2025年中考数学分类复习：圆的有关位置关系（36题）（解析版）

专题23圆的有关位置关系（36题）

一、单选题

1.（2024・福建・中考真题）如图，已知点A8在。。上，ZAOB=72°,直线初V与。。相切，切点为C,

且C为的中点，则NACW等于（）

【答案】A

【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为嬴的中点，三角形内

角和可求出/。。4=3、（180。-36。）=72。，再根据切线的性质即可求解.

【详解】•:ZAOB=7安,C为A8的中点，

•*.ZAOC=36°

OA=OC

ZOCA=|x（180°-36°）=72°

,直线MN与。。相切，

ZOCM=9Q°,

：.ZACM=ZOCM-ZOCA=18°

故选：A.

2.（2024.上海.中考真题）在AABC中，AC=3,BC=4,AB=5,点P在AABC内，分别以A、B、尸为

圆心画，圆A半径为1,圆B半径为2,圆尸半径为3,圆A与圆尸内切，圆尸与圆8的关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.相离

【答案】B

【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记

圆的位置关系是解决问题的关键.

【详解】解：,•,圆A半径为1,圆尸半径为3,圆A与圆P内切，

.・■圆A含在圆P内，即PA=3-1=2,

.•.P在以A为圆心、2为半径的圆与URC边相交形成的弧上运动，如图所示:

当到P'位置时,圆尸与圆B圆心距离尸3最大，为+不=拒，

V17<3+2=5,

.■.圆P与圆8相交，

故选：B.

3.（2024河南.中考真题）如图，。。是边长为4—的等边三角形ABC的外接圆，点。是8c的中点，连

接50,CD.以点。为圆心，BD的长为半径在O。内画弧，则阴影部分的面积为（）

A

D

A.—B.4TIC.史乌D.16兀

33

【答案】C

【分析】过。作于E,利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出/8DC=120。，利用弧、

弦的关系证明3D=CD,利用三线合一性质求出2E=LgC=26,ABDE=-ZBDC=60°,在RgBDE

22

中，利用正弦定义求出8£>,最后利用扇形面积公式求解即可.

【详解】解：过。作。EJL3C于E,

A

D

V。。是边长为4代的等边三角形ABC的外接圆,

2

BC=4A/3-ZA=60°,ZBDC+ZA=180°,

ZSDC=120°,

:点D是BC的中点,

：•BD=CD，

：.BD=CD,

：.BE=-BC=2A/3,ZBDE=-ZBDC=60°,

22

sinZBDEsin60°

.01207rd167r

•阴影=F-=亍'

故选：c.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直

角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键.

4.（2024.四川泸州•中考真题）如图，EA,ED是OO的切线，切点为A,D,点、B,C在。。上，若

ZBAE+ZBCD=236°,则NE=()

A.56°B.60°C.68°D.70°

【答案】C

【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是

解题关键.

根据圆的内接四边形的性质得N54D+N3CD=18O。，由/&归+/38=236。得/皿＞=56°,由切线长

定理得E4=£D,即可求得结果.

【详解】解：如图，连接AD,

:四边形A5CD是。O的内接四边形,

ZBAT>+ZBCD=180°,

,?ZBAE+ZBCD^236°,

：.Z.BAE+/BCD-(/BAD+NBCD)=236°-180°,

ZBAE-ZBAD=56°,

/E4D=56°,

EA,即是。。的切线，根据切线长定理得，

/.EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA=56°,

；.NE=180°-ZEAD-ZEDA=180°—56。一56°=68°.

故选：C.

二、填空题

5.（2024•浙江・中考真题）如图，A8是。O的直径，AC与。。相切,A为切点，连接BC.己知NACB=50°,

则NB的度数为

【答案】40。/40度

【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.

【详解】解：：AC与。。相切，

•*.ABAC=90°,

又：ZACB=50°,

：.NB=90°-ZC=90°-50。=40°,

故答案为：40°.

6.（2024.内蒙古包头.中考真题）如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，点。在四边形ABC。内部，过

点C作。O的切线交AB的延长线于点尸，连接0408.若NAO3=140。，4c尸=35。,则/ADC的度数

为.

4

【答案】105。/105度

【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接0C,利用等边

对等角得出NQ4B=NC®A=20。，NOCB=NOBC,利用切线的性质可求出NOBC=NOCB=55。，然后利

用圆内接四边形的性质求解即可.

