导数的综合应用（练习）解析版-2025年高考数学二轮复习专练

专题3.6导数的综合应用

【新高考专用】

题型基础练

题型_N导数中的函数零点(方程根)问题

1,%>0

1.(2024•新疆乌鲁木齐•三模)已知符号函数sgn(x)=0,x=0,则函数/(%)=sgn(lnx)—零点

—1,x<0

个数为()

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】根据零点的定义计算即可.

【解答过程】①当Inx>0,即第>1时，/(%)=1-xlnx,

/(X)=—Inx—1<0在(1,+8)上恒成立，

所以/(%)在(1,+8)单调递减，

因为/(I)=1>0J(e)=l-e<0,

所以存在久o6(Le)使得f(与)=0.

团当Inx=0,即％=1时，/(%)=—xlnx,

因为f(l)=0,所以％=1是/(%)的零点.

团当Inx<0,即OV%V1时，/(%)=-1—xlnx,f(%)=—Inx—1,

令/'(%)>0,得0V%V，，令/得

所以n>)在(o,3单调递增，在G，I)单调递减，

所以f(X)max=£)=-l+：<。，

此时/(X)在(0,1)没有零点，

综上，/(x)的零点个数为2.

故选：C.

2.(2024•贵州贵阳•一模)已知函数人久)=卜+7”>°,若方程/(久)+ex=0存在三个不相等的实根,

Ie%<0

则实数a的取值范围是()

A.(—8,e)B.(—8,-e)C.(一8,-2e)D.(-8,2e)

【解题思路】考查利用导数研究函数零点问题，先根据导数情况得出函数单调性和最值情况，再数形结合

分析，分段函数分段讨论即可.

【解答过程】因为方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根，所以函数g(x)=/(x)+ex有三个零点，

当％G(—8,0)时,g(%)=/(%)+ex=e~x+ex,所以g'(%)=—e~x+e,

所以当久€(—8,—1)时，g'(%)v0；当无£(—1,0)时，g(x)>0,

所以g(x)在(一叫一1)上单调递减，在(一1,0)单调递增，g(%)>g(-1)=0,

又当XT0时，g(x)-1；当久T-8时，^(%)->+oo,所以g(E)图象如图；

当％G(0,+8)时，g(%)=/(%)+e%=a+：+ex,

所以/(%)=_讶+e='电手-1),所以当xE(0,1)时，g(x)<0；当％6(1,+8)时，g/(%)>0,

所以g(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)单调递增，g(%)之g(l)=a+2e,

又当工—0时，9(%)—+8；当％一+8时，g(%)t+8,所以g(X)图象如图，

所以当a+2e<0即a<-2e时函数g(%)=/(%)+e%有三个零点,

即方程f(%)+ex=0存在三个不相等的实根，

故选：C.

3.(2024・广东梅州•三模)已知函数/(%)=e%-Q%2,aeR,/'(%)为函数/(%)的导函数.

⑴讨论函数/'(%)的单调性；

(2)若方程/(%)+/'(%)=2-a/在(o,i)上有实根，求Q的取值范围.

【解题思路】(1)由题意得/'(%)=ex—2ax,令g(%)=ex—2ax,则g'(%)=ex—2a,分类讨论a<0,a>0,

即可得出答案；

(2)由(1)得/'(%)=ex-2ax,题意转化为方程e%—ax—1=0在(0,1)上有实根，令(p(x)=ex—ax-l(xE

(0,1)),则0Go=e%-a,分类讨论a<1,a>e,1<a<e,即可得出答案.

【解答过程】(1)f\x)=ex-2ax,令g(%)=e%-2a%,则g'(%)=e*-2a

当a40时，g\x)>0,函数/'(%)在R上单调递增；

当a>0时，g(黑)>0,得久>ln2a,g(%)<0,得％<In2a.

所以函数f'(%)在(-8/n2a)上单调递减，在(ln2a,+8)上单调递增.

(2)由(1)知，f(%)=ex-2ax,方程/(%)+/'(%)=2-a/在(oj)上有实根等价于方程一一i二。

在(0,1)上有实根.

令？(%)=ex—ax—1(%G(0,1)),则？(%)=ex-a

当Q41时，(/?(%)>0,函数0(%)在(0,1)上单调递增，0(%)>0(0)=0,不合题意；

当Q^e时，，(%)V0在(0,1)上恒成立，所以函数以第)在(0,1)上单调递减，0(%)<0(0)=0,不合题意；

当1VaVe时，</?(%)<0,得0<%<Ina,w(%)>0,得Ina<x<1,

所以函数9(%)在(0/na)上单调递减，在(Ina,1)上单调递增.

