2025年高考数学一轮复习讲义：对数与对数函

第六节对数与对数函数

课标解读考向预测

1.理解对数的概念和运算性质，知道用

对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数函数的

换底公式将一般对数转化成自然对数

定义域、值域、最值等是近几年高考考查的热点，题

或常用对数.

型多以选择题、填空题为主，属于中档题.预计2025

2.了解对数函数的概念，会画对数函数

年高考可能会考查对数函数的图象以及单调性等性

的图象，探索并理解对数函数的单调

质，题型为选择题或填空题，难度中档；也可能会以

性与其图象上的特殊点.

对数或对数函数为载体，结合新定义、初等数论等以

3.知道对数函数y=log〃x与指数函数y

创新型题目出现在第19题，难度较大.

=炉互为反函数(a>0,且。。1).

必备知识——强基础

知识梳理

1.对数的概念

(1)定义：一般地，如果优=N(a>0,且。¥1),那么数画工叫做以。为底N的对数，记作尤

=①hog〃N,其中。叫做对数的画底数，N叫做画真数.

(2)常用对数和自然对数

①常用对数：以画出为底的对数叫做常用对数，并把logioN记为画1g」.

②自然对数：以画之为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为画InN.

2.对数的性质

(1)两负数和0没有对数:

(2)log〃l=回。；

(3)logaa=[H]l；

fe

(4)对数恒等式：ak>gaN=|12|N；logatz=113|b(a>0,且aWl).

3.对数的运算性质

如果a>0,且M>0,N>0,那么

(Dloga(MM=n^logaM+logflM

(2)logfl^=回logaM—loggA^；

(3)lo已M=r^Ulo%M("€R).

4.换底公式：=且b>Q；c>0,且cWl).

5.对数函数及其性质

(1)概念：函数网丫=1。/龙(。>0,且。片1)叫做对数函数,其中x是自变量，定义域是回色

+°Q).

(2)对数函数的图象与性质

a>l0<a<l

Tv1।

J.P*yL=Iog«X

图象

o/i(l,o)X

产log小

定义域+8)

值域画R

当x=l时，y=0,即图象过定点反1(1,0)

性质当x>l时，y>0；当0<%<1时,y<0当x>l时,y<0；当0<xvl时，y>0

在(0,十8)上是阿增函数在(0,+8)上是固减函数

6.反函数

指数函数〉=炉(。>0,且〃W1)与对数函数国片12g式(〃>0，且〃W1)互为反函数，它们的图

象关于直线网v=x对称.它们的定义域和值域正好互换.

常用

1.对数运算的两个重要结论

(1)log4/?=]og)Q(〃>°，且aWl；Z?>0,且Z?W1).

(2)logq族?"=—log，(〃>0,且a#1；b>0；m,〃€R,且m^O).

2.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故OVcVdVl

<a<b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

3.对数函数y=logax(a>0,且aWl)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),色，-1),函数图

象只在第一、四象限.

4.对于函数“<0=|1。8岗(。>0,且aWl),若则必有优〃=1.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“Y”，错误的打“x”)

(l)loga(MN)=logaM+logaJV.()

(2)logax-logay=loga(x+y).()

2=:

(3)log2x21og2X.()

(4)函数y=log2%与y=log《的图象重合.()

答案(l)x(2)x(3)x(4W

2.小题热身

(1)(人教A必修第一册习题4.3T5改编)设lg2=a,lg3=6,则logi210=()

A，B，

2a+ba-\-2b

C.2a~\~bD.2b~\~a

答案A

解析logi210=]g[2=lg3+21g2=2a+//

(2)下列函数中，其定义域和值域分别与函数>=10腔的定义域和值域相同的是()

A.y=xB.y=\gx

C.y=2*D.

yjx

答案D

(3)已知实数。=log32,6=log27i,c=log2Vio,贝N)

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

答案A

(4)(人教B必修第二册4.2.3尝试与发现(2)改编)已知函数y=logfl(x-3)-l(a>0,且aWl)的

图象恒过定点P,则点尸的坐标是.

答案（4,-1）

考点探究——提素养

考点一对数的概念与运算

例1（1）（多选）下列各式化简运算结果为1的是（）

A.Iog53xlog32xlog25

B.lg^/2+|lg5

C.log^〃2（Q>o,且。w1）

1

D.eln3-0.1253

答案AD

解析对于A,原式=昌之仔|x=1；对于B,原式=:lg2+Jig5=Jig（2x5）=1对于C,

原式=21og“a=2x2=4；对于D,原式=3—81=3—2=1.故选AD.

