等差、等比的性质应用十六大题型-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题26等差、等比的性质应用十六大题型汇总

anil

题型1等差中项..................................................................1

题型2等比中项..................................................................5

题型3下角标和性质.............................................................9

题型4单调性问题...............................................................12

题型5最大项与最小项问题.......................................................17

题型6等差数列前n项和的性质1.................................................22

题型1等差数列前n项和的性质2.................................................27

题型8等差数列前n项和的性质3.................................................30

题型9等差数列前n项和的性质4.................................................32

题型10等差数列前n项和最值问题...............................................37

题型11等差数列Sn>0,Sn<0问题..................................................41

题型12等比数列中Sn>S2n>$而的考察...............................................44

题型13等差等比奇偶项问题.....................................................48

题型14最值问题................................................................53

题型15取值范围问题............................................................59

题型16数列不等式能成立恒成立问题.............................................63

iQnai

题型1等差中项

型重点

等差中项的基本运用：

⑴若a,A,6成等差数列，则)=?；

⑵若/=(,则。，46成等差数列.

综上/是：a,b的等差中项

【例题11(2023秋新疆巴音郭楞•高三校考开学考试)记外为等比数列{an}(an>0)的前n

项和，且。逆3=16,2S1、|52、S3成等差数列，则$6=()

A.256B.254C.128D.126

【答案】D

【分析】根据2Si、|52、S3成等差数列求出数列｛斯｝的公比，利用等比中项的性质可求得。2

的值，进而可求得由的值，利用等比求和公式可求得56的值.

【详解】因为2S1、乳、S3成等差数列，即3s2=2S1+S3,即S3—S2=2(S2—SI),即=2

所以，等比数列5｝的公比为q=2=2，

因为｛即｝是每项均为正数的等比数列,由等比中项的性质可得。2=后近=4,则臼=半=2,

因此，56=答4=号孕=126.

1—Q1—2

故选：D.

【变式1-1]1.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习)已知数列｛斯｝

是等差数列，也｝是等比数列，且即+如，。3+如，。5+孤成等差数列,则甯=

()

A.；B.|C.2D.4

【答案】C

【分析】依题意可得如，第3,题为常数数列，即可求出q2,再根据等比中项的性质计算

可得.

【详解】因为回J是等比数列，所以61阮=据，所以01)・仁65)=0匕3)2,

所以如，＞3,第5成等比数列，

因为｛即｝是等差数列，所以臼,。3,。5成等差数列，

a

又+|foi,a3+和3/5+第5成等差数列,

所以孤，就是等比数列也是等差数列，

所以如，＞3,孤是常数列,

即3h=%3=第5,所以q2=2,因此智2qnqZnZ.

故选：C

【变式1-1】2.（2018・北京•高三强基计划）已知实数a,b,c成公差非0的等差数列，

在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-3,2）,点N的坐标为（2,3）.过点P作直线

ax+by+c=0的垂线，垂足为点M,则M,N间的距离的最大值与最小值的乘积是（）

A.10B.6V2

C.4V2D.前三个答案都不对

【答案】A

【分析】由题设可得点M的轨迹是以PQ为直径的圆，故可求MN的最值，故可求它们的乘

积.

【详解】直线a%+by+c=0中a,b,c成等差数列即直线s+by+c=0恒过点

<2（1,-2）,

故|CN|=3V2,于是所求最大值与最小值之积为5鱼xV2=10.

故选：A.

【变式1-1】3.(2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知数列｛斯｝中，

«2=2,当九23时，an_1)|an,ay2成等差数列.若。2022=m那么+•••+(22021=

()

A.k.B.k—1C.2fcD.k—2

【答案】D

【分析】依题意可得数列｛an｝的递推关系厮=1+^n—2i再一代入即可求解.

【详解】当nN3时，昨1,|a„,a计2成等差数列，则与=an-i+昨2,

由于。2=2,则。3+a5H+<Z2021=(。2++…+«2021)-2=。2022一2=k—2,

故选：D.

【变式1-1】4.(2023・全国•高三专题练习)已知等差数列｛即｝的首项与公差d均为正数,

且1g%Iga?,炮。6成等差数列,则31,lga3,恒。6的公差为()

A.IgdB.lg|C.lg|D.Ig3d

【答案】C

【分析】根据Igai,lga3,坨。6成等差数列直接列式，求出国和d的关系，进而求出结果.

