2025年中考数学复习：旋转问题

专题三旋转问题

知识与方法

旋转的定义

在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,

转动的角称为旋转角.

旋转三要素

旋转中心（绕哪转）一定点还是动点？

旋转方向（向哪转）——顺时针还是逆时针?

旋转角度（转多少）——转了多少度？

旋转的性质

经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一组对应点与旋转中心的连线所

成的角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等.举例：如图2-3-1,由旋转得与

对应点有关的结论：乙4。4=ABOB'.OA=0A'-

与对应线段有关的结论：AB=对应线段AB和AB所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补.

图2-3-1

旋转中心可以看作对应点连线的垂直平分线的交点.当出现有一对相邻等线段，可构造旋转全等；相邻线段如不

相等，也可构造旋转相似.

一、旋转全等变换

1.共顶点旋转模型2CE挺ABCD

图2-3-2

有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等.正方形共顶点旋转模型

等边三角形共顶点旋转模型

△DCGgABCE

图2-3-3

反思与总结

共顶点旋转（即“手拉手”模型）可用于任意共顶点的等腰三角形旋转问题，均能通过旋转构造全等三角形.旋转过

程中第三边所成的角是一个经常考查的内容.（由“8字型”可以证明角度问题）

模型的变形主要用于两个正多边形或等腰三角形夹角的变化，也可是等腰直角三角形与正方形的混用.（其他变

形不再展示）

2.半角模型

等腰直角三角形半角模型

正方形半角模型

图2-3-5

正方形形外半角模型

EF=DF-BE

图2-3-6

反思与总结

旋转半角的特征是“相邻等线段所成角含一个二分之一角”，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,

形成旋转全等.

3.自旋转模型（Y型模型）

有一对相邻等线段，需要构造旋转全等.

构造方法：遇60。旋60。，造等边三角形；遇90。旋90。，造等腰直角三角形；遇中点旋180。，造中心对称；

遇等腰旋含腰的三角形，造旋转全等.60。自旋转模型

A可将三条线段转移至同A一三角形中

图2-3-7

90°自旋转模型

可将三条线段转移至同一三角形中（心被放大万倍）

图2-3-8

中点旋转模型

A

A'

图2-3-9

等腰旋转模型

BL--------5C

图A2-3-10

反思与总结

“旋转出等腰，等腰可旋转”，当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共顶点旋转

到另一位置，将分散的条件集中起来，从而解决问题.

4.对角互补模型

等腰直角三角形对角互补模型

CD+BD-J2AD

图2-3-11

等边三角形对角互补模型

△…D4D

CD+BD-AD

图2-3-12

邻边相等、对角互补的半角模型

5.费马旋转模型

费马旋转60。模型

BCB

',PP',PC三条线段共线时,PA+PB+PC最短

图2-3-14

二、旋转相似变换

1.共顶点旋转模型

“一转成双”旋转模型

反思与总结

任意两个相似三角形旋转形成一定的角度，构成新的旋转相似.第三边所成夹角符合旋转“8字型”的规律.

2.对角互补模型

对角互补旋转模型

建“‘

'"'DD

作出ND'=NADB,Z\ABDs/iACD'

图2-3-16

典例精析

例1如图2317,在等腰直角三角形ABC中,NC=9(T,AC=4,D,E分别是边AC,AB的中点，连接DE.将AADE

绕点A按逆时针方向旋转.则：(1)在旋转过程中，BE的最大值为:

(2)当旋转至B,D,E三点共线时，线段CD的长为.

答案:(1)6V2(2)714+V2ngV14-V2

【简析】⑴由相似三角形之“一转成双”知：△ADE-AACB,AACD-AABE.

要求BE最大，则求CD最大.即可转化为点到圆的距离问题.

图2-3-18

则可知CD最大为6,即BE的最大值为6V2

⑵因为B,D,E三点共线,NADE=90。,所以/ADB=90。.所以BD是。A的切线.即本题分两种情况讨论求CD

的长转化为求BE的长.

不难得出BE的长分别为2b+2和277-2,则CD分别为V14+a和V14-V2.

进阶训练

1.如图2-3-20①②,在等边三角形ABC中，点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接BE,CD,M,N,P分别是

BE,CD,BC的中点把AADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3,则APMN的周长的最大值为.

2.如图2-3-21,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转，给出下列

222

结论：@BE=DG;@BE±DG;（③+BG=2a+2b,其中正确的结论是______（填序号）.

