2025年中考数学几何模型归纳训练：相似模型之母子型（共边共角）模型解读与提分训练（解析版）

专题25相似模型之母子型（共边共角）模型

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，

是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解

模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

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例题讲模型

..................................................................................................................................................................1

模型L“母子型,，模型（共边共角模型）........................................................1

习题练模型］

11

例题讲模型］

【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法：

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.，，母子型，，模型（共边共角模型）

模型解读

“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三

角形相似。

模型证明

图1图2图3图4

1）“母子，，模型（斜射影模型）

条件：如图1,ZC=ZABD；结论:AB2^ADAC.

证明：'：ZC=ZABD,ZDAB=ZBAC,/.AADB^ABAC,.•.丝=丝，：.AB2=ADAC.

ABBC

2）双垂直模型（射影模型）

条件：如图2,ZACB=90°,CDLAB-,

结论：AACDsAABCsACBD；CA1=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB.

证明：ZACB=90°,CD1AB,：.ZA+ZACD=90°,ZA+ZB=90°,：.ZB^ZACD,

VZA=ZA,/.AACD^AABC,.•.生=丝，：.AC2=ADAB,同理可证：BC?=BD-BA,CU=DA，DB.

ABAC

3）“母子”模型（变形）

条件：如图3,ZD=ZCAE,AB=AC；结论：△A8OSZ\ECA；

证明：'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,：.ZDBA=ZACE,'：ZD=ZCAE,：.^ABD^AECA

4）共边模型

条件：如图1,在四边形A3CD中，对角线平分/ABC,ZADB=ZDCB,结论：BD2=BA-BC-,

证明：：对角线平分NA8C,

VZADB=ZDCB,：.^ADB^/\DCB,:.理=些,：,BD2=BABC

DBBC

模型运用

例1.（2024.河北石家庄.二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，NBAE=NDAC,AB=9,

AD=12,则CE长为（）

-48

A.3B.3C.9D.——

47

【答案】A

【分析】根据平行四边形ABCD,得到40=昵=12,4。||8C,继而得到N3C4=,结合

NBAE=N/MC得到NBC4=/54E,结合=NB证明△B4ESAJBG4,列出比例式解答即可.

本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似的性质是解

题的关键.

【详解】•・•平行四边形A3cD,：.AD=BC=12,AD\\BCt：.ZBCA=ZDACf

VZBAE=ZDAC,；./BCA=/BAE,

ARRFQRF97

*.*/R=/R，.**/\BAEtur>/\BCA,-----=---,—=---,解得BE=—,

BCBA1294

21

故CE=BC—BE=—,故选A.

4

例2.(2023・湖北孝感・模拟预测)阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P

RPAp

是线段上一点(AP>3P),若满足瓦=布,则称点「是的黄金分割点.黄金分割在我们的数学学

习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36。的等腰三角形称为“黄金三角形”.

ACB

图1图2图3

(1)应用：如图1,若点C是线段的黄金分割点(AC>BC),若AB=1,则AC的长为

(2)运用：如图2,已知等腰三角形ABC为“黄金三角形"，AB=AC,ZA=36°,为—ABC的平分线.求

证：点。是AC的黄金分割点.(3)如图3中，AB=AC,ZA=36°,M平分/ABC交AC于先取A3的

中点E,连接E尸并延长交3C的延长线于BC=1,请你直接写出CM的长为

【答案】⑴"⑵证明见解析⑶CM-与

【分析】⑴设AC”，则BC=〜，根据黄金分割的含义可得：靠=*,即A—再解方

,CDBC3.CDAD〜口/工、人

程即可；(2)证明△CBZ3z\C4B,推tn出拓二花‘推出通=花’可得结论.

(3)如图，连接AM,同理可得：ZABC=ZACB=12°,Nl=N2=36。=N54C,可得AF=3R=8C=1,

证明ME，AB,MB=MA,Z.CAM=72°-36°=36°=ABAC,可得C是的黄金分割点，S.BC<CM,

可得后=三7,设CM=x，再解方程可得答案•

CMBM

【详解】⑴解：•••点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),AB=1,

设AC=a,则3c=1-。，=半，即AC2=BCA8,

ACAB

**.a2=l-a,<72+(7-1=0»解得：a=~-(负根舍去)，AC=-；

22

(2)证明：,：AB=AC,ZA=36°,AZABC=ZC=72°,

又,/BD平分ZABC,：.ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,

2

ZBDC=360+36°=72°,Z.AD=BD,BC=BD,即AD=3D=3C,

又,/ZC=ZC,ZCBD=ZA,Z\CBD^/XCAB,

.CDBC,CDAD

六。点是AC的黄金分割点.