【详解】因为｛6｝是公差为d的等差数列，所以a3=ai+2d"6=ai+5d,

因为Igai，lga3，lga6成等差数列，所以2哂=lg«i+lga6=lg(ai«6),

所以屏=。1。6,即(由+2d尸=。式的+5d),所以aid=4d2,

又因为d>0,所以ai=4d,

则蛔3-Igai=lg(6d)-lg(4d)=lg|,

故选：C.

【变式1-1】5.(2023•全国•高三专题练习)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,若a,b,c成等差数列，则cosB的最小值为

【答案】|/0.5

【分析】根据等差中项得到2b=a+c,由余弦定理得到cosB=蓼-1,根据26=a+c结合

基本不等式求出cosB的最小值.

【详解】由题意得2b=a+c,

由余弦定理得cosB=年=…蒙J'=£-1，

因为26=a+c,由基本不等式可得炉=用=号叱2号竺=四，

当且仅当a=c时，等号成立，

故cosB=g-l>gf-l=|,所以cosB的最小值为今

故答案为：|

题型2等比中项

、1,

#塾重点4I

等比中项：

(7)由等比中项的定义可知:=，=金=成今G=士向，所以只有a,6同号时，a,6的等

比中项有两个，异号时，没有等比中项；

(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项侑穷数列的末项除外)都是它的前一项和后

一项的等比中项；

⑶a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0)。

【例题2】(2023秋•江西南昌・高三南昌市外国语学校校考阶段练习)已知正项等差数列｛即｝

和正项等比数列｛bn｝,即=九=1,仇是。2"6的等差中项，。8是出，仇的等比中项，则下列关

系肯定成立的是()

A.做<力2B.。1024=^11C.。4>力4D.。10。=610

【答案】B

【分析】根据条件建立方程组，求解基本量公差、公比，再根据通项公式依次判断选项即可.

【详解】设等差数列公差为d(d>0),等比数列公比为q(q>0),且由=历=1,

由是。2，。6的等差中项，得。2+。6=2》3,

则有1+d+1+5d=2q2,化简得1+3d=q2①，

2

由。8是匕3/5的等比中项，得=b3b5=b4,

又已知正项等差数列｛斯｝和正项等比数列｛'｝，

所以。8=0，则有l+7d=q3②,

联立①②解方程组得，上二笺(舍去)，或器;，或器;.

故斯=凡bn=2"-1或即=6=1.

当即=6n=l时，可知AC错误,BD成立;

n

当0n=zi,bn=2-i时，

9

aioo=100,Z)10=2=512,aiOo*b10,故D错误.

又的024=1。24力11=21°=1024,B也成立,

故选：B.

【变式2-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知｛an｝是公差为3的等差数列，其前n项的

和为Sn,设甲：｛即｝的首项为零；乙：$2+3是Si+3和S3+3的等比中项,则()

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】由等差数列的性质和等比中项的性质求出的,再由充分条件和必要条件的定义即可

得出答案.

【详解】由｛而是公差为3的等差数列，可知S1+3=%+3忌+3=2al+6,S3+3=3al+12.

2

若S2+3是Si+3和S3+3的等比中项,则（2臼+6）=（即+3）（3fll+12）,

解得即=0或。1=-3（舍去，因为此时Si+3=$2+3=0）,

故52+3是Si+3和S3+3的等比中项能推出｛an｝的首项为零，

若｛6｝的首项为零，即由=0,由｛册｝是公差为3的等差数列，

则an=3（n-l）=3n—3,Sn=若0，

2

所以52+3=6,Si+3=3,S3+3=12,所以⑸+3）=⑸+3）（S3+3）,

故｛即｝的首项为零可推出S2+3是Si+3和S3+3的等比中项，

可见a=0"是"2+3是Si+3和S3+3的等比中项”的充要条件.

故选：C.

【变式2-1】2.（2018・北京•高三强基计划）设三个实数a,b,c组成等比数列，c>0且

aW26+3c,则实数小的取值范围是（）

C.（-«）,1]D.前三个答案都不对

【答案】B

【分析】设9=t,则£=t2,则可根据二次函数求目标代数式的取值范围.