（2）已知正实数x,y,z满足3%=4，=（2小）z,贝！J（）

1,111,11

一

Ax1+y_=zBy.-+z-=x-

^1,12c1J2

c.-+-=-D-+-=-

xyzxzy

答案C

解析令3%=4>=(2小)z=〃，贝IX=log3。，y=log4。，z=log24”，故§=loga3,^=log«4,

ii__9

10ga2小，故；+,=10gal2=2k>gaM^=7.故选C.

【通性通法】

对数运算的一般思路

利用»=Nob=logaN（a>U,且aWl）对题目条件进行转化

转化

利用换底公式转化为同底数的对数运算

恒等式注意logal=0,loga，=N,cAogaN=N(a>3且QWI)的应用

拆分将真数化为积、商或底数的指数嘉形式，正用对数的运算法则化简

将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算法则，

合并

转化为同底对数真数的积、商、嘉的运算

注意：利用常用对数中的lg2+lg5=1.

【巩固迁移】

1.化简(21og43+log83)(log32+log92)的值为()

A.1B.2

C.4D.6

答案B

解析原式=(2x3og23+；log23)0og32+Tlog32)=glog23义手(理2=2.故选B.

2.(多选)(2024•江苏连云港灌南高级中学、灌云高级中学高三联考)若10。=4,10^=25,则

()

A.〃+Z?=2B.bct~~1

C.ab>(lg2)2D.b-a>\g6

答案ACD

解析由10。=4,10^=25,得〃=lg4,b=lg25,所以a+1=lg4+lg25=lg100=2,故A

25

正确；因为o=lg25—lg4=lg彳<坨10=1,故B错误；因为次?=lg4-lg25>lg2-lg2=(lg

2524

2R故C正确；因为Z?—Q=lg25—lg4=lgq~>lgq"=lg6,故D正确.故选ACD.

3.(2024•江苏南通高三教学质量监测)已知树木样本中碳-14含量与树龄之间的函数关系式为

n

(1、5730

左,其中心为树木最初生长时的碳-14含量，以单位：年)为树龄，通过测定发现某

古树样品中碳-14含量为0.6的则该古树的树龄约为万年.(精确到0.01,1g3=0.48,

1g5-0.70)

答案0.42

,一(1^5730(1、57303.n13

解析由题意，得0.6公=履3，即㈤=3两边取对数，得号g；=lg*变形，得

k5—le3Is5—k3070—048

w=生：:x5730=\二汽义5730,因为lg3=0.48,lg5=0.70,所以让二空"573。=

lgZ1lg31U./U

4202,故该古树的树龄约为0.42万年.

考点二对数函数的图象及其应用

例2(1)已知函数犬x)=℃+b的图象如图所示，则函数y=log“(|x|+6)的图象可以是()

答案D

解析由函数兀灯="+6的图象，可知0<a<l,—1<Z?<O,函数y=g(x)=log“(|x|+6)的定义

域为(-8,6)U(一6,+8),且g(一尤)=log“(|—x|+6)=loga(|x|+b)=g(x),即函数y=log°(|x|

loga(x+i>),x>-b

+b)为偶函数.又函数y=loga(l尤1+6)=']0g4—x+6),尤<6所以y=log，WI+6)在(一4+°°)

上单调递减，在(一8,b)上单调递增.故选D.

x-JC

(2)设X1，尤2，尤3均为实数，且eri=ln%i，e-2=ln(x2+l),e3=lgx3,贝！1()

A.X1<X2<X3B.X1<X3<%2

C.X2<X3<X1D.尤2<X1<X3

答案D

解析画出函数y=0,y=ln无，y=ln(x+1),y=Igx的图象，如图所示，数形结合，知

X2<X1<X3,

【通性通法】

⑴在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、

最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数

型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想.

⑵一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【巩固迁移】

4.若函数式尤）=（左一1）出一晨飞。＞。，且。#1）在R上既是奇函数，又是减函数，贝！Jg（x）=log0|x

+川的大致图象是（）

BC1)

答案B

解析因为函数兀¥)=(左一l)〃x—〃r(4>0,且aWl)在R上是奇函数，所以式0)=0,所以k=2,

经检验，左=2满足题意.又因为/(%)为减函数,所以0<〃<1,则g(x)=loga|x+2|(0<〃<l),由

g(—4一%)=loga|-4—x+2|=loga|x+2|=g(x),可知g(x)的图象关于直线X=-2对称，排除C,

D；又g(0)=log/0+2|=loga2<0,可知A错误.故选B.

