导数中的切线问题（5大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项训练

热点题型•选填题攻略

专题05导数中的切线问题

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01在某一点的切线.........................................................................1

题型02过某一点的切线.........................................................................4

题型03切线中平行、垂直、重合问题............................................................7

题型04求公切线（两个切点）..................................................................12

题型05切线的条数问题........................................................................16

-----------题型探析・明规律-----------o

题型01在某一点的切线

【解题规律•提分快招】

在窠二点的函•方程

切线方程歹-/（%）=/'（工0）（%-%0）的计算：函数歹=/（x）在点4（%,/（%））处的切线方程为

了-/（X。）=/（X。）（x-X。），抓住关键P0.

〔左=/（修）

彳丽加练i

一、单选题

1.（2025高三・全国•专题练习）函数〃x）=e，T+xhu的图象在点（1,/■⑴）处的切线方程是（）

A.2x—y—1=0B.2x+y-3=0C.2x—y—3=0D.x+y—2=0

【答案】A

【分析】求/'（x），根据导数的几何意义可知函数图象在某点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值,

由此可计算切线方程.

【详解】•••/（x）=ei+xlnx,.•./⑴=1,/3=b+加+1,

•••/'⑴=2,

•••切线方程为y-l=2（x-l）,即2x-y-l=0.

故选：A.

2.(2025高三・全国•专题练习)曲线〃x)=g/+x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()

12

A.-B.一CD

93-1-t

【答案】A

4

【分析】利用导数的几何意义就是切线斜率，求出在处的导数，即为切线斜率，进而利用点斜式得

到切线方程，借助切线方程求出与坐标轴交点坐标，从而利用面积公式求出面积即可.

【详解】因为>=?三+无，y'=/+l,

所以y'k=2,

144

即曲线/产+%在点(1,学处的切线方程是^==2(%—1),

12

则切线与X/坐标轴的交点分别是(10)，(0,-y)

1211

所以围成的三角形面积为S=,x-yX-=-,

故选：A.

3.(24-25高三上•河北保定•期末)已知点-2)在抛物线C:f=2处(°>0)的准线上，过点A的直线与

抛物线在第一象限相切于点3,记抛物线的焦点为尸，则忸目=()

9II-1315

A.—B.—C.—D.—

2222

【答案】C

【分析】由点-在准线上可知。的值，从而确定抛物线的方程，设点8的坐标为m>0,

通过对抛物线方程求导，可得点直线AB的斜率，再通过A、8两点的坐标也可求得心,于是建立关于加

的方程，解之可得比的值，最后利用抛物线的定义即可得解.

【详解】抛物线C：=2"(p>0)的准线方程为尸苫,

•.•点噌，-2)在准线上，."勺-2即”4,

抛物线的方程为V=8y,即>=

O

设点8的坐标为［私。

m>0,

对>="/求导可得，.•.直线AB的斜率为:

由《信-21、M私3，可知3B="~~丁=!机，解之得，m=6或(舍负),

13JV«)机_343

3

二点台3号，由抛物线的定义可知，忸尸|=g+2=葭，

故选：C.

二、填空题

4.(24-25高三上•湖南•期中)曲线/(x)=ln(2x-l)在点(1)(1))处的切线方程为.

【答案】2x-y-2=0

【分析】求出f(l)=O,求导，根据导数几何意义得到切线斜率，由点斜式求出切线方程.

【详解】因为"x)=ln(2x_l),则f⑴=0,

所以切点为(1,0),且/■'(力=4，贝！]左=/'(1)=2,

由直线的点斜式可得>=2(x-l),化简可得2x-y-2=0,

所以切线方程为2x-y-2=0.

故答案为：2x-y-2=0

5.(24-25高三上•山东潍坊•期中)已知点在函数/(x)=sins-¥(0</<3)的图象上，则曲线

y=f(x)在点P处的切线方程为.

【答案】&尤-了-收'=o

8

【分析】先代入点求出。，得到/(x)的解析式，再通过求导求出切线的斜率，进而得y=f(x)在

点尸处的切线方程.