因为9(。)=0,所以w(l)=e—a—1>0,所以a<e—1

综上所述，a的取值范围为(1£一1).

1

4.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=%鼓一a(%>0),且/(第)有两个相异零点％力第2・

(1)求实数。的取值范围.

(2)证明：/+犯>

【解题思路】(1)利用导数求出函数/(乃的最小值，再分段讨论并构造函数，利用导数探讨单调性，结合

零点存在性定理推理即得.

(2)由(1)的结论，结合函数零点的意义可得；dn%-Ina•%+1=0有两个相异的解%力％2，再构造函数,

借助单调性确定久1，%2的取值区间，再结合分析法推理证明即得.

【解答过程】(1)函数/(、)=%或一a,求导得/'(%)=(1-，或=?曲，

当0<%<1时，/(%)<0；当汽>1时，/(x)>0,/(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

则f(%)min=f⑴=e-a.

当aWe时，/(%)N0恒成立，/(%)至多有一个零点，不符合题意，

11

当a>e时，/(I)<0,f(a)=aea—a—a(e«-1)>0,即使f(%2)=。，

/(：)=—a—e:。,令g(a)=ea—a2,求导得g(a)=ea—2a,

令9(a)=ea—2a,求导得0(a)=ea—2>0,即g(a)在(e,+8)上单调递增,(p(d)>@(e)=ee—2e>0,

于是g'(a)>0，函数g(a)=ea-M在3+8)上单调递增，g(a)>g(e)=ee-e2>0,

因此三%1£((1),使f(%i)=O,

所以实数a的取值范围为(e,+8).

11

(2)由(1)知，无所=a有两个相异的解久即方程In%+=Inao%ln%-Ina•%+1=0有两个相异

的解，

令函数h(x)=xlnx-Ina-x+1,求导得=Inx+1-Ina在(0,+8)上单调递增，且=0,

当0<%<：时，ft(%)<0,九(%)在(0,?)单调递减，当%时，％'(%)>0,%(%)在(?+8)单调递增，

不妨设第1<第2，显然%1€(o,£)，x2E(p+00),

要证％1+%2>§，即证》2>Y-Xl>7即证九(久2)>九(§一第1)・

又九(%1)=%(%2)，则即证八(%1)>九((一支1)，令函数F(%)=似%)-%(§-%),xG(0^),

贝！JF(久)=/i(%)+-x)=Inx+1—Ina+ln(g—x)+1—Ina=ln(g%—x2)+In宏，

而，=—(x—£)2+%<%,则F(x)VIn+In=0,

因此函数F(%)在(05)上单调递减，即F(%)>/(£)=0,则以第i)>/;(称一久i),

所以％1+打>

题型二卜利用导数证明不等式O|

5.(2024•浙江温州•模拟预测)已知久，yER,则“％>y>1”是"％-模％Ay-Iny”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】构造函数/«)=t-lnt(t>0),通过求导分析函数在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

故由“%>y>1"可得"％-Inx>y—lny,5,举反例可说明由“％-In%>y-Iny”不能得至！］“%>y>1”,以此

可确定选项.

【解答过程】设/(t)=t—Int,t>0,则尸(t)=l—;=*,

由f'(t)>0得t>1,由/''(1)<0得0<t<1,

二八。在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

.•.当x>y>l时，/(x)>/(y),即x—Inx>y—Iny成立.

当％—In%>y-Iny成立时，可能有％=y=1,此时久Vy.

综上，“％>y>1”是“％-In%>y-Iny”的充分不必要条件.

故选：A.

6.(2024•安徽•三模)已知实数句,如均满足产=送一1=万『=5，则()

2—%iJl+13+120

A.Xr<X2<%3B.<%3<X2

x

C.X2<x3<%1D.%2<%1<3

【解题思路】求出第1，%2，%3,构造函数f(久)=%2-1-21n%,利用导数研究单调性，比较出町,第2,构造函

数g(%)=In%—(1-3，比较出％2>%1，即可求解.

【解答过程】依题意士=e^=Vl+x^=1.05,则第1=2(1-+),%2=21nl.05,%3=1.052-1.

令f(%)=x2—1—21nx,故/'(%)=2(%-?(%+1),

故当%>1时，/(%)>0,/(%)在(1,+8)上单调递增，

故/(1.05)>0,则％3>%2.令9(%)=In%-(1-4

则/(久)=裳，故当%>1时，g'(x)>0,。(%)在(1,+8)上单调递增，

则g(1.05)>0,则％2>%i.

综上所述：X3>X2>Xi.

故选：A.

7.(2024・广东广州•模拟预测)已知函数/(%)=e'-Ze/一%.