"BC"AC'"AZ)"AC

(3)如图，连接AM,同理可得：ZABC=ZACB=12°,Zl=Z2=36°=ZBAC,

Z.AF=BF^BC^1,为AB的中点，AF=BF,MEYAB,AMB=MA,

图3

ZABM=ZBAM=72°,ZAMB=36°,ZCAM=72°-36°=36°=ABAC,

同理可得C是8M的黄金分割点，且BC<CN,

.BCCM1

设CM=x,=上整理得:入1=0,

X

解得“理（负根舍去―

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，黄金分割点的含义，相似三角形的

判定与性质，一元二次方程的解法，熟记黄金分割的含义是解本题的关键.

例3.（22-23八年级下•湖南衡阳•期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC.BD交于点、O,CELBD于

点E,已知3E:£）E=3:1,BD=2拒,则矩形A3C£>的周长为

【答案】2用6/6+24

【分析】首先根据题意求出BE=士叵，DE力,然后根据矩形的性质得48=90。，然后证明

22

DFCE3

△DCES&CBE,得有二胃，求得CE=9,然后利用勾股定理求出CO和5C的长度，即可得出结果.

CEBE2

【详解】解：：BE：DE=3:1,BD=2A/3,：.BE=—,DE=—

22

•.•四边形ABCD是矩形，ZBCD=90°,

VCE±BD,:.ZCED=ZBEC=90°,:.NDCE=NCBE=90°—NBCE,:.^DCE^^CBE,

DFCF即c言=C。E解得以=3日（负值舍去）

CEBECE3,32

2

•；"ED=/BEC=90°CD=y/DE2+CE2=5BC=^BE2+CE2=3

矩形ABCD的周长为2（C£>+8C）=2（若+3）=2括+6.故答案为：2抬+6.

【点睛】本题考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形判定与性质，证明AOCESACBE是解题关键.

例4.（2024•广西南宁•三模）阅读与思考，完成后面的问题.

射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理.如图，在中，ZBAC=90°,A。是

斜边8C上的高，则有如下结论：

①AD2=BDDC；②AB?=BDBC;@AC2=CD-BC.下面是该定理的证明过程（部分）：

：是斜边3C上的高，/.ZADB^90°=ZADC.'：ZB+ZBAD=90°,ZB+ZC=90°,

：.ZBAD=ZC.：.AABD^AC4D（依据）.即AZJ=BQQC.

（1）材料中的“依据”是指;（2）选择②或③其中一个结论加以证明;

⑶应用：AABC中，ZA=90°,8（1,0）,C（-3,0）,点A在y轴上，求顶点A的坐标.

【答案】（1）两角分别对应相等的两个三角形相似（2）见解析（3）顶点A的坐标为（0,灼或他，-@

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证

明和计算.（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答；

（2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似"证明即可得证；③根据“两角分别对应

相等的两个三角形相似”证明AACD3c4；（3）根据题意以。为坐标原点建立平面直角坐标系，利用证

明的射影定理得。4。=OB.OC=1X3,即可求出0A=a,由此求出顶点A的坐标.

【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似，

故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似；

（2）证明：②AB?=BD.BC,理由如下：

AD1BC,ZC4B=90°,/.ZADB=ZCAB=90°,

ADBD

•；ZABD=NCBA,：.Z\ABD^Z\CBA,：.—=—AAB2=BDBC;

BCAB

@AC2=CDBC,理由如下：9：ADIBC,ZG4B=90°,：.ZADC=ZCAB=90°,

ACCD.

.XACD=NBCA，:・△ACD-----AC2=CD♦BC;

BCAC

（3）解：如图，根据题意以。为坐标原点建立平面直角坐标系，VB（1,O）,C（-3,0）,：.OB=1,OC=3,

'：ZC4B=90°,AOJ.BC,：.=OBOC=M,，OA=百，...顶点A的坐标为（。,退）或（。,一石）.