典例精析图2-3-21

例2如图2-3-22①，在R3ABC中,/ACB=9(T,/B=60。,点D,E分别在BC,AB上,DE_LAB,连接AD,F是AD的

中占

I八、

⑴/CFE的度数为

⑵如图②,JEABDE绕点B在平面内自由旋转得ABDE,若F是AD的中点,BD=2,BC=3,请直接写出ACFE

周长的最大值.

答案:(1)60。⑵ACFE周长的最大值为12.

【简析】(1)60。

⑵由上问可猜想ACFE为等边三角形，如猜想成立，只需求出其中一边的最大值即可知ACFE

的周长最大值.

图2-3-23

取AB中点G,连接CG,FG,易得:CG=3=CB,FG=1=BE,AGCB为等边三角形，即/GCB=60。,易证ACFG0A

CEB即CF=CE面三角形全等与角度转化不难得出.乙FCE'=60。,即ACFE为等边三角形.

图2-3-24

即本题求ACFE周长最大值转化为求CE的最大值.再次转化为点到圆的距离问题.

易得，CE的最大值为4,则ACFE的周长最大值为12.

进阶训练

3.⑴如图2325①,P是等边三角形ABC内一点，已知PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度数请补充下列解答过程.

分析：要直接求NAPB的度数显然很困难，注意到条件中的三条线段长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋

转把这三条线段集中到一个三角形内.

解:如图②，作/PAD=60。,使AD=AP,连接PD,CD,则APAD是等边三角形.

=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°.

•••△ABC是等边三角形，

.\AC=AB,ZBAC=60°.

ZBAP=.

AABP^AACD.

BP=CD=4,=ZADC.

•■△PCD中,PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2,

：.ZPDC=°,

ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=

⑵如图③，在AABC中,AB=BC,/ABC=9(r,P是AABC内一点PA=1,PB=2,PC=3,求/APB的度数.

⑶拓展应用:如图④,AABC中,/ABC=30*AB=4,BC=5,P是AABC内部的任意一点，连接PA,PB,PC,则

PA+PB+PC的最/」\值为.

图2-3-25

4.如图2-3-26,在等边三角形ABC中,P为三角形外一点，且PA=4,PB=5,PC=3厕/APC='

5.如图2327,在等腰直角三角形ABC中.NACB=90。点P为三角形内一点且PC=V2,PB=1,PA=迎则/

BPC=°,

6.如图2328,在直角三角形ABC^,ZACB=90°,ZCAB=30°,P为三角形内一点，且.PC=1,PB=

43,PA=履厕/BPC='

图2-3-29

7.如图2329,在等腰直角三角形ABC中.NACB=9(F,P为三角形外一点，目PC=242,PB=2,PA=2近”则

ZBPC=.

典例精析

例3如图2330,已知AABC中,AB=1,BC=2,在AC右侧构造等边三角形ACD连接BD则线段BD的

最大值为.

答案：3

图2-3-30

【简析】解法一：“主从联动’

分析：如图2-3-31,将线段BC看成固定线段，则线段BA可理解为点A在以点B为圆心，半径为1的圆

上运动.

D

图2-3-31

如图2-3-32①，点D可看成点A绕定点C顺时针旋转60。所得，：点A的轨迹是圆，点D的轨迹也是圆

（可看成圆B绕点C顺时针旋转60。所得）.

①

图2-3-32

那么点D所在圆的圆心和半径可以确定吗？

易知，点B绕点C顺时针旋转60唧为D所在圆的圆心，因为A绕C旋转到D过程中CA=CD,圆B的

半径与圆B相同，也为1.则要求最大值，立即转化为求点B到圆B，的最大值，根据“点圆最值”可知，连接BB'

并延长交圆B，于点D,则BD最长，如图2-3-32②.

可知BD的最大值为3.

解法二「旋转变换”（阴影三角形绕点C顺时针旋转60。）

如图2-3-33,将ABAC绕点C顺时针旋转60°,

图2-3-33

可得ABDC,则DB'=BA=1,ABCB'为等边三角形，贝BB'=BC=2,

在ABB'D中，BB'=2,DB'=1,

可知1<BD<3,

当BB,D三点共线时,BD有最大值，为3.

同理也可绕点C逆时针旋转60。去求.