【详解】解：连接。C,

,：OA=OB=OC,=140°,

/.ZOAB=ZOBA=1（180°-ZAOB）=20°,ZOCB=ZOBC,

：CP是切线，

ZOCP=90°,即Z.OCB+ZBCP=90°,

,/ZBCP=35°,

ZOBC=ZOCB=55°,

：.ZABC=ZABO+ZOBC=75°,

•..四边形A5CZ）是。。的内接四边形，

ZADC=180°-ZABC=105°,

故答案为：105。.

7.（2024.天津.中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上.

(1)线段AG的长为；

(2)点£■在水平网格线上，过点A,E,尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AT的

延长线相交于点3,C,AABC中，点M在边3C上，点N在边上，点尸在边AC上.请用无刻度的直

尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,P,使&1的？的周长最短，并简要说明点M,N,尸的位置

是如何找到的(不要求证明).

【答案】&图见解析，说明见解析

【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作点M关于A3、AC的对称点M|、M2,连接MM】、MtM2,分别与A3、AC相交于点E、P,

△肱VP的周长等于的长，等腰三角形的腰长为AM,当AM的值最小时，的值最小，

此时M是切点，由此作图即可.

【详解】(1)由勾股定理可知，46=炉方=血，

故答案为：A/2

(2)如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点Mi；取圆与网格线的交点。和格

点、H,连接DH并延长，与网格线相交于点“2；连接加1加2,分别与A3,AC相交于点N,P,则点

8.(2024•江苏扬州•中考真题)如图，已知两条平行线4、3点A是4上的定点，于点8,点C、

。分别是4、4上的动点，且满足AC=3D,连接8交线段AB于点E,BHLCD于点、H,则当Na4H最

大时，sinZfi4H的值为.

6

【分析】证明AACE丝ASA),得出==根据3H_LCD,得出/3HE=90。，说明点X

在以旗为直径的圆上运动，取线段3E的中点0,以点。为圆心，。3为半径画圆，则点H在。。上运动，

说明当AH与。。相切时N54H最大，得出根据AO=A£+OE=3OE,利用

sinZBAH=|,即可求出结果.

AO3OE3

【详解】解：・.•两条平行线/八几点A是/1上的定点，AB，/2于点5,

・••点B为定点，回的长度为定值，

4〃4，

：・ZACE=/BDE,NCAE=NDBE,

;AC=BD,

：.△ACE^ABDE(ASA),

BE=AE=-AB

2f

,:BHLCD,

：.ZBHE=90°,

・•・点”在以超为直径的圆上运动，

如图，取线段班的中点0,以点。为圆心，0B为半径画圆，

则点”在上运动,

・••当AH与相切时NB4H最大,

・•・OH工AH,

AE=OB=2OE,

AO=AE+OE=3OE,

'：OH=OE,

.•.sin4A//="=丝」,

AO3OE3

故答案为：g

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三

角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹.

9.（2024・四川凉山•中考真题）如图，。加的圆心为“（4,0）,半径为2,尸是直线y=x+4上的一个动点,

过点P作0M的切线，切点为。，则PQ的最小值为

【答案】2币

【分析】记直线^=尤+4与x,y轴分别交于点A,K,连接PM,KM;由直线解析式可求得点A、K

的坐标，从而得△OAK,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ^^PM2-QM2,由

QM=2,则当PM最小时，PQ最小，点尸与点K重合，此时最小值为KM,由勾股定理求得的

最小值，从而求得结果.

【详解】解：记直线＞=x+4与尤，y轴分别交于点A,K,连接PM,KM,

解得：％=-4,

即K(0,4),A(TO)；

而M(4,0),

：.OA=OK=OM=4,

8

「•△OAK,△OKM均是等腰直角三角形,

：.ZAKO=ZMKO=45°,

：.ZAKM=90°,

v。尸与0M相切,

ZPQM=90°,

••PQ=yjPM2-QM2,

•：QM=2f

当pQ最小时即PM最小，

.,.当PM_LAK时，取得最小值，

即点P与点K重合，此时最小值为KM,

在RIAOKM中，由勾股定理得：KM=yJoM2+OK2=472-

PQ=J32-4=2币,

；.PQ最小值为24.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加

辅助线是解题的关键.

