常用逻辑用语（考点清单）（解析版）

专题02常用逻辑用语（考点清单）

目录

一、思维导图........................................................2

二、知识回归........................................................3

三、典型例题讲与练..................................................3

考点清单01：充分性与必要性......................................3

【期末热考题型11充分性与必要性的判断........................3

【期末热考题型2］根据充分性和必要性求参数的值或范围..........5

考点清单02：全称量词命题与存在量词命题..........................7

【期末热考题型1】判断或写出命题的否定........................7

【期末热考题型2】根据命题的真假求参数值或范围................8

考点清单03：简单的恒（能）成立问题.............................10

【期末热考题型1】在区间。上恒（能）成立问题.................10

【期末热考题型2】二次函数在R区间上的恒（能）成立问题........11

一、思维导图

\fxEM^p(x)命题的否定

二、知识回归

知识回顾1:充分条件、必要条件与充要条件的概念

(1)若夕nq,则P是4的充分条件，q是P的必要条件；

(2)若夕ng且44P,则P是4的充分不必要条件；

(3)若P44且qn。，则P是4的必要不充分条件；

(4)若P=q,则P是4的充要条件；

(5)若，4q且44P，则P是4的既不充分也不必要条件.

知识回顾2：从集合的角度理解充分与必要条件

若夕以集合A的形式出现，4以集合8的形式出现，即P：A={x|p(x)},q：5={x|q(x)},则

(1)若AqB,则P是q的充分条件；

(2)若BqA,则P是4的必要条件；

(3)若A*8,则P是q的充分不必要条件;

(4)若则P是4的必要不充分条件;

(5)若4=5,则P是4的充要条件；

(6)若且则P是4的既不充分也不必要条件.

知识回顾3：全称量词命题和存在量词命题的否定

(1)全称量词命题及其否定

①全称量词命题：对M中的任意一个x,有p(x)成立；数学语言：.

②全称量词命题的否定：3xGM,^p(x).

(2)存在量词命题及其否定

①存在量词命题：存在"中的元素x,有p(x)成立；数学语言：

②存在量词命题的否定：VxeM，r?(x).

三、典型例题讲与练

考点清单01：充分性与必要性

【期末热考题型1】充分性与必要性的判断

【解题方法】小范围推大范围，大范围不能推小范围

【典例1](2023上•上海浦东新•高一上海市实验学校校考期中)已知集合A={x|-3<x<2),B={x||x-m|<l

■已知-24机41,命题p:%£A,命题则命题p是命题q成立的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件

【答案】C

【详解】因为8=<1}={x|：W-l<X<7W+l},

_1.-2<7H<1,贝IJ-34〃z-140,-14〃z+142,

可知5uA,所以命题。是命题q成立的必要不充分条件.

故选：C.

【典例2】（2023上・北京・高一北京八中校考期中）“|4工一5|<3”是“一9Y<1”的（）

X-1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】由不等式上-5|<3,可得-3<4x-5<3,解得;<x<2,

又由0三X<1,可得上0X—一1=y=-L1<0,解得一1。<1,

x—1X~1X-i

两个不等式的解集没有包含关系，

所以林x-5|<3是一?<1的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【专训1-1］（2023上•浙江•高一校联考期中）设xeR,贝是-2）4。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由白-2|V4,即-4<3x—244,解得

由x（x-2）40解得0«xV2,

「2"I

因为［0,2］--,2,所以“段-2区4，，是“彳口_2）<0"的必要不充分条件.

故选：B

【专训1-2］（2023上•江苏苏州•高一校考阶段练习）设xeR,则“x>2”是“1%-1|>1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【详解】当x>2时，可得xT>l,则必有成立，

当|无一1|>1成立时，即x-l>1或,即x>2或尤<0,

即成立，推不出了>2,

故“x>2”是“I尤的充分不必要条件,

故选：A

【期末热考题型2】根据充分性和必要性求参数的值或范围

【解题方法】数轴法，小范围推大范围，大范围不能推小范围

【典例1】（2023上•河南洛阳•高一洛阳市第一高级中学校考期中）已知非空集合A={x|a-l<x<2a+3],

B={x|-2<x<4},全集。=R.

（1）当a=2时，求（短）M〃）；

（2）若xdA是X©8成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】⑴（树）（*）={x|x<l或x>4}

⑵（f-4>一1,；

【详解】（1）方法一：当。=2时，A=H1<X<7},

所以eA={R%<I或%>7}.

因为5={九|一2«%«4},

所以g5={x|%<-2或%>4},

所以（解）U（u3）={x|x<l或%>4}.

方法二：当4=2时，A={x|l<x<7},

故AB={x|l<x<4},

所以（瘵4）U（a）=%（AB）={x\x<l^x>4].

（2）因为xeA是xeB成立的充分不必要条件,

所以A是3的真子集，

当A=0时，〃一1>2〃+3,得到〃v-4,

〃—1N—2,。—1>—2,

当Aw0时，<2〃+3<4,或<2〃+344,

a—1W2。+3a—1«2〃+3,

解得一或一

综上，实数〃的取值范围是（-8,-4）-1,1.