解法三：“旋转变换”

如图2334,将ABAD绕点A顺时针旋转60。,可得ABAC,则BD=BC,ABAB为等边三角形，贝人BB'=BA=

1,

SABB'C中.当B,B；C三点共线时BC有最大值，为3.

；.BD的最大值为3.

图2-3-34

进阶训练

8.如图2335,已知AABC中,AB=LBC=a,在AC右侧构造等腰直角三角形ACD，其中/ACD=9(T,AC=CD,

连接BD,则线段BD的最大值为

9.如图2336,已知AABC中,AB=1,BC=旧，在AC右侧构造含30。角的直角三角形ACD,其中/ACD=90。,

NADC=30。,连接BD,则线段BD的最大值为

10.如图2337,已知AABC中,AB=<2,BC=2&,,在AC右侧构造如图所示的等腰直角三角形ACD,连接

BD,则线段BD的最大值为

11.如图2338,已知AABC中,AB=1,BC=应，在AC右侧构造如图所示的正方形ACDE，连接BD，则线段BD

的最大值为

12.如图2339,已知等边三角形ABC点D在AABC外，且DA=3,DB=5,DC=4,则/ADC的度数为

D

13.如图2340,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以

EF为边向右侧作等边三角形EFG,连接CG,则CG的最小值为

综合训练

1.如图2341,在正方形ABCD中点E,F分别在边BC,CD±,HZEAF=45°,AE交BD于M点,AF

交BD于N点.AD

BEc

图2-3-41

⑴若正方形的边长为2,贝必CEF的周长是

(2)下列结论:(①=MW；;②若F是CD的中点，则tan/AEF=2;③连接MF，则AAMF为等腰直角

三角形.其中正确结论的序号是(把你认为所有正确的都填上).

2.如图2342,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点，且DF=BE.

⑴求证:CE=CF.

⑵图①中若G在AD上，且/GCE=45。,贝!]GE=BE+GD成立吗？为什么？

(3)运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识,完成下题：如图②，在直角梯形ABCD中，AD//BC(BC>AD),Z

B=90°,AB=BC=6,E是AB上一点，且/DCE=45o,BE=2.求DE的长.

图2-3-42

3.定义如图2-3-43①，点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角

三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点.

⑴如图②,已知点C,D是线段AB的勾股分割点，若AC=3,DB=4,求CD的长.

⑵如图③,正方形ABCD中点M在BC上(不与B,C重合)，点N在CD上(不与C,D重合)，且/

MAN=45°,AM,AN分别交BD于E,F.

①求证：E,F是线段BD的勾股分割点；②求空的值.

AMNB

©

图2-3-43

4.如图2344①，在RtAABC中,/BAC=9(T,AB=AC,D为AABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°

得到AE,连接CE,BD的延长线与CE交于点F.

(1)求证:BD=CE,BD_LCE;

⑵如图②，连接AF,DC,已知NBDC=135。,判断AF与DC的位置关系，并说明理由.

图2-3-44

5.如图2345,在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作

等边三角形DEF,连接CF.

【问题解决】

如图①，若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD.

【类比探究】

如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由.

①②

图2-3-45

6.旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题.

⑴尝试解决：如图2-3-46①,在等腰直角三角形ABC中,/BAC=9(F,AB=AC,M是BC上的一点,BM=1

cm,CM=2cm,将AABM绕点A旋转后得到AACN,连接MN,则AM=cm.

(2)类比探究：如图②，在“筝形"四边形ABCD中,AB=AD=a,CB=CD,AB，BC于点B,AD±CD于点D,P,Q分别

是AB.AD上的点，目/PCB+NQCD=/PCQ,求AAPQ的周长(结果用a表示).

⑶拓展应用:如图③，已知四边形ABCD,AD=CD,ZADC=60°,ZABC=75°,AB=2VlBC=2,求四边形ABCD的面

积.

D

Q

图2-3-46

7,已知等边三角形ABC,过A点作AC的垂线1,点P为1上一动点(不与点A重合)，连接CP,把线段CP绕

点C逆时针方向旋转60。得到CQ,连接QB.

⑴如图2347①,直接写出线段AP与BQ的数量关系；

⑵如图②，当点P,B在AC同侧且AP=AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；

⑶如图③，若等边三角形ABC的边长为4,点RB分别位于直线AC异侧，且AAPQ的面积等于阜求线段

AP的长度.

