2025年新高考数学复习突破讲义：等式与不等式的性质（含解析）

专题03等式与不等式的性质

【知识点梳理】

1、比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与0比较与1比较

a>ba-b>0巴>1（。，6>0）或q<1（。，6<0）

bb

a=ba-b=0?=l（"0）

a<ba-b=0

bb

2、不等式的性质

(1)基本性质

性质性质内容

对称性a>bob<a；a<b<^>b>a

传递性a>b,b>c^>a>c；a<b,b<c^a<c

可加性a>b<=>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0=>ac>be；a>bfc<0^ac

同向a>c,c>d=>a+c>6+d

可加性

同向同正a>b>G,c>d>0nac>bd

可乘性

可乘方性a>b>G,neN*n0n>bn

【方法技巧与总结】

1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解

决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2、比较数(式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调

性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大

小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幕或者因式

乘积的形式，也可考虑使用作商法.

【典型例题】

例1.（2024・陕西西安・西安中学校考一模）已知a,6,ceR,则下列选项中是“a<6”的充分不必要条件的是

（）

A.M>HB.ac2<be2C.a2<b2D.3"<3〃

ab

【答案】B

【解析】对于A,当a=-l,6=l,满足。<6,但回〉且不成立，

ab

当a=l力=-l,c=l时，满足回>团，但不成立，故A错误；

ab

22

对于B,当。二。时，a<b6ac2cbe2,{Sac<bca<bf故B正确；

对于C,a=-2,6=1时，a<b,但/不成立，

。=11=-2时，a2<b2但a不成立，故C错误；

对于D,因为指数函数）=3、在R上单调递增，故a<b=3a<3J故D错误.

故选：B

例2.（2024•北京房山•高三统考期末）已知。，b为非零实数，且。>6,则下列结论正确的是（）

11ba11

A.a2>b2B.->-C.—>：D.--y>

abababa2b

【答案】D

【解析】对A：若0〉a〉6,贝IQ2<b2,故错误；

对B：若a>b>0,贝!][<4，故错误；

ab

ah

对C：若a>b>0,则/>「ab>0,左右同除仍，有故错误；

ba

对D：由a>b且a,6为非零实数，贝-士=彳|>0,即工>」？，故正确.

ababababab

故选：D.

例3.（2024・湖南株洲•高三株洲二中校考阶段练习）若a<6<0则（）

A.a2<b2B.ab<b2C.2a>2bD.f+—>2

ba

【答案】D

【解析】A.因为a<6<0,则同>同，则/>/,故A错误；

B.因为Q<ZJ<0,所以附>〃，故B错误；

C.y=2x在R上单调递增，当〃<6<0时，2a<2J故C错误；

D.因为a<b<0,所以2和£都大于0,则£+”2用=2,

abba\ba

当2==时，即。=6<0时等号成立，所以“=”不能取到，所以3+2>2,故D正确.

abba

故选：D

例4.（2024•江苏扬州•高三统考阶段练习）设“，b,。为实数，且a>6>0,则下列不等式正确的是（）

ccba八、、11

A.ac2>be2B.—C.a2>ab>b2D.

abab

【答案】C

【解析】A选项，当c=0时，ac2=bc2=0,A错误；

B选项，~=X=（6+"a）,

ababab

因为a>b>0,所以6-a<0,则=』+。）伍一"）<o,

ababab

,,baba一小、口

故—工<0，一<7，B错庆；

abab

C选项，a>b>0两边同乘以。得〉ab，

a>b>0两边同乘以b得M〉/,

故a1>ab>b?,C正确；

D选项，因为a>Z?>0,所以Q6〉0,

a>b>0两边同除以ab得D错误.

ba

故选：c

例5.（2024・河南•方城第一高级中学校联考模拟预测）"a>6>0,c>d是“ac>bd”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】由于c,d的正负性不确定，由“a>6>0,c>4”不能推出““c>6d”，故充分性不成立；同时

当“ac>6d”时也不能推出“a>b>0,c>（T,故必要性也不成立.

故选：D.