(1)若忆='|,求证：当X>0时，/(%)>1；

(2)若％=0是/(%)的极大值点，求k的取值范围.

【解题思路】(1)令/久)=/'(%),再求导可得1(幻，即可得到r(%)>0在(0,+8)上恒成立，即可证明；

(2)分类讨论可得g(%)=/(%)=ex-2kx-1的单调性，分k<0>0<fc<1>fc=|>fc>］四种情况讨论,

判断/(%)的单调性，即可确定极值点，从而得解；

【解答过程】⑴若上=右则/(%)=e%-)一%,令九(%)=f'(%)=-％-1,

则h'(%)=ex—1,当％>0时，ex>1,即>0在(0,+8)上恒成立，

所以M%)在(0,+8)上单调递增，即/'(、)在(0,+8)上单调递增，

所以/G)>/to)=i-o-i=o,

即/"(%)在(0,+8)上单调递增,所以f(x)>f(0)=1.

(2)由题知f'(x)=-2kx-1,

令g(x)=f(x)=ex—2kx—1,则g'(x)=ex—2k,

当kW。时，g'(x)>0j'(x)在区间(一8,+8)单调递增，

当k〉0时，令g'(x)=0,解得x=\n2k,

当工€(―8,ln2k)时，g’(x)<0,当x€(ln2k,+8)时，g(x)>0,

所以八%)在区间(-8,ln2k)上单调递减，在区间(In2k,+8)上单调递增,

则当kWO时，尸(0)=0,

当xG(一8,0)时，/'(%)<0,/(x)在(-8,0)上单调递减；

当xe(0,+8)时，f'[x}>0,/(%)在(0,+8)上单调递增；

所以x=0是函数f(x)的极小值点，不符合题意；

当0<k<g时，In2k<0,且/''(0)=0,

当％e(In2k,0)时，/(%)<0"(%)在(1112卜,0)上单调递减；

当％e(o,+oo)时,yz(%)>o,/(x)在(o,+8)上单调递增；

所以攵=。是函数八K)的极小值点，不符合题意；

当/c=断寸，In2k=0,

则当Xe(-00,+8)时，f'(x)>O,/(X)在(一8,+8)上单调递增，

所以f(x)无极值点，不合题意；

当k>1时，In2k>0,且/'(0)=0；

当x6(—8,0)时，f'(x)>O,f(x)在(―8,0)上单调递增；

当xG(0,ln2a)时，/(x)<0"(x)在(0,ln2k)上单调递减；

所以％=。是函数/Q)的极大值点，符合题意；

综上所述，k的取值范围是k>:.

8.(2024,山西•模拟预测)已知函数/(%)=Inx+]/-尤+2(aeR).

(1)若函数/(久)在定义域上单调递增,求a的取值范围；

ApX-2

(2)右a=0；求证：f(%)</；

X

(3)设修，X2(1<冷)是函数的两个极值点，求证：/(久1)一久刀2)<-0(%1-x2).

【解题思路】(1)由题意得f'(x)20恒成立，参变分类求最值即可；

(2)求导，确定其单调性得到构造函数9(%)=*,求导确定其单调性得到9(久)之1,即可求

证；

灯_1

(3)化简fCq)-/(%2)=In2一毛这，将/(%i)-/(%2)V(。一<)(%1一冷)转化成In9〈把7，再构造函数

工2/\L)X?--F1

x2

h(t)=Int-^,通过讨论其单调性即可求证.

【解答过程】(1)由题意知函数人久)的定义域为(。,+8),

/(x)—^+ax—1>Q在*G(0,+8)上恒成立，

所以a>-/+：在%€(0,+8)上恒成立，

又一3+工=一0一当且仅当芯=2时，等号成立，

x\x2J44

所以QN.即a的取值范围是卜+8).

(2)证明：若。=0,/(%)=In%-％+2,所以/'(%)=：-1=子，

令/(%)=0，解得％=1，所以当0V%V1时，/(X)>0,

当%>1时，f(x)<0,

所以/(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以/(%)W/(1)=L当且仅当无=1时，等号成立.

令9(幻=写;X>0，所以g'CO=4(/一：j)e，2=4(x-j产2,

令g'(%)=0,解得％=2,所以当0V%V2时，g(x)<0,当%>2时，g\x)>0,

所以9(%)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

所以g(x)2g(2)=1,当且仅当％=2时，等号成立，

所以/(%)<1<g(%),又等号不同时成立，

4aA2

所以/(%)V

(3)证明：由题意可知/'0)=[+。％-1=包券，

因为/(%)有两个极值点%1，%2(%1<%2)，

所以％1，冷是方程。/一%+1=0的两个不同的根，

句+%2=1

则。〈”出

所以/'3)-f(x2)=(%+^%i-Xi+2)-(lnx2+四一冷+2)

(修一"2)=ln葭+&

所以要证/(%1)-/(%2)<-％2)，即证In1一七盘V^-0(%1-X2),

J

即证In—<a(%i—七)，即证In—<%1即证In—<S—.