例5.（2023•山东淄博・九年级统考期末）如图，已知A/4BP,点C,D在边上，连接尸C,尸口，使NADP=60。,

且△ACPSA/TW.⑴请判定丁⑦的形状，并说明理由；⑵若AC=2,BD=3,求尸的面积.

【答案】（1）APCD是等边三角形，理由见解析（2）6G+15夜

4

【分析】（1）根据相似三角形的性质得出/4。尸=/尸/切=180。-/尸"=120。，然后根据邻补角得出

NPCD=60°,进而即可得出结论；（2）根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】（1）解：APCD是等边三角形，理由如下，

---AACPSAPDB,ZADP=60°；.ZACP=ZPDB=180°-/PDA=120°,

?.ZPCD=180°-ZPAC=60°,APCD是等边三角形，

（2）解：•••△PCD是等边三角形，设等边三角形的边长为。,

74cPC9a

AACPS^PDB,---=,XAC=2,BD=3,,解得：a=A/6（负值舍去）,

PDDBa3

如图所示，过点P,作于点E,

/.PE=—CD=—x46=-yf2,：.AB=AC+DB+CD=2+3+46=5+46,

222

AAB尸的面积为342义尸石=；（5+布卜|应=述手，1

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性

质是解题的关键.

例6.（2024・浙江温州•三模）如图，在锐角三角形A3C中，AC>BC.以点C为圆心BC长为半径画弧，交

边于点。，连接。.点E是CB延长线上的一点，连接AE,若平分NC4E.

⑴求证：AACD^AAEB.（2）当4）=8。时，求——的值.

EB

【答案】（1）见解析（2）3

【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识

点并灵活运用是解此题的关键.（1）由题意得：BC=CD,由等边对等角得出NCBD=NCDB,从而得出

ZADC=ZABE,再由角平分线的定义得出N/MC=NE4B,即可证明

(2)由题意得出例=：,由相似三角形的性质得出竺=之，从而即可得解.

AB2EB2

【详解】(1)证明：由题意得：BC=CD,:.NCBD=NCDB,:.ZADC=ZABE,

•.,A5平分NCAE,:.NDAC=NEAB,.^ACD^^AEB；

AZ)1ADCDCD1BC_1

(2)解：-.AD=BD,-----=—•.9/\ACDaaZ\AEB，♦：BC=CD,

AB2AB~EBEB~2~EB~2

例7.(2024・河南•二模)三角形的布洛卡点(Brocardpoim)是法国数学家和数学教育家克洛尔

(A.£Cr^l780-1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被

一个数学爱好者法国军官布洛卡(BrorarJl845-1922)重新发现，并用他的名字命名.如图1,若AABC内

一点尸满足===则点尸是AABC的布洛卡点，/a是布洛卡角.

(1)如图2,点P为等边三角形48c的布洛卡点，则布洛卡角的度数是；出、PB、PC的数量关系

是；(2)如图3,点尸为等腰直角三角形42c(其中/BAC=90。)的布洛卡点，且Nl=/2=/3.

①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若"RC的面积为g,求APBC的面积.

2

【答案】(1)30°,PA=PB=PC-.(2)①△ABP&BCP,证明见解析；(3)5PBC=1.

【分析】(1)根据题意理清布洛卡点、布洛卡角的概念，利用概念来解答；(2)①找△ABPs^BCP,证明

过程利用等腰直角三角形的性质及布洛卡角的概念，通过找出三个角分别对应相等来证明；②把三角形

AABC面积看作三个三角形面积之和来表示，除所求三角形面积之外的两个，其中一个根据条件可以利用勾

股定理求出面积，另一个可以利用所求三角形面积来表示，建立等式即可求解.

【详解】解：(1)由题意知：ZBAP=ZCBP=ZACP,

•・•△2WC为等边三角形，ZABC=ZBCA=ZCAB,AB=BC=AC,

“APB'BPC,:.AP=BP,:.NPAB=NPBA,

..NPBA=/PBC,/PBA+APBC=60°,APBC=30。，同理可证得出：NBAP=NCBP=ZACP=30°,

ZABP=NBCP=NCBP=30。,PA=P3=PC故答案是：30°,PA=PB=PC.