【详解】由题意，知d21=sin等-号=0

\oJ82

cc八兀03兀TIG)71一

%*0<<3,0<—<—,故—=—,(t)=2

8884

故/(x)=sin2x-9/'(x)=2cos2x,

''k=/'])=2cost=拒，

所以y=f(x)在点尸处的切线方程为〉即&工->-牛=0.

故答案为：V2x-y-=o.

8

题型02过某一点的切线

【解题规律•提分快招】

过窠二点的切线方程

设切点为尸（毛，为）,则斜率左=/'（无0）,过切点的切线方程为:y-y0=f'（x0）（x-x0）,

又因为切线方程过点/（m，n）,所以〃-%=/'（%）（加-/）然后解出毛的值.（无。有几个值，就有几条切线）

彳丽加绿i

一、单选题

1.（2024高三・全国・专题练习）设曲线＞=X+Inx的一条切线过点（0,1）,则此切线与坐标轴围成的三角形面

积为（）

2

eee___e2

2（l+e）B-用C-2（e2+l）D,7Z1

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，求得直线在轴上的截距，即可得三角形的面积.

【详解】设切点为（无。,%）»=1+:,

则切线方程为V-X。-Inx。=-X。）.

・•・切线过点（。,1）,，1-工0-1111：0=—工0-1，

，1叫,=2,%=e1.,.切线方程为y=（l+，）x+l,

2

故可得切线在XJ轴上的截距为-\e,1,

e2+l

e2

所以切线与坐标轴围成的三角形面积为遁WJ.

故选：C.

2.（24-25高三上•贵州遵义•阶段练习）若函数”x）=alnx+2x的图象在点（1,2）处的切线不经过第二象限,

且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为则。=（）

6

22

A.-1B.——C.-D.1

33

【答案】D

【分析】由导数的几何意义求出/'(x)的图象在点(1,2)处的切线方程，再由该切线与坐标轴所围成的三角形

的面积求出。的值，验证是否符合题意即可.

【详解】由〃x)="lnx+2x,得/(X)=£+2,/⑴=“+2,

则/(x)的图象在点(1,2)处的切线方程为y=(a+2)x-a,

由题意可知。+2*0,

将x=0代入切线方程，得y=将y=o代入切线方程，得

a+2

因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：,

6

所以。卜4上7=：,解得。=1或。

当。=1时，切线经过第一、三、四象限，符合题意；

当"=-:时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意.

故4=1.

故选：D

3.(24-25高三上•天津武清•阶段练习)若直线＞=履与曲线y=lnx+：相切，贝几=()

2x

11

A.1112H—B.—C.-D.4

424

【答案】B

【分析】设出切点坐标P(x0,y。)，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得直线斜率.

【详解】设直线了=履与曲线y=+1相切于点P(xo，yo),

2x

求导可得了=!-上，因此切线斜率先=2-3=当二，

z

x2x%2%2x0

lnxnH--------0

又切线过原点0(0,0),可得％2x02x0-l,化简可得XohUo-Xo+JO,

，。一xo-O-2x；

令g(x)=xlnx-x+l,则g'(x)=lnx+1-1=Inx,

当xe(0,1)时，g'(x)<0,即g(x)在(0,1)上单调递减,

当x6(1,+8)时，g,(x)>0,即g(x)在(1,+8)上单调递增,

所以g(x)在无=1处取得极小值，也是最小值，g⑴=0,

.2x-11

因此可得％=i,即可得上=式n「=5

故选：B

二、填空题

4.（2024•天津和平二模）过点（0,0）作曲线＞=2x（xeR）的切线，则切点的坐标为.

【答案】O

【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将（。,0）代入求解即可.

【详解】设切点的坐标为2'）,由y=2x（xeR）,j/=2」n2,

所以过切点的切线方程为：y-2t=2'ln2（x-t）,

把（0,0）代入得：—2t=—t・2tln2,BPtln2=1,

所以/=」，则切点坐标为：』2.]即匚,[.