【典例2】（2023上•广东深圳•高一深圳市高级中学校考期中）己知集合A=乎<0，，集合

B=^x\a—2<x<2a+1}

⑴若4=1,求4（AuB）；

(2)若xeA是xeB的充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】(l){x|xV-l或尤23}；

(2)|<«<2,

【详解】(1)依题意，A=[x\^<0]=[x\0<x<2],当。=1时，B={x|-l<x<3},

于是Au8={x|-l<x<3},所以4(AB)=[x\x<-\^x>3].

(2)由(1)知A={x[0<x<2},由xeA是的充分条件，得

(。-2W01

因此。口,。，解得广。42,

所以实数。的取值范围是:<a<2.

【专训1-1](2023上•全国•高一专题练习)己知集合A={x[l<x<3},集合8={x|2机<彳<1一根}.

(1)若Ac3=0,求实数机的取值范围；

(2)命题P：尤eA,命题小xeB,若P是4的充分条件，求实数机的取值范围.

【答案】(1)[。，+巧

(2)(-<»,-2]

【详解】(1)由于Ac3=0,

①当8=0时，2m?1m,解得m2g,

2m<\—m12m<l—m

②当3W0时,

l-m<l|2m>3

解得.

综上所述，实数机的取值范围为[0,+8).

(2)命题p:xeA,命题若p是q的充分条件，故AgB,

2m<1

所以解得m<-2；

l-m>3

所以实数加的取值范围为(-叫-2].

【专训1-2](2023上•四川南充•高一四川省阖中东风中学校校考阶段练习)已知全集。=1i,A={x|2<x<3},

非空集合B={x|(x-a)[x-(«2+2)]<0}.

(1)当。=0时，求(e^)A；

(2)命题"：xeA,命题q：xeB,若夕是"的必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】⑴{x[2<x<3}

(2)(F，T[1,2]

【详解】(1)解：•・•♦=()时，A={x|2<x<3),

JB={X|(X-0)(%-2)<0}={x|0<x<2),

全集U=R,

?\jB={x\x<0^x>2].

:・(①3)cA=A={x[2<x<3}.

(2):•命题P：XEA,命题4：xeB,4是夕的必要条件,

/.AcrB.

i77

2

・.・Q2+2—Q=(Q——)+->->0,

244

,,a2+2>a，

VA={x\2<x<3],B=[x\a<x<a2+2],

[a<2

・V2解得〃W-l或

[a+2>3

故实数。的取值范围(f,T][1,2].

考点清单02：全称量词命题与存在量词命题

【期末热考题型11判断或写出命题的否定

【解题方法】根据含有全称（特称）量词的命题的否定原则写。

【典例1］（2023上•广东肇庆•高一德庆县香山中学校考阶段练习）命题“对于任意xeZ,都有f+2x+机＞0”

的否定命题是（）

A.存在xeZ,使尤？+2尤+加＞0

B,存在xeZ,使x?+2x+“2V0

C.对于任意xeZ,不都有x?+2x+〃?V0

D.对于任意xeZ,都没有炉+2尤+根＞0

【答案】B

【详解】解：因为命题“对于任意xeZ,都有f+2尤+〃7＞0”是全称量词命题，

所以其否定命题为存在量词命题，即“存在xeZ,使Y+2x+机V0”.

故选：B.

【典例2】（2023上•云南红河・高一开远市第一中学校校考阶段练习）命题“heR,使Y+x-inO”的否定

是（）

A.3xeR,使f+x-iwoB.不存在xeR,使d+x-ln。

C.VxgR,使尤2+彳一1#0D.VxeR,使f+x-lwO

【答案】D

【详解】命题'勺xeR,使d+x-lnO”的否定是VxeR,使Y+x-lwO.

故选：D.

【专训1-1］（2023下•陕西西安・高二西安市铁一中学校考期末）若命题p:"无？R,」0,则刃表述准

x-2

确的是（）

A.3xeR,―-—>0B.VxeR,—!—>0

%—2x—2

R,」一或尤

C.$x?0=2D.VxeR,--—>0或x=2

x-2x—2

【答案】C

【详解】全称命题的否定为特称命题，排除BD选项,

其中工<。可解得尤<2,3的否定应是钻2,

A选项中，—2。可解得x>2,故A选项错误，C选项正确.

x-2

故选:C

【期末热考题型2】根据命题的真假求参数值或范围

【解题方法】根据命题的否定，求出真命题解题，常涉及变量分离法，A判别法

【典例1】（2023上.广东茂名.高一茂名市第一中学校考期中）已知命题“土veR,使2元?+（“一1）无

是假命题，则实数。的取值范围是（）

A.-1}B.同-1<〃<3}

C.^|-1<«<3}D.同-3<〃<1}

【答案】B

【详解】因为命题“*eR,使2尤2+（〃-1»+140，，是假命题，

所以2/+（。-1）尤+1>0恒成立，所以△=（a-l）2-4x2x：<0,

解得—1<<3,

故实数。的取值范围是（-L3）.

故选：B.