例6.（2024•陕西•校联考模拟预测）已知-3<6<1,则以下错误的是（

A.-15<ab<5B.-4<a+b<6

C.—2<Q—6<8

【答案】D

【解析】因为一1<。<5,-3<6<1,所以一1<一6<3,

[—1<Q<51—1<Q<5f_1<Q<5

对于A,〈=>-15<ab<3<=>〃/?=01n-l<〃b<5

[-3<b<0f[b=09[0<b<l5

综上可得-15</<5,故A正确；

对于B,-3-1=-4<。+6<1+5=6,故B正确；

对于C,-1-1=-2<。-/?<3+5=8,故C正确；

对于D,当。=4,6=:时，?=8,故D错误；

2b

故选：D.

例7.（2024・全国•高三专题练习）甲、乙两人解关于x的方程2，+"2-，+°=0,甲写错了常数儿得到的根

为x=-2或产log1?7],乙写错了常数c,得到的根为x=0或x=l,则原一方程的根是（）

A.尤=-2或x=log23B.x=-l或无=1

C.x=0或x=2D.x=-l或x=2

【答案】D

【解析】令7=23则方程2，+6-2T+c=0可化为「+以+6=0，甲写错了常数6,

所以11和1一7是方程/+以+加=0的两根，所以c=_/1+17、=9

乙写错了常数c,所以1和2是方程〃+而+6=0的两根，所以b=lx2=2,

91

则可得方程/一+2=0,解得4=上也=4,

212

所以原方程的根是X=T或X=2

故选：D

13

例8.（2024・云南昆明•校联考一模）人体的正常温度大约是36℃,当人体温度超过正常温度的]时认定为

高烧，则高烧温度"C应满足的不等关系式是.

【答案】t>39

13

【解析】依题意，/>36'2=39.

故答案为：t>39

例9.（2024・全国•高三专题练习）已知3<a+b<l,则5a+b的取值范围为（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

\、[m+n=5\m=2

【解析】设5。+6=加仅-6）+〃（4+6）=侬+〃力+收一加力，所以<,

\n—m=\=3

则5Q+6=2（Q-6）+3（Q+Z>）,X1<6Z-ZJ<3,3<a+b<7

所以2«2（"b）«6,9<3（6Z+/7）<21,由不等式的性质得：1”2（〃—9+3（〃+9027,

则5〃+6的取值范围为[11,27].

故选：D.

【过关测试】

一、单选题

1.（2024・全国•高三专题练习）已知Q>b〉0>c/£Z,则下列不等式一定成立的是（

A.ab<bcB.a-b>b-c

C.a>bnD.b[b-c）<a^a-c）

【答案】D

【解析】对于A中，由。〉6〉0〉c,可得ab>0>be,所以A错误；

对于B中，例如：当〃=2,6=1,。=一3,可得。一6<6-。，所以B错误；

对于C中，例如：当〃=2/=1,〃=-1时，ax<b~\所以C错误；

对于D中，由Q〉6〉0〉C,可得0<6-C<Q—C,又由0<6<Q,

根据不等式的性质，可得b（6-c）<a（a-c）,所以D正确.

故选：D.

2.（2024•北京西城•高三统考期末）设a,beR,且。>b,则（）

A.—<^B.tana>tan/?C.3-a<2-/>D.a\a\>b\b\

【答案】D

【解析】A选项，若。满足a>b,但所以A选项错误.

ab

27rjr

B选项，若a=1~,b=m，满足Q>6,但tan〃<tanb,所以B选项错误.

C选项，若a=3,b=2,满足〃>b,但3-〃=2-6,所以C选项错误.

（2x>o

D选项，对于函数y=x|x|=x；",图象如下图所示，

[-x2,x<0

由图可知函数在R上单调递增，所以D选项正确.

故选：D

3.（2024・四川成都・高三石室中学校考期末）若2、=3,3、=4,则下列选项正确的是（）

3

A.y>—B.x<y

2

C.-+y>2D.x+y>2V2

x

【答案】D

【解析】因为2*=3，3〉=4,所以x=log?3/=logs4,因为S?>。],42<，贝勾〉？“4<3?

3233

所以log23>log222=2,logs4<logs3^=/,即所以儿所以A,B错误;

因为L+V=r^+l°g34=log32+log34=log38<log39=2,所以J_+><2,所以C错误；

X10g23X

因x+y=log23+log34=log23+21og32=log2312>2log23--^—=1T%所以D正确.

log23\log23

故选：D

4.（2024•新疆喀什•高三校考期中）已知2«x+y«3,-2<x-y<-l,则3x+y的取值范围（）

311

A.B.5C.D.[2,5]

吟r2'2

【答案】D

【解析】由题意4W2x+2><6,-2<x-y<-\,故4一2<2工+2>+工一><6-1,

即2V3x+yV5.