In2（ln2J＜ln2）

故答案为:m

5.（2024高三•全国•专题练习）写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程：,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分无＞0和无＜0两种情况，当X＞。时设切点为（x°,lnx。），求出函数了=lnx的导函数，即可求出切

线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出/，即可求出切线方程，当x＜0时同理可得；

【详解】因为＞=1中

当x＞0时，y=lnx,设切点为（无。,In%）,由得

X/

所以切线方程为y-lnx。='（x-Xo）.

又切线过坐标原点，所以-lnx0=L（-x。），解得x0=e,

所以切线方程为即y=L；

ee

当x＜0时，y=ln（-x）,设切点为（％,In（-七）），由，=L得风f=一，

X占

所以切线方程为＞7n（-xJ='（x-xJ.

x\

又切线过坐标原点，所以Tn（-再）=’（一再），解得再=-e,

所以切线方程为>-1=J(x+e),即k-}.

故答案为：y=~x；y=--x.

ee

fQXX<0

6.(24-25高三上•广东•开学考试)已知函数〃x)='-:过原点。(0,0)作曲线y=/(x)的切线，其切

[Im-,x>0,

线方程为.

【答案】x-ey=0

【分析】根据题意，设出切点的坐标，结合导数的几何意义，分类讨论，即可求解.

【详解】当xWO时，函数〃力=*可得解(x)=ex

x

设切点为P(x0,y0),则f'(x0)=e°,

所以切线方程为1-e'。=eM(x-x0),

因为切线过原点。(0,0),可得-1。=-%/。，解得x0=l,不符合题意，舍去；

当x>0时，函数/(x)=lnx,可得=：

设切点为则/'(xJ=L

王

所切线方程为>Tn无]='(X-再)，

再

因为切点过原点。(0，。)，可得lnX]=l,解得占=6,

此时切线方程为>T=」(x-e),即x-ey=0,

e

故答案为：x-ey=0

题型03切线中平行、垂直、重合问题

【典例训练】

一、单选题

1.(24-25高三上•湖北•期末)函数/(同=勺11(2工)在》=工处的切线与直线y=3x+5垂直，则”()

x2

1111

A.——B.——C.-D.—

612612

【答案】B

【分析】求出“X)导数，/'g]=4。，利用函数/(X)在x处的切线与直线丁=3x+5垂直，列出方程,

即可求出实数。的值.

【详解】函数f（x）=,ln（2x）,求导得尸（x）=-£ln（2x）+/,

/（X）在x=2处的切线斜率为,UJJ）I2；,

又/（X）在x=；处的切线与直线y=3x+5垂直，

所以3*4〃=-1,解得"一，.

故选：B.

2.（2024•山西•模拟预测）已知函数/（丫）=（"3）/+9-2*+（a-1）》+。若对任意/eR,曲线y=4（x）

在点（x°,〃X。））和处的切线互相平行或重合，则实数。=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】求得/'（力=3（叱3）尤2+2（a-2）x+a-l,根据题意转化为了=/'（%）为偶函数，即可求解.

【详解】由函数/（工）=（"3）/+（。-2）工2+（”I）X+Q,

可得（x）=3（。-3）%2+2（Q-2）X+〃-1,

因为曲线y=/（x）在点&,〃尤。））和（-无。,〃-%））处的切线互相平行或重合，

可得y=/'（x）为偶函数，所以"2=0,解得a=2.

故选：C.

3.（23-24高二下•河北石家庄•期中）设曲线〃x）=*+6和曲线g（x）=cos，+c在它们的公共点P（0,2）处

有相同的切线，则〃+c的值为（）

A.0B.兀C.2D.3

【答案】C

【分析】根据两曲线在2）有公切线，则产是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出A。的值,

则答案可求

f/（0）=o+Z）=2

【详解】由已知得，（1、，解得c=l/=2-a,

[g（0）=l+c=2

又/'(x)=aeX,g'(x)=_]sin]x,

所以/'(0)=g'(0)得a=0,

所以a=0,6=2,c=l,

所以6"+c=2°+l=2.

故选：c.

