2025年高考数学第二次模拟考试（新高考Ⅱ卷2）（全解全析）

2025年高考数学第二次模拟考试（新高考II卷02）

全解全析

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合/={1,2,3,4,5},S.AOB=A,则集合8可以是（）

2

A.{1,2,3}B.|x|x>1|C.卜忙>1}D.|x|log2（x-2）<2j

【答案】C

【详解】因为/口8=工，所以/1

A中集合不合题意；

B中集合为卜卜2>1}=&匡<-1或x>l},也不合题意，

C中集合为卜忙>1=2。}={中〉0},满足题意，

D中集合为{x|log2（x-2）<2=log24}={x|0<x-2<4}={x|2<x<6},不合题意.

故选：C.

2.已知函数〃x）定义域为R,则命题夕：“函数为偶函数”是命题4：“*°eR,满足/（%）=/（-无。）”

的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若"X）为偶函数，则有/'（X）=〃T）,充分性满足；

若/（x）=sing）,则有/（-l）=sin（-7t）=o./（l）=simt=o,即=

而〃x)=sing)为奇函数，因此必要性不满足.

故命题。：“函数/'(无)为偶函数”是命题9：“弱eR,满足/伉)=/(-%)”的充分不必要条件.

故选：A.

3.若zi3=l-5贝中|=()

A.1B.V7C.V6D.3

【答案】C

【详解】因为03=1—后,

1-51-底一向卜

所以z=0=y[5+if

i3-1-1-1

所以

故选：c.

兀V2,5兀

4.已知sina-----，贝Ijcos2aH——

123

75

ABC.D.——

-4-i99

【答案】D

6兀

71271

【详解】因为sina-------,所以cos2a-=l-2sina----»---二,

123121299

即cosf2a5

9

所以cos|2a+|5

=cos2*+7i=-cos2a——

I69

故选：D.

5.已知平面直角坐标系xOy中，A(-2,-2),8(1,2),OP=WA+^>-X)OB,若后//砺，则P的坐标为:

B.（0,2）C.（3,6）D.（3,4）

【答案】B

【详解】TSO?=（-2A,-22）+（3-2）.（1,2）=（3-32,6-42）,

2P=0P-O4=(5-3/1,8-42)//(1,2),所以^^=2n2=l,

5—3/1

故方=刃+2砺=（0,2）,

故选：B.

6.2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天.某单位安排7位员工值班，每人值班1天,

每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排

方案共有（）

A.1440种B.1360种

C.1282种D.1128种

【答案】D

【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法：

如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A：A；=1440种，

如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C；A；A；A：=192种，

若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A；=120种.

则不同的安排方案共有1440-192-120=1128（种）.

故选：D.

7.已知椭圆C的左、右焦点分别为耳,巴，平行四边形耳4助的顶点42都在C上，。在N轴上且满足

2瓯=月万，则C的离心率为：（）.

AVioRV15「2夜nV6

5533

【答案】A

【详解】连接4片,8片，设4片门〉轴=3,由于/月。。=/。。8，DFJ/GF^

所以==故片6=片。，所以四边形片Gg。为菱形.

由于2丽=月万，可设|/G|=x,|G周=2x,|/用=加,

\BF^=n,\AB\^2x,则在△/即中有3//愿=生土厂长

2-2x-x

在“3月中有cosNBA"=(2耳+⑶)-“

2-2x-3x

又cosZABF2=-cosNBAK,所以⑵)+厂-"/=_(2x)+(3x)-优,

2•2x•x2•2x•3x

整理得至lj3加2+/=28-,

又周+|4阊=忸周+忸闾=2〃,gp3x+m=x+n=2a,

所以3(2〃-3x)2+(2Q—=28/,解得％故机=_^_，几=_^_,

a

在△力Gg中有［4闾=叵闾,则cos//GK=0=；,故cos/片Gg=—

T

LL2,2c16/入16a240a2故c=®,故e=®

所以4c2=2x--------2x-------

2525-25"55

故选：A.

8.将函数V=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的一1（。＞1）,纵坐标不变，再将所得图象向右平移兀个个

m3

单位长度后得到函数〃X）的图象，若“X）在区间土兀上恰有5个零点，则。的取值范围是（）

A.[5量B.[6,/CI*]D-（6,可

【答案】B

【详解】依题意，/（x）=sin[®（x-1TT）],当「呜JT何时,。（冶jr）且0,竽,

由/㈤在区间得利上恰有5个零点，得4兀4—＜5兀，解得6＜。＜程

故选:B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.函数/（X）=2退sin0xcos0x+2cos2（yxT（O<0<1）的图象，如图所示，则（）