【详解】设J=t,则"产，则彳=-2产，

由题设有21+3/21,故te（—8,—1]u||,+8）,

因比t一2t2的取值范围是（—8,1].

故选：B.

【变式2-1]3.（2023•北京•校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列｛而满足：+a8

1

=20,且＜15是与＜214的等比中项.设数列｛6n｝满足匕n=££二(几GN*),则数列｛%｝的前几项

和土为()

A-B-*1+/)=搐

c-D-*1+焉=/

【答案】A

【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列方程得到｛"二广,然后利用裂项求

和的方法求治即可.

【详解】根据题意可得将货2/°,则J+4挪Z曾念+13砌，解得｛”广，

所以an=2n_l,%=(27)(2“+1)=［上一+),

1711111\

Sn=2\1-3+3-4+-"+2n-l_2n+lJ

=4-')

2V2n+l)

n

=2n+l-

故选：A.

【变式2-1】4.(2023秋•广东东莞•高三校联考阶段练习)已知等差数列｛an｝的公差不为

0,即=1且口2,a4,口8成等比数列，则()

AdC'i-c。4a5—Sn+1n+1c«1+«19r

A-。2。23=4045B.-＜-C,^r=-D,B=2

【答案】D

【分析】先求出通项公式即=九，再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进

行判断.

【详解】设等差数列｛即｝的公差为d(d片0).

因为L=1且。2，。4分8成等比数列，所以(1+3d)2=(1+d)(l+7d).

解得：d=l,所以an=di+(n—l)d=1+(n—1)X1=n.

对于A:a2023=2023,故A错误;

对于B:因为卜白；”拉。，所以最＞六故B错误;

对于C：因为Sn+i=­；）（"+】）=S+2器1）

所以蹲=号禽2）=等大等,故C错误；

对于D：因为鬻^=翳=2,故D正确.

故选：D

题型3下角标和性质

【例题3】（2023春•河南开封•高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知等差数列｛即｝

为递增数列，Sn为其前n项和，a3+a7=34,a4-a6=280,贝！］Sn=()

A.516B.440C.258D.220

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出。4q6,再利用前n项和公式求解作答.

【详解】等差数列｛斯｝为递增数列，则。4＜。6,由。3+。7=34,得＜24+。6=34,而。4・。6

=280,

解得。4=1446=20,所以S11=厂D=lla6-220.

故选：D

【变式3-1】1.（2023秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）

在等差数列｛册｝中，其前几项和为Sn,若是方程16=0的两个根，那么Sii的

值为（）

A.88B.-88C.110D.-55

【答案】D

【分析】由根与系数关系得。5+。7=-10,再根据等差数列前n项和公式、下标和性质求

SIL

【详解】由题设。5+。7=—10,而511=智强=笔出=一55.

故选：D

【变式3-1】2.（2023•全国•高三专题练习）已知等差数列｛an｝中，a3+a5=a4+7,aw

=19,则数列｛ancos5｝的前2024项的和为（）

A.1010B.1012

C.2023D.2024

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出通项公式，再利用并项求和作答.

【详解】在等差数列｛七｝中，2a4=a3+a5=a4+7,解得。4=7,公差d=号譬=平

=2,

于是%=+（几—4）d=2几—1,而当九为奇数时，COS71TT=—lz当几为偶数时，COS71TI

=1,

71

因此令bn=ancosnTT=（-l）-（2n—1）,则当几EN*时，Bn-i+82九

=一（4几一3）+（4几-1）=2,

所以数列｛。九COSTIII｝的前2024项的和为（/+h2）+（仇+久）+…+（62023+^2024

）=2x1012=2024.

故选：D

【变式3-1】3.（2023秋・山东青岛•高三统考期末）对于正数如。2"3,…，斯，它的几何平均

数定义为：yaia2a3-an.已知一个各项均为正数的等比数列｛%｝，它的前11项的几何平均

数为25,从这11项中抽去一项后所剩10项的几何平均数仍是25,那么抽去的一项是（）

A.第6项B.第7项

C.第9项D.第11项

【答案】A

【分析】根据几何平均数定义及等比数列的性质求解.

