2025中考数学模拟试卷（徐州卷）（全解全析）

2025年中考第一次模拟考试（徐州卷）

数学•全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.（本题3分）-3的相反数是（）

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】D

【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别

地，0的相反数还是0.

【详解】根据相反数的定义可得：-3的相反数是3,

故选D.

【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键.

2.（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是

解此题的关键.中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180。，能够与自身重合的图

形.轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.依据

定义判断即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

C.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意.

D.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

故选：C.

3.（本题3分）下列计算正确的是（）

A.o2.o3=a6B.„=a5

C.a'^a1-cCD.（a+Z?）2=a~+b2

【答案】C

【分析】本题考查了同底数幕乘法，暴的乘方，同底数基除法和完全平方公式，根据同底数暴乘法，

事的乘方，同底数幕除法和完全平方公式运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键.

【详解】A、a2.a3=a2+3=a5,原选项计算错误，不符合题意；

B、（〃）2=〃*2=°6,原选项计算错误，不符合题意；

C、片+〃="5一3=4,原选项计算正确，符合题意；

D、（a+b^a2+2ab+b2,原选项计算错误，不符合题意；

故选：C.

4.（本题3分）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸

出一个球是红球的概率为（）

A.-B.-C.4D.-

4323

【答案】D

【分析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可.

【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=J4==；2.

4+23

故选：D.

【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键.

5.（本题3分）若一个正多边形的内角和是720。，则该多边形是（）

A.正四边形B.正五边形C.正六边形D.正八边形

【答案】C

【分析】本题考查多边形的内角和，设此多边形边数为"，根据多边形的内角和公式可得方程

180。（〃-2）=720。，求解即可.解题的关键是掌握多边形内角和定理：（«-2）-180°（心3且〃为整

数）.

【详解】解：设此多边形边数为“，

依题意，得：180°（«-2）=720°,

解得：n=6.

故选：c.

6.（本题3分）将抛物线y=向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为（）

A.y=-2（x-4）2B.y=-2x2-4C.y=-2（x+4）2D.y=-2x2+4

【答案】B

【分析】直接根据二次函数的平移规律"上加下减，左加右减”即可得出答案.

【详解】）=-2尤2向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为、=-21一4.

故选B.

【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换,，理解“上加下减，左加右减”是解题关键.

7.（本题3分）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：

?=1[（1-J）2+（2-J）2+（3-X）2+（3-X）2+（6-X）2].你不熊得到的有效信息是（）.

A.这组数据的中位数是3B.这组数据的平均数是3

C.这组数据的众数是3D.这组数据的方差是3

【答案】D

【分析】本题考查了中位数，平均数，众数和方差，根据方差公式可得这一组数据为1,2,3,3,

6,再由中位数，平均数，众数和方差的定义逐项即可求解，熟练掌握相关概念是解题的关键.

【详解】根据方差公式可得这一组数据为1，2,3,3,6,

A、这组数据的中位数是3,原选项不符合题意；

B、这组数据的平均数是1+2+；+3+6=3,原选项不符合题意；

C、由于3出现次数最多，则这组数据的众数是3,原选项不符合题意；

D、•.•这组数据的平均数是3,

/.52=1[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（3-3）2+（6-3）2]=2.8,

二原选项符合题意；

故选：D.

8.（本题3分）如图，函数片3x和片ox+4的图像相交于点八（m,3）,则不等式3x“x+4的解集为（）

A.x<lB.x>3C.x<3D.x>l

【答案】A

【分析】根据题意，计算出交点坐标，然后根据图像进行判断即可；

【详解】解：■.•点A在y=3x上

:3=3m

由图像知，在点A及点A的左侧，片3x的图像不高于y=ax+4的图像，

...当xWl时，3x<ax+4

故答案为A

【点睛】本题考查了一次函数的图像与不等式的关系，掌握并熟练使用相关知识，精准识图，数形结

合是本题的解题关键.

第II卷

二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

9.（本题3分）南海是我国固有领海，她的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为3600000平方千

米.把数3600000用科学记数法可表示为.

【答案】3.6xlO6

【分析】科学记数法的表示形式为4X10〃的形式，其中L,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，〃是

正数；当原数的绝对值<1时，”是负数.

【详解】解：3600000=3,6x10%

故答案为：3.6xlO6.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为axlO"的形

式，其中L,MKIO,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

10.(本题3分)因式分解：3x3-12x=.

【答案】3x(x+2)(x-2)

【分析】先提公因式3x,然后利用平方差公式进行分解即可.