10.（2024.山东烟台.中考真题）如图，在YABC。中，NC=120。，AB=8,BC=10.E为边CD的中点，

尸为边AD上的一动点，将ADEF沿E尸翻折得A£>'E/，连接AD'，BD',则△ABD面积的最小值为.

【答案】20若-16/-16+206

【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AS=8,AB//CD,ZABC=60°,由折叠性质得到=。£=4,

进而得到点"在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作石交A8延长线于M,交圆E

于此时0c到边的距离最短，最小值为的长，即此时△ABD面积的最小，过C作CN_LAB于

M根据平行线间的距离处处相等得到EM=CV,故只需利用锐角三角函数求得CN=54即可求解.

【详解】解:「在YABCD中，ZSCZ）=120°,AB=8,

CD=AB=8,AB//CD,则^/15。=180。一/300=60。，

为边CD的中点，

DE=CE=-CD=A,

2

ADEF沿E尸翻折得a'EF，

/.ED'=DE=4,

...点以在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交A3延长线于交圆E于次,

此时到边A8的距离最短，最小值为LW的长，即△钻。面积的最小，

过C作CN_LAB于N,

AB//CD,

：.EM=CN,

在RtABGV中，3C=10,ZCBN=60°,

：.CN=BC.sin60°=10x3=5若，

2

/.DM=ME-ED=56-4,

•••△相〃面积的最小值为3><8*（5百-4）=20石-16,

故答案为：2073-16.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数

等知识，综合性强的填空压轴题，得到点。，的运动路线是解答的关键.

三、解答题

11.（2024・广东・中考真题）如图，在“IBC中，ZC=90°.

（1）实践与操作：用尺规作图法作一A的平分线AD交3c于点。；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点。为圆心，DC长为半径作G）D.求证：与。。相切.

10

【答案】（1）见解析

（2）证明见解析

【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识.熟练上述知识是解题的

关键.

（1）利用尺规作角平分线的方法解答即可；

（2）如图2,作QE1工"于E,由角平分线的性质定理可得DE=DC,由。E是半径，DEJ.AB,可证

与。。相切.

【详解】（1）解：如图1,AD即为所作；

（2）证明：如图2,作DE工于E,

：是/C4D的平分线，DC±AC,DEJ.AB,

：.DE^DC,

「DE是半径，DEJ.AB,

AB与。。相切.

12.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）如图，AABC中，ZACB=90°,AC=BC,经过8,C两点，与斜

边A3交于点E,连接CO并延长交A3于点交。O于点。，过点E作EF〃8,交AC于点R

⑴求证：斯是O。的切线;

（2）若BM=4近，tanZBCD=1,求ON的长.

【答案】（1）见解析

⑵OM=也

【分析】（1）连接OE，延长E。，交。。于点。连接P2瓦）,根据直径所对的圆周角是直角求出NDBE=45。，

得ZDPE=45。，/DOE=90。，由跖〃CD可得NFED=NOOE=90。，从而可证明所是。。的切线;

(2)由tanZ.BCD=—^,即^^-=—,证明^DBM^^ACM,得=0”DB=：,由BM=4忘

2BC2AC2AMCM~AC

得3=80，故可得筋=12应，由勾股定理求出AC=3C=12,得。3=6,由勾股定理求出C。=60,

CO=DO=3也,根据”■=?求出。M=2A/L进一步求出。A/=O。一DM=36一2遥=6

CM2

【详解】（1）证明：连接0E,延长E。，交。。于点尸，连接P2&Z如图，

•：AB=BC,ZACB=90°,

・•・△ABC是等腰直角三角形,

ZABC=45°,

•「CD是O。的直径，

・・.ZCBD=90°,

ZDBE=ZCBD-ZABC=90°-45°=45°,

.・.NEPD=NDBE=45。,

：./DOE=2ZDPE=2x45°=90°,

・.・EF//CD,

：./FEO=ZDOE=90°,即OE_LEF,

*/OE是。O的半径，

・・・EF是。。的切线；

(2)解：VZDBC=90°,tanZBCD=~,

2

12

.DB

*'BC-2"

,/BC=AC,

.DB_1

"AC"2'

,/NDMB=ZCMA,ZA=ZDBM,

：.ADBM^AACM,

.BMDMDB_1

AM-CM-AC_2'

BM=4近，

:.AM=2BM=80

•*-AB=AM+BM=8夜+4忘=12忘，

在等腰直角三角形ABC中，AC2+8C2=AB2,

•*.AC2+AC2=AB2=（12可，

解得，AC—12,

：.AC=BC=n,

：.DB=-BC=6,

2

在AUBDC中，CD=《BC。+DB。=J12"+6?=6石,

•*.CO=DO=3非,

又也」，

XCM2

/.CM=2DM,

：.2DM+DM=CD=66

/.DM=2A/5

/.OM=OD-DM=3s/5-2y[5=45

【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定

理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键.