图2-3-47

8.(1)【操作发现】

如图2-3-48①，将△ABC绕点A顺时针旋转60。得至以ADE,连接BD,则/ABD=度.

⑵【类比探究】

如图②，在等边三角形ABC内任取一点P,连接PA,PB,PC,求证:以PA,PB,PC的长为三边必能组成三角形.

(3)【解决问题】

如图③，在边长为立的等边三角形ABC内有一点P,/APC=9(T,NBPC=120。,求AAPC的面积.

(4)【拓展应用】

如图④是A,B,C三个村子位置的平面图，经测量AC=4,BC=5,NACB=30°,P为AABC内的一个动点，连接

PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.

图2-3-48

9.如图2-3-49①，在R3ABC中,/BAC=9(T,AB=AC,D是BC边上一动点，连接AD把AD绕点A逆时针

旋转90。彳导到AE,连接CE,DE.F是DE的中点，连接CF.

⑴求证：CF=yXD.

(2)如图②所示，在点D运动的过程中，当BD=2CD时，分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的

数量关系，并证明你猜想的结论.

⑶在点D运动的过程中在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值时，

AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长.

BDBC

②备用图

图2-3-49

答案

进阶训练I

1.6［解析］如图④，由图①易得BD=CE,ZBFC=60°，则可通过三角形中位线定理（图②③）得APMN为等边三

角形.

故本题求APMN周长的最大值，转化为求任意一边的最值问题，求PM最大，则转化为求CE最大，再次转

化为点到圆的距离问题.

即CE最大为4(如图⑦)，则PM最大为2,APMN周长的最大值为6.

2.①②③［解析］设BE,DG交于点O,

:四边形ABCD和四边形EFGC都为正方形，

,>.BC=CD,CE=CG,ZBCD=ZECG=90°.

ZBCD+ZDCE=ZECG+ZDCE=90°+ZDCE,gpZBCE=ZDCG.

BC=DC,

在ABCE和ADCG中，UBCE=ZDCG,

CE=CG.

ABCE^ADCG(SAS).

BE=DG.

/.Z1=Z2.

VZ1+Z4=Z3+Z1=9O°,

.\Z2+Z3=90°.

ZBOD=90°.

；.BE，DG.故①②正确.

连接BD,EG,如图所示.

DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2,EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2.

：.BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2〃故③正确.

故答案为:①②③.

3.解:(1)PDZCADZAPB90150

(2)VZABC=90°,BC=AB,

.••把APBC绕B点逆时针旋转90。得到ADBA,连接DP,如图①.

①

；.AD=PC=3,BD=BP=2.

ZPBD=90°,

DP=V2PB=2V2,ZDPB=45

在AAPD中,AD=3,PD=2V2,PA=1,

•・・I2+(2V2)=32,AP2+PD2=AD2.

：.△APD为直角三角形.

・•・ZAPD=90°.

・•・ZAPB=ZAPD+ZDPB=90°+45°=135°.

⑶俯［解析］如图②，将4ABP绕点B逆时针旋转60。狷到ADBE,连接EP,CD,

)♦

JAABP^ADBE.

ZABP=NDBE,BD=AB=4,ZPBE=60°,BE二BP,AP=DE.

・•・ABPE是等边三角形.・・・EP=BP.

AP+BP+PC=PC+EP+DE.

当点D点E,点P,点C共线时,PA+PB+PC有最小值CD.

•••/.ABC=30°=4ABP+乙PBC,

：.ZDBE+ZPBC=30°.

ZDBC=90°.

CD=^JBD2+BC2=V42+52=V41.

故答案为V41.

4,30［解析］如图.

¥

5.135［解析］如图.

p'

解法二:如图，作AACP's/XABP.证AAPP's/XABC.再证.乙PCP，=90。..由/APB+NBPC+^APC=zXPC+

NPCP'+/-AP'C+/-P'AP=360°,可彳导ABPC=^PCP'+^PAP'=120°.

P'

7.75°［解析］如图，将ACAP绕点C逆时针旋转90。得到ACBD,过B点作BHLDP于H点.由旋转的性质可

I22

得，DC=PC=2V2,DB=PA=2y/7,^DCP=90。，二DP=J（2A/2）+（2/）=4.设PH=x,

2

BH2=PB2-PH2=2?—x2,BH2=BD2-DH2=（2A/7）-（4+x）2,

2

22—%2=（2V7）—（4+%）?.解得x=l.