4.(2024高三・全国・专题练习)已知f(x)=x3+nx-52,g(x)=x2-3Inx,若直线％+>+”=0是曲线歹=/(x)

与曲线P=g(x)的公切线，则加-〃=()

A.-30B.-25C.26D.28

【答案】C

【分析】根据题意，分别设出与曲线歹=/(、)以及与曲线y=g(x)的切点坐标，然后结合导数的几何意义,

代入计算，即可求解.

【详解】设直线％+歹+冽=。与曲线y=/(、)相切于点⑼，与曲线y=g(x)相切于点

(b,-b-m),b>0.

由g(x)=Y—31nx知g(x)=2x——,又两曲线的公切线斜率为-1,贝！)26—不=—1,解得6=1或b=—彳(舍

xb2

去).

所以1一31111=—1一加，解得加=一2.

由/(%)=/—52知/，(%)=312+〃，又两曲线的公切线斜率为一1，贝!|3/+〃=_1，即〃=一3〃一1，故

/—(3〃+1)。—52=—。+2,整理得/=_27,故q=—3,

所以〃=—3Q2—1=—28,故加—〃=26.

故选：C.

5.(2024•湖南长沙三模)斜率为1的直线/与曲线y=ln(x+a)和圆/+/=《都相切，则实数。的值为

()

A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或1

【答案】A

【分析】设直线/的方程为7=x+b,先根据直线和圆相切算出6,再由导数的几何意义算出a.

【详解】依题意得，设直线/的方程为了=x+6,即x-y+b=0,

1_H__A/2

由直线和圆=5相切可得，="y,解得6=±1，

当6=1时，y=x+l和y=ln(x+a)相切，

V=一匚，设切点为(见〃)，根据导数的几何意义，—^=1,

x+am+a

1=0

\rn=m+l

又切点同时在直线和曲线上，即.z解得冽=7.

=加+a)v2

即6=1时,a=2；

当b=_］时，、=1和〉=111(%+4)相切,

y'=一匚，设切点为（sj）,根据导数的几何意义，一匚=1,

x+as+a

，二0

E=s-1

又切点同时在直线和曲线上，即，解得s=l.

t-ln(s+q)

a=0

即6=-1时，a=0.

综上所述，。=2或。=0.

故选：A.

6.（23-24高三上•四川内江•阶段练习）若曲线了=lnx在点（xo，lnx°）处的切线也是＞=/的切线，则不一定

是下列函数（）的零点.

/(x)=lnx-^-x+]

A.B./(x)=lnx---

x+1x-1

Y+]D."x)=lnxx-+J2

C.f(x)=1nx-~—

x+2x+1

【答案】B

【分析】设满足题意曲线了=/的切线的切点为（国,户），先分别求出两曲线的切线方程，再根据切线相同

求出％,再的关系，即可得出答案.

【详解】由了=lnx,得夕=’，则》上『=',

所以曲线V=lnx在点（xoJnx。）处的切线方程为〉一也不二-14尤-%）,

xo

1,1

即y=—x+Inx0-1,

%

设满足题意曲线y=e”的切线的切点为（再,e』），

由＞=6，，得了=/,则V|『=e』，

所以曲线〉=e”在点（再,户）处的切线方程为y-e』=e"（x-再），

gpj；=eXlx+eX|（l-xj,

因为曲线V=lnx在点（%,1口/）处的切线也是歹=^的切线，

[1X

—=e*

所以＜工0，

X|

Inx0-1=e（1-xJ

整理得In/-1=—（l+lnx0）,

即x0Inx0-x0=1+Inx0,

/\1Xn+1fX+1.

即=所以出七=七，即Inx。-七n=0,

工0一1/一]

V+1

所以X。一定是函数"x）=lnx-=的零点.

x-1

故选：B.

二、填空题

7.（2024高三・全国•专题练习）已知曲线了=（/+，11^+2在点（1,2）处的切线为/,若直线加〃/,则直线加

的方程可能是.（写出一个正确答案即可）

【答案】y=2x+l（答案不唯一）

【分析】由导数法求得切线的斜率，再由加〃/,写出直线m的方程.