A./（x）的最小正周期为无

B.函数/'Qx+g］是奇函数

C.y=/（x+［Jcosx的图象关于点等）对称

D.若y=/（幻«eRj>0）在［0,兀］上有且仅有三个零点,则此

【答案】BCD

【详解】依题意，/（x）=V3sin2a)x+cos2a)x=2sin2①x+—

I6

JT

观察图象可得x=§时，函数f（x）取最大值，又0<3<1,

_7171_,71,_

所以26y-----1—=2历id—,kwZ,

362

解得fv=3k+—f左wZ,而0<G<1,解得@=

71

f(x)=2sinX+-,/（尤）的最小正周期为2兀，A错误;

y=/12x+g)=2sin(2x+7i)=-2sin2x是奇函数，B正确;

71

cosx=2sinx+—cosx,

3

j/=cosx(sinx+V3cosx)=-sin2x++cos2x)=sinf2x+y1+

)2

令2%+'=而，keZ,可得％=如一二，kEZ,

326、

因止匕）=/卜+.注卜"），

COSX的对称中心为---

当左时，函数/卜+巳卜的对称中心为

=0V=osx故C正确;

I7CI7C7C7C

/(/x)=2sintx+—,z>0,当XE[0,兀]时，tx+—e—/兀+一

\6J666

依题意，3兀4机+2<4兀，解得〈学，D正确.

666

故选：BCD.

10.设A48c的内角4瓦。的对边分别是a,6,c,若0=百，且(26-c)cos/=“cosC,则下列结论正确的

是()

IT

A.A=-B.A48C的外接圆的面积是兀

6

C.△4BC的面积的最大值是士8D.的取值范围是(-百,2月)

4

【答案】BCD

【详解】对于A项，因为(2b-c)cos/=qcosC,

所以2sin8cosA-sinCcos4=sin/cosC,

所以2sin5cosN=sin/cosC+sinCcosA=sin(/+C)=sinJ5,

又因为sin5w0,所以cos/=；,

又因为/e(0,m，所以/故A项错误.

对于B项，设A48C的外接圆的半径为R,由正弦定理可得2R=—j=2,

sin/

则△/5C的外接圆的面积是兀R2=兀，故B项正确.

对于C项，由余弦定理可得/=〃+02-26ccos/,ipb2+02一加=3①.

因为〃+/22儿②，当且仅当b=c时，等号成立，

所以由①②得从(3,当且仅当6=c时，等号成立，

所以△45。的面积S=—besinA=^-bc则C项正确.

244

nncI7T

对于D项，由正弦定理可得一J二—三=2,则b=2sin5,c=2sinC=2sin彳=sinB+cosB,

sin/sin5sinC13

所以2b一c=3sin8一百cosB=2-73sin[一.

又因为0<8<4，所以，所以，

3662

所以-e<2VJsin[5-m<2百，即e—c的取值范围是(-6,26)，故D项正确.

故选：BCD.

4

11.已知函数/'(无)=x-7g(x)=2x,贝!!()

A.y=/(x)g(x)的图象关于y轴对称

B.y=/(x)-g(x)有最大值

C.当无>1时，/(2x-l)<g(x+l)

D.若点2。分别在函数的图象上，则|尸。的最小值为停

【答案】ACD

4

【详解】因为/卜）=工-1（工片0）名（切=2%,

对于选项A：V=〃x）g（无）=2x2—8,x0

-3-7(-^)^(-^)=2(-^)2-8=2^2-8=/(x)g(x),

可知＞=/（x）g（x）为偶函数，图象关于了轴对称，故A正确;

对于选项B：y=/(x)-g(x)=[x-g]-(2x)=-(x+：j,

由对勾函数可知y=x+(的值域为(-吗-4]u[4,+e),

可知>=-1x+：]的值域为(-oo,-4]u[4,+e),即了=/(x)-g(x)没有最大值，故B错误;

对于选项C：因为g(x+l)-”2x_l)=2(x+l)-[(21)=-^-+3,

且x>1,则2x-1〉0,

nT^g(^+l)-/(2x-l)=-^-+3>0,即/(2x-l)<g(x+l),故C正确；

2x—1

对于选项D：由选项B可知-g(x)=[x+£|wO,

即函数/(x),g(x)的图象没有交点，

由题意可知：|「。|的最小值即为点尸到直线y=g（x）的距离的最小值,

44

又因为/'(x)=l+j，令/'(x)=l+7=2,解得x=±2,

当x=2时，尸（2,0）到直线2x—y=0的距离为“=白=殍

当x=-2时，尸（/-2,0、）到直线2x-j=0的距离为d=14=号4A/5；

所以|尸。|的最小值为个，故D正确；

故选：ACD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若（X-1）'=%+《X++%尤3+。4苫4+。5苫5，则％=.