(2)①△ABP—BCP

证明：：AABC是等腰直角三角形NABC=NACB=45。，BPZABP+Z2=Z3+ZBCP=45°,

：/2=/3,:.ZABP=NBCP,XVZ1=Z2,/.AABP^ABCP.

,:APABS/BC,:更=空=也=显,：,AP=^BP,CP=0BP,S^PAB=-S^PBC,：.CP=2AP.

CPBPBC222Ac

,/ZAP3=ZBPC=180O-(Nl+ZASP)=180O-(/2+ZABP)=135。，ZAPC=360O-ZAPS-ZBPC=90°.

在RtAlPC中，VCP=2AP,AC=5由勾股定理得AP=1,CP=2,

==

•,^AAPC5CP,AP=1,••S4ABe=S^PBC+S^PAC+^APAB=1^APBC+1+/^PBC~^''S、PBC=■

【点睛】本题考查了新概念问题、等边三角形、直角三角形、三角形全等的判定定理和性质、相似三角形

的判定定理和性质、勾股定理，涉及知识点多，综合性强，题目较难，解题的关键是：通过阅读材料，弄

明白题中的新定义或新概念，然后利用概念及灵活运用所学知识点进行解答.

例8.（2024・四川广元・中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是

培养动手能力，创新能力的一种手段.小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形

（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决.

在AABC中，点。为边45上一点，连接CO.⑴初步探究：如图2,若NACD=Zfi,求证：AC2=ADAB；

（2）尝试应用：如图3,在（1）的条件下，若点。为A2中点，BC=4,求CO的长；（3）创新提升：如图4,

点E为CO中点，连接BE,若NCDB=NCBD=30°,ZACD=NEBD,AC=2币,求BE的长.

【答案】⑴证明见解析⑵CD=2后⑶互

【分析】（1）根据题意，由NAa>=NB,NA=NA,利用两个三角形相似的判定定理即可得到

△ACD^AABC,再由相似性质即可得证；（2）设4）=%>=;九，由（1）中相似，代值求解得到AC=&能，

4n1

从而根据AACD与AABC的相似比为就=正求解即可得到答案；

（3）过点C作£8的平行线交A3的延长线于点如图1所示，设CE=DE=a,过点B作3F_LEC于点

F,如图2所示，利用含30。的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的

判定与性质得至u桨=缶==-4，代值求解即可得到答案.

AC/\riI"271av7

A（JAn

【详解】（1）证明：vZACD^ZB,ZA=ZA,AAACD^AABC,：.—=—,AAC2=AD-AB■.

ABAC

（2）解：：点。为AB中点，.•.设AD=BD=7〃，

由（1）知△ACDsAABC,AAC2=ADAB=m-2m=2.m2,

AC=41m>AACD与AABC的相似比为二7；=下，—z;=~r=,*/BC=4CD=2A/2;

AC72£>Cy/2

（3）解：过点C作EB的平行线交43的延长线于点H,过C作CTLAB,如图1所示：

F

丁点E为C。中点，，设CE=DE=a,VZCDB=ZCBD=3Q°,：.CB=CD=2a,ZDCB=120°,

在Rt^BCy中，Cy=；CD=。，则由勾股定理可得8。=2氐，过点8作族，EC于点尸，如图2所示:

ZFCB=60°,/.ZCBF=30°,:.CF=；BC,：.CF=a,BF=岛,：.EF=2a,:.BE=。,

,:CH〃BE,点、E为CD中点、,:.CH=2BE=2币a,DH=2DB=4®,NEBD=NH,

ADACCD2a_1

又ZACD=4EBD,ZACD=ZH,

AACD^AAHC,AC-AH-CH_2A/7«­?7

XVAC=2A/7,AD=2,AH=14,：.DH=12,BP4A/3O=12,.,.0=5/3,:.BE=>fia=屈.

【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含30。的直角三角形性质、勾股定理等知识,

熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键.