【详解】解：由题知，点（1,2）在曲线y=（/+x）hu+2上，

由了=（2x+l）lnx+（x2+x）--=（2x+l）-lnx+x+l,

得儿।=2,

・•・切线/的斜率左=2,.•.切线/的方程为y-2=2（x-l）,即尸2x.

又根〃/,则直线〃，的方程可能是了=2x+l（答案不唯一）

故答案为：y=2x+l（答案不唯一）

8.（24-25高三上•湖南永州•期末）已知直线/皿-4尸3=0是曲线G：y=3&和。2号=长的一条公切线,

则q+左=.

【答案】9

【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，再结合切点同时满足直线方程与曲线方程求解即可.

【详解】设直线办-4了+3=0与曲线”34相切于点

3

由歹二36,得

a3a

又•.・直线i的斜率为j.••肃=彳.

又点”（方,%）在直线"-例+3=0和曲线y=3&上，广

ax0-4%+3=0

联立①②可得a=12,故直线1的方程为12x-4y+3=0.

设直线12x-4y+3=0与曲线＞=小相切于点以国,必）.由〉=丘2,得了=2米.

又•.•直线1的斜率为3,，2句=3.

又点以再,必）在直线12x-4y+3=0和曲线丫=丘2上，.上：=口

12玉一4%+3=0

%=篙

联立＜12%一4必+3=0,解得左=-3,a+k=9.

2kxi=3

故答案：9.

题型04求公切线(两个切点)

【解题规律•提分快招】

求公切线方程

己知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，

则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.

具体做法为：设公切线在y=«x)上的切点尸1(X1，f(xi)),在y=g(x)上的切点尸2(M，g(M))，

X]-x2

彳询加练i

一、单选题

1.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)设函数/。)=/+5X2+依.若函数了=/(x)在x=x0和x=x()+l的切

线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为()

12

A.-B.■—C.vD.-

6323

【答案】c

【分析】求出函数“X)的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离.

【详解】函数/■00=/+]无2+办，求导得((无)=3/+3%+。，

依题意，/'(%+1)=/'(%),即3(xo+l)2+3(xo+l)+a=3x；+3xo+a,解得%=-1,

则两条切线的斜率为1(0)=。，对应的两个切点为(-11-。),(0,0),

切线方程为y_(g_a)=a(x+l)和＞="，即办一y+；=0和ax-y=0,

切线内-»+3=0过定点/(0,；),切线=O过定点0(0,0),

所以两平行线之间距离的最大值为I。4=；.

故选：C

2.（24-25高三上•广东广州•阶段练习）若直线了=息+6是曲线〃x）=e-3与g⑴=e*24_2025的公切

线，贝同=（）

1202320252

A.----B.----C.----D.----

2025202440474047

【答案】C

【分析】设直线y=与函数和g（x）的图象相切于点耳（西,弘）和巴区,％）,利用导数的几何意义，

求得切线方程，列出方程组，结合斜率公式，即可求解.

【详解】设直线V=h+b与函数/（x）=e-023的图象相切于点片a，M）,

与g（x）=e'+2024—2025的图象相切于点名心,%），

I+2024Y2+2024

因为/'（X）=eZ023,g，（x）=e，且乂=e*-2°23,%=e--2025,

则曲线y=f（x）在耳（网,其）处的切线方程为j-/2必=e-（x_&），

曲线y=8俳）在£（々,％）处的切线方程为》-炉+2。24+2025=二+2。24口一%）,

fe^i-2023=«、2+2024

所以|aX[-2023Xy-2023x2+2024x2+2024On”'解得西―3-4047，

122

[e'-x；e=e-x2e-2025

而MFJ-%炉一皿3一户+2必+20252025

所以xt-x240474047,

故选：C.

3.（2025高三・全国•专题练习）已知直线＞=依+6是曲线y=e*的切线，也是曲线丁=-b的切线，则上+6=

（）

A.-B.1C.eD.1+e

e

【答案】C

【分析】设直线广质+6与曲线尸e，的切点为（4炉），与曲线＞=-r的切点为（9，-「），利用导数求

出曲线＞=e、在》=再处的切线方程，以及曲线》=-1,在x=七处的切线方程，根据两切线重合可得出关于

为、X2的方程组，解出这两个量的值，可得出左、6的值，即可得解.

