形，

12+6=加+s

.♦.当CD为对角线时，-2+(-4)=0+/,

-12)2+[?-(-2)]2=^(5-6)2+\t-(-4)]2

加=8

解得：＜s=10,即N(10,-6),

t=-6

12+机=6+5

当CQ为边时，菱形为时，1-2+0=-4+，

J(s-12)2+[,一(一2)]=J(S—加)2+«_0)2

加=6+2y/6m=6—2^6

解得：卜=12+26或卜=12—2而，即N02+2后,2）或N02—2指,2）；

t=2t=2

12+5=6+m

当CQ为边时，菱形为CDW时，《-2+£=-4+0

m=6Im=18

解得：＜s=o或r=6（不符合题意，舍去），即N（0,-2）；

n=—2[〃=-2

综上所述，点N的坐标为（10,-6）或卜2-2跖2）或（12+2跖2）或（0,-2）.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理、

菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键.

题型2：动点问题

12

5.已知反比例函数了=一,直线4：y=h+加化70）,直线人与反比例函数交于点/（a,4）,8（-21），与苫

X

（1）求直线4的解析式；

⑵过点C作无轴的垂线4，4上有一动点过点M作y轴的垂线段与夕轴交于点N,连接8V,求

AM+MN+NB的最小值和此时M点的坐标；

（3）在（2）问的前提下，当/〃+九W+N5取得最小值时，作点〃关于x轴的对称点。在坐标轴上有一

动点P,^ZPAC=ZQCA,求点尸的坐标，并写出其中一种情况的过程.

【答案】（l）y=2x-2

（2）/M+ACV+8N的最小值为2回+1；

⑶（3,0）或\g，o］或卜j

【分析】（1）利用反比例函数解析式求出/、2坐标，再利用待定系数法求出直线人的解析式即可；

（2）先求出点C的坐标，进而求出点M的横坐标，则MN=1；如图所示，过点3作

BH//MN,BH=MN,连接AH,则证明四边形是平行四边形，得至1］氏¥=〃腹，

则当/、m、X三点共线时，+有最小值，即此时++有最小值，最小值为/〃+1,利

57

用勾股定理得到4f7=2a,则/M+儿W+3N的最小值为2亚'+1；求出直线解析式为》=5才-5,

进而可得M0T）；

（3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到0（1,1）,如图3-1所示，当点P在x轴上

时，则C0〃2P,可得4P〃了轴，则点P的坐标为（3,0）；

如图3-2所示，在直线C0上且在点0上方找一点K,连接/K使得/K=CK,设K（1J）,由勾股定理得到

（l-3）2+（Z-4）2=Z2,解方程得到小岛，同理可得直线/K解析式为y=：x+：,则直线广。与x轴,

y轴分别交于卜：,0；/,£（，由等边对等角得到NHC=/0C4,则当点尸在射线/K（不包括/）上

时都满足题意，再由尸在坐标轴上，可得点尸的坐标为或卜彳）.

121212

【解析】（1）解：在歹=一中，当y=—=4时，x=3；当x=-2时，y=—=-6,

XXX

；./(3,4),5(-2,-6),

3左+加=4

把4（3,4）,8（-2,-6）代入了=丘+加优片0）中得:

-2k+加=-6

k=2

解得

m=-2,

・・・直线4的解析式为片27；

(2)解：在y=2x-2中，当y=2x-2=0时，x=l,

,直线4轴，

点M的横坐标为1,

：Wy轴，

：.MN=l；

如图所示，过点、B作BH〃MN,BH=MN,连接MHAH,则H（-l,-6）,

四边形是平行四边形，

BN=HM,

,AM+MN+BN=AM+HM+\,

.•.当/、M、〃三点共线时，+有最小值，即此时4W+MN+8N有最小值，最小值为/〃+1,

•.•/(3,4),7/(-1,-6),

；•AH=J(-l-3『+(-6-4)2=2回,

：./M+MV+3N的最小值为2回+1；

设直线AH解析式为y=kxx+bx,

3kl+4=4

把/(3,4),“(-1,-6)代入y=《x+4中得:

-左+4=-6

解得，

4=—

[2

57

...直线/"解析式为y=,

57

在〉=—x-不中，当x=l时，、=-1,

-22

(3)解；由(2)知

•.•点〃■与点0关于原点对称，

.1.2(1,1),

VC(1,O),

.•.CQ〃y轴，

如图3-1所示，当点尸在X轴上时,

NPAC=ZQCA,

/.CQ//AP,

，AP//y^,

：/（3,4）,

点尸的坐标为（3,0）；

如图3-2所示，在直线C。上且在点。上方找一点K,连接/K使得NK=CK,

设K（l,/）,

（1-3）2+（1-4）2=/,

解得/=:，

同理可得直线4K解析式为y=3+7—,

44

373777

在歹:中，当歹=:1+:=0时，x=—；；当x=0时，y=-,

444434

二直线y=3+：与X轴，了轴分别交于1o,j,

AK=CK,

:.NKAC=NKCA,即/gC=/QC4,

当点P在射线NK（不包括N）上时都满足题意，

又：尸在坐标轴上，

二点p的坐标为或

综上所述，点尸的坐标为(3,0)或卜：,0)或(0,：).

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等边对等角,

一次函数与几何综合，坐标与图形变化一轴对称等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

6.如图1,已知双曲线了=&经过口/BCD的C、。两点，且点4-1,0),3(0,-2),C(2,2).

(1)求双曲线和直线DC对应的函数关系式；

(2)如图2,点尸在双曲线了=勺上，点0在y轴上，若以点A、B、P、。为顶点的四边是平行四边形，请

直接写出满足要求的所有点。的坐标；

⑶如图3,以线段为对角线作正方形点T是边相(不含点A、尸)上一个动点，点/是5

的中点，MNLHT,交AB于点、N.当T在加上运动时，/7W的度数是否会变化？若会的话，请给出你

的证明过程.若不是的话，只要给出结论.

4

【答案】(1)反比例函数的解析式为^=一；直线。。的函数关系式为丁=-2X+6

⑵满足要求的所有点。的坐标为：0(0,6)、。(0,-6)、2(0,2)

(3)/7W的度数不会变化，等于45。

【分析】(1)