习题练模型］

1.（2022•浙江衢州•统考中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,ZB=36°.分别以点4C为圆心，大于

的长为半径画弧，两弧相交于点DE,作直线DE分别交AC,8C于点RG.以G为圆心，GC长为半

径画弧，交BC于点H,连结AG,AH.则下列说法簿误的是（）

A.AG=CGB.ZB=2,ZHABC..CAH与BAGD.BG2=CGCB

【答案】C

【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得

/C4G=/C=36。，从而可得NAGB=72。，再根据等腰三角形的性质可得ZAHG=/G4H=54。，然后根据

三角形的外角性质可得NH4B=18。，由此即可判断选项B；先假设AC4H三A54G可得NC4H=ZBAG,再根

据角的和差可得NC4H=90。,/BAG=72。，从而可得/C4"w/BAG,由此即可判断选项C；先根据等腰三

角形的判定可得3G=AB=AC,再根据相似三角形的判定可得AMC~AG4C,然后根据相似三角形的性质

可得AC?=CG-CB,最后根据等量代换即可判断选项D.

【详解】解：由题意可知，OE垂直平分AC,CG=HG,:.AG=CG,则选项A正确；

AB=AC,ZB=36°,.-.ZC=ZB=36°,-：AG=CG,CG=HG,:.ZCAG=ZC=36°,AG=HG,

ZAGB=ZC4G+ZC=72°,NAHG=NGAH==54。，

2

AHAB=ZAHG-Zfi=18°,;.ZB=2ZHAB,则选项B正确；

假设ACAH三ABAG,ZCAH=ZBAG,

又ZCAH=ZCAG+Z.GAH=36°+54°=90°,ZBAG=ZHAB+ZGAH=180+54°=72°,

Z.CAHZBAG,与NC4/7=Zfl4G矛盾，则假设不成立，选项C错误；

•.■ZBAG=12°=ZAGB,AB^AC,:.BG^AB=AC,

"B=NCAG=36°

在AABC和4c中，《/八公，:.AABC~^GAC,

zc=zc

,EPAC-=CGCB,BG2=CGCB,则选项D正确；故选：C.

CGAC

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形

的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键.

2.（2024•河北张家口.一模）如图，点。在AABC的边AC上，添加一个条件，使得AAD3s.以下是

天翼和往琛的做法.下列说法不正确的是（）

天冀的做法：添加条件=

证明：•：ZABD=ZC,ZA=ZA.：.^ADB^AABC（两组角对应相等的两个三角形相似）

*4,AZ/H.ABBD

往琛的做法:添加条件17；=、

ArCCn

证明：VZA=ZA,—=—.；.AADBS^ABC（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）

ACCB

A.天翼的做法证明过程没有问题B.往琛的做法证明过程没有问题

C.天翼的做法添加的条件没有问题D.往琛的做法添加的条件有问题

【答案】B

【分析】根据题意已知NA=/A,故添加两组对应边成比例夹角为/A或者添加一组对应角相等，即可求

解.本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键.

【详解】解：依题意，ZA=ZA,添加一组对应角相等，可以使得AADBSAABC,故天翼的做法以及过程

An4H

没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为第=嘿，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等,

ABAC

故B选项符合题意，故选：B.

3.（2024•浙江•模拟预测）如图，在矩形A3CD中，AB=6,8c=8,点E在线段3D上（不与点8,点。重

合），ZAED=2ZADE,则DE的长为（）

A.7.8B.屈C.7.5D.8

【答案】A

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质，连接AC,交

于。，作平分NAED，交AD于F,由矩形性质得OA=OD=-AC,ZABC=90°,进而得ZOAD=ZODA,

2

AC=10,得到ZAOE=2ZODA,OA=gAC=5,即得ZAOE=ZAED,得到AE=AO=5,由E尸平分ZAED,

Ar4/7FF

可得NAEF=NDEF=NADE,得到班=小，再证明AE4/SAQLE,得到一=—=—,据此即可求

ADAEDE

解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：连接AC,交80于。，作平分NAED,交4）于产，

F

------------------------

・・•四边形ABC。是矩形，：.OA=OD=-AC,ZABC=90°,

2

AZOAD=ZODA4。=，板+5。2=后+82=10，AZAOE=2ZODA,AO=-AC=5,

f2

VZAED=2ZADE,:・ZAOE=ZAED,：.AE=AO=5,

•••石方平分—AED,ZAEF=ZDEF=-ZAED,

2

VZAED=2ZADE,：.ZAEF=ZDEF=ZADE,EF=DF,

....AEAFEF

・XEAF=ADAE，・・小EAFs小DAE，・・——，

ADAEDE

58—九x39

设EF=DF=x,贝!]AF=8—%,・，・一=----=---，角星得x=—，DE=1.8,故选：A.