【详解】设直线丁=履+6与曲线y=e'的切点为（网,炉），与曲线＞=_/'的切点为（％,-ef）,

对函数ke'求导得"=伫）'=e，,对函数尸-―求导得y=（-e-'）'=e-\

则曲线y=e'在x=±处的切线方程为了-e』=e』（x-xj,即y=铲工+炉-玉e』，

曲线了二"一"在x=x?处的切线方程为y+ef=b爸（x-迎），

%2X2X2

BPy=e-x-x2e--e-,

X]—1

所以,解得

1

(1-xJe'=(-l-x2)e*2=-1

故后=e』=e,6=(l-l)e=0,所以4+6=e.

故选：C.

二、填空题

4.(24-25高三上•湖南长沙•阶段练习)若曲线y=ln(2x+2)在处的切线也是曲线＞=e*+x+a的切

线，贝!1".

【答案】0

【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.

21

【详解】曲线+

2x+2x+1

所以曲线＞=ln(2x+2)在[g,。]的切线的斜率为工^=2,

故切线为V=21x+g[=y=2x+l.

xrx

y=e+x+ay=e+19

所以曲线y=e"+尤+。在(％,e*+%+a)处的切线的斜率为ex°+1,

x

所以切线方程为:y-(^+xo+fl)=(e«+l)(x-xo),

化简，得了=3。+1卜7产。+砂+Q,

产+1=2.=0

xx

[-xoe°+e°+6z=l[a=0

故答案为：0

5.(24-25高三上•江苏•阶段练习)若曲线G：y=/与曲线G：y=qe"存在公切线，则〃的最大值____.

【答案】44

e

%22

【分析】设公切线与曲线G切与点(国,引，与曲线G切与点伍，小)，由题意可得2网=。廿=苫一二：

化简可得°上=4马-4,则一父),构造函数〃到=%/Q,利用导数求出其最大值即可.

【详解】设公切线与曲线G切与点即引，与曲线G切与点卜2,廿)，

由＞=/,得y'=2x；由y=aex得了=aex.

洸孙-%2

_x2

贝[12xl=aQ=-----------,

x2-x1

所以2±=2x「汇n西=2%-2,所以小苞=4x,-4,即0=竺2」1.

X2

x2-xle

A(i\、4e'-4(x-l)ex4(2-x)

设〃Y,则"(：)2二—

由/''(x)>0ox<2；由/''(xkOnx〉？.

所以函数/(x)在(-s,2)上单调递增，在(2,+s)上单调递减.

4

所以函数〃x）V〃2）=2.

即。的最大值为;.

e.

故答案为：44

e

【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是设出两切点的

坐标，由切线为两曲线的公切线列方程组求解，考查数学转化思想和计算能力.

6.（24-25高三上•福建福州•阶段练习）若曲线y=lnx在点Pg,%）处的切线与曲线＞=e工相切于点Q

2

（亚，及），贝f+%=____-

Aj—1

【答案】-1

【分析】根据导数几何意义可分别用多和3表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到

X、—1

国=一，代入所求式子整理即可.

x2+1

，1/x,1

【详解】；（lnx）=—,（二=e）.•.曲线y=lnx在点Pg,%）处的切线斜率左=一=力，

X项

二切线方程为＞」（》一再）+必=—x+lnxj-l,

再xx

或y=/（%―%）+%=dx+（1_%/,

­二e“2（-inx{=x2

x1(x2+l)=x2-1易知Z+lwO,

■^2---^x2=~[X2+1)+^2=-]

x2+1迎+1

故答案为：-1.

【点睛】思路点睛：本题考查导数中的公切线问题，求解此类问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导

数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题.

7.（24-25高三上•山东聊城•阶段练习）一条直线与函数了=Inx和夕=e，的图象分别相切于点尸（士,必）和点

。（%，%），则（阳T）（x?+1）的值为.

【答案】-2

'1X,

—=e2x—1

【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到国，联立得到七=七,

InXj-1=e*2（1—'

故（%T）（z+1）=卜卜2+1）=-2.