【答案】-10

【详解】（X-以的展开式通项是：

依题意得,5—k=2,即左=3,所以％=C；（―I）'=-10,

故答案为：-10

13.抛物线必=8无的焦点为尸，A为了轴正半轴上的一点，射线E4与抛物线交于点8,与抛物线准线交于

点、M.若解|,|网,|//成等差数列,则照|=.

【答案】10

【详解】由题意可知：尸（2,0）,设4（0,加），准线方程x=-2

如图：

...点A为独f中点,即叫/邳+忸典,

又•；I印,WbMM成等差数列，.•.四+画=2叫,

.•.|£8|+|/同+|昉|=2|四，即2忸刊=怛/|,而=；或=（一|4）

又；5在抛物线/=8x上，，=8xy,/.m=4^/6,

Z.|,4F|=^22+（4V6）2=10.

故答案为：10.

3..jr

14.在体积为一的三棱锥4-中，ACLAD,BCLBD,平面4CQ_L平面BCD,ZACD=-

26f

TT

ZBCD=~,若点A、B、C、。都在球。的表面上，则球。的表面积为

4

【答案】12兀

【详解】过点A在平面/CZ）内作作垂足点为

取线段CD的中点。，连接CM、OB,如下图所示：

因为/C_LAD,BCLBD,贝I」CM==」CD=0C=0D,

2

所以，三棱锥/-5co的外接球的球心。为DC中点，

因为平面NCD_L平面BCD,平面/CDPI平面BCD=CQ,AHYDC,

///u平面/CD,则平面88,

设球O的半径为火，则。C=2A,

又乙4CD。,ZBCD=3,所以，DB=CB=42R,AD=R,AC=>5R,

64

诉WADxAC43R2y/3

加以，AH=--------二-----二——R,

DC2R2

所以，三棱锥Z-8CD的体积为1x!xO2xC2x/H=LxLxaRx岳X^R="R3=3,

3232262

解得火=百，因此，球。的表面积为4兀尺2=12兀.

故答案为：12九

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取

100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：

假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

（1）求频率分布直方图中X的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表）；

（2）已知甲型芯片指标在［80,100）为航天级芯片，乙型芯片指标在［60,70）为航天为航天级芯片.现分别采用

分层抽样的方式，从甲型芯片指标在［70,90）内取2件，乙型芯片指标在［50,70）内取4件，再从这6件中任

取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率.

【答案】⑴x=0.020,X=47.（2）P（£）=-.

【详解】（1）由题意得10x（0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+x）=l,解得x=0.020.

由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：

于=（25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010）x10=47.

（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在［70,80）和［80,90）的各1件，分别记为A和5,

来自甲型芯片指标在［50,60）和［60,70）分别为3件和1件,分别记为G，C2,G和。，

从中任取2件，样本空间可记为。=｛（40，（4£）,（4。2），（/«3）,（4。），（8,q）,

（T?,C）,（GC），（G，G），（G，D），G，G），C。），CM｝共15个，

（B,C2）,3（B,D）,

记事件E：至少有一件为航天级芯片，则£=｛（48）,（4。），（及G）,（BC）,（B，G）,

（CQ）,（C2,£＞）,G，。）｝共9个，

OQ

所以尸（0=西=不

16.(15分)如图，在三棱柱48C-48。]中，侧面/CG4为菱形，ZAtAC=60°,底面Z3C为等边三角形,

——•1——--.1——.

平面平面43C,点。,E满足"4£=]4。，点尸为棱GC上的动点(含端点).

(1)当尸与C重合时，证明：平面。£F_L平面48C；

(2)是否存在点尸，使得直线NC与平面。斯所成角的正弦值为如？若存在，求出笠的值；若不存在,

请说明理由.

【答案】⑴证明见解析⑵存在，器日

【详解】(1)如图，取4C中点。，连接40,

因为侧面/CC/1为菱形，^AtAC=60°,

所以4。L/C,

又因为平面ACCAAX±平面ABC,平面ACCXAXQ平面ABC=AC,

4(9u平面/CG4,所以40,平面48C，

又因为E为4。的中点，所以四边形4OFE为平行四边形，所以4。〃跖，

所以跖，平面48C,又£Fu平面DEF,所以平面。E尸_L平面48C；

(2)连接。3,因为△4BC为等边三角形，则O2LOC,

所以。昆。C,04两两垂直，则以。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示:

令三棱柱的棱长为2,所以08=OAt=y/3,

故0(0,0,0),Z(0,T,0),B(百,0,0),

4(0,0,G),c(o,1,0),E(O,1,G),G(0,2,G),

又丽=；方，所以。

3)

设Gb=xqc,Ae[o,i],

贝!I砺=A,OC+(1-%)西=(0,A,0)+(0,2-22,G-百4)=(0,2-4石-62),

即F(0,2-A,V3-V32)；

乂瓦=,£F=(0,1-2,-V32),

设平面尸的法向量为比=(x,y,z),

mDE=0y/3x-2y=

则一取x=贝!]y=54/=-^-(1-4),

行rEF=。(1_小一收2=0

故平面OE尸的法向量可为而=

\7

又X=(0,2,0),设直线/C与平面ZXEF所成角为巴

厂|比.痈_______|3£|___________V6

2224

由题可得sindTcos庆,=f，BP|m||^C|2^3A+-A+-(1-2)

整理得：62-3=0,解得彳=；,

故当第=；时，直线NC与平面。叱所成角的正弦值为逅.