故选：D

5.（2024•福建福州•高三福建省福州延安中学校考开学考试）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车

组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160cm,设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为。、b、c（单

位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）

A.a+6+c〉160B.Q+6+C<160C.a+Z?+c>160D.a+b+c<160

【答案】D

【解析】由题意可知。+6+CW160.

故选：D.

6.（2024・安徽合肥・高三合肥一中校考期末）已知集合/={1,2,3},B=[x\a<x<a2],若/=则实数。

的取值范围是（）

A.（-oo,-V3jB.（-oo,-V3）

C.（->/3,1）D.卜仁-⑹川鱼口）

【答案】B

【解析】因为/={1,2,3},B=^x\a<x<a-^,

若A=B,则8={山<x</}片0,

[a<1厂

则[2所以a<-VL

〉3

故选：B.

7.（2024・山东烟台•高三统考期末）已知。〉6〉0,。>0且cwl,贝IJ（）

aa+ccc

A.—<------B.->-

bb+cab

C.c">cbD.ac>bc

【答案】D

【解析】对于选项A：因为〃〉6>0,。〉0,所以6-。<0,

>Q+C〃_（Q+c）b—Q（6+C）_。©―。）aa+c

由T~k~Tk\L_°，故---，选项A车日快;

b+cb（b+c）b[b+cpbb+c

对于选项B：因为a〉b〉0,c〉0,所以b—〃<0,

由二一£=虫二@<o,故£<：,选项B错误；

ababab

对于选项C：由指数函数可知y=c',c>0,在定义域上单调性不确定，故无法确定c'c〃的大小,

比如当0<。<1时,则c"<cJ选项C错误；

对于选项D：由幕函数可知y=x，,c>0,在定义域上单调递增，且“>6,所以第>6。，选项D正确.

故选：D.

8.（2024•河南焦作・高三统考期末）已知集合』=卜€N，6},S={x|x3-x=0},则（）

A.ABB.ABC.A=BD.AcB=0

【答案】A

【解析】依题意，^={xeN|0<x<l）={0,l},8={小37=0}={TO1},所以人B,

A^B=A.

故选：A

9.（2024・重庆长寿•高三统考期末）已知函数〃的="2一2x+a,对xe1,2都有〃尤）20成立，则实数。的

取值范围是（）

A.［1,+8）B.C.1,1D.1-双；

【答案】A

【解析】由题意知函数/（x）=o%2_2x+a,对xeg,2都有/（x）20成立，

即分_2x+〃20对x£—,2恒成立，

2x2i-.

a---------------|

即"――+1-1,对2恒成立，

x+—|_2_

x

设g（x）=x+：,由于g（x）=x+：在1,1上单调递减，在［1,2］上单调递增，

2

贝Ugmin（D=2,贝1J17T'，当且仅当X=1时等号成立，

X

故即实数”的取值范围为［1,+8）,

故选：A

10.（2024・全国•高三专题练习）已知lVaV2,-l<b<4,则a-26的取值范围是（）

A.-1<a-2b<4B.-6<a—2b<9

C.6<a-2Z?<9D.-2Va-26V8

【答案】A

【解析】因为-1V6V4,所以-8V-26V2,

由lWaW2,^-7<a-2b<4.

故选：A.

二、多选题

11.（2024•江苏南通・高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）设x>y>0,〃eR,则（）

A.x\n\>y\n\B.—<y+n

尤x+n~

C.x2-y2<-------D.尤+yV小2（彳2+9）

【答案】BD

【解析】对于A,当"=o时，=H司，故A错误；

对于B,因为x>y>0,〃eR,

所以x（y+叫-y（尤+〃2）="2（x_y）Z0,

2

即x（y+/）Ny（x+1）,则上42二，故B正确；

xx+n

对于C,取x=2J=l,则x2_y2=3>_：=L_L故C错误；

2xy

2

对于D,2（/+y2）—（x+））2=12+）2_2xy=（x-y）>0,

则（x+y）2<2（/+,2）,即x+y<,（J+,2）,则i+yWJ2（f+y2）,故D正确.

故选：BD.