X2XXi+Xx—+i

222x2

令t=—(0<t<1),则证明Int<二，

x2t+i

令h(t)=Int-宗，则h'(t)=>0,

所以h(t)在(0,1)上单调递增，则/i(t)</i(l)=0,即Int<—,

所以原不等式f(%1)-/(%2)<(a-I)_%2)成立.

题型三N利用导数研究不等式恒成立问题

9.(2024•内蒙古呼和浩特•二模)若二Ne+lnax在%€(0,+8)上恒成立，则a的最大值为()

a

A.—B.2e「C.el-D.e1+e-e

2

【解题思路】易知a>0,原式可变形为f(%)=e%-e一碇一alna%20,('>。)，结合隐零点的解题思路，求

出/(%)min，由f(%)min20可得h(t)=:-21nt-tN。，结合函数的单调性解得。Vt<1,即可求出4的取

值范围即可.

【解答过程】由题意知，ax>0,由％>0,得a>0.

原式可化为e%—e—ae—a\nax>0,

设f(%)=眇一,—ae—alnax(x>0),则/(久)=ex-e—?

又函数y=ex-e,y=一/在(0,+8)上单调递增，所以函数y=f'(%)在(0,+8)上单调递增，

则当％->0时，/(x)oo,当％-»+8时，/'(%)—+8,

故存在t>0使得f'(t)=0,即e*-e一：=0,得Q=tet-e,即Ina=Int+t—e,

且当0<%V力时，/(%)<0；当汽>t时，/(%)>0,

所以函数/(%)在(0,t)上单调递减，在Q+8)上单调递增，

故/(%)min=f©-et-e—ae—ainat=et-e-teet-e—tet-e(21nt+t—e),

所以e・e-teet-e-tet-e(21nt+t—e)=et-e(l—te—2tint-t2+te)>0,

即]—21nt—t20,设h(t)—~—21nt—t(t>0),

由函数y=py=-2\nt,y=-1在(0,+8)在单调递减，

知函数八(力)在(0,+8)在单调递减，且九(1)=0,所以OvtWl,

所以e-eve~e工e/e,故0vte.e〈e/e,即0<a4ei-e,当且仅当t=1时等号成立，

所以。的最大值为ei-e.

故选：C.

10.(2024•湖北武汉•二模)已知e%+sin%>ax4-1对任意久e[0,+8)恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(—00,2]B.[2,+oo)C.(-8,1]D.[1,+8)

【解题思路】令/(%)=ex+sin%-ax-l,x>0,由题意可知：/(%)>0对任意汽e[0,+8)恒成立，且/(0)=

0,可得尸(0)=2—aNO,解得a<2,并代入检验即可.

【解答过程】令/(%)=e*+sinx—ax—l,x>0,则f(%)=ex+cosx—a,

由题意可知：/(%)N0对任意x6[。,+8)恒成立，且/(0)=0,

可得/'(0)=2-a>0,解得a<2,

若QW2,令g(%)=/'(%),、之0,

贝Ug(%)=ex-sinx>1—sinx>0,

则g(%)在[0,+8)上递增,可得g(%)>g(0)=2-a>0,

即/'(%)之0对任意％6[0,+8)恒成立，

则/(%)在M+8)上递增，可得/(%)>/(O)=o,

综上所述：2符合题意，即实数a的取值范围为(-8,2].

故选：A.

11.(2024•河南•模拟预测)已知函数/(%)=ex—2elnx+ax+lna(a>0).

(1)若a=l,证明：/(%)>|%；

(2)若/(%)之2e+l恒成立，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)构造函数九(%)=ex—e%由单调性得e%>ex,再由p(%)=%—elnx根据单调性得久>elnx,

再由不等式性质即可得出结论；

(2)利用不等式恒成立的一个必要条件是f(l)>2e+l,构造函数X%)=%+In%可知。>e,再由充分性

即可求得结论，再证明必要性成立即可得QNe,得出结果.