【详解】由题意Jb/2b3…"=2、又｛琥｝是等比数列，所以历历1=历0=…=6567=

bl,

所以1帆=25,即生=25,

设抽去的是九，则中历62仇_1瓦+1…幼=25,即比历瓦-也+1…％=求°,但6的“为=姆

所以瓦=b6,

故选：A.

【变式3-1】4.（2022秋・陕西榆林•高三校考阶段练习）已知各项均为正数的等比数列｛斯｝

中，%。2&3=5,a4a5a6=5鱼，贝!Jaio（iiiai2=（）

A.25B.20C.10V2D.10

【答案】C

【分析】由已知条件结合等比数列的性质可得<?9=鱼，再利用等比数列的性质可求得结

果.

【详解】设公比为式q>0）,

因为数列｛七｝为正项等比数列，

所以aid2a3=a9=5,a4a5a6==5V2,

所以居）3=竽=&所以《9=也

所以。10<211<212=a：1=（a2q9）=agx（q。）=5x（V^）=10V^,

故选：C

【变式3-1J5.（2022秋•山东青岛•高三统考期中）在各项均为正数的等比数列｛即｝中,+2

a4a5+a2a8=16,则a4a5的最大值为（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】c

【分析】首先根据等比数列的性质求得。4+。5=4,再根据基本不等式a4a5w（0产）2,即

可求解.

【详解】由等比数列的性质可知，=^41a2a8=^5'

所以成+2a4a5+诞=16,即（。4+a5）2=16,得。4+。5=4,

且斯>0,所以a4a5w（空）2=4,当且仅当。4=。5时，等号成立，

所以a4a5的最大值为4.

故选：C

题型4单调性问题

IWbI

即F型重点

].等差数列的单调性

等差数列优》的公差为乙则：

⑴介0=/aJ为递增数列；I

⑵1<0=3/为递减数列；d=Oo/a”为常数列.

2.等比数列的单调性基本方法：

(1)囚＞0时,

①公比q>l,单调递增;②q=l无单调性;③0<q<l,单调递减值q<0,无单调性.

(2)即<0时,

①公比q>L单调递减;②q=l无单调性③0<q<l,单调递墙④q<0,无单调性.

【例题4】(2023•全国•高三专题练习)已知｛an｝是无穷等差数列，其前项和为则”｛an｝

为递增数列"是"存在neN*使得Sn>0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】解：因为｛七｝是无穷等差数列，若｛4｝为递增数列，

所以公差d>0,

令Sn—九的+"彳"d>0,解得71>1—华，

[1-剃表示取整函数，

所以存在正整数劭=1+[1—华],有sn0>0,故充分；

设数列｛an｝为5,3,1,-1,满足S2=8>0,但d=—2<0,

则数列｛总是递减数列，故不必要，

故选：A

【变式4-1】1.(2023•四川自贡•统考三模)等比数列｛册｝公比为q(qwl),若7n=aia2a3

…a£n€N*),则"数列｛〃｝为递增数列"是4>0且q>1"的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】由等比数列及已知，要｛〃｝为递增数列只需。1砂一1>1在n22上恒成立，讨论

q<0、0<q<Kq>l,结合内的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.

【详解】由题设之=厮=。@-1且心2,要｛Tn｝为递增数列，只需。0一1>1在g2上

恒成立，

当q<0,不论的取何值，总存在aiqnT<0,不满足要求；

当0<q<l,

<0,则所必-1<0,不满足要求；

>0,总存在0<diqn-i<1,不;两足要求；

当q>l,

«1<0,则aiqn-i<0,不满足；

0<<1,右ai=§,q=2,显然aiq<1,即72<71,不;两足；

«i>1,则a0一】>1在n>2上恒成立，满足.

所以｛的｝为递增数列有的>1且q>1.

所以，"数列d｝为递增数列"是%>0吉>1"的充分不必要条件.

故选：B.

【变式4-1】2.(2023秋・北京海淀・高三首都师范大学附属中学校考阶段练习)设无穷等

比数列｛an｝的前n项和为Sn,若一即<。2<的，贝!]()

A.｛Sn｝为递减数列B.｛Sn｝为递增数列

C.数列｛Sn｝有最大项D.数列｛Sn｝有最小项

【答案】D

【分析】设等比数列｛七｝的公比为％分析可知%>0,取-l<q<0,可判断AB选项；分

—1<q<0、0<q<1两种情况讨论，利用数列｛Sn｝的单调性可判断CD选项.