12.（2024•江苏扬州•高三校考阶段练习）下列不等关系成立的是（）

A.若a>b,则。。2>儿2

B.若a>b,—<7-,贝！J“b〉0

ab

C.若Q>6,—>—>则q>0>6

ab

D.若a>b,a2>b2则。〉0〉6

【答案】BC

【解析】A选项：a>b,当。=0时，ac1=be2>A选项错误；

B选项：—<y-,即'_?=]；=。,又a>b,即〃一/?>0,所以Q6>0,B选项正确；

ababab，ab[J

C选项：->7,即1一L==一二>0,又a>b,即。一6>0,所以ab<0,所以。>0>b,C选项正

abababab

确；

12

D选项：a>b>即。2-6?=（。+6）（。-6>0,又a>b,即a-6>0,所以a+b>0,无法判断。与6是否

异号，D选项错误；

故选：BC.

13.（2024・安徽淮北•统考一模）已知“，b,ceR,下列命题为真命题的是（）

A.若a>b>c,贝ija+6>cB.若。>6>卜|,则<22>从><?

cchh+c

C.若a<b<c<0,贝!]一〉一D.若a〉b〉c〉O,贝!J—<-------

abaa+c

【答案】BD

【解析】当。为负数时A可能不成立，例如-2>-3>-4但-2+（-3）>-4是错误的.

因为。>6>匕|20根据不等式性质可得a2>b2>c2正确.

11111cC

因为〃<b<0,所以下>0,所以〃=<6丁<0即不<—<0所以孑〉'〉。故C错误.

abababbaba

所以°-b+cab+bc-ab—acc{b-a)

因为a〉b〉c〉O,<0,

aa+cQ(〃+c)4〃+4

所以2<如£正确.

aa+c

故选：BD

14.（2024・河北邢台・宁晋中学校考模拟预测）已知实数“，b,c满足0<a<6<c,则（

11.c-a八11bb+c

A.---->----B.lg-->0C.------>------D-.->----

c-ab-ab-aa(c-d)b(c-a)aa+c

【答案】BCD

11

【解析】因为所以C-Q〉b-Q〉0n----<----故A错误;

c-ab-a

又1,所以馆产>0,故B正确;

b-ab-a

11

因为0<〃<6<C,所以Q(c—Q)<b(c—Q)=故C对;

a(c-a)b^c—d),

因为0<a<bn2>l,又c>0,所以*<2,故D对.

aa+ca

故选：BCD

15.（2024・湖南长沙•高三统考阶段练习）下列命题中正确的是（

bc

A.若一^>—^,则b〉cB.若〃<b<0,则a1>ab>b1

aa

乃什7八八i-t,rb+mab

C.右Q〉6〉0,加〉0,贝!J—>----D.若0<Z?<Q<C,贝！J---->

aa+mc-ac-b

【答案】ABD

【解析】对于A中，由不等式b=>=c,可得所以片>0,

aa

bc

不等式的两边同乘人可得…，所以A正确;

对于B中，因为所以。一6<0,。（〃一6）>0,6（〃一6）〉0,

BPa2>ab,ab>b2,所以/所以B正确;

对于中'由。>b>0,心o,则累］=黑色°'所以『霖’所以C错误;

对于D中，因为0<6<a<c,所以上c〈上c，则二c一1<c£一1,即c—一n<c—3h,

ababab

nh

所以——>-所以D正确.

c-ac-b

故选：ABD.

16.（2024•河南信阳•高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知l<o<6,2<6<4,

a£3a

B3

A-292-片p

C.a-3be（-11,0）D.<2-3Z）G（-6,-5）

【答案】BC

【解析】依题意1<Q<6,2<Z?<4,

所以!<：<:，所以:<f<3,所以A选项错误，B选项正确.

4624b

所以-12<-36<-6,所以-ll<a-2b<0,所以C选项正确，D选项错误.

故选：BC

17.（2024・湖南衡阳•高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用/、3两种型号不锈钢薄板制作

矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要/、3不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表

矩形菱形圆总数

A531055

B12613125

该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为X,乃2（》//€?^*）块.上述问题中不等关系表示正确为（）

A.5x+3y+10z>55B.5x+3y+10z<55

C.12JC+6V+13Z<125D.12jc+6y+13z>125

【答案】BC

【解析】因为每个矩形模板需要5张Z薄板，每个菱形模板需要3张/薄板，每个圆模板需要10张/薄板,

且共有55张/薄板，

所以5x+3〉+10z<55,

因为每个矩形模板需要12张2薄板，每个菱形模板需要6张8薄板，每个圆模板需要13张8薄板，且共

有125张3薄板，

所以12x+6〉+13z<125.