13.（2024.四川内江•中考真题）如图，A3是。。的直径，C是BZ）的中点，过点C作AO的垂线，垂足为

点E.

(1)求证：AACESAABC；

⑵求证：CE是。。的切线；

(3)若AD=2CE,OA=42,求阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶；兀T

【分析】+(1)分别证明ZACB=ZA£C,ZBAC=/EAC,从而可得结论；

(2)连接。C,证明/E4C=ZACO,可得OC〃AE,再进一步可得结论；

(3)连接、0£),证明四边形DECF是矩形,可得DF=EC,再证明AD=£«,可得ZDAB=ZDBA=45°,

可得Z.DOA=2NDBA=90°,利用S阴影部分=S扇形水加—5AA。口可得答案.

【详解】(1)证明：:AB是。。的直径

NACB=90°,

又：CE_LAD,

AZAEC=90°,

ZACB=ZAEC,

：C是的中点，

BC=DC，

：.ZBAC=ZEAC,

：.AACES^ABC；

(2)证明：连接0c

14

・•・ZCAO=ZACO,

*：ZBAC=ZEAC,

：.ZEAC=ZACO,

：.OC//AEf

VCE1AD,

・•・CE±OC,

・・•oc是oo的半径,

・・・CE是。。的切线；

(3)解：连接05、0D

丁是的直径，

・•.ZADB=90°,

ZAEC=ZECO=90°,

J四边形。反下是矩形，

DF=EC,

・・,0C是半径，C是50的中点，

：.DF=FB,OCLDB,

即DB=2DF=2EC,

AD=2CE,

:・AD=DB,

ZDAB^ZDBA^45°,

：.ZDOA=2NDBA=90°,

...90°7TX(72)2II

..S阴影部分=S扇形AOD―^AAOD=盘。—XA/2XA/2=—7t-l

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角形的判定和切

线的判定是解决本题的关键。

14.(2024・江苏盐城・中考真题)如图，点C在以A8为直径的。。上，过点C作。。的切线/，过点A作相)，/,

垂足为。，连接AC、BC.

⑴求证：△ABCS/\ACD；

(2)若AC=5,CD=4,求0。的半径.

【答案】(1)见解析

【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运

用这些知识点是解题关键.

(1)连接。C,根据题意得，OCD=，OC4+NACD=90。，ZACB=ZACO+ZOCB=90°,利用等量

代换确定ZACD=NABC,再由相似三角形的判定即可证明；

(2)先由勾股定理确定AD=3,然后利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】(1)证明：连接OC,如图所示：

是O。的切线，点。在以为直径的上，

AZOCD=ZOCA+ZACD=9G°,ZACB=ZACO+ZOCB=90°,

:・NACD=NOCB,

16

OC=OB,

：・NOBC=NOCB,

：.ZACD=ZABC,

VAD1Z,

：.ZADC=90°,

：.ZADC=ZACB,

：.AABC^AACD；

(2)VAC=5,8=4,

・•・4/)=152-42=3,

由(1)得△ABCs/XACD,

,ABACAB5

..---=----即Rn----=—,

ACAD53

/.。。的半径为＜:2=

15.(2024.四川凉山・中考真题)如图，A3是。。的直径，点C在。O上，AD平分254C交。O于点。,

过点。的直线DE1AC,交AC的延长线于点E,交48的延长线于点尸.

N

⑴求证：EF是。O的切线；

(2)连接E。并延长，分别交。。于两点，交AD于点G,若。。的半径为2,一尸=30。，求G/VTGN的

值.