CjC24

17.(15分)设函数/介)=如+加ln(x+l)(加eR).

(1)若加=-1,

①求曲线〃x)在点(OJ(O))处的切线方程；

②当xw(l,+8)时，求证：/(x)<x3.

(2)若函数/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数优的取值范围.

【答案】(1)①x+y=0；②证明见解析(2)[-+，。]

212+2x-1

【详解】(1)①当机=-1时，/(x)=/-ln(x+1),可得/'(无)=2x——-

X+X+1

则/'(0)=TJ(0)=0，

可得曲线/1)在点(0,7(0))处的切线方程为y-0=Tx(x-0),即x+k0.

②令/z(x)=/(x)-x3=-x3+x2-ln(x+1),

贝|J"(x)=-3x2+2x—一—=_3x3+(1)2,

x+1x+1

当xe(1,+CO)时，可得砥x)<0,/z(x)在(1,+co)上单调递减，

又因为〃⑴=-ln2<0,所以为x)<0,即就-ln(x+l)<x3,HPf(x)<x3

即当xe(l,+co)时,f(x)<x3.

(2)由函数/(x)=x2+加ln(x+l),xe(0,l),可得/⑴=2x+*-=至+2x+m

X+1x+\

令g(x)=2x2+2x+m,xG(0,1),

当冽20时，g(x)>0,即/(x)〉0ja)在区间(0,1)上单调递增.

因为/(0)=。所以〃x)>/(0)=0,

所以函数/(%)在区间(0,1)上没有零点，不符合题意；

当冽<0时，函数ga)=2/+2x+加的图像开口向上，且对称轴为直线'=

2

由g(l)=2+2+m<0,解得m<-4,

当加0-4时，g(x)<0在区间(0,1)上恒成立，

即/(x)<0J(x)在区间(0,1)上单调递减.

因为"0)=0,所以/(x)</(0)=0,

所以函数〃%)在区间(0,1)上没有零点，不符合题意.

综上可得，-4<m<0,

设/e(O,l)使得g(Xo)=O,

当xe(O,x。)时,g(x)<0,/-(x)<0,/(x)单调递减;

当xe(x°,l)时,g(x)>O/(x)>OJ(x)单调递增,

因为/(0)=0,要使得函数/(尤)在区间(0,1)上存在唯一零点，

则满足/(1)=1+/wln(l+l)>0,解得比>—上，

所以实数m的取值范围为,上,。］.

18.(17分)平面内有一点月(1,0)和直线/：》=2,动点尸(xj)满足：P到点月的距离与P到直线/的距离

的比值是它.点P的运动轨迹是曲线E,曲线£上有48、C、。四个动点.

2

⑴求曲线E的方程；

(2)若A在x轴上方，2可+瓦方=0,求直线48的斜率；

(3)若C、。都在x轴上方，片(-1,0),直线。巴//。耳，求四边形小不。的面积的最大值.

【答案】⑴5+/=1⑵理⑶/

【详解】(1)由题意J(x_l)2+r=«_2|母,

两边平方得x2-2x+l+y2=--；+4，化简得］+/=1,

2

所以曲线E的方程为］+/=1；

(2)2可+可=6,即月方=-2可，则直线的斜率是正数,

设品:x=@+l,直线48的斜率为:(左>0),

K

x=ky+\

设/(%1，%)同%2)2)，联立,iX221，

—+V=1

I2/

化简得&+2b2+2®_1=0,所以乂+%=-2k-1

k2+2，yi)>2~k2+2'

由题意矢口%二—2%，

2斤-1

代入%+%，%%，消%，,-2^=-^—,

k+2k+2

(3)延长C&,交椭圆于点G,

=

CF2//DF1,由对称性可知Gg=Z>6，△与Gg和△CZ>K等底等高，Sa皿SkCDF'，

四边形CF^D的面积S=5卬=1♦(7c-%)=九-,

-2k.-1

^lCD-.x=kxy+\,由(2)知Vc+yG=^F^，ycyG=^T^，

所以7c—VG=J(7c-先『=，(生+%)2-4/％=*'即$=

/C.।ZJK;,?।TZ,

,____J8好+82"2mn

令庶不=所以干丁="=下〈虫，

t

当且