【解答过程】(1)当。=1时，/(x)=ex-2elnx+x,

要证明/(汽)>1%,即证g(X)=/(%)—|x=ex—2elnx—|>0；

令/i(x)=ex—ex,xE(0,+oo),贝!Jh'(%)=ex—e,令h'(x)=0,解得％=1,

当工€(0,1)时，hXx)<o,即可得M%)在(0,1)上单调递减，

当％E(1,+8)时，h(x)>0,即可得h(%)在(1,+8)上单调递增，

即九(%)在％=1处取得极小值，也是最小值九(1)=0,

故e*>ex；

令p(x)=x—eln%,%€(0,+8),贝=令p'(%)=0,解得％=e；

即可得当久6(0,e)时，p(x)<0,即可得p(x)在(0,e)上单调递减，

当％6(e,+8)时，p'(x)>0,即可得p(%)在(e,+8)上单调递增，

即p(%)在％=e处取得极小值，也是最小值p(e)=0,

故%>elnx；

因此e"—2elnx—|>ex—2%—|=—|^x>0,

故/(%)>|x；

(2)易知/(%)=ex-2elnx+Q%+Ina之2e+1恒成立的一个必要条件是/⑴>2e+1；

即e+a+Ina>2e+1,故a+Ina>e+1；

令t(%)=%+Inx,则/(%)=1+^>0恒成立，即t(%)为(0,+8)上的增函数，

因此可得t(a)=a+Ina>e+l=t(e),可得a>e；

下面证明充分性：

当Q之e时，/(%)>ex—2elnx+ex+1,

令m(%)=ex—2elnx+ex+1,贝!Jm(%)=ex——4-e,

X

易知THG)为单调递增函数，令TH'(%)=0,解得％=1;

可知当％6(0,1)时，血6)<0,即可得血(汽)在(0,1)上单调递减，

当％G(1,+8)时,m(x)>0,即可得m(%)在(1,+8)上单调递增，

即7no)在％=1处取得极小值，也是最小值血(1)=2e+L

故当aNe时，/(%)>m(x)>2e+1,

综上可知，实数a的取值范围［e,+8).

12.(2024•湖南衡阳,一模)已知函数/'(久)=sinx—aln(6+x)

(1)若/'(X)在久=n:处的切线方程为2久+y+2n(ln2Ti-1)=0,求a、b的值；

(2)若6=1时，在(一15］上%)20恒成立，求a的取值范围；

【解题思路】(1)由题意得直线的斜率卜=-2,根据导数的几何意义，再结合点(ir,f(n))在切线上，即可

求解；

(2)由题意得/(0)=0,且在(一1,表上，/(X)min=/(。)，所以"0)=0即可求出a，再利用导数的几何

意义及零点存在定理结合对零点“设而不求”的方法证明即可.

【解答过程】(1)f'3=cos%-

b+x

由题意得f(n)=COSIT-W=-2,

所以7^=1，即。=6+11,

b+n

/(7i)=sinn—aln(Z?+n)=—2n+2n(l—ln2n),

所以aln(b+n)=(b+ir)ln(6+n)=2nln2n,

故a=2IT,b=IT.

(2)/(0)=sinO-aln(l+0)=0,

若(->0恒成立，BP/(x)min=/(0),

故f(0)是〃>)在(一1,会上的极小值，所以八0)=0,

/(%)=cosx———,/(0)=cosO———=1—a=0,解得a=1,

l+x1+0

下证a=1时，f(%)min=/(0)，

令g(x)=(1+x)cosx—1,g'(x)—cosx—(1+x)sinx,

①在(0,会上g'(%)单调递减，g‘(0)=l,g'6)=-l*<0,

由零点存在定理，使得9’(3=0,

在(0,&］上，g(x)>0,g(x)单调递增，

在［X0q)上，g'(x)<0,g(x)单调递减，

g(］)=-l,g(0)=0,g(x0)>g(0)=0,

由零点存在定理注e(配*)，使得g(xi)=0,

在(曲,刀1)上，/'(%)=.>0,/(x)单调递增，

在(比14)上，八%)=翟<0,了⑶单调递减，

所以(0白上，/(0)=0,f《)=l-ln(l+>0,/(x)min=min{/(0),/(=)}=/(0),

②在(一1,0］上，f'(x)=cosx-左单调递增，

/(X)Wf'(0)=0,f(X)单调递减，所以f(%)min=f(。)，

综上，只有当a=1时，在(一1,表上f(x)min=f(0)，所以a=l.

题型四卜利用导数研究存在性问题。|

13.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=e%+(e+1)%-。(aER),g(%)=/+2%.若存在％E［0,1］,

使得/(%)=g(%)成立，则实数a的最大值是()

A.2e—2B.e—2C.e+1D.2e+1

【解题思路】将问题转化为“直线y=a与函数h(%)=e%+(e-l)x-x2,xG［0,1］的图象有交点”，然后利用

导数分析M%)的单调性以及取值，由此求解出。的最大值.