・•・cos乙BPH

BP2

ZBPH=60°.ZDPB=120°.

NDPC=45。,；.ZBPC=120°-45°=75°.

10.3［解析］如图.

11.3

12.30°［解析］如图.

D1

13.|［解析］由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段AB上运动，点G也一定在直线轨迹上

运动.

将AEFB绕点E顺时针旋转60。便EF与EG重合，得到AEGH,则AEFB丝△EGH,

连接BH,从而可知AEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上.

作CMLHN于点M,则CM的长即为CG的最小值作EPLCM于点P,可知四边形HEPM为矩形，则CM=

135

MP+CP=HE+-EC=1+-=-.

222

故答案为|

但宗合训练I

1.(1)4⑵①③［解析］⑴将AF绕点A顺时针旋转90°,F点落在G点处,连接GB,如图所示：

由旋转的性质知ZFAG=90°,AF=AG.

ZEAF=45°,

・•・ZEAG=45°.

・・.四边形ABCD为正方形，

・・・AD=AB,NBAD=90°.

AZ1=Z2.

AD=AB,

在ZkDAF和ZkGAB中=乙2,

AF=AG,

：.AFAD^AGAB(SAS).

DF=BG,ZABG=ZADF=90°.

・••乙ABG+么ABE=90°+90°=180°.

G,B,E二点共线.

「AE=AE,

在4EAF和4EAG中\/-EAF=Z.EAG,

、AG=AF,

：.AEAF^AEAG.EF=GE.

・"△CEF二EF+EC+CF=(DF+BE)+EC+CF=(DF+CF)+(BE+EC)=CD+BC=4.

(2)对于①:将AM绕点A逆时针旋转90。,M点落在H点处，连接AH,HD,HN,如图所示,

Z1+Z2=45°,Z1+Z3=ZEAH-ZEAF=45°,

Z2=Z3.

BA=DA,

在ABAM和ADAH中42=43,

AM=AH,

：.ABAM^ADAH(SAS).AZADH=ZABM=45°,BM=DH.AZNDH=ZADH+ZADN=45°+45°=90°.

在RtAHND中，由勾股定理得：NH?=DH2+DN2=BM2+DN2,

在AMAN和4HAN中，

'AN=AN,

Z.MAN=乙HAN=45°,

、AM=AH,

AAMAN^AHAN.

/.MN=NH,

MN2=NH2=BM2+ON?.故①正确;

对于②:将AF绕点A顺时针旋转90°,F点落在G点处，连接GB,如图所示.由

⑴中可知:EF=BE+DF,4^,yP

设正方形边长为2,当F为CD中点时，/LX?'

GB=DF=1,CF=1,设BE=

x,则EF=x+l,CE=2-x,

在RtAEFC中，由勾股定理得，EF2=CF2+CEe,

■■(%+I)2=I2+(2-x)2.解得X=|,即BE=|.

AD2

.­.tanzXFF=tan^AEB=—=2x-=3.

BE2

故②错误；对于③，如图所示：

ZEAF=ZBDC=45°,

；.A,M,F,D四点共圆.

/.ZAFM=ZADM=45°.

•••△AMF为等腰直角三角形，故③正确.

故答案为：①③.

2.解:⑴证明：：四边形ABCD是正方形，

CB=CD,ZB=ZCDA=ZCDF=90°.

DF=BE,ACEB^ACFD..1.CE=CF.

⑵成立.理由如下：

/GCE=45。,；.ZBCE+ZGCD=45°.

ACEB^ACFD,.".ZBCE=ZDCF.

ZFCG=45°.

；GC=GC,CE=CF,ACEG^ACFG(SAS).

/.GE=GF=DF+GD=BE+GD.

(3)延长AD到F,使DF=DE,过C作CG±DF于G,

同理得:DE=DF=DG+BE=DG+2=AB-AD+2=6-AD+2=8-AD.

又：•DE=>JAE2+AD2="+4£>2,

V42+AD2=8-AD.Z.AD=3.；.DE=5.

3.解:⑴当CD边最长时,(CD='AC?+DB2=5,当BD边最长时，CD=^DB2-AC2=V7,.\CD的长为5

或V7

⑵①证明:如图①，将AADF绕点A顺时针旋转90。得到AABF；连接EF,易证AAEF^AAEF',

・•.EF'=ER易彳导ABEF'是直角三角形,在RtABEF'中，BE2+BF'2=EF'2,

：.BE2+DF2=EF2.

