2025年高考数学二轮复习重难点专练：导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】（原卷版）

重难点08导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】

【新高考专用】

导数是高考数学的重要内容，是高考必考的重点、热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用

导数研究函数的单调性、极值和最值，函数零点问题、不等式恒（能）成立问题等，考查分类讨论、数形

结合、转化与化归等思想.

从近几年的高考情况来看，导数的运算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查,

难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上,

属综合性问题，解题时要灵活求解.

►知识梳理

【知识点1导数的运算的方法技巧】

1.导数的运算的方法技巧

(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

【知识点2切线方程的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数y寸无)在x=xo处的导数，即曲线y寸龙)在点(尤o次尤o))处切线的斜率；

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=joWo)(x-xo).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标T(xo<劭))(不出现州)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=fi.xo)+f(xo)(x-xo);

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点3导数中函数单调性问题的解题策略】

1.确定函数单调区间的步骤；

(1)确定函数兀0的定义域；

⑵求了(无)；

(3)解不等式/(戏>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式/(无)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

2.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

3.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=/(x)在(0,加上单调，则区间(a,加是相应单调区间的子集.

(2求x)为增(减)函数的充要条件是对任意的xG(a力)都有/(x)>0(T(x)<0),且在(a,6)内的任一非空子区间

上，/(无)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知识点4函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数/(x)极值的一般步骤：

(1)确定函数兀0的定义域；

(2)求导数/(x)；

(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验了(无)在/(元)=0的根比左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

(1)利用导数求函数火了)在m,切上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值1a),他)；

③将函数小）的各极值与汽。），火6）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）求函数在无穷区间（或开区间）上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点5导数的综合应用】

1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略

（1）利用导数研究方程根（函数零点）的技巧

①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.

②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置.

③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

（2）已知函数零点个数求参数的常用方法

①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建

关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,

将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略

恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题.

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数

单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函

数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，

利用导数来求解.

3.导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数

不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

►举一反三

【题型1导数的运算】

【例1】（2024・湖北•一模）已知函数/⑺=湖一）（l）x,则（）

A./a）=-fB.ra）=-f

C.f（2）=e2-eD.f'（2）=e2-e

【变式1-1](2024.全国•模拟预测)已知函数/0)的定义域为R,若/(2%—1)+3,尸Q—2)都是奇函数，

且广⑴=—2/(—1),则%皆广(幻=()

A.6B.-9C.3D.-12

【变式1-2X2024•山东•二模)已知/(x)为定义在R上的奇函数,设厂(久)为f0)的导函数，若/(久)=/(2-%)+

4%-4,则/''(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

【变式1-3](2024.山西晋中.模拟预测)已知函数/(久)=2x(%-2)(x—22)(x—23)(x—24)(x—25)(x-

26),则/(0)=()

A.220B.221C.222D.223

【题型2函数的切线问题】

【例2】(2024•江西景德镇•一模)过点4(0,1)且与曲线/0)=炉+2%-1相切的直线方程是()

A.y=5x+1B.y=2x+1

C.y=x+1D.y=-2x+1

【变式2-1](2024.山东•模拟预测)若过点(l,zn)可以作y=(x+l)ex的三条切线，则实数小的取值范围是

()

A.(—4e-2,0)B.(-6e-3,0)C.(-6e-3,2e)D.(e,2e)

【变式2-2](2024.广东佛山•一模)若直线y=kx与曲线y=lnx+a相切，贝果=.

【变式2-3](2024・四川成都•模拟预测)已知函数y=«的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同

的切线，则公共点坐标为.

【题型3导数中函数的单调性问题】

【例3】(2024•黑龙江佳木斯•模拟预测)若函数/⑺=|x2-3x-41nx,则函数/⑺的单调递减区间为()

A.(4,+oo)B.(0,1)C.(0,4)D.(1,4)

【变式3-1](2024・湖北•一模)已知函数/(%)=a/一]n%+2%是减函数，贝Ua的取值范围为()

A.(—8,0]B.(—00,—1]C.(—8,1]D.(—8,一当

【变式3-2](2024•吉林长春•模拟预测)已知a=sin],b=ln|,c=3-5,贝U()

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

e%—gx2_|_3a0Vx<2

【变式3-3](2024•河南•模拟预测)若函数f(%)=2。'‘在(0,+8)上单调递增，则实

ex+-%2—2a,x>2

数a的取值范围是()

A・卜；4B.[-f,0]C,[-f,0]D.

