2025年新高考数学重难点专练：指对运算九大题型（原卷版）

重难点14指对运算九大题型汇总

题型解读

1!^满分技巧

技巧一.对数的运算法则：

l.log^N=log^+log^；

M

2.log^=log^-log^,

n

3.Zog%=n/og%.(其中a>0,aHl,M>0,N>OZnFR)

技巧二.换底公式：

loga=>0,且。。7；c>0,且cW/；b>勿.

利用不同的对数值求新的对数值，此类题特征：

1.多底数，多真数，都给它降幕为基数，

2.条件与结论，特别是条件，有没有底数真数共同数

3.如果没有共同数，则结合求的对数真数，寻找共同底数，实在不好找，全部转化为10为底，或者e为

底(尽量找共同数)

4.结论对数的底数，真数，转化为条件的底数真数积与商,

换底推广：

①log/="—;

log/,a

@logaZ?-logz,c-logf.t7=l;

③log.,,。"=log*；

©logb'"=—]ogb；

na

⑤logIb=-yogab.

技巧三.对数的性质：

①小gaN=N；

②log=N(a>0且awl).

技巧四.求最值

多用一元二次函数或者均值不等式

1.基本不等式成立的条件：a>0,b>0;

2.等号成立的条件：当且仅当a=b.

3.基本不等式的变形：

①a+b>24ab,常用于求和的最小值；

②a64(F)2，常用于求积的最大值；

技巧五.指数对数函数方程：

1.可以借助指数运算进行换元

2.要注意对数取值范围

3.根据常用指数式、对数式及其性质化简，

1b

如"ogab=友屋=1,a=ajogal=0Jogaa=l,logaa=4即可求得结果.

My题型提分练

题型1指对化简运算

【例题1](2023上•江西宜春•高一江西省宜春中学校考期末)计算:

(1)(3廿+(给3+淤-陶8；

,og3

(2)log3V27-log32-log23-66-lgV2-lgV5.

【变式1-1]1.(2022上•云南红河•高一校考期末)求值：

⑴(93x(—9+gX遮-1—|)3；

(2)lg^-lg85+lg7V5.

【变式1-1]2.(2023上•四川成都•高一校联考期末)化简求值(需要写出计算过程).

Q)(T+(卷+(”3)。；

1+log2

(2)33+Ig5+log32xlog23xIg2.

【变式1-1]3.(2022上•新疆哈密•高一校考期末)计算:

(I)21g2+lg25

_2

ln25

(2)log327-e+(I)-

1_2

⑶G丁*2)。—管尸+0

(4)已知：£+a4=3,求黑爰

【变式1-U4.(2022上•辽宁阜新•高一校考期末)计算下列各式的值

(l)J(2—n)2

出31唯5+皿您+](3+2夜)

⑶44_（冗+1）。+第

1O3

（4）21og32-log3+log38-25§=

1_2

⑸（丁-（-3。-偿尸+（l）

题型2对数换底之用字母表示对数

【例题2]（2022上•黑龙江牡丹江•高一校考期末）已知log?18=a,试用a表示log23=.

【变式2-1]1.（2023下•上海黄浦・高一统考期末）已知3a=2,3》=5,若用a、6表示logfS,则

iog65=

【变式2-1]2.（2023上•上海徐汇•高一统考期末）已知6尢=2'=a（a为常数，且a>0,aK1），则

H=•（用a表示）

【变式2-1J3.（2022上•陕西西安・高一校考期末）已知lg2=a,10》=3,用a、b表示1（^75=.

【变式2-1]4.（2022上•上海徐匚•高一上海市南洋模范中学校考期末）已知log73=a,7〃=2,用a及

b表示log772=.

题型3对数换底之求参

【例题3]（2023上•云南保山・高一腾冲市第一中学校联考阶段练习）若2a=5〃=10,则：+R（）

A.—1B.Ig7C.2D.log710

【变式3-1J1.（2023上云南昆明•高一云南师大附中校考阶段练习）已知2机=9"=36，则=（）

A.log618B.|C.1D.log65

m

【变式3-1]2.（2022上•新疆乌鲁木齐•高一新疆农业大学附属中学校考期末）若\=log25，则25耀+5-

的值为（）

A.-B,-C.-D.-

3255

11

【变式3-1]3.（2023上•广西•高一校联考期中）已知久>0,y>0,lg2x+IgK=]g2,则x+3y的最小

值是（）

A.4B.10C.12D.16

【变式3-1]4.（2023上福建泉州•高二统考阶段练习）已知2,=3,log3；y，则：+y=.

题型4对数换底之恒等式

【例题4]（2023・上海•高一专题练习）若正实数a、b、c均不为1,满足〃=/=°z,且工+工+工=0,

xyz

则abc的值为

【变式4-1]1.（2023上•江苏南通•高一统考阶段练习）若3,=犷=6z=k,且三+工-1="则实数k的

xyz2

值为

【变式4-1]2.（2023•全国•高一随堂练习）已知*=3>=12Z力1,求证：々+乙=L

xyz

【变式4-1]3.（2020・高一课时练习）已知a,b,c均为正数，且3a=妙=6。，求证：：+[=|;

【变式4-1]4.（2023上•江苏南通•高一海安高级中学校考期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上

依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号.对数运算与

指数幕运算是两类重要的运算.