•••E,F是线段BD的勾股分割点.

②如图②，连接EN易证AAEFs^DNE再证AADFs/XENE得NENF=NADF=45。,

AAEN为等腰直角三角形..•・登=夜

4.解:⑴证明:如图①，设AC与BF的交点为O,

•••线段AD绕点A逆时针旋转90。得到AE,

.*.AD=AE,ZDAE=90°.

ZBAC=90°,

JNBAC=NDAE.

・•・ZBAD=ZCAE.

在21ABD和zkACE中，

'AB=AC,

Z-BAD=Z-CAE,

、AD=AE,

：.ZXABD也△ACE(SAS).

・•・BD=CE,NABD二NACE.

又NAOB=NCOF,

・•・ZBFC=ZBAC=90°.

ABD±CE.

(2)AF〃CD,理由如下:

如图②，过点A作AGLBF于G,AH，CE于H,

由(1)知AABD之ZiACE,

/.AG=AH.

又AG_LBF,AH_LCE,

；.FA平分NBFE.

又/BFE=90。,；.ZAFD=45°.

,/ZBDC=135°,.\ZFDC=45°.

ZAFD=ZFDC.

；.AF〃CD.

5.解：【问题解决】证明:在CD上截取CH=CE,连接HE,如图①所示:

A

①

:AABC是等边三角形,，ZECH=60°.

•••△CEH是等边三角形.

；.EH=EC=CH,/CEH=60。.

「△DEF是等边三角形，

,>.DE=FE,ZDEF=60°.

ZDEH+ZHEF=ZFEC+ZHEF=60°.

ZDEH=ZFEC.

DE=FE,

在ADEH和AFEC中</DEH=/FEC,

、EH=EC,

：.ADEH^AFEC(SAS).

・・・DH=CF.

二•CD=CH+DH=CE+CF.

/.CE+CF=CD.

【类比探究】线段CE,CF与CD之间的数量关系是FC=CD+CE理由如下:

「△ABC是等边三角形，

ZA=ZB=60°.

过点D作DG〃AB,交AC的延长线于点G,如图②所示：

AF

BC\：D

②6

VGD//AB,

・•・ZGDC=ZB=60°,ZDGC=ZA=60°.

•••△GCD为等边三角形.

・・・DG=CD=CG.

•••△EDF为等边三角形，

.*.ED=DF,ZEDF=ZGDC=60°.

JZEDG=ZFDC.

(ED=DF,

在ZXEGD和ZXFCD中,《NEDG=NFDC，

[DG=CD,

：.ZXEGD0△FCD(SAS).，EG=FC.

，FC=EG=CG+CE=CD+CE.

6.解:⑴手“〈J/

⑵解法一：

B

把ACBP绕点C顺时针旋转ZBCD的度数得至以CDP,使CB与CD重合，

贝！UCDP'g△CBP,；./PCB=NP'CD,/CBP=/CDP',CP=CP'.

ZPCB+ZDCQ=ZPCQ,

/.ZP'CD+ZDCQ=ZPCQ,SP/.QCP'=乙QCP.

'：AB_LBC,AD±CD,ZABC=ZADC=90°.

ZCDP'=90°./.ZADC+ZCDP'=180°.

，Q,D,P三点共线.

CQ=CQ,ACQP'^ACQP.

，QP=QP'.

AAPQ的周长=AP+PQ+AQ=AP+QP'+AQ=AP+QD+DP'+AQ=AP+AD+BP=AB+AD.

,:AB=AD=a,AAPQ的周长=2a.

解法二：

延长AD到点P,使得DP'=BP,连接CP',

：AB_LBC于点B,AD±CD于点D,

.­.Z.CBP=/-CDP'=90°.

又CB=CD,

/.ACDP'^ACBP.

ZPCB=ZP'CD,CP=CP'.

ZPCB+ZDCQ=ZPCQ,

ZP'CD+ZDCQ=ZPCQ,BP乙QCP'="CP.

又CQ=CQ,ACQP'^ACQP.QP=QP'.

/.AAPQ的周长=AP+PQ+AQ=AP+QP'+AQ=AP+QD+DP'+AQAP+AD+BP=AB+AD.

,/AB=AD=a,

AAPQ的周长=2a

(3)连接BD,

VAD=CD,

.•.把ADCB绕点D旋转到ADAB：使得CD与AD重合.