85DE8

4.（2024・四川宜宾・中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为4,则这个正五边形的对角线AC的长

是_________.

A

CD

【答案】26+2/2+2百

【分析】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质.根据正五边形以及等腰

三角形的性质得出AF=AB=4,再证明△BCFSAACB,根据相似三角形的性质求出C尸，最后由线段和差

即可求出AC的长.

【详解】解：如图，连接3D交AC于点尸,

（5—21x180°

:五边形ABCDE是正五边形，ZABC=ZBCD=^——1-------=108°,钻=3C=CD=4,

1QQO_1QOO

・・.ZBCA=ABAC=--------------=36°,ZABF=108°-36°=72°,

2

ZAFB=ZCBD-^-ZBCA=360+36°=72°,AZABF=ZAFB,：.AF=AB=4,

•:NBCF=ZACB,ZBAC=/CBF,：.ABCF^AACB,=

ACBC

4CF「

BP——解得CF=25-2或CF=-2式-2（舍去），

CF+44

/.AC=CF+AF=2A/5-2+4=2V5+2,故答案为：2^5+2.

5.(2024・四川成都・中考真题)如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AD是UlBC的一条角平分线，E为AD中

点，连接8E.若BE=BC,CD=2,则8D=

#7+1

【答案】

-2-

【分析】连接CE,过E作EF1CD于凡设8£>=x,EF=m,根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三

角形的性质证得。尸=。6=gs=l,ZEAC=ZECA,ZECD=ZEDC=ZBEC,进而利用三角形的外角性

质和三角形的中位线性质得到NCEE>=2NC4E,AC=2EF=2m,证明ACBESACED,利用相似三角形的

性质和勾股定理得到疗=3+2无；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明AC4BSAEBE得至U

2川=(x+l)(x+2),进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可.

【详解】解：连接CE,过E作ETLCJD于E设BD=x,EF=m,

c

A^~---------------

VZACB=90°,E为AD中点，.*.CE=AE=DE,又CD=2,

CF=DF=-CD=1,ZEAC=ZECA,ZECD=ZEDC,：,ZCED=2ZCAE,AC=2EF=2m,

2

,：BE=BC,；.NBEC=/ECB,则NBEC=NEDC,又ZBCE=NECD,：.^CBE^CED,

.•.若=*,ZCBE=ZCED=2ZCAE,：.CE2=CDCB=2（2+x）=4+2x,

则m2=EF2=CE2-CT?=3+2x;：AD是^ABC的一条角平分线，

ZCAB=2Z.CAE=ZCBE,又ZACB=NBFE=90°,

.•.2（3+2x）=（x+l）（x+2）,即尤2_X_4=O,解得尤="±1（负值已舍去），故答案为：边？土

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线

性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难

度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键.

6.（23-24九年级下•辽宁本溪•阶段练习）如图，在AABC中，AB=2AC.以点A为圆心，以AC的长为半径

作弧交边AB于点D分别以点D,C为圆心，以大于gc。的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线AP交BC

于点£，则之三的值为.

【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，相似三

角形的判定及性质；连接EO,过B作3G〃口交射线AP于G,由SAS可判定

AADE^AACE,由全等三角形的性质得NA£D=/AEC,由相似三角形的判定方法得AAECS“1GB,由

CFAC

相似三角形的性质得二;=F，由等腰三角形的判定及性质得BG=BE,即可求解；掌握相关的判定方

BGAB

法及性质，能根据题意构建相似三角形是解题的关键.

【详解】解：如图，连接ED,过5作5G||OE交射线钎于G,.•.NG=NAED,

G

由作法得：ZEAD=AEAC,AD=AC,

AD二AC

在VADE*和AACE中</EAD=ZEAC,/.AADE^AACE（SAS）,

AE=AE

CEAC

:.ZAED=ZAEC,:.ZG=ZAEC,..^AEC^AAGB,：.——二——,

BGAB

CE1

•：AB=2AC,/.—=-,-.-ZBEG=ZAEC,:.ZBEG=/G,

BG2

CF1i

'.BG=BE,•=故答案：y.