故选：BC.

18.（2024・湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习）若。>6>l,ceR,则下列说法一定正确的是（）

A.ac>beB.log/〉1

C.-+y<4D.若Q+Z）=4,则20+2'〉8

ab

【答案】BCD

【解析】对于A,当。=0时，ac=0=be,A错误；

对于B,由。>6>1,得log©〉log/=1,B正确；

对于C,由f#0<—<y<l,贝！J，+：<204,C正确；

abab

对于D,由a>b〉l,a+b=4,得2">2%〉2，2"+2,>2,20-2"=2,2"=8,D正确.

故选：BCD

19.(2024・全国•模拟预测)正数、、了满足尤-了>1,则下列不等式成立的有()

A.-<1B.21-2y>1C.lgr+lgv>0D.x3-y3>1

X

【答案】ABD

【解析】对于A,因为x-y>l>0,x>0,所以了<x-l,所以上(三1故A正确;

XXX

对于B,因为x-y>l,y>0,所以x>y+l,所以2工_2>>29-2y=2，'>1，故B正确；

313

对于C,当x=7、了=了时满足x-y>1,但是Igx+lgy=lg(个)=lgg<0,故C不正确；

24o

对于D,因为％—歹>1,x>0,歹>0,

所以—歹3=(x-y)(%2+孙+歹2)>%，+中+歹2=(x—y『+3孙〉1,故口正确.

故选：ABD.

20.(2024・全国•模拟预测)已知正实数a,b,c满足贝IJ()

abc

Aicbb-c

A.c—cic—bB.—>-------

aa-c

n------77------ra+b1

C--D.不匾

【答案】BCD

【解析】选项A：由得〃>b〉c>0,

abc

贝1」一〃<一6,所以。一〃<。一6,A错误.

bb-cb(a-c]-a(b-c]c(a-b]

选项B：因为-------=△―/\—1=告—(>0,

aa-ca(a-c)a[a-c)

所以三，B正确.

aa-c

选项C：由Q〉6〉C〉0,得。-6〉0,b-c>0,

所以〃-c=(a-6)+(Z?-c)22d(a_b“b_c),

当且仅当Q=6-。时取等号，C正确.

选项D：因为a+Wa+(a+26)=2(q+6),

a+b1

当且仅当。=2b时取等号，所以.+2疯/，D正确.

故选：BCD

21.(2024•江苏苏州•高三统考期末)已知Q/ER,则是的充分不必要条件有()

11117

A.—>-B.Iga>Igb

ab

C.a3>b3D.a3>a2b

【答案】BD

【解析】对于A,IX-=l>7=1,此时有a=l<2=6,故A不符合题意；

ab2

对于B,由对数函数单调性可知lga>lgbna>6>0,故B符合题意；

又寸于C,a*)b*a'—b'=(a—b)(/+ab+bj《a—今[^~~b。^0a—b^0a>,故C

合题意；

对于D,a3>a2/?=>«2(a-Z>)>0=>a-b>0,a^0=>«>/:,故D符合题意.

故选：BD.

三、填空题

22.(2024•全国"高三专题练习)实数凡6满足-3Va+6V2,-1<a-b<4,则3a-2b的取值范围是

【答案】[-4,11].

[解析]设3a—26=机(a+6)+〃(a-6)=(机+力a4加一力I,

[m+n=3,1515

贝(J(>解t得〃?=—,n=—,所以3。-26=—(a+6)H—(a—b),

[m-n=-22222

3155

因为—34a+b42,—14a—644,所以—1W](a+6)W1,

可得TW3a-26411,即3a-26的取值范围为[-4,11].

故答案为：卜4,11].

23.(2024・全国・高三专题练习)已知-24a4-1,-3<-c<-2,则2a+c的取值范围是.

【答案】[-2,1]

【解析】因为-2VaV-l,所以-4V2aV-2,

又因为-3W-CV-2,所以2VcV3,

所以-2V2a+cWL即2a+c的取值范围为[-2,1].

故答案为：卜2』.

24.(2024•河南洛阳•高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习)某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8

万本，据市场调查，若单价每提高01元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用

不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为.

【答案】卜一^!^义0.2卜2