【详解】3x3_12x

=3x(x2-4)

=3x(x+2)(x-2),

故答案为3x(x+2)(x-2).

【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,

一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.

1L(本题3分)函数1/=上7中，自变量x的取值范围是—.

x-1

【答案】XXL

【分析】根据分母不能为0,可得X-1H0,即可解答.

【详解】解：根据题意得：X-I/O,

解得：X31.

故答案是：XK1.

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是明确分母不能为0.

12.(本题3分)若。+6=5,<7-5=3,贝!］。2-匕2=.

【答案】15

【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可.

【详解】解：a+b-5,a-b-3,

a2-b2

=(a+b)(a—b)

=5x3

=15

故答案为15

【点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键.

13.(本题3分)如图，48是:，。的直径，是。O的弦，若NA£>C=32。，贝=

D

【答案】58

【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余.连接BC,由是，。的直径可得

ZACB=90°,又由NADC=32。可得NABC=32。，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：连接2C,

是。的直径，

ZACB=90°,

又•:ZABC=ZADC=32°,

：.ZBAC=90。—32。=58。，

故答案为：58.

14.（本题3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长/为6cm,扇形的圆

心角。为120。，则圆锥的底面圆的半径r为______cm.

【答案】2

【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用

弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r.

【详解】解：由题意得：母线长/为6cm,8=120。,

1207rx6

2"=

180°

r=2cm,

故答案为：2.

15.（本题3分）如图，在平行四边形ABC。中，点石在边OC上，DE:EC=3:1,连接AE交于点

F,则ADEF的面积与ADAF的面积之比为

【答案】3:4.

【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD,ABIICD,则DE：AB=3：4,再证明△DEF-MAF,利

用相似比得到竺=g,然后根据三角形面积公式求ADEF的面积与ADAF的面积之比.

AF4

【详解】•‘四边形ABCD为平行四边形，

S.AB//CD,平行四边形性质，

:.ZEDF=ZABF

ZEDF=ZABF

ZDFE=ZBFA

:2EFAF,

箸嚼嚼，相似三角形对应边成比例，

DE3

——=—,DC=DE+EC,DC=AB,

EC1

,DE_3

,AB-4

.DE_DF_EF_3

,-BF-AF-4

AD£F与AZ泗4同高,

皿EF=^xEFxh,S^FA=-xFAxhf

•e-S^EF:^ADFA=EF：FA=3:4

故答案为：3:4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的

公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行

线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质.

16.（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形"CD为正方形，点A在x轴上，点3在y轴上，且

Q4=3,OB=4,若反比例函数y=：（人中0）在第一象限的图象经过正方形的顶点O,则上的值

为.

【答案】21

【分析】作轴于E,,由正方形的性质可得=ZBAD=90°,由等角的余角相等可得

/DAE=ZABO,根据"AAS”可证明:ABO丝一/可得到AE=O8=4,DE=OA=3,从而可得出

点。的坐标，即可得到人的值.

【详解】解：如图，作轴于E,

.四边形A3CD为正方形,

s.AB^AD,=90°,

，NBAO+NOBA=90。,

ZBAO+ZDAE=90°,

:.ZDAE=ZABO,

在।ABO和DIE中，

ZDAE=ZABO

<ZAOB=ZDEA=90°,

AB=DA

ABO^.ZME(AAS),

：.AE=OB=4,DE=OA=3,

.•.OE=(M+AE=3+4=7,

.•.£>(7,3),

=7x3=21,

故答案为：21.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的特征，熟练掌握正

方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的特征，添加适当的辅助线，是解题的关键.

17.（本题3分）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上，且AQ=AD,连接DQ并延长，

与边BC交于点P,则线段AP=

【答案】V17

【分析】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质.先根据勾股定理得到AC的长，再根据

AQ=AD,得出CP=CQ=2,进而得到BP的长，最后在RtAABP中，依据勾股定理即可得到AP的长.

【详解】解：：矩形ABCD中，AB=4,AD=3=BC,

；.AC=5,

又：AQ=AD=3,AD〃CP,

；.CQ=5-3=2,/CQP=/AQD=NADQ=NCPQ,

，CP=CQ=2,

，BP=3-2=1,

RtAABP中,AP=dAB2+BP2Tl2=VT?，

故答案为：A/17.

18.（本题3分）如图，正方形ABCD中，A5=I2,AE=3,点P在BC上运动（不与B,C重合），过点P

作PQLEP,交8于点Q,则CQ的最大值为

【答案】4

【分析】先证明ABPEsACQP,得到与CQ有关的比例式，设CQ=y,BP=x,则CP=12-x,代入解析式,

得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值.