Q）试利用对数运算性质计算;g（g+黑）的值；

（2）已知x,y,z为正数，若3,=犷=6Z,求上糊值.

【变式4-1】5.（2023・上海•高一专题练习）已知x,y/均为正数，且乎=3〉=6%.

（1）若5久=my,求实数m的值；

（2）求证：工=白—L

xzy

题型5对数换底之求最值

【例题5】（2022上•上海金山・高一统考期末）若logQa+b）=地3病，则a+8b的最小值为.

【变式5-1J1.（2021上•江西景德镇•高一景德镇一中校考期末）已知实数x、y，正数a、6满足/=/=2,

且打去=一3,则1-a的最小值为

【变式5-1]2.（2023上•山东青岛•高一统考期中）若。>0,I>0,Iga+Igb=lg（a+b）,则2a式勺最小

值为

【变式5-1]3.（2024上•黑龙江哈尔滨•高一哈九中校考开学考试）已知a>0/b>0/C>0/blog42+

4clog16V2=当,则等+悬最小值为

【变式5-1J4.（2023上•陕西•高一校联考阶段练习）已知a>1,b>1，当b变化时，logU+log,（a2+12）

最小值为4,则a=.

题型6指数方程

【例题6]（2022上•上海宝山•高一上海交大附中校考阶段练习）方程尹+|1-3力=5的实数解

为

【变式6-1]1.（2022上•上海杨浦・高一复旦附中校考期末）方程32"-3，+1+2=0的解为.

【变式6-1]2.（2021・上海•高一专题练习）方程8x2,=3--9的解为

【变式6-1]3.（2023・高一课时练习）求方程尹-3，+1-4=0的实数解.

【变式6-1]4.（2020下•高一课时练习）解关于X的方程：“7+4次尸-2（/7-4次尸=1.

题型7对数方程

【例题7]（2019・高一课时练习汜知函数/'⑺=log3x，则方程[/（初2=2-log9（3久）的解集是

【变式7-1]1.（2022下•云南红河・高一统考期末）方程ln（log2%）=0的解是.

【变式7-1]2.（2022上•江苏连云港•高一统考期末）方程1嗝（3久+1）=Iog5（/-9）的解为

【变式7-1】3.（2020・高一课时练习）解下列对数方程.

（1）log2Al（54+3%-17）=2；

（2）logx4+log2x=3.

【变式7-1]4.（2020上•高一课时练习）解下列关于x的方程：

(1)log2x-10g34-log59=8；

2

（2）log5（2x+1）=log5（x-2）；

（3）（Igx）2+Igx3-10=0.

题型8指对方程

【例题8】（2023•江苏高一专题练习）方程log3（9-4）=x+l的实数解为

【变式8-1]1.（2023上•江西赣州•高一江西省信丰中学校考阶段练习）方程：2久+1=log3（l-2.3专的

解是

【变式8-1]2.（2021上•上海浦东新•高三上海市建平中学校考阶段练习）关于x的方程2,=3至35的解

为

+1

【变式8-1]3.（2020・上海•高一专题练习）方程1唯0+l）log2（2^+2）=2的解为.

【变式8-1J4.（2021•上海杨浦•统考二模）方程log5（4,-11）-1=log5（2*-3）的解为x=.

题型9指对实际应用

【例题9]（2023上•江苏扬州•高一扬州市新华中学校考阶段练习）当把一个任意正实数N表示成N=ax

10n（l<a<10,nGZ）的时候,就可以得出正实数N的位数是n+1,如：235=2.35x102,则235是一

个3位数.利用上述方法，判断123。的位数是（）（参考数据：Ig2x0.3010,Ig3«0.4771）

A.32B.33C.34D.35

【变式9-1]1.（2023上•湖北宜昌•高一长阳土家族自治县第一高级中学校考阶段练习）某网红城市鹅城

人口模型近似为P=32e。。15t（单位：万人），其中t=。表示2015年的人口数量，则鹏城人口数量达到

60万的年份大约是（）（参考数据：In2x0,693,In3«1.099,In5«1.609）

A.2037年B.2047年

C.2057年D.2067年

【变式9-1]2.（2023上•山西太原•高一太原市外国语学校校联考阶段练习）溶液酸碱度是通过pH计算

的pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.经检测某饮料中

氢离子的浓度为[H+]=1.25x10-3（令[g2=a）,则此饮料的pH是（）

A.2+2aB.3+2aC.2+3aD.3+3a

【变式9-1J3.（2023上•上海奉贤•高一统考期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其

值y[单位：dB（分贝）]定义为y=10•1g《其中，/为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），

Io=10Tw/m2为基准值则声强级为60dB时的声强度Aso是声强级为50dB时的声强度之的（）倍.

A.