2025年新高考数学重难点专项复习：解三角形的最值和范围问题【九大题型】（原卷版）

重难点12解三角形的最值和范围问题【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】................................................2

【题型2三角形边长的最值或范围问题】........................................................3

【题型3三角形周长的最值或范围问题】........................................................4

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】....................................5

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】......................................................6

【题型6转化为三角函数求最值（范围）】......................................................7

【题型7转化为其他函数求最值（范围）】......................................................8

【题型8“坐标法”求最值（范围）】..........................................................9

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】.................................................10

►命题规律

1、解三角形的最值和范围问题

解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或

与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主

要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的

关键是建立起角与边的数量关系.

►方法技巧总结

【知识点1三角形中的最值和范围问题】

1.三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：

（1）利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；

（2）利用基本不等式求最值（范围）；

（3）转化为三角函数求最值（范围）；

（4）转化为其他函数求最值（范围）；

（5）坐标法求最值（范围）.

2.三角形中的最值（范围）问题的解题策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运

用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究

其最值（范围）.

（2）转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略

三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利

用三角函数的范围求出最值或范围.

（3）坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略

“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边

角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结

合三角函数、基本不等式等知识求其最值.

►举一反三

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】

【例1】(2024•河北石家庄•三模)在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9.

2

(1)若sinC=求sin&-sinB的值；

(2)求面积的最大值.

【变式1-1](2024•全国•模拟预测)记锐角三角形ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosA=

V3—acosB,2asinC=V3.

(1)求4

(2)求△48C面积的取值范围.

【变式1-2](2024•辽宁・模拟预测)如图，在平面内，四边形2BCD满足B,。点在47的两侧，AB=1,

BC=2,△力CD为正三角形，设N&8C=a.

D

(1)当a=时，求AC；

(2)当a变化时，求四边形4BCD面积的最大值.

【变式1-3](2024•上海・三模)已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且遮a=2csin力.

(1)求sinC的值；

(2)若c=3,求△ABC面积S的最大值.

【题型2三角形边长的最值或范围问题】

【例2】(2024•四川三模)在△2BC中,内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足2csinBcosA=6

(sin^cosB+cosZsinB).

(1)求力；

(2)若△ABC的面积为16g,。为AC的中点，求BD的最小值.

【变式2-1](2024•江西•模拟预测)在△4BC中，角4B,C所对的边分别记为a,b,c,且tan2=

cosB—sinC

cosC+sinB"

⑴若B=?求C的大小.

(2)若a=2,求6+c的取值范围.

【变式2-2]（2024•广东广州•三模）在锐角△4BC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,S,c=bsin^+a

cosB.

⑴求N;

⑵若。是边BC上一点（不包括端点），且=求累的取值范围.

【变式2-3]（2024•江西鹰潭・二模）△4BC的内角4SC的对边分别为a,b,c,满足上哼=嗯.

cosAcosB

⑴求证：4+28=1；

（2）求守的最小值.

【题型3三角形周长的最值或范围问题】

【例3】（2024•安徽淮北•二模）记△4BC的内角Z,B,C的对边分别为a,瓦c,已知c—b=Zcsir^

（1）试判断△ABC的形状；

（2）若c=L求△ABC周长的最大值.

【变式3-1]（2024•四川绵阳•模拟预测）已知在△ABC中，。为3c边的中点，且ZD=伤.

（1）若△4BC的面积为2,cos乙4DC=g,求B；

(2)^AB2+AC2=18,求△ABC的周长的最大值.

【变式3-21（2024•云南曲靖•二模）在△力8C中,角48,C的对边分别为a,6,c,且acosC+Vscsin/l=b+c.

⑴求角8的取值范围;

（2）已知△ABC内切圆的半径等于孚，求△ABC周长的取值范围.

【变式3-3]（2024•湖南常德•一模）己知△ABC的内角4B,C的对边分别是a力,c,且龈=2b.

⑴判断△力BC的形状；

（2）若△4BC的外接圆半径为VL求△4BC周长的最大值.

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】

【例4】（2024•内蒙古呼和浩特•一模）记△力BC的内角4B,C的对边分别为a,6,c.若a=g力=2,则B+C

的取值范围是（）

A.俘，用B.件,n）

C融）D.6却

1C

【变式4-1]（2024•内蒙古呼和浩特•二模）在△ABC中，角力、B、C的对边分别为a、b、c,若荷+==

b44az

枭，贝UtanA一三的最小值为（）

【变式4-2]（2024•陕西宝鸡•二模）△4BC中，。为8c边的中点，AD=1.