【典例2】（2023上•广东佛山•高一校考阶段练习）命题“VxeR,依2+4办+3>0”为真命题，则实数。的取

值范围是（）

【答案】C

【详解】当4=0时，依2+4依+3=3>0对于xeR恒成立，满足；

当时，♦+4〃尤+3>0在xeR怛成山贝1-9满足；

[A=1r6Q2-12。<04

3

综上，0«〃<一.

4

故选：C

【专训1-1]（2023上・安徽•高一校联考阶段练习）若命题“玉>J,尤2—皿+4wo”是假命题，则加的取值

范围为（）

A.1m|m>B.<4jC.^m\—4<m<4^D.>41

【答案】B

【详解】由题可知v尤〉!，尤2_7加+4>0恒成立，只需〃z<[x+3],

2Ixjmio

因为彳+422、7=4,当且仅当x=3（x>：]时，即当x=2时取等号，

x\x尤I2J

所以加的取值范围为{机帆<4}.

故选：B.

【专训1・2】（2023上•陕西渭南•高一统考期中）已知命题：“加+2办-120”是假命题，则实数

a的取值范围是.

【答案】（—1,0]

【详解】命题："HxwR,ax2+2or-120”是假命题，

即命题：“VXER,ax2+2分-IvO”是真命题，

当。=0时，-1<0恒成立，符合题意；

当时，VXGR,ax2+2ax-l<0,

[a<0

则/2/八，解得一1<〃<。；

[4a+4Q<0

综上所述，a的取值范围是（T,0].

故答案为：

考点清单03：简单的恒（能）成立问题

【期末热考题型1］在区间。上恒（能）成立问题

【解题方法】分离变量，求最值

【典例1］（2023上•山东临沂•高一山东省临沂第一中学校考阶段练习）若1,2，使得3尤；-4%+1<0”

成立是假命题，则实数2可能取值是（）.

A.2也B.2如C.4D.5

【答案】A

【详解】由题意得：V无3尤2-Ax+120成立是真命题，

故3尤+工22在xed,2］上恒成立，

x2

由基本不等式得：y=3x+->2.l3x--=2A/3,当且仅当3x=,，

xVxx

即x="e［J_,2］时，等号成立.

32

故;1W2后

故选：A.

【典例2】（2023上•陕西•高三校联考阶段练习）若命题2］,丁+。4依-3”是真命题，则。的取值

范围是■

【答案】［7,+助

【详解】由炉+4《依一3,得a（x—1）2寸+3.当x=l时，ae0.

当xe（l,2］时，x-le（O,l］,贝心巳立3.

x-1

因为x2+aVax-3”是真命题，所以㈡

因为=（U*T）+4气_1+/_+2,当X-1e（0,1］单调递减，X-1=1时取最小值7,

X—1x~lX—1

所以。27.

故答案为：［7,y）.

【专训1-1]（2023上•江西景德镇•高一乐平市第三中学校考阶段练习）若文（,€；,2,使得3只-2%+1<0

成立是假命题，则实数彳取值范围为.

【答案】（-8,2石]

【详解】若天”1,2,使得沅-认+1<0成立是假命题,

即3元2—;I尤+120在3，2上恒成立,即XW3x+L

X

3尤+!±2」3尤-工=2石，当且仅当3x=」即X邛时等号成立，故5

XVXX

故答案为：（一甩2石]

【专训1-2]（2023上•安徽淮南•高一校考期中）若“玉€[4,6],炉-办-1>0”为假命题，则实数a的取值范

围为.

【答案】a>3^5

6

【详解】由题设命题为假，贝IJVXE[4,6],X2一以一1<0为真,

所以公―6_1«0,即〃2%-工在工£[4,6]上恒成立,

x

1135

又＞=%—L在xc[4,6]上递增，故/1ax=6—工=?,

x66

所以〃之六.

6

35

故答案为：

6

【期末热考题型21二次函数在R区间上的恒（能）成立问题

【解题方法】△判别法

【典例1】（2023上•贵州•高一校联考阶段练习）己知命题：“玉eR,依?一？办一42。”为假命题，则实

数。的取值范围是（）

A.（-oo,-4）（0,+co）B.（-4,0）

C.H，0]D.（-4,0]

【答案】D

【详解】根据题意，若命题“主eR，依2_2办_420”为假命题，

则其否定：VxeR,加-2ox-4<0为真命题，

设f（x）=ax2-2ax-4,即f（x）<0在R上恒成立，

当a=0时，〃x）=-4,符合题意,

\a<0

当awO时，若/（%）=依2_2依—4<0,必有<人/2“八，解得-4<〃v0,

[A=4〃+16〃<0

故有-4<a?0,即。的取值范围为（T,O].

故选：D

【典例2】（2023上•湖北孝感•高一应城市第一高级中学校联考阶段练习）若命题：“任意实数x使得不等式

加+（a-2）x+；>0成立”为假命题，则实数。的范围是.

【答案】（-℃』34,+00）

【详解】由题意，存在实数x使得不等式内2+（.-2）x+；40成立，

所以不等式or?+（。-2）尤+；40