【解答过程】存在第G［0,1］,使得/(%)=g(x)成立，

即e%+(e+l)x—a=x2+2%在［0,1］上有解，即a=ex+(e—l)x—/在［0,1］上有解，

所以直线y=a与函数h(%)=ex+(e-l)x-x2,xE［0,1］的图象有交点，

又h(x)=ex—2%+(e—1),%G［0,1］,令?n(%)=h(x),则7n(%)=ex—2,

令>0,得％>ln2,令7n'(%)V0,得/Vln2,

所以/(%)在［0,ln2)上单调递减，在Qn2,l］上单调递增，

所以h(久)>h(ln2)=eln2-21n2+e—l=e+l—21n2>0,

所以h(%)在［0,1］上单调递增，

所以/l(%)min=九(0)=LM%)max=h⑴=2e—2,

所以要使直线y=Q与函数h(%)的图象有交点，只需l4a42e-2,

所以a的最大值是2e-2,

故选：A.

14.(2024,四川乐山•二模)若存在久oE［-1,2］,使不等式%o+(e?-l)lnaN胃+e2%o-2成立，则a的取

值范围是()

A•长州B.小国c.小司D.『回

【解题思路】等价变形给定的不等式，并令高=如构造函数/«)=(e2-l)lnt-2t+2,将问题转化为存

在te卜卦使得f(t)>0成立，再借助导数求解即得.

2222

【解答过程】依题意，%o+(e-l)lna>^-+ex0-2o(e-l)lna-(e-l)x0之言一2

o(e2-l)lna-(e2-l)lne%0>-2«(e2-2,

eAueaoeu

令=t,即(e?1l)lnt—2t+2>0>由x()e[-1,2],得t£[白，白^]，

令f(t)=(e2-l)lnt-2t+2,则原问题等价于存在te根身，使得/(t)20成立，

求导得f'(t)=—_2=(好一?2t,由-(t)<o,得t>?,由f'(t)>0,得0<t<?,

因此函数f⑴在”,+8)上单调递减，在(O.?)上单调递增，

而/'(1)=0,f(e2)—(e2—l)lne2—2e2+2=2e2—2—2e2+2=0,又1<<e2,

则当lWt〈e2时，/(t)>0,若存在te卜卦使得f(t)2。成立，

只需刍We?且胃21,解得awe，且即工WaWe3

eeee

所以a的取值范围为t，e4].

故选：D.

15.(2024•海南海口•模拟预测)已知函数/(%)=e%(%+2)—a%,若存在唯一的负整数支°,使得f(%。)V0,

则实数a的取值范围是—忠君

【解题思路】当x<0时，由fO)<0可得出a<令g(x)=土户,其中无<0,利用导数分析函数g(x)

在(-8,0)上的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围.

【解答过程】当x<。时，由/'(x)=ex(x+2)—ax<0可得a久>ex(x+2),则a<土，

令g(x)=心(：+2),其中％<0,则g’(%)=("与-2贮,

当久<0时，令g'(x)=0,可得x=—1—百，列表如下:

-1(-1

X

-何-V3-V3,0)

gG+0—

gM增极大值减

且—3<—1一百<—2,g(—3)=专，g(—2)=0,g(—4)=/，如图所示:

要使得存在唯一的负整数而，使得fOo)<。，即a<g(久o)，

只需g(-4)Wa<g(-3),即会<。<小

因此，实数a的取值范围是[点,看).

故答案为：[5,专).

16.(2024•浙江•三模)已知函数/(%)=(%—2)e%+In%,g(x)=ax+b,对任意aE(—8,1],存在％w(0,1)

使得不等式/(%)>g(%)成立，则满足条件的b的最大整数为_二4_.

【解题思路】依题意存在久e(0,1)使得(工-2)ex+Inx>%+h,参变分离可得(％-2)ex+Inx-x>b,令

F(x)=(%-2)ex+Inx-X,XG(0,1),利用导数说明函数的单调性，求出F(%)max，则)工尸(%)max，即可求

出b的最大整数.

【解答过程】依题意对任意aG(—8,1],且％>0有g(%)=ax+b<xb,

因为存在久G(0,1)使得不等式f(%)>9(%)成立，

所以存在％G(0,1)使得(％—2)ex+Inx>x+b,即(久一2)ex+Inx—x>b,

令F(%)=(x-2)ex+Inx—x,xG(0,1),

则F(x)=(x—l)ex+[—1=(%—1)(e*—5),

令m(%)=ex-xe(0,1),则m(%)在(0,1)上单调递增，

X

且m(l)=e—1>0,m=e2—2<0,

所以eG，l)使得mOo)=e%—5=0，即M。=x0=-lnx0,

所以当0<%<&时F'(x)>0,当&<x<1时/'(x)<0,

所以F(x)在(0,久0)上单调递增，在(&，D上单调递减，

所以尸(x)max=FOo)=(q一2)ex°+ln&—*0=臂一2%0=1—2卜0+J，

因为与6&1)，所以孙+Ce

所以F(x)max=FOo)=1-2(£0+£)e(-4,-3),

依题意bWFQOmax，又6为整数，所以6W-4,所以b的最大值为-4.