A

BDC

⑴若△ZBC的面积为2g，且乙4DC=竽，求sinC的值;

（2）若BC=4,求cosNb4c的取值范围.

【变式4-3］（2024•北京石景山•一模）在锐角△ABC中，角4BC的对边分别为见瓦c,且2芯也4一遮。=0.

⑴求角B的大小;

（2）求cosA+cosC的取值范围.

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】

【例5】（2024・山西太原•三模）已知aABC中，4=120°,。是8c的中点，且4。=1,则△4BC面积

的最大值（）

A.V3B.2V3C.1D.2

【变式5-1］（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知△4BC的内角4B,C的对边分别为a,6,c,且a=V^,BC边上中

线4。长为1,则6c最大值为（）

77

A.-B.-C.V3D.2V3

4Z

111

【变式5-2］（2024•安徽合肥・二模）记△ABC的内角4B,C的对边分别为a,仇c,已知c=2而彳+高山+高石市

=1.则△ABC面积的最大值为（）

A.1+V2B.1+V3C.2V2D.2V3

【变式5-3］（2024・浙江台州•二模）在△4BC中，角4,B,。所对的边分别为a,b,c,若acosC=2ccos

A,则写的最大值为（）

Q

A.V3B.-c.—D.3

【题型6转化为三角函数求最值(范围)】

【例6】(2024•辽宁沈阳•模拟预测)在△A8C中，内角B,C所对的边分别为a,b,c,且

-sin-2-C—-si-nC-s-inB=1.」

cos2B—cos2A

(1)求角”的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，点尸为△ABC的垂心，AF=6,求CF+BF的取值范围.

【变式6-1](2024•辽宁•模拟预测)已知AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,(c—V^6)sinC=(a—b)

(sinA+sinB).

⑴求a；

(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6,求△ABC的周长/的取值范围.

【变式6-2](2024•河北衡水•一模)在△ABC中，内角AB,C所对的边分别是a力,c,三角形面积为S,若。为

AC边上一点，满足AB_LBD,BD=2,且a?=-竽S+abcosC.

⑴求角B；

(2)求奈+击的取值范围.

【变式6-3](2024•福建漳州•模拟预测)如图，在四边形4BCD中，Z.DAB=pB=*且△ABC的外接圆

半径为4.

(1)若BC=4鱼，AD=2V2,求△4CD的面积;

(2)若。=拳求BC-4D的最大值.

【题型7转化为其他函数求最值(范围)】

【例7】(2024•四川成都•模拟预测)设锐角△4BC的三个内角4B,C的对边分别为a,6,c,且c=2,B=2C,

则a+b的取值范围为()

A.(2,10)B.(2+2V2,10)C.(2+2近,4+2遍)D.(4+273,10)

【变式7-1](2024•全国•模拟预测)已知△ABC是锐角三角形，内角/,B,C所对应的边分别为a,b,

c.若a?—坟=儿，则高的取值范围是()

A.惇，乎)B.(2-V3,l)C.(2-V3,V2-l)D.(V2+1,V3+2)

【变式7-2](2023•全国•模拟预测)已知△力BC为锐角三角形，其内角/,B,C所对的边分别为a,6,c,

cosB=cos2A

(1)求!的取值范围；

(2)若a=l,求△4BC周长的取值范围.

&2+16

【变式7-3](2024•全国•模拟预测)己知△力BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,SAABC=~^

•tanC.

⑴求a的值;

（2）若。为线段BC上一点且满足BD=LD4平分ABAC,求△4BC的面积的取值范围.

【题型8“坐标法”求最值（范围）】

【例8】（23-24高一下•四川宜宾・期末）如图，在平面四边形4BCD中，ABIBC,^BCD=60°,

N2DC=150。，BE=3EC,CD=野,BE=®若点歹为边4D上的动点，则丽•丽的最小值为（）

【变式8-1]（2023•安徽马鞍山•模拟预测）己知平行四边形4BCD中，AADC=60°,E,F分别为边4B,BC

的中点，若赤•赤=13,则四边形48CD面积的最大值为（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