7.（23-24九年级上•陕西汉中•期中）如图，点C、O在线段AB上，且。是等腰直角APCD的底边.当

时（2与人、8与P分别为对应顶点），ZAPB=。.

【答案】135

【分析】根据等腰直角三角形的性质得到/CPD=90。，/PCD=/PDC=45。,再由三角形外角的性质得

到NA+/APC=45。，根据相似三角形的性质得到N3PD=NA,则ZAP3=N/4PC+NCTO+NA=135。.

【详解】解：•••△PCD是等腰直角三角形，且8为底边，

ZCPD=90°,ZPCD=ZPDC=45°,/.ZA+ZAPC=ZPCD=45°，:APDB^AACP,ZBPD=ZA,

：.ZAPB=ZAPC+ZCPD+ZBPD=ZAPC+ZCPD+ZA=450+90°=135°,故答案为：135.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等等，熟知相似

三角形对应角相等是解题的关键.

8.（2024•河北邢台・校考二模）如图1,在AABC中，AB^AC,3c=24,tanC=3,点P为BC边上一

点，则点尸与点A的最短距离为.如图2,连接小，作NAP。，使得ZAPQ=NB,PQ交AC于Q,

【分析】根据等腰三角形的三线合一性作BC边上的高AM，再根据三角函数值求出AM的长，根据垂线段

最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长；

，根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长，利用线段的和差求出PN的长，再根据三角函数值求出

AN的长，利于勾股定理即可得到AP长和AC长，再证ZAP。相似于44CP,即可得到A。长；

【详解】解如图1,过点A作AM1BC,垂足为

根据点到直线的距离垂线段最短，可得点尸与点A的最短距离为5；：.AB=AC=而正而不二13,

如图2,过点A作AN_LBC,在RtAAPN中,PN=PC-CN=1,

又AN=5,：.AP2=PN2+AN2=26,在与/ACP中，ZPAQ^ZCAP,：.AAPQ-^AACP,

APAC

—：.AP2=AQAC,：.AQ=2故答案为：5；2.

【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较强，熟

练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义以及直角三角形的边角关系是解题的关键.

9.（2023•山东东营•统考中考真题）如图，在AABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC,BC

于点。，E；分别以点O,E为圆心，大于goE的长为半径作弧，两弧交于点下；作射线CF交AB于点G,

若AC=9,BC=6,ABCG的面积为8,则AACG的面积为.

C

D

【答案】12

A（ZACAC

【分析】过点8作BM〃AC交CG的延长线于点M,证明AACGSABMG,得出空==三=2,根据

GBBMBC

【详解】解：如图所示，过点8作BM〃AC交CG的延长线于点/ACN=/CWB

由作图可得CG是ZACB的角平分线，,ZACM=ZBCM

•：ZBCM=ZCMB：.BC=BM'：BM//AC：.^ACG^ABMG

.AGACAC.S^ACGAGAC93

''S.BCGGBBC6一展

「△BCG的面积为8,.•.△ACG的面积为12,故答案为：12.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与

判定是解题的关键.

10.（2023・内蒙古•统考中考真题）如图，AC,ARCE是正五边形ABCDE的对角线，与CE相交于点尸.下

列结论：①CF平分/ACD；②AF=2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2=ADEF

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

CD

【答案】①③④

【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和

性质，菱形的判定依次证明即可.

【详解】解：①•..正五边形ABCDE,

侬义。-

ZABC=ZBCD=ZCDE=NDEA=3）=10go；AB=BC=CD=DE=AE,

5

1QAO_1QOO

ZBAC=NBCA=NDAE=ZADE=NDCE=NCED=------------=36°,

2

A^ACE=108°-^BCA-^DCE=36°=^DCE,.•.。/平分/人⑺；正确；

〜DFDE

②・・・/ACE=/。石C=36。，ZDFE=ZAFC,：.ADEF^ACF,——=——,

AFAC

DF1

VDE=AB,2AB>AC,：.—H—,即4F/2O9，故②错误；

AF2

③ZBAC=ZACE,ZABCBAD=108°+36°+36°=180°,

ABC//AD,AB//CE,四边形ABCr是平行四边形，

VAB^BC,；.四边形ABCF是菱形