故答案为：-4.

题型五■利用导数研究双变量问题

17.(23-24高二下•福建福州•期中)已知函数/(%)=(%-2)e%,若f(%i)=/(%2)，且％1。久2，

则()

13

A.>-B.%2V]C.x1x2>1D.%i+冷V2

【解题思路】

利用导数讨论函数/(%)的单调性，设久1<%2、f(xo)=-2且%0H0,结合图象得0VV1V%2V%oV2,

再利用导数研究函数9(%)=/(I+x)-/(I-%)的性质得/(I+%)>/(I-%),结合/(比1)=f(%2)变形、基

本不等式，即可判断各项正误.

【解答过程】/(%)=(%-2)eS则/'(%)=(x-l)ex,令/'(%)=0=>%=1,

当％E(-8,1)时/'(%)<o,/(%)单调递减，当久e(1,+8)时/'(%)>o,/(%)单调递增，

在XW(-8,2)上/(%)<0,且f(2)=0,/(0)=-2,/(x)min=/(l)=-e,即/(%)>-e.

综上，/(%)的图象如下：结合f(%i)=/(%2)=匕%1-%2>0，令％1<%2，

如上图，若/(%o)=(%o一2)ex°=-2且％°W0,则0</V1V冷<%o<2,则％i>g不一定成立，A错

误；

又/《)=(|_2)/=_寺€(_e,_2),故|v%o，则％2Vl不一定成立，B错误；

令9(%)=/(I+%)—/(I-%)=(%—l)ex+1+(%+l)e1-x,

则9(久)=xex+1—xe1-x=%(ex+1—e1-x),

当％NO时，%+1>1—%,得e"+i>e1-x,则g'(%)>0；

当久V0时,%+1<1—%,得e%+i<e1-x,则g'(%)>0,

所以函数g(%)在R上单调递增，且g(0)=0,

所以/(I+%)>/(I-%)在R上恒成立,得f(犯)=/[I+(%2-1)]>/[I-(%2-1)]，

即f(%2)>/(2—犯)，又/(%1)=/(%2)，所以/(勺)>/(2—血)，

由2-％2<1，且函数/(%)在％E(-8,1)单调递减，得％1<2-久2，即汽1+%2<2,D正确.

又0V勺<1V%2V%。<2,贝!]2>/+冷>即1>又1%2,故0V%i%2V1，C错误.

故选：D.

18.(23-24高二下•四川眉山•阶段练习)已知函数/(%)=e%+a%有两个零点久1，%2，且％i>第2，则下列说

法不正确的是()

A.a<—eB.xr-\-x2>ln(x1x2)+2

C.X1x2>1D./(%)有极小值点

【解题思路】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0,判断A；根

据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合f(0)>0,即可判断C；根据A的判断，即可判断

D.

【解答过程】由题意，函数/(%)=e%+a%,贝！J/GO=e%+a,

当aNO时，/'(%)=e%+a>0在R上恒成立，所以函数/(%)单调递增，不符合题意；

当Q<0时，令/'(%)=ex+a>0,解得%>ln(—a),令f(x)=ex+a<0,解得％<ln(—a),

所以函数/(%)在(一8,In(-a))上单调递减，在(ln(-a),+8)上单调递增，

因为函数f(%)=e%+a%有两个零点％i，%2且％i>%2，

对A,贝！J/(ln(—a))=eln^-a^+aln(—a)=—a+aln(—a)=—a(l—ln(—a))<0,且a<0,

所以1—ln(—a)<0,解得aV—e,所以A正确；

%2

对B,a<—e,且e%i+axr=0,e+ax2=0,故%】=ln(—a%)x2=ln(—a%2)，

所以％i+冷=皿/％]%2)=21n(—a)+ln(x1x2)>2+ln(x1x2),所以B正确；

对C,由f(0)=1>0,且由A可知，a<—e,ln(—a)>1,则0V%2V1，但％i%2>1不能确定，

所以C不正确；

对D,由函数/'(x)在(-8,ln(-a))上单调递减，在(ln(-a),+00)上单调递增，

所以函数的极小值点为祀=In(-a),所以D正确；

故选：C.

19.(24-25高三上,山西•阶段练习)已知函数/(久)=好—a%+21n%,aeR.