【题型4导数中函数的极值问题】

[例4](2024.辽宁•模拟预测)已知函数/(%)=%•(%-c)2在x=1处有极大值，则c=()

A.1B.2C.3D.4

【变式4-1](2024.吉林.模拟预测)若函数/(%)=aln%+：-%既有极大值也有极小值，则实数a的取值范

围为()

A.(0,2⑹B.(—8,—2,\/3)U+8)

C.(-00,-2V3)D.(23+8)

【变式4-2](2024•陕西铜川•模拟预测)已知函数f(%)=ex-|x2-ax-小恰有两个极值点，则a的取值

范围是()

A.[0,1]B.(0,1)C.[1,+oo)D.(1,+8)

【变式4-3](2024•江西宜春•模拟预测)已知函数/(%)=ex+e2T+a(%-有3个极值点%则

%1+%2+%3=()

A.2aB.3aC.2D.3

【题型5导数中函数的最值问题】

【例5】(2024.陕西西安.二模)函数/(%)=亦在[-3,3]上的最大值和最小值分别是()

A.—B.C.—D.

131355101022

【变式5-1](2024.陕西渭南.模拟预测)已知函数/(%)=%e%+a在区间[0,1]上的最小值为1,则实数。的

值为()

A.-2B.2C.-1D.1

【变式5-2](2024.宁夏固原.一模)函数/(%)=sinx-(%+2)cosx-1在区间[0,2n]上的最小值、最大值分

别为()

A.-2TC—3,TT+1B.—2JT—3,—3C.-3,n+1D.—3,2

【变式5-3](2024.福建.三模)函数/(%)的定义域为(0,+8),广(%)为/(X)的导函数，满足2(/(x)+产)=

x(f(x)+x),“1)=—|,则/0)的最小值为()

e2

A.-eB.eC.-eoD.-----

2

【题型6利用导数解不等式】

【例6】(2024四川泸州•一模)已知函数/(%)=/+无，则满足/(X)>/(2x-1)的x的取值范围是()

A.(-00,-1)B.(―co,1)C.(―1,+oo)D.(1,4-00)

【变式6-1](2024•吉林长春•一模)已知定义在(0,+8)上的函数/'(X),尸(久)是((久)的导函数，满足刀尸(久)一

2/(%)<0,且“2)=4,则不等式f(2与—4%>0的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+00)D.(-oo,l)

【变式6-2](2024.广东佛山.一模)设尸(x)是函数f(%)的导数，f(l-x)+f(l+x)=0,f(2)=0,当x>1

时，(久一l)f'(久)-/(x)>0,则使得f(x)<0成立的久的取值范围是()

A.(0,1)U(1,2)B.(0,1)U(2,+oo)C.(―8,0)u(1,2)D.(-oo,0)U(2,+oo)

【变式6-3](2024•海南海口•模拟预测)已知定义在[-3,3]上的函数/(%)=■—e-x—2久+1,若/(m?)+

f(jn-2)<2,则m的取值范围是()

A.[-2,1]B.[-1,2]

C.[-1,何D.[-1,1]

【题型7导数中的函数零点(方程根)问题】

[例7](2024.黑龙江大庆.三模)己知函数/(X)=|lnx|—fcc—2有2个零点，则实数k的取值范围是()

A.(-e*)B.[o*)C.(-1,0]U[i]D.(-e,0]U图

【变式7-1](2024•河北衡水•模拟预测)已知函数f(x)=Inx+1-ax有两个零点尤I，%且则下

列命题正确的是()

2

A.a>1B.xr+x2<-

C./•牝V1D.冷->1-1

「|3-2x|+1,x>0,

【变式7-2](2024・四川.模拟预测)已知函数/(久)=(工+2)2一0若函数y=，(久)]2—a〃>)有5

(.，久W0.

个不同的零点，贝ija的取值范围是()

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(1,+oo)

【变式7-3](2024・四川南充•一模)已知函数f(x)=|lnx-|+2|-m(0<m<3)有两个不同的零点与，

牝，下列关于%1，%2的说法正确的有()个

voTTlQ

7n

①二<e2②％i>---③e3<x2<®x1x2>1

zn+23-TTT

A.1B.2C.3D.4

【题型8导数中的不等式恒成立问题】

【例8】(2024•陕西铜川・模拟预测)已知函数/'(x)=7-In(久—1)-Ina+1,若f(x)>0对任意的x£

(1,+8)恒成立，贝b的取值范围是()

A.(0,粕]B.(0,e]C.0,e2D.(0,e2]

【变式8-1](2024・河南•模拟预测)已知4>0,对任意的久>1,不等式e?"—(ine可In久>0恒成立，则

实数4的取值范围为()