・•.△DAB'=△DCB.

.*.SADAB'=SADCB,ZBDC=NADB；ZC=ZDAB',DB=DB',AB,=CB=2.

ZABC=75°,ZADC=60°,

JNC+NBAD=225o,NBDBJ60。.

^DABr+乙BAD=225°.

・•.乙BAB'=360°-225°=135°.

过点B，作BMLBA交BA的延长线于点M,AMAB'=45°.

在RtAAMB'中，AB'=2./.AMB'=90°,/.MAB'=45。,；.BM'=AM=五.

：.SABB：=^AB-MB'=|x2V2x夜=2.

在RtABMB，中，BM'=a,BM=O2/=3Vx

I22

BB,=J(V2)+(3V2)=V20=2V5.

,.,DB=DB',ZBDB'=60°,

.••△BDB，是等边三角形.

.♦.等边三角形BDB，的高为V15.

SDBB'=|x2V5xV15=5V3.

$四边形ABCD=SDBB，~SABB'=-2-

7.解:⑴AP=BQ.［解析］在等边三角形ABC中,AC=BC,NACB=60。,

由旋转可得,CP=CQ,ZPCQ=60°,

.\ZACB=ZPCQ.

.\ZACP+ZPCB=ZBCQ+ZPCB,BPZACP=ZBCQ.

/.AACP^ABCQ(SAS).

.\AP=BQ.

(2)证明:在等边三角形ABC中,AC=BC,NACB=60。，

由旋转可得,CP=CQ,/PCQ=60。，

ZACB=ZPCQ.AZACP+ZPCB=ZBCQ+ZPCB,EPZACP=ZBCQ.

AACP^ABCQ(SAS).

AP=BQ,ZCBQ=ZCAP=90°.

.\BQ=AP=AC=BC.

：AP=AC,/CAP=90°,

ZBAP=30°,ZABP=ZAPB=75°.

ZCBP=ZABC+ZABP=135°.

/.ZCBD=45°.ZQBD=45°.

/.ZCBD=ZQBDJPBD平分/CBQ.

；.BD，CQ,CD=DQ,即直线PB垂直平分线段CQ.

(3)①当点Q在直线1上方时，如图①所示，延长BQ交1于点E,过点Q作QFX1于点F,

由(2)可知AACP义Z\BCQ,

AP=BQ,ZCBQ=ZCAP=90°.

VZCAB=ZABC=60°,

ZBAE=ZABE=30°..\ZBEF=60°.

AB=AC=4,AE=BE=4V3

设AP=t，则BQ=t,.-.EQ=竽-t.

在RtAEFQ中,QF=fEQ=畀学一t),

■■■aAPQ=\AP.QF=

即/](¥1)=9.

解得t=旧或t=y,即AP的长为V3y.

②当点Q在直线1下方时，如图②所示，设BQ交1于点E,过点Q作QF±1于点F,

由⑵可知AACPgABCQ,

.•.AP=BQ,/CBQ=/CAP=90。.

VZCAB=ZABC=60°,

ZBAE=ZABE=30°..\ZBEF=120°.

AB=AC=4,AE=BE=4V3

设AP=m,贝！|BQ=m,■-EQ=m—手.

在RtAEFQ中，QF=苧即=畀一一竽),

•••SAPQ=\AP.QF=当

□n1V3(4A/3\V3

缶力4日2A/3+V21,2A/3—721,^-j-

斛得m=--—(m=--—舍去)x.

综上可得，AP的长为V3V33驾至.

8.解:(l)60

［解析］:△ADE是由△ABC顺时针旋转所得,

△ADEdABC.AD=AB.

;旋转角为60°,,ZDAB=60°.

AABD是等边三角形.ZABD=60°.

⑵证明:将AAPC绕点A顺时针旋转60。得AAQB,连接PQ,如图①所示:

PC=BQ,AQ=AP,ZPAQ=60°.

•••△AQP是等边三角形.

.\AP=PQ.

•••存在ABPQ,

.•.以PA,PB,PC的长为三边必能组成三角形.

(3)将AAPC绕点A顺时针旋转60。得AAQB,连接PQ,如图②所示:

贝必APQ是等边三角形且PC=QB,NAQB=NAPC=90。，

「・AP=PQ,ZAQP=ZAPQ=60°.

・•・ZBQP=ZAQB-ZAQP=30°.

ZBPC=120°,