【答案】(1)见详解

72

(2)—

25

【分析】(1)连接OD,根据等腰三角形的性质及角平分线得到OD//AC,根据平行线的性质得ZODF=90°,

即可证明；

(2)连接A»,⑷V,先解RtAODP,求得。尸=4,£＞/=2括，贝UA尸=6,AE=3,可证明4。=£＞尸=2百，

由HSOSAAGE,得段=空=巳i^DG=-AD,AG=-AD,证明△MG〃AAGN,即可得到

AGAE355

72

GMGN=GDGA=—.

25

【详解】（1）解：连接QD,

E

N

*：OA=OD,

：.N2=N3,

・・,4）平分/B4C,

・・・N1=N2,

JZ1=Z3,

:.OD//AC,

：.ZODF=ZAED

■:DEO

：.ZAED=90°,

：.ZODF=90°,

即OD上EF,

・・・。。是。0的半径

・・・EF是（DO的切线；

（2）解：连接MD,AN,

E

N

9：NF=30。，

18

・••在RtZkOD尸中，。产=28=4,

由勾股定理得：DF=J。方2=2百

・•・AF=2+4=6,

•・•在Rt^AEb中，ZF=30°,

AE=—AF=3,

2

VZF=30°,0D1EF

：.ZDOF=60°=Z2+Z3,而/2=/3,

JN2=30。，

AZ2=ZF,

JAD=DF=2石，

■:OD//AE,

:.小DGOs^AGE,

,DGOP2

**AG-AE-3'

23

・•・DG=-AD,AG=-AD,

，：AM=AM9

:.ZANG=ZMDG,

ZMGD=ZAGN,

・•・△MGDS/\AGN,

.MG_GD

**AG-GAF，

DaZT2D

：.GMGN=GDGA=-AD-AD=—AD2=—x（2y/3\=—.

552525\’25

【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，30。的直角三角形的性质，

等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键.

16.（2024•山东烟台・中考真题）如图，AB是。。的直径，AABC内接于。。，点/为44BC的内心，连接C/

并延长交。于点。，E是BC上任意一点，连接AD，BD,BE,CE.

D

⑴若/ABC=25。，求NCEB的度数；

(2)找出图中所有与D/相等的线段，并证明；

⑶若C7=2a,£)/=；&,求AABC的周长.

【答案】(1)115。

(2)DI=AD=BD,证明见解析

(3)30

【分析】(1)利用圆周角定理得到NACB=90。，再根据三角形的内角和定理求NCAB=65。，然后利用圆

内接四边形的对角互补求解即可；

(2)连接加，由三角形的内心性质得到内心，NCAI=/BAI,ZACI=NBCI,然后利用圆周角定理得

至|JNDAB=NDCB=N4C/,AD=BD,禾!!用三角形的外角性质证得NZM/=NDM,然后利用等角对等边

可得结论；

(3)过/分别作LAB,IF1AC,IPLBC,垂足分别为。、F、P,根据内切圆的性质和和切线长定

理得到AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得CF=2=CP,AB=13,进而可求解.

【详解】(1)解：：A5是。。的直径，

ZADB=ZACB=90°,又NABC=25°,

ZCAB=90°-25°=65°,

:四边形ABEC是。O内接四边形，

ZCEB+ZC4B=180°,

/.Z.CEB=180°-Z.CAB=115°；

(2)解：DI=AD=BD,

证明：连接卸，

20

D

・・•点/为AABC的内心，

ACAI=ABAI,ZAC/=NBC/」NAC3=45°,

2

•**AD=BD，

AZDAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,

ZDAI=ZDAB+Z.BAI,ZDIA=ZACI+NCAI,

ZDAI=ZDIA,

***DI=AD=BD；

(3)解：过/分别作/。，AB,IFLAC,IPIBC,垂足分别为。、F、P,

:点/为AASC的内心，即为AABC的内切圆的圆心.

二。、F、P分别为该内切圆与AABC三边的切点，

AAQ=AF,CF=CP,BQ=BP,

VCI=2^2,ZZFC=90°,ZACI=45°,

：.CF=C7-cos45°=2=CP,

1Q

VDI=AD=BD,DI=—y/2,ZADB=9Q0,

2

：.AB=y/AD2+BD2=V2x—A/2=13,

2

・•・△ABC的周长为AB+AC+5C

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF

=2x13+2x2

=30.

【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形

的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答

的关键.

17.（2024.甘肃・中考真题）如图，AB是。。的直径，BC=5Z），点E在AD的延长线上，且NAOC=NA£B.