【详解】解：,四边形A8CD是正方形，PQLEP,

...N8=NC=90°,NEPQ=90°,

：.ABEP+ABPE=90°,NQPC+NBPE=90°,

:.ZBEP=ZCPQ.

又...N8=NC=90°,

.,.△BPE-ACQP.

・BEBP

••正一诙.

设CQ=y,BP=x,贝UCP=12-x.

**•G=—，化简得y=-4(炉-i2x),

12-xy9

整理得y=——(x—6)2+4,

所以当x=6时，y有最大值为4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，用二次

函数最值表示CQ是解题的关键.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本题10分）计算：

（1）5-（兀-2024）°+4sin60。一卜一也卜

（2）2X2-3X+1=0.

【答案】（1）5+耶

（2）=~'%=1

【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，零指数累和求特殊角三角函数值：

（1）先计算特殊角三角函数值和零指数幕，再根据实数的运算法则求解即可；

（2）利用因式分解法解方程即可.

【详解】（1）解：5-（7r-2024）°+4sin600-|l-A/3|

=5-l+4x^-（V3-l）

=5-1+2A/3-A/3+1

=5+^/3；

（2）解：2X2-3X+1=0

2%-1=0或％-1=0

解得玉=g,X,=1.

（]\2尤一4

20.（本题10分）（1）化简：1+--k2-n；

Ix-3）尤一6尤+9

2（x+l）N3（l-x）

（2）解不等式组2x-l.尤.

----<2——

[32

x

【答案】（1）三—3；（2）!1<x<2

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的混合计算：

（1）先把小括号内的式子通分化简，然后把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；

（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到

（无解）"求出不等式组的解集即可.

【详解】解：(1)『丁

卜x—3Jx-6x+9

_x—3+12(%-2)

二，-3,(九—3『

2

=x-2(x-3)

x-32(x2)

_x-3

一2

2(x+l)>3(l-x)@

(2)<2%-1_x

------<2——②

I32

解不等式①得：

解不等式②得：x<2,

二不等式组的解集为2.

21.（本题7分）为了解学生体育训练的情况，某市从全市九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体

育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级；优秀；B级：良好；C级：及格；。级：不及格），并

将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:

体育测试各等级学生人数扇形图体育测试各等级学生人数条形图

（1）本次抽样测试的学生人数是;

（2）扇形图中的度数是,并把条形统计图补充完整；

（3）对A,B,C,D四个等级依次赋分为90,75,65,55（单位：分），比如：等级为A的同学体育

得分为90分，…，依此类推.该市九年级共有学生21000名，如果全部参加这次体育测试，则测试等

级为D的共有人；该市九年级学生体育平均成绩为分.

【答案】（1）400；（2）108°,统计图见解析；（3）2100,75.5

【分析】（1）根据8级的频数和百分比求出学生人数；

（2）求出A级的百分比，360。乘百分比即为Na的度数，再求出等级为C的人数，进而可补全统计

图；

（3）求出四个等级的百分比，求出测试等级为。的总人数，运用加权平均数的求法求出九年级学生

体育平均成绩.

【详解】解：（1）160。40%=400人，

，本次抽样测试的学生人数是400；

(2)120-?400x360°=108°,

C等级人数为：400-120-160-40=80(人),

补全条形图如图：

体育测试各等级学生人数条形图

(3)40+400x21000=2100人,

故答案为:2100,75.5.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必

要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小.

22.（本题7分）为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设.某校计划从

前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕

业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等

（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是「

（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本

科生的概率.

【答案】（1）（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为!.

/6

【分析】（1）由概率公式即可得出结果;

(2)设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B,历史专业的一名研究生为C、一名本科生为

D,画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果

有2个，即可得出结果.

【详解】(1)若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是:=

42

故答案为g;

(2)设思政专业的一名研究生为4、一名本科生为8,历史专业的一名研究生为C、一名本科生为

D,

画树状图如图：

开始

ABCD

BCDACDABDABC

共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，

二恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为42=71.

126

故答案为工

6

【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键.

23.(本题8分)如图，菱形A3CD的对角线交于点。，点E是菱形外一点，DE//AC,CE//BD.

(1)求证：四边形OECO是矩形；

⑵连接AE交8£)于点F,当Z4D3=30。，AT)=8时，求AE的长度.