【详解】设等比数列｛斯｝的公比为q,由已知—的<。1,则臼>0,

由一a1<0.2<a1口J彳导—1<q<1且q丰0,

n-1

对于AB选项，若-l<q<0,an=cziq,

n

当"为奇数时,an+1=a1q<0,此时打+i-Sn=斯+i<0,则Sn+i<S",

当n为偶数时,«n+l=«l<?n>0,此时Sn+1-Sn=a„+i>0,则S.+l>S。,

此时数列图）不单调,AB都错；

对于CD选项，Sn=当券，

当0<q<l时，此时数列｛Sn｝单调递增，则｛S.｝有最小项，无最大项；

当—l<q<0时，若n为正奇数时，qn<0,贝此=岑/〉言，

此时Sn单调递减，则5.WSi=血；

n

当n为正偶数时，q>0,则%=当券〈言，此时Sn单调递增，则SnNS2=ai（l+q）=

言（1-/）.

故当-l<q<0时，｛Sn｝的最大值为Si,最小值为S2.

综上所述，｛Sn｝有最小项.

故选：D.

【变式4-1】3.（2022秋•黑龙江佳木斯•高三校考阶段练习）已知等差数列｛an｝的前n项和

为Sn,若。3=2,且S4=S7,则下列说法中正确的是（）

A.｛即｝为递增数列B.当且仅当九=5时，又有最大值

C.不等式%>0的解集为0ieN*|nW10｝D.不等式斯>0的解集为无限集

【答案】C

【分析】利用S4=S7可求得。6=0,结合等差数列通项公式可得a】d；由此可求得an，Sn；根

据土的二次函数性和an的一次函数性依次判断各个选项即可.

【详解】由S4=57得：。5+。6+。7=S7—S4=0,3d6=0,即。6=。；

a-a+2d-2

解得

贝H31

u-

设等差数列Q｝的公差为4a6a1+5d-O

对于A,「dVO,；.｛an｝为递减数列，A错误；

2

对于B,Sn=yn+^^x(-|)=-|n+yn,

,.FEN*,•,・当九=5或几=6时，S九取得最大值，B错误；

对于C,由一^层+学^〉。得：0<九<11,vnEN*,n<10,C正确;

对于D,,.•«„=可-式?1-1)=一/+4,•,・由a“>0得:n<6.

则不等式厮>0的解集为｛1,2,3,4,5｝,为有限集，D错误.

故选:C.

【变式4-1】4.(2023•全国•高三专题练习)写出同时满足下面两个条件的数列｛即｝的一个

通项公式an=.

①｛an｝是递减数列；②对任意m,n£N*,都有an+n=am+an.

【答案】—九(答案不唯一)

【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质②得到首项与公差的关系，然后根据性

质①得到答案.

【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d,

由‘性②可得：+(巾4*TI—l)d—a[+(TH—l)d+a[+(/I—l)d,所以a1=d,

再根据①｛即｝是递减数列，可知d<0,取d=-1,则由=d=-1,

此时an=ai+(n-l)d=-n,满足题意.

故答案为：—加(答案不唯一)

【变式4-1】5.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛斯｝满足:①VnCN*,an+1>ani;

②VneN*,an+1=tan(t为常数)；③m“>0,使得an<M恒成立.则满足条件的一个数

列｛即｝的通项公式为即=

【答案】—白（答案不唯一）

【分析】首先分析数列可知数列是单调递增的等比数列,再结合有界性给出数列的通项公式.

【详解】由①②知，数列｛即｝是递增的等比数列，所以

［的>°，曲（«1<0.

lq>l取lO<q<l,

由③知，数列｛an｝有上界，显然不合题意，

故

所以即=-e满足题意.

故答案为：—七.

【点睛】解决本题的关键是熟练掌握等比数列的定义以及数列的增减性.本题主要考查等比

数列的定义与性质，考查考生的逻辑思维能力、创新能力.试题以组合型的条件为载体，引

导考生联系所学的数列知识，得到数列的特征，从而写出满足条件的结果，充分体现对数学

探索、数学应用学科素养的考查.