⑴求证：仍是。。的切线；

⑵当。。的半径为2,3C=3时，求tan/AE3的值.

【答案】（1）见解析

（2）tanZA£B=—

3

【分析】（1）连接应），OC,OD,证明。8垂直平分CD,得出NAFD=90。，证明CD〃3E,得出

ZABE=ZAFD=90°,说明即可证明结论；

（2）根据是O。的直径，得出/ACB=90。，根据勾股定理求出AC=V^口^="^亭=屿，根

据三角函数定义求出tan/ABC=4G=，7,证明NAEB=NABC,得出tan/AEB=tan/ABC="即可.

BC33

【详解】（1）证明：连接30,OC,OD,如图所示：

BC=BD，

：.BC=BD,

"?OC=OD,

...点。、B在8的垂直平分线上,

。8垂直平分8,

ZAFD=90°,

'：ZADC=ZAEB,

22

CD//BE,

：.ZABE=ZAFD=90°,

：.AB.LBE,

•「AB是OO的直径，

・・・H石是OO的切线；

(2)解：・・・。。的半径为2,

***AB=2x2=4,

TAB是的直径，

・•.NACB=90。，

BC=3,

••AC=yjAB2—BC2=A/42—32=V7,

tan/.ABC=,

BC3

•AC=ACf

：.ZADC=ZABC,

•：ZAEB=ZADC,

：.ZAEB=ZABC,

**•tanZAEB=tanZABC=.

3

【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定,

平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

18.（2024・山东威海・中考真题）如图，已知是的直径，点C,。在上，且.点E是线

段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点足NFEG的平分线EH交射线AC于点H,ZH=45。.

⑴求证：石厂是。。的切线；

（2）若跖=2,CE=4,求AF的长.

【答案】（1）见解析

(2)AF^—

【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义

得到/F=90。是解题的关键.

(1)连接OC,根据圆周角定理得到==即可得到OC〃AO,然后根据角平分线

的定义得到NF=ZFEG-ZFAE2ZH=2x45。=90。，然后得到ZOCE=ZF=900即可证明切线；

(2)设(30的半径为广，OC2+CE2=OE2,可以求出厂，然后根据AECOSA£/弘，即可得到结果.

【详解】(1)证明：连接OC,

则ZOAC=ZOCA,

又：BC=CD,

••BC=CD，

：.ZDAC=ZCAB=-ZDAB,

2

ZDAC^ZOCA,

：.OC//AD,

：.ZOCE=ZF,

■:EH平济NFEG,

：.NFEG=2ZHEG,

ZF=NFEG-ZFAE=2NHEG-2ZCAB=2(NHEG-ACAB)=2NH=2x45°=90°,

ZOCE=ZF=9Q°,

又：0c是半径，

是。。的切线；

(2)解：设。。的半径为,，则OE=O3+3E=r+2,

OC2+CE2=OEr,BPr2+42=(r+2)2,

解得厂=3,

24

AEA=AB+BE=2r^-2=8,0E=5,

又「OC\\AD,

^ECO^^EFA,

.EAAF8AF

••=,Bn|nJ=解得AF=《.

OEOC53

19.（2024・陕西・中考真题）如图，直线/与OO相切于点A,48是的直径，点C,。在/上，且位于

点A两侧，连接8C,BD,分别与。O交于点E,F,连接EF,AF.

⑴求证：ZBAF=NCDB；

⑵若。。的半径厂=6,AD=9,AC=12,求所的长.

【答案】（1）见解析

⑵斯=岑1.

【分析】（1）利用切线和直径的性质求得NB4O=NBE4=90。，再利用等角的余角相等即可证明

NBAF=NCDB；

（2）先求得AB=12=AC,BD=15,证明44BC和△口£是等腰直角三角形，求得AE的长，再证明

△BEFS^BDC,据此求解即可.