【详解】因为/（x）=lnx,g（x）=e\所以r（x）=—g'（x）=e、，

则昨Inx在点尸（尤］,切）处的切线方程为即y=（无+lnx「l；

X2X1

>=/在点。（乙,%）处的切线方程为：—“f），即了=ex+e（1-x2）,

1X

—=e2i__

由已知彳再，由£=*得玉=ef,故lnxi-l=lnef-1二一马一1,

X2

InXj-1=e（l-x2）

故解得项二^7^,

国x2+1

所以（再T）=强工1—1=—因此（匹—1）（%2+1）=（--：］（%2+1）=一2.

故答案为：-2.

【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：

（1）已知切点4（尤。,/（毛））求斜率限即求该点处的导数上=/'伉）；

⑵已知斜率左求切点/（现,/«））,即解方程/'（国）/；

⑶已知切线过某点M（玉,/（再））（不是切点）求切点，设出切点4/J（x。））,利用

■/(xj-7'(%)

k==/(%)求解.

题型05切线的条数问题

【解题规律•提分快招】

切线的条数问题

切线条数判断，一般转化为关于切点横坐标的函数零点个数判断问题.

一、单选题

1.(2023・四川凉山•一模)函数〃x)=；x2+“lnx在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，贝I］。的

取值范围为()

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-3,-2)

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.

［详解］由/(工)=；*2+q］nx=f'{x^=x+—(x>0),

不妨设这两条相互垂直的切线的切点为(网,〃网)),(孙/仇))，且/'(不)・/'(%)=-1

若a20,则/'(尤)>0恒成立，不符合题意，可排除A项；

所以。<0,此时易知>=/'(x)单调递增，

/'(l)=l+a<0

要满足题意则需，/'⑵=2+■!>()nae(-3,-2).

/⑴〃2)=(1+$2+£|<一1

故选：D

2.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)过点(3,1)作曲线y=ln(x-l)的切线，则这样的切线共有()

A.0条B.1条C.2条D.3条

【答案】C

【分析】设出切点，根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程，根据切线过点(3,1),列方程，判断

方程解的个数即可.

【详解】因为>=ln(x-l),所以>=<(%>1).

x-1

设切点坐标为：(x0,ln(x0-l)),切线斜率为：左==(x0>l).

%—1

所以切线方程为：yTn(Xo-l)=一、(尤-尤0).

又切线过点(3,1),

12

所以=-------(3-x0)=ln(x0-l)+-----；-2=0.

/一］工0_1

2

设/(x)=lnx+——2(x>0)

由/'（x）>0=>x〉2；由/'（%）<0=>0<x<2.

所以函数/（力在（0,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增.

且d=2e-3>0,〃2）=ln2T<0,/（e2）=^>0.

所以/（x）=0在和（24各有1个根.

所以方程：ln（%-l）+—-2=°有且只有两个解.

故选：C

3.（23-24高二下•浙江衢州•期末）若曲线>=（办+l）hu有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

（）

A.B,（0,e2）仁ifD-[J,ej

【答案】A

【分析】先设切点小,（"o+l）lnxo）,再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再

根据切线过点（0,0）,得到七,。的关系，利用不有两解求。的取值范围.

【详解】设切点o+l）l明）），

又;/=alnx+（ax+l>L=Qlnx+'+a,所以切线斜率为：k=a\nx0+—+aa

Xx%o

由点斜式，切线方程为：>-（％+1）1啄=alnx0+—+a|（x-x0）.

因为切线过点（。,0）,所以-（办0+1）1叫=[alnXo+'+a（0-x0）.

IXo7

所以：6Zxo-lnxo+l=O.

因为过原点的切线有两条，所以关于％方程办-Inx+1=0有两解.

由ax-lnx+l=O(x>0)=a=--

x

1-x-(lnx-l).

设/«）=一，贝」，（、）=2lnx

人____________________________________________7

X2

由//(%)〉0得2-111%>0=>]<62,

所以〃(x)在(od)单调递增，在卜2,+动单