题型5最大项与最小项问题

确定数列中的最大（小）项方法:

⑺判断数列的单调性，类比函数的性质研究最大值、最小值.

注意：数列的定义域为正整数集或其有限子集"2…，"/这一条件.

（2）可以利用不等式组｛黑工；找到数列的最大项;利用不等式组，an-12an,找到

,an<an+1,外土」

数列的最小项.

【例题5】（2023•全国•高三专题练习）在等差数列｛册｝中，即=—11,。5=-3记〃=的口2…

an(n=1,2...),贝擞列{7\}()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】C

【分析】根据题意求出与，根据等差数列｛%｝的各项符号得到数列打“｝的单调性，由此可求

得结果.

【详解】解：依题意可得公差4=宣=芋=2,an=ai

+(n—l)d=­11+2n—2=2n—13r

所以当nW6时,an<0,当nN7时,an>0,

因为7\=-11<0,T2=-11X(-9)=99>0,T3=-11x(-9)X(-7)=-693<0,

T4=-11X(-9)X(-7)X(-5)=3465>0,Ts=3465X(-3)=-10395<0,

T6=-10395X(-1)=10395>0,

又当?126时，7n=2a3a4a5a6…an>0,且铲=°：：：,：：=an+i=2n—1121,即

Tn+1>Tn,所以当几26时，数列｛「„｝单调递增，

所以数列｛〃｝无最大项，数列｛〃｝有最小项%=-10395.

故选：C

【变式5-1]1.(2022秋•陕西汉中•高三校考阶段练习)设等差数列｛斯｝的前疝页和为又,

且满足S2019>。，S2020<0,对任意正整数%都有@』2|依|,则k的值为

A.1009B.1010C.1011D.1012

【答案】B

【解析】结合前n项和公式：S2019=空空驷应,S2020=2竽陋％再利用等差数列的

性质，@1+。2019=2。101(),。1+。2020=。1010+得到>1010>@10114。,分析即得

解.

【详解】由等差数列｛a“｝,可得S2019=2019（a；+a2<H9）>0,S2020=空迎殁侬型2<Q

即：％+。2019>°，。1+&2020<°,可得：2aloio>O,aioio+aioii<0

•••flioio>0,a10n<0,可得等差数列｛an｝为递减数列.

又。1010+01011<。1,,laioiol<la1011l

故：对任意正整数%都有|叫2|瞅|,贝收的值为1010.

故选：B

【点睛】本题考查了等差数列的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能

力，属于中档题.

【变式5-1】2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）数歹史在｝满足的=—2142=-12小+1

+%1_1=2斯-2022）,又是｛陶的前疝页和，则下列说法正确的是（）

A.｛言｝是等差数列

2

B.an=—n+12n+32

C.。6是数列｛*的最大项

D.对于两个正整数小、n（n>m）,Sn-S,n的最大值为10

【答案】ACD

【分析】根据等差数列的定义及通项公式，利用累加法及二次函数的性质，结合厮与兀的关

系即可求解.

【详解】A选项，由ctn+i+an_i=2斯—2,整理得an+i—an—（0n—a„_i）=—2,

故｛即—a.T｝是公差为-2的等差数列，首项a2—臼=9,

故册—an-i=13—2n（n>2）,

由此可得an-1—an-2=15—2n,…,—a?=7g-dl=9,

2

累加得,an=-n+12n-32=(n-8)(4-n),

由此可得，念=4-71,

当n=1时,言=4-1,解得=-21.此式满足CZ1,

故;5^一悬=4-0+1)-4+n=-l,

••・｛言｝是等差数列，故A正确；

BC选项，因为册=—n2+12n-32=(n—8)(4—n)=—(n—6)2+4,

故当几=6时，册=-(n-6尸+4取得最大值，恁是数列｛册｝的最大项，故B不正确，C正

确；

D选项，对于两个正整数瓶、n(n>m),Sn-Sm=am+1+am+2+-+ani

由的.VU，2<。3<。4=0<。5V。6>。7>。8=0>。9>。10>>...i

故土-5„1=3+4+3=10时，Sn-S,n取得最大值，最大值为10,故D正确.

故选：ACD.