【答案】(1)见解析

(2)477

【分析】(1)根据庞CE//BD,ACJ.BD,即可证明；

(2)连接0E,利用勾股定理得出OD=V^二不=46，进一步证明出四边形即是平行四边形,

得至IJ8弓。。=26，AE=2AF,最后利用勾股定理计算即可求解.

【详解】(1)证明：：庞〃47,CE//BD,

四边形OCED是平行四边形,

■.•四边形A3CD是菱形，

AC1BD,

：.ZCOD=90°,

，四边形DEC。是矩形.

(2)连接0E,

1•四边形ABCD是菱形，

AC1BD,

：.ZAOD=90°,

'：ZADB=30°,A£)=8,

，AO=4,

.•.在RtAOD中，(9D=A/82-42=473>

•.•四边形ABCD是菱形，

OA=OC,

•.•四边形DEC。是矩形，

:.OC=DE,

：.OA=DE,

又,：DE〃AC,

二四边形49即是平行四边形，

OF=-OD=2-j3,AE=2AF,

2

.,.在RtAOF中，AF=小42+(2币了=2s,

AE=2AF=4币.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理、含30°

的直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质与判定、菱形的性质、矩形的性质与判定是解题的关键.

24.（本题8分）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如

图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往.已知甲、乙两条路线的长度均为

3

12km,甲路线的平均速度为乙路线的二倍，甲路线的行驶时间比乙路线少lOmin,求甲路线的行驶时

2

间.

【答案】甲路线的行驶时间为20min.

【分析】设甲路线的行驶时间为则乙路线的行驶事件为（x+10）min,根据"甲路线的平均速度为

乙路线的|■倍"列分式方程求解即可.

【详解】解：甲路线的行驶时间为;onin,则乙路线的行驶事件为（x+10）min,由题意可得，

_1_2—_3*__1_2__

x2x+10'

解得x=20,

经检验x=20是原方程的解，

甲路线的行驶时间为20min,

答：甲路线的行驶时间为20min.

【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系列出相应的分式方程.

25.（本题8分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰

角为60。.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45。，已知山坡AB的坡度i=l：6,

AB=10米，AE=15米.（i=l：指是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）

HAE

（1）求点B距水平面AE的高度BH；

（2）求广告牌CD的高度.

（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：071.414,73»1,732）

【答案】（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.

（2）宣传牌CD高约2.7米.

【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G.分别在RSABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.

（2）在AADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在RtACBG中，ZCBG=45°,

则CG=BG,由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度.

【详解】解：（1）过B作BG_LDE于G,

HAE

在RtZXABF中，i=tanZBAH=^==—,

下＞3

/.ZBAH=30o

，BH=；AB=5（米）.

答：点B距水平面AE的高度BH为5米.

（2）由（1）得：BH=5,AH=5也，

BG=AH+AE=5^+15.

在RtZiBGC中，NCBG=45",

.•.CG=BG=573+15.

在RtAADE中，

NDAE=60°,AE=15,

.-.DE=73AE=15V3.

.\CD=CG+GE-DE=5g+15+5-156=20-1073=2.7（米）.

答：宣传牌CD高约2.7米.

26.（本题8分）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）

⑴如图L正方形网格中的圆经过格点A、B,请利用无刻度直尺画出该圆的圆心；

（2）如图2,VABC的顶点A、B在。上，点C在。内，NACB=90。利用无刻度直尺在图中画。

的内接三角形使VADE与VABC相似；

（3）如图3,利用无刻度直尺和圆规，以AC边上一点。为圆心作。，。，使。过点C,且与相切.

【答案】⑴见详解

（2）见详解

⑶见详解

【分析】（1）根据圆经过格点4B,且结合网格以及圆的对称性，得出A3为直径，则的中点

O,即为所求的圆心；

（2）运用圆周角定理，先连接AO并延长交圆上于一点D,延长BC交圆上于一点E,再连接DE,即

AD为直径，故NAEE>=NACB=90。，则/2=，3,因为80=80，即N1=N2,则

NBAC=NDAE,所以△TWES/VIBC,即可作答.

（3）作角平分线，因为角平分线上的点到角的两边距离相等，满足（。过点C,且与相切，即可

作答.