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1/(1))处的切线方程；

(2)已知/(久)有两个极值点%1，%2，且％1<乂2，

(i)求实数。的取值范围；

(ii)求2f(%)—/(%2)的最小值.

【解题思路】(1)根据导数的几何意义计算即可求解；

'△=-16>0

(2)(i)根据极值点的概念可得孙冷是方程2/一批+2=0的两个正根，结合《勺+右=与>0计算即

、=1>0

可求解；

(ii)由⑴得+汽2=泉％1、2=I,化简计算可得2/(%1)-/(%2)=x2一看一61n%2-2,令g(%)=%2一1一

61nx-2(x>1),利用导数求出g(%)min即可.

【解答过程】(1)当a=2时，/(x)=x2—2x+21nx,

则/(I)=一lf(x)=2x+|-2(x>0),得f'⑴=2,

所以曲线y=/(%)在点(1)(1))处的切线方程为y+1=2(%-1),

即y=2%—3.

(2)(i)f'(x)=+：_a=2.：X+2(%>0),

又%L%2是函数/(X)的两个极值点，所以第1，%2是方程2x2-ax+2=0的两个正根

'△=次-16>0

则,+汽2=]>。，解得a>4,

、xrx2=1>0

经检验，当a>4时，符合题意.

所以实数Q的取值范围为(4,+8).

(ii)由(i)知久1+冷=或％1%2=1，则0VV1V%。=2(%i+不)，

2/(^1)—/(%2)=2(就—ax±+21n%i)—(若—ax22+lnx2)

=2%i—%2~2a%i+ax2+41n%i—21nx2

=2%i—%2―4%式%1+x2)+2%2(%i+x2)+41n%i—21nx2

=x?-2x?—2%62+In乌

均

=%2—2—61n%2-2,

令g(%)=/一5—61nx—2(%>1),

则gG)=g+2»—g=2"1)(:产(X+夜),

当1<汽<鱼时，g'(%)vO,则g(%)单调递减

当%>企时，g(%)>0,则g(%)单调递增

故当％=鱼时，9(%)取得最小值9(鱼)=(鱼)--^2-61nV2-2=-l-31n2,

(A)

所以2/(%1)—/(%2)工-1—31n2,即—/(到)的最小值为—1—31n2.

20.(2024•广东佛山•二模)已知/(%)=-卜2%+4e%—。%-5.

(1)当a=3时，求/(%)的单调区间；

(2)若/(%)有两个极值点%1，%2，证明：/(%1)+/(%2)++%2Vo.

【解题思路】(1)求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性；

(2)借助换元法，令£=^,=以=e%2,可得〃、口是方程产一4t+a=0的两个正根，借助韦达

定理可得方+12二4,11七2=a，即可用“、12表示/(久1)+f(%2)+%1+%2,进而用a表示/(%1)+f(%2)+%1+

%2,构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.

【解答过程】(1)当a=3时，/(%)=-1e2x+4ex-3%-5,

/(%)=—e2x+4ex—3=—(ex—l)(ex—3),

贝ij当6(0,1)U(3,+oo),即％E(—8,0)U(ln3,+8)时，/(%)<0,

当e*E(l,3),即％6(0,ln3)时，/(x)>0,

故/(%)的单调递减区间为(—8,0)、(ln3,+8),单调递增区间为(0,ln3)；

(2)/(x)=—e2x+4ex—a,令t=ex,即f(%)=—t2+4t—a,

令=t2=e%2,则方、是方程产一4t+a=0的两个正根，

则A=(-4)2-4a=16-4a>0,即a<4,

有ti+12=4,〃七2=a>0，BP0<a<4,

2%1%12%2X2

贝+/(%2)++%2=—|e+4e—axr—5—|e+4e—ax2—5+Xj+x2

1

=——(^i+g)+4(方+t2)一(a—+lnt2)-1。

1

=——[(G+t2y—2t1t2]+4(%+频)一(a—l)lnt1t2-1。

1

=--(16-2a)+16-(a-l)lna-10

=CL—(a—l)ln(z—2,

要证/(%D+f(x2)+0V0，即证。—(a—l)lna—2<0(0<a<4),

令9(%)=x—(x—l)lnx—2(0<x<4),

则9(%)=1—(in%+号=[-Inx,

令h(%)=|—lnx(0<x<4),则h'(%)1<0，

则g(%)在(0,4)上单调递减，

又g'(l)=；Tnl=1,5(2)=1-ln2<0,

故存在第oG(1,2)，使9Go)=--lnx=°，即工=In%。，

祀0

则当％E(O,%o)时，g(%)>0,当第£(第0,4)时，g(%)<0,

故g(%)在(