A.+ooB.区+8)

C.[2e,+oo)D.[e,+oo)

【变式8-2](2024•陕西商洛•三模)已知4>0,对任意的x>l,不等式e2版-等20恒成立，贝1]4的取值

2A

范围为()

A.[2e,+8)B.后,+8)C.[e,+8)D.r,+8)

【变式8-3](2024•甘肃兰州•三模)已知函数f(%)=对于任意的xe(1,2],不等式/(含)+

<1恒成立，则实数t的取值范围为()

A.(1,+oo)B.[-1,1]C.D.(-00,-1)

【题型9导数中的能成立问题】

【例9】(2024•全国•模拟预测)若关于％的不等式(e-+a%)之久已。“一1在久E住,1]内有解，则正实

数a的取值范围是()

A.(0,2+21n2]B.区,e]C.(0,4]D.[\e]

【变式9-1](2024・重庆•模拟预测)已知函数/(%)=3,g(%)=axe-%若存在式1E(0,1),第26(-8,0)使

得f(%i)=0(%2)，则实数a的取值范围为()

A.(—8,—2)B.(—2,—1)C.(-1,+8)D.(0,+8)

【变式9-2](2024.吉林延边.一模)若对任意久E(e,+8),存在实数2,使得关于冗的不等式ln(%-e)++

1NO成立，则实数4的最小值为.

【变式9-3](2024•浙江•模拟预测)已知函数/(%)=去+2/,^(x)=2m-Inx,若关于％的不等式/(%)工

%9(%)有解,则租的最小值是.

【题型10双变量问题】

【例10]（23-24IWJ二下•福建福州・期末）已知％,y为正实数，In%+Iny=：—贝|（）

A.x>yB.x<yC.%+y>1D.%+y<1

【变式10-1】(2024•四川广安•模拟预测)已知0<%VyV11,且e'sin%=e^siny,其中e为自然对数的底

数，则下列选项中一定成立的是（）

A.cosx+cosy<0B.cosx+cosy>0

C.cosx>sinyD.sin%>siny

【变式10-2】⑵-24高二下・四川遂宁•期中）已知函数/（%）=ln%,g（%）=）+1,若f%）=g（%2），则汽i一％2

的最小值为.

【变式10-3]（2024.湖南郴州.模拟预测）已知函数f（%）=+（1一q）%一%]口%有两个极值点<

%2），则实数a的取值范围为;若3%i>如贝巾n%i+ln%2+2a的最大值为.

►课后提升练（19题

一、单选题

1.（2024•河南新乡•一模）函数（0）=久3—2a一1+5的图象在点处的切线方程是（）

A.y=5x—1B.y—x+1C.y=—x+5D.y—x+3

2.（2024.山西吕梁•二模）已知可导函数/（%）的定义域为为奇函数，设g（%）是/（%）的导函数，若

g(2%+l)为奇函数，且g(0)=5则£起1kg(2k)=()

A.—B.C.—D.

2222

3.（2024・山东•模拟预测）“a>1”是“函数/（x）=[丁一sinx：<°<在R上单调递增，，的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024・四川眉山•一模）若函数/（久）=百合期在％=2时取得极小值，则f（x）的极大值为（）

A.-B.1C.-D.e

e8

5.（2024•河北邯郸•模拟预测）已知/（久）在（1,+8）上单调递增，若f（x+1）为偶函数,a=ff（inj,

c=（|），则（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

6.（2024・河南•模拟预测）已知/（无）=%31n善，则+2）>/（3x-2）的解集为（）

A.(—3,3)B.C.(0,2)D.(0,1)

7.(2024•黑龙江大庆•一模)已知函数/(X)=21nx-ax+b-1,若对任意的x6(0,+oo),/(x)<0,则b-2a

的最大值为()

A.21n2-1B.3-21n2C.1-21n2D.21n2-3

8.(2024・湖南郴州•模拟预测)已知/(久)=memx-lnx(m>0),若f(x)有两个零点，则实数小的取值范围

为()

C.G，+8）D•区,+8）

9.（2024・陕西安康•模拟预测）若存在久6（0,+8）,使得不等式a?—+x2e。/+In2久成立，则实数a的取

值范围为（）

10.（2024・四川成都•模拟预测）己知函数/（x）=炉一%+1,则（）

A.f（x）有三个极值点B.f（x）有三个零点

C.点（0,1）是曲线y=/（*）的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/（久）的切线

二、多选题

11.（2024.全国•模拟预测）设函数/'（x）=ax-In卓，则对任意实数a,下列结论中正确的有（）

A./（久）至少有一个零点