【详解】（1）解：该圆的圆心。如图所示：

(2)解：如图：先连接AO并延长交圆上于一点。，延长3C交圆上于一点E,再连接OE,

•/AO为直径，

：.ZAED=ZACB=90°,

二N4+/3=90。，

ZACfi=90°,

N4+N2=90°,

：.N2=/3,

BD=BD，

：.Z3=Z1,

即N1=N2,

则/54C=ND4£,

所以△>1/)£1

(3)解：•.•利用无刻度直尺和圆规，以AC边上一点。为圆心作；O,使过点C,且与相切

•••作的角平分线交AC于一点，即为圆心。

如图：

B

【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆的基

本内容，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

27.（本题9分）如图，矩形ABCD中，AB=5,3c=4.点P在A。上运动（点P不与点A、D重合）将

43P沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）.

⑴求AP的取值范围;

（2）连接。M并延长交矩形ABC。的4B边于点G,当=时，求4P的长.

【答案】（l）O<APv]

（?）25-5721

2

【分析】（1）根据点P在AD上运动可判断出，点M落在C。上时，AP的长度达到最大.利用翻折的

性质和勾股定理求出C0和DM长度，再利用=MCB,即可推断出AP最大长度，从而求出

AP取值范围.

Ap5

（2）利用已知条件和翻折性质推出=从而证明；ADG，ABP,得出=7=:，再根据

AG4

翻折性质、矩形性质和等腰三角形性质推出=MH=^AG.在中，

PM2=PH2+HM2^即可求出AP长度.

【详解】（1）解：当M落在C。上时，AP的长度达到最大，如图所示，

.四边形ABC。是矩形,

AB=CD=5,BC=AD=4,ZA=ZC=ZD=90,

沿直线翻折，

ZPMB=ZA=90,BM=AB=5,

CM=yjBM2-BC2=V52-42=3，ZPMD+ZBMC=90.

:.DM=5-3=2.

ZPMD+ZMPD=90,

Z.BMC=AMPD.

"="=90。，

PDM-MCB.

PDDM

PD1

"4'

3

:.PD=-.

2

:.AP=AD-AP=-.

2

■■AP的取值范围是0<APw|.

故答案为：

(2)解：如图，

APHD

G

B

由折叠性质得：ZABP=ZMBP,

ZABM=2ZABP,

ZABM=2ZADG,

:.ZABP=ZADG,

ZDAG=NBAP,

AADG-ABP,

•Ap__5

,AG-AD-4*

设AP=5x,AG=4x过M作必/_LAT>于H,连接AM,

由折叠性质得：AP=MP=5x,AM±BP,

二.ADAM=90-ZBAM=ZABP=ZADG.

：.AM=DM,

/.DH=AH=-AD=2.

2

HP=2—5x.

ZBAD=ZMHA=90,

MN//AG.

DH=AH,

.〔MN为△ADG的中位线，则MN=；AG=2x,

在RtZXPRM中，PM2=PH2+HM2^

：.（5x）2=（2x）2+（2-5x。

.5士屈

*'X—•

2

.025±5A/21

2

AP<AD=4.

...Ap=25+5721（舍去）.

2

"25-507

2

故答案为：25-50T.

2

【点睛】本题考查的是矩形的综合题，涉及到的知识点有翻折性质、三角形相似、中位线定理和勾股

定理.解题的关键在于是否能判断出M落在CD上时，AP的长度达到最大.解题的难点在于是否能正

确画出图形，解题的易错点在于是否能排除AP的其中一个值.

28.（本题11分）如图，在平面直角坐标系x0y中，二次函数、=依2+反-2的图象经过点A（-1,O）,

3（3,0）,与y轴交于点C,连接BC、AC.

⑴求二次函数的函数表达式；

（2）设二次函数的图象的顶点为。，求直线80的函数表达式以及sin/CBD的值；

⑶若点河在线段48上（不与43重合），点N在线段3C上（不与&C重合），是否存在CMN与

△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

74

【答案】⑴,=§%2_§兀_2

[2]y=^x-4；sin/CBO=M^

365

⑶存在，点N的坐标为：（异-g）或（争-1）或与一|J

74

【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的函数表达式为y=一：了一2；

（2）由y=一：X一2=,（1-1）2-，，得。用待定系数法可得直线3。的函数表达式为：

y=gx-4,设瓦）与y轴交于E,过点C作CPL延于点P,求得C（0,-2）,£（0,-4）,根据

2SCBE=BECP=CEOB,得CP=Nj=^=；,及可得sin/CBD-CP：=5一6巫;

他55BC屈65

（3）由待定系数法可得直线BC解析式为y=|x-2,设M（/0）,根据△AOC是直

角三角形，且竺=:，得到aCMN与△AOC相似，CMN是直角三角形，且两直角边的比为