【变式5-1】3.(2022秋・北京•高三北师大二附中校考开学考试)在等差数列｛an｝中，其前

CCC

八项和是外,若Sg>0,Sio<0,则在中最大的是

A.JB.JC.JD.f2

%a5a9

【答案】C

【分析】由题意知。5>0,«6<0.由此可知£>0,J>0,....^>0,J<0,...^<0,所以

由«5a6a9

在if，，…,浒最大的磷

【详解】由于59=%等2=9。5>0,Si。=1。(。尸=5侬+。6)<0,

所以可得。5>0，。6Vo.

这样1>0,—>0,—>0,生<0,…包<0,

J|丁即a2a5匕6。9'

而S]VS2V…VS5,…，曲>0,I

所以喷，年•••,沙最大的是含

故选c.

【点睛】本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答.属中档题.

【变式5-1】4.（2022秋・安徽合肥•高三合肥一中校考阶段练习）设等差数列｛斯｝的前n项

和为Sn.若52022>。，$2023<0,则数列｛|%｝的最小项是（）

A.第1011项B.第1012项C.第2022项D.第2023项

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和公式探讨数列单调性，确定绝对值

最小的正负数项作答.

2023（a223）

【详解】在等差数列｛斯｝中，S2023=V°=2023a1012<0,贝必如.<0

$2022=2°22（a；+a2OZ2）=«1012）>>—«1012>

1011（a10H+。，贝！

数列｛即｝的公差d=a10i2-aioii<0,即数列｛&J是递减等差数列，

a<0,

当nW1011时，an>0,数列｛|an|｝递减，当n21012时，n数列｛|厮|｝递增，

a1011>—aW12=la1012l/

所以数列｛|即|｝的最小项是出。12|,即第1012项.

故选：B

【变式5-1】5.（2023•全国•高三专题练习）若数列｛an｝的前几项和%="—10九0=1,2,

3,•••）,则此数列的通项公式为；数歹［|｛71即｝中数值最小的项是第

项.

【答案】2n-ll;3

【详解】数列｛册｝的前拉页和Sn=4—10n（n=l,2,3,数列为等差数列，数列的通

项公式为。„=5„-5„-1=271-11,数列｛点斯｝的通项公式为nan=2/一11%其中数值最小

的项应是最靠近对称轴九=号的项，即n=3,第3项是数列⑺即｝中数值最小的项.

题型6等差数列前n项和的性质1

小F期重占

等差数列的前〃项和常用的性质：

⑺等差数列的依次左项之和，sklS2k-Sk,S3LS2".组成公差为Nd的等差数列；

(2)数列是等差数列=5尸。/+加白，6为常数)0数列F1为等差数列；

(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为办

WWWWWWWWWVWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWVWWWWWWWWWVWWWWWWWWWWWWWWV'i

【例题6】(2022•全国•高三专题练习)已知数列｛an｝是等差数列，为数列｛即｝的前疝页和,

+。2+的+。4=3,a17+aw+。19+420=5,则S2。=()

A.10B.15C.20D.40

【答案】C

【分析】根据等差数列性质得到520-S16，S16-S12,S12-S8lSs-S4&仍成等差数列，可设

出Sg—S4=3+%,S|2—Sg=3+2x,S16—Si2=3+3%,S20—S16=3+4x=5nx=—,

又因为S20=S20—S16+S16—S12+S12—58+Sg—S4+S4,代入数值进而求出结果.

【详解】数列｛%｝是等差数列,Sn为数列｛叫的前疝页和，

根据等差数列的性质得到：520—S16，S16—512用2—58,S8-S4S4仍成等差数列，

I己S4=+。2+。3+。4=3,T^Sg—S4=曲+。6+。7+。8=3+%,

S12—Sg=。9+。10++。12=3+2,X,S16—S12=。13+。14+。15+。16=3+3%,

$20-S16=。17+a18+。19+a20=3+4%=5=>X=

$20=5*20—Si6+Si6—Si2+Si2—S8+S8—S4+S4=15+10%,

计算可得到结果为：20.

故选：C.

【变式6-1】1.(2020・湖北宜昌统考二模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:

"今有金第，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？"意思

是："现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一

端截下1尺，重2斤.问依次每一尺各重多少斤？"假定该金杖被截成长度相等的若干段时,

其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的重量和为

（）

A.折B.舞C.沂D.沂

【答案】C

【解析】把每段重量依次用心。=12…,20）表示，数列｛an｝是等差数列，根据等差数列性

质可求解.