【详解】（1）证明：：直线/与。o相切于点A,

/BAD=90。，

ZBDA+ZABD=90P,

是。。的直径，

ZBE4=90°,

ZBAF+ZABD=90°,

NBAF=/CDB；

（2）解：：r=6,

•.AB=2r=12=AC,pj）—AB2+AD2=J12?+9?=15，

•・,直线/与O。相切于点A,

：.ZBAC=90°,

・•.△ABC是等腰直角三角形，

ZABC=ZACB=45°,

•.*AB是的直径，

：.ZBEA=90°,

・•・"IB石也是等腰直角三角形，

•**AE=BE=ABcos45°=672，

;BF=BF，

ZBEF=ZBAFf

■:/BAF=/CDB,

：.ZBEF=ZBDC,

ABEFSABDC,

.BE_EF6>/2EF

••--------，即-----=-------，

BDCD1512+9

.s42V2

5

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知

识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

20.（2024・湖北•中考真题）Rt^ABC中，/ACB=90。，点。在AC上，以OC为半径的圆交A3于点£）,

交AC于点E.且出）=3（7.

A£ToJ

⑴求证：A3是。。的切线.

（2）连接交。O于点若AO=6,AE=1,求弧CP的长.

【答案】（1）见解析

⑵弧CP的长为

【分析】（1）利用SSS证明△03。丝△OBC,推出NOD8=NOCB=90。，据此即可证明结论成立；

（2）设。。的半径为了,在RGAOD中，利用勾股定理列式计算求得x=l,求得NAOD=60。，再求得

26

NCO尸=60。，利用弧长公式求解即可.

【详解】（1）证明：连接OO,

BD=BC

在△03。和△03。中，\OB=OB,

OD=OC

：.AOBD0AOBC（SSS）,

Z.ODB=Z.OCB=90°,

・・,。。为的半径，

・•・A8是。。的切线；

（2）解：VZODB=90°f

：.ZODA=90°,

设。。的半径为x,

在Rt^AOD中，AO2=OD2+AD2,即（x+l『=一+（若『，

解得x=1,

OD=OC=1,OA=2,cosZ.A.OD==一,

OA2

・•.ZAOD=60°,

八OBD沿/XOBC,

ZBOD=ZCOF=1（180°-60°）=60°,

・•・弧C/的长为里工=1

1803

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式.正确引出辅助线解决问题是解

题的关键.

21.（2024.贵州・中考真题）如图，为半圆O的直径，点尸在半圆上，点P在A3的延长线上，PC与半

圆相切于点C,与的延长线相交于点。，AC与。尸相交于点E,DC=DE.

D

(1)写出图中一个与/DEC相等的角：

⑵求证：OD±AB；

(3)若。4=2OE,DF=2,求P8的长.

【答案】(l)NDCE(答案不唯一)

猾

喈

【分析】(1)利用等边对等角可得出〃CE=NDEC,即可求解；

(2)连接0C,利用切线的性质可得出/Z)CE+/ACO=90。，利用等边对等角和对顶角的性质可得出

ZAOE=ZDCE,等量代换得出ZA£O+NC4O=90。，然后利用三角形内角和定理求出NAOE=90。，即可得

证；

(3)设OE=2,贝I］可求AO=O尸=BO=2x,EF=x,OD=2x+2.,DC=DE=2+x,在RtZ\ODC中，禾!J

用勾股定理得出(2+2X『=(X+2)2+(2X)2,求出x的值，利用tanD=^=若可求出0尸，即可求解.

【详解】(1)解：：DC=DE,

・•・NDCE=NDEC,

故答案为：ZDCE(答案不唯一)；

(2)证明：连接0C,

AOCLCD,即NDCE+NACO=90。,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZACO,

•：NDCE=NDEC,ZAEO=NDEC,

：.ZAEO+ZCAO=90°,

28

・•・NAOE=90。，

/.ODA.AB-

(3)解：设=贝!JAO=。9=30=2%,

/.EF=OF-OE=x,OD=OF+DF=2x+2,

：.DC=DE=DF+EF=2+x,

在Rt^OOC中，OD2=CD2+OC2,

A(2+2X)2=(X+2)2+(2X)2,

解得西=4,%=0（舍去）

AOD=10,CD=6,OC=8,

•「tan。二”二竺

ODCD

.。1_8

>•=一，

106

解得。尸号40,

BP=OP-OB=—

3

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用

以上知识是解题的关键.

22.（2024・青海•中考真题）如图，直线A3经过点C,且OA=O3,CA=CB.

（1）求证：直线AB是O。的切线；

（2）若圆的半径为4,々=30。，求阴影部分的面积.

【答案】（1）详见解析

⑵S阴影=86一半

【分析】本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的

关键是掌握切线的判定与性质.