【变式8-2]（2023•全国•模拟预测）在等腰△ABC中，角/,B,C所对应的边为a,b,c,B=C4,

a=2V3,P是△ABC外接圆上一点，则同•丽+丽•丽+丽•丽的取值范围是（）

A.[-3,23]B.[-1,33]C.[-2,30]D.[-4,20]

【变式8-3]（2024•江西南昌•三模）如图，在扇形。/8中，半径。2=4,乙40B=90。，C在半径08上，D

在半径0/上，£是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形2CDE的周长的取值范围是（）

A.(8,12]B.(8V2,12]

C.(8,8V2]D.(4,8近]

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】

【例9】（2023•河南开封•三模）已知瓦、诙为单位向量，同-可=g，非零向量为满足同-2可=1,贝力方-可

的最小值为（）

A.V7B.V7-1C.V3D.V3-1

【变式9-1]（23-24高三上•北京通州•期末）在菱形4BC。中，4B=2/82。=60。乃是8C的中点，尸是CD上

一点（不与C,D重合）,DE与AF交于G,则尼•丽的取值范围是（）

A.（0,|）B.（0,?C.（0,2）D.（0,3）

【变式9-2]（2024•福建泉州•模拟预测）已知平行四边形/BCD中，AB=2,BC=4,B=与，若以C为

圆心的圆与对角线8。相切，尸是圆C上的一点，则丽•（市-瓦）的最小值是（）

A.8-2V3B.4+2V3C.12-4V3D.6+2V3

【变式9-3]（2023・福建厦门•二模）在△力OB中，已知|福|=VL|万|=1,〃。8=45。，若加=友？+〃

OB,且2+2〃=2,/z6[0,1],则万?在而上的投影向量为m3（N为与而同向的单位向量），则加的取值范

围是（）

A.[一争1]B.惇,1]C.（一¥，1]D.（¥，“

►过关测试

一、单选题

1.（2024•江苏连云港•模拟预测）在△ABC中，角力,B,C的对边分别为Q,b,c,若Q=l,bcosA=1+

cosB,则边b的取值范围为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

2.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知△ABC角4、B、C的对边分别为a、b、c满足卫=呵”手，则角B的

a—cSino

最大值为（）

7171Tl2n

A.%B.工C.ED.—

3.（2024•广东东莞•模拟预测）已知在同一平面内的三个点4B,C满足|2B|=2,2-2>1,贝川尼+丽|

|C4|\CB\

的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2V3]

4.（2024•河南•三模）在aaBC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c.若焉+号=与，贝肚am4+

COSDCOSC

tanC的最小值是（）

48/—

A.-B.-C.2V3D.4

5.（2024•河南•模拟预测）在锐角△ABC中，角B,C所对的边分别为a,b,c,满足梦=。2.若

b+c

a=2V3,则炉+02的取值范围为（）

A.（12,24]B.（20,24]C.[12,24]D.[20,24]

6.（2024・江西•二模）在△4BC中，若sinA=2cosBcosC,则cos2B+cos2c的取值范围为（）

7.（2024・全国•二模）在八42。中，内角B,C所对的边分别为a,b,c,2acos4=bcosC+ccosB,且

a=4sin4则A48C周长的最大值为（）

A.4V2B.6V2C.4V3D.6V3

8.（2024・陕西咸阳•三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府

在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”。PQ中，准备修一条三角形健身步道。力B,已

知扇形的半径0P=3,圆心角NPOQ=?4是扇形弧上的动点，B是半径0Q上的动点，AB//OP,贝U△04B

面积的最大值为（）

Q

二、多选题

1

9.（2024•江苏南京•二模）已知△ABC内角4B,C的对边分别为a,b,c,。为△ABC的重心，cosA=g,

4。=2,贝I（）

A.AO=+14CB.AB-AC<3

C.△ABC的面积的最大值为D.a的最小值为

10.（2024•湖南•二模）在△A8C中，角ABC所对的边分别为a,b,c,且c=b（2cos4+1）,则下列结论正确

的有（）

A.A=2B

B.若a=遮b,则△4BC为直角三角形

C.若△4BC为锐角三角形，高-高的最小值为1

€dll£?€dll/i

D.若△ABC为锐角三角形，贝哈的取值范围为（3,竽）

11.（2024•河北邯郸•三模）已知△2BC的三个内角B,C的对边分别是a,b,c,面积为哼

4

（a2+c2-则下列说法正确的是（）

A.cosdcosC的取值范围是

B.若。为边”的中点，且BD=L则△AB