【详解】把每段重量依次用心（i=1,2,…,20）表示，数列｛即｝是等差数列，

由题意Q黑熊曹;"短！2，两式相加得的+⑦="（4+2）=/

3

=%+。20=2•

故选：C.

【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键是从实际问题抽象出等差数列，然后应用等差

数列性质解题即可.

【变式6-1】2.（2023•全国•高三专题练习）设目是等差数列｛即｝的前n项和，S10=16,

Sio。—$90=24,贝!JSioo=.

【答案】200

【分析】根据等差数列前疝页和性质结合等差数列基本量的计算求出新等差数列的公差d,

最后根据等差数列的前几项和公式计算可得.

【详解】依题意,510,$20—Sio,S30—$20,…,S100—590依次成等差数列，

设该等差数列的公差为d.又Si。=16,Si。。—S90=24,

o

因此Si。。—S90=24=16+(10—l)d=16+9d,解得d=-f

所以Si。。=10S10+等d=10xl6+^x|=200.

故答案为：200

【变式6-1】3.(2022•河南洛阳・统考三模)有下列四个命题：其中真命题的序号

是.

①等差数列｛/J的前疝页和为sn,若||=3,则■=,；②函数f(%)=sin2%+嘉Q力/OT,keZ)

的最小值4；③函数f(久)=In久在点(1,0)处的切线方程是x-y-1=0;④函数/(x)=Inx-1

的唯一零点在区间(1,2)上.

【答案】①③④

【分析】对每一个命题逐一分析得解.

【详解】①设S3=a,S6-3a,■-S6—S3-2a,S9=6a,S12-10a,=|,故该命题正确；

②设t=s讥2x,(0<tWl),g(t)=t+?,；.g，(t)=1一《<0,所以函数g(t)在(0,1]上单调

递减，所以函数的最小值为g(1)=5,所以该命题是假命题.

=p'1-k=f(l)=1,•••切线方程为y-0=x-1,所以该命题是真命题；

④/'3=3+9>0,所以函数在(1(2)上单调递增，且f⑴=T/(2)=ln2-拉O,，

/(-1W)<0,所以函娄好(久)=In%-为勺唯一零点在区间(1,2)上.故该命题是真命题.

故答案为①③④

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，考查利用导数研究函数的最值和零点，考查导数几

何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

【变式6-1]4.(2023春・湖北•高三湖北省咸宁高级中学校联考期中)正项数列｛总的前n

项和为sn,且55=10,S10=50,若直线2:3久+4y+an_i+斯+1-3=o(neN*)与圆C：

(久一1)2+、2=34即>0)相切，贝后5=()

A.90B.70C.120D.100

【答案】C

【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，由直线与圆相切可得2即=即_1+即+1,即可判断

数列｛厮｝为等差数列，根据等差数列的前n项和性质即可求得S15的值.

__o

【详解】圆C的圆心为(1,0),半径r=gan,由直线z：3x+4y+a1+*1-3=o(neN*)

与圆相切得：

圆心(1,0)到直线珀勺距离d==丫=整理律―黑心=|a„,即2an=即一

+%l+1/

所以｛即｝为等差数列.

在等差数列｛斯｝中，S5,Si。—S5,Si5—Si。成等差数列，

所以2(S1O—S5)=S5+S15—S10,则2x(50—10)=10+S15—50,gpS15=120.

故选：C.

【变式6-1】5.(2023・全国•高三专题练习)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、

中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第

一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次

也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，问：三层共有多少块扇面形石板(不

含天心石)？

【答案】3402

【分析】设第n环石板的块数为与，可知数列｛即｝为等差；根据等差数列片段和性质可构造

2

方程(S3n-s2n)-(S2n-Sn)=9n=729,由此求得明利用等差数列求和公式可求得结果.

【详解】设第九环石板的块数为an,第一层共有n环，则｛an｝是以9为首项，9为公差的等差

数列，

an=9+9(n-1)=9n;

设的前疝页和为方,则第一层、第二层、第三层的块数分别为力,S2n-Sn,S3n-S2n,

••・下层比中层多729块，S3n-S2n=S2n-Sn+