（1）利用等腰三角形的性质证得利用切线的判定定理即可得到答案；

（2）在RtAOCB中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得03=8,8。=4出，再根据

S阴影=S40cB~S扇形08，计算即可求解.

【详解】（1）证明：连接0C,

:在中，OA=OB,CA=CB,

：.OCLAB,

又；0c是。。的半径，

...直线A3是。。的切线；

（2）解：由（1）知NOCB=90。，

,?ZB=30°,

NCOB=90°-30°=60°,

.60万•428万

**扇形℃。-360-"T'

在中，ZB=30°,OC=4,

03=8,

BC=yJOB2-OC2=V82-42=4-s/3，

SAOCB=1-BC-OC=-1x4>/3x4=8V3,

S阴影=S&OCB-S扇形OCD=8石—■—.

23.（2024・天津.中考真题）已知AAOB中，/ABO=30。,AB为。O的弦，直线MN与。。相切于点C.

30

(1)如图①，若AB//MN,直径CE与AB相交于点D,求ZAOB和ZBCE的大小；

(2)如图②，若OB〃MN,CGLAB,垂足为G,CG与。8相交于点不。4=3,求线段OF的长.

【答案】(1)403=120。；NBCE=30°

⑵白

【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的

关键.

(1)根据等边对等角得到NA=NABO,然后利用三角形的内角和得到NAO8=18(r-2NABO=12()。，然

后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可；

(2)连接。C,求出/CR9=/3FG=60。，再在RtACO尸中运用三角函数解题即可.

【详解】(1)•.•钻为。。的弦，

中，ZA+ZAS<9+ZAOB=180°,

又ZA8O=30°,

ZAOB=180。-2ZABO=120°.

直线跖V与。。相切于点C,CE为。。的直径,

:.CE±MN.BPZECM=90°.

又AB〃MN,

:.NCDB=/ECM=90。.

在RtAODB中，NBOE=90°-ZABO=60°.

ZBCE=-ZBOE,

2

../SCE=30°.

（2）如图，连接OC.

JZOCM=90°

・.,OC\\MN

：.ZOCM=ZCOB=90°.

vCGIAB,得/FGB=90。.

，在RMFGB中,由NABO=30。，

得ZBFG=90°-ZABO=60°.

:./CFO=/BFG=6。。.

oc

在RtACOb中，tan，CFO=—,OC=OA=3,

OF

OF=——3=\/3.

tan/CFOtan60°

24.（2024.四川乐山.中考真题）如图，。。是△ABC的外接圆，为直径，过点。作的切线8交84

延长线于点。，点E为CB上一点，且AC=CE.

⑴求证：DC//AE-

⑵若E尸垂直平分。B,DA=3,求阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析

（2）3TT--

4

【分析】（1）如图1,连接OC.则NOCD=90。，即“G4+NOG4=90°.由A3为直径，可得NACB=90。,

即/1+NOC4=90。.则=由OC=O3,可得Zl=N2.由AC=CE，可得，2=，3.贝U

ZDC4=Z3.进而可证£>C〃AE.

32

(2)如图2,连接OE、BE.由所垂直平分。3,可得OE=BE.贝必。£3为等边三角形.ZBOE=60°,

ZAOE=120°.由=可得NCME=NOE4=30。.由OC〃AE,可得/D=/(ME=30°.ZDOC=60。.证

明AAOC为等边三角形.则NOC4=60。，OA=OC=AC./DC4=30。.贝U

123

ZD=ZDCA.DA=AC=OA=OC=OE=3.EF=OEsm60°.S^OAE=^AO-EF.S^OAE=^",

再根据s阴影=S扇形Q4E-'△OAE，计算求解即可.

【详解】(1)证明：如图1,连接OC.

•••co为O。的切线，

...Z.OCD=90°,即NDCA+ZOCA=90°.

又：AB为直径，

ZACB=90°,BPZ1+Z.OCA=90°.

•*."04=4

,/OC=OB,

；•Z1=Z2.

AC=CE，

：.N2=N3.

：.NOCA=N3.

DC//AE.

,/EF垂直平分02,

OE=BE.

又〈OE=OB,

AOEB为等边三角形.

/.ZBOE=60°.ZAOE=120°.

•：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA=30°.

DC//AE,

：.ZD=ZOA