5.已知函数/(x)=|log2x|,实数mb满足OV〃Vb,且#〃)=Ab)，若兀0在［。2,句上的最大

值为2,则>6=.

答案4

解析・・7(%)=110gM,

2

・・・加)的图象如图所示,又梃z)=/3)且OVaVb,AO<a<l,b>l且诞=1,：.a<af当

时，由图可知，#x)max=/(/)=|iog2a2|=-2k)g2a=2,.•・。=3，:・b=2,.*.^+/?=4.

考点三对数函数的性质及其应用(多考向探究)

考向1比较大小问题

例3(1)若〃=。5%b=logo.53,c=logo,30.2,贝!J()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

答案D

解析137^7O<4Z=O.5°-3<O.5O：=1,Z?=logo,53<0,c=logo_30.2>logo_30.3=1,所以。也故选D.

(2)若a=log23+log32,6=2,c=£^+log3%，贝1k)

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.b>c>a

答案B

解析因为a=log23+log32>21log23-log32=2,所以.因为/(x)=log2%,g(x)=log3%单调递

增，所以c=log2兀+log3兀>log23+log32,所以c>a.综上，c>a>b.故选B.

【通性通法】

对数值比较大小的四种常见类型

⑴底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断.

⑵底数为同一字母，需对底数进行分类讨论.

(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.

(4)底数与真数都不同，常借助1,0等中间量进行比较.

【巩固迁移】

6.（多选）（2024・河北尚义高三联考）已知。=log827,/?=log916,c=log48,贝1J（）

A.a<bB.a>c

C.b<cD.b<a

答案BCD

3

解析因为a=log827=log233=log23,b=log916=log34,。=题48=]，所以楙=求需=会,比

=61n2.ln4=31n2-21n4=ln8'ln16>1'又°均大于°，所以。>6，故A窃灰，D正确；因

r3|

为〃=log23>log22也=]=c,所以故B正确；因为16<33,即4<3'，所以Z?=log916=

3

53

Iog34<log3y=~j=c,即b<c,故C正确.故选BCD.

考向2解简单的对数不等式

例4(1)已知函数4r)=log2X—x+l，则不等式1工)<0的解集是()

A.(1,2)

B.(—8,1)U(2,+8)

C.(0,2)

D.(0,1)U(2,+8)

答案D

解析依题意，y(x)<0等价于log2X<x—1,在同一坐标系中作出y=log2X,y=x—1的图象,

如图所示，可得logzxa—1的解集为(0,1)U(2,+°°).故选D.

(2)不等式log，(5+l)—logj.(亚-1)<一5的解集是________

22z

答案(1,17+12w)

解析因为log£(5+l)—log/C5-1)<—5可化为]=求二也今](市<3+

2陋，所以x€(l,17+12吸)，即原不等式的解集为(1,17+12w).

【通性通法】

与对数函数有关的不等式的求解策略

【巩固迁移】

7.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当尤W0时，式尤)单调递减，则不等式用og《(2尤-5))

:>/(log38)的解集为.

答案(1制U.+8)

解析因为函数7U)是定义在R上的偶函数，且在(一8,0]上单调递减，所以可将"ogl(2x

3

—5))>"og38)化为|logj_(2x—5)|>|log38|，即log3(2x—5)>log38或log3(2x—5)<—log38=

3

log3^即2x—5＞8或0V2x—5V1，解得x＞与或。

ooZZ10

考向3与对数函数有关的复合函数问题

例5(多选)(2024•广东部分地市高三模拟)已知函数危)=ln^+x+m)(m€R),贝(J()

A.当机时，的定义域为R

B./(x)一定存在最小值

C.於)的图象关于直线尤=一；对称

D.当机21时，小)的值域为R

答案AC

解析对于A,若机＞：,贝||/=1-4优＜。，则二次函数y=/+x+:九的图象恒在无轴的上方，

即f+x+机＞0恒成立，所以危)的定义域为R,故A正确；对于B,若根=0,则«x)=ln(x2

+x)的定义域为(一8,—l)U(0,+°°),值域为R,没有最小值，故B错误；对于C,由于

函数y=ln[2+m—")为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移3个单位长

度即可得到函数式x)=ln=ln(x2+x+m)的图象，所以图象的对称轴为直

if\\13

线尤=—/,故C正确；对于D,若加，1,则了二/+彳+加=卜++加一1三不故/(x)的值

域不是R,故D错误.故选AC.

【通性通法】

解决对数函数综合问题的策略

⑴始终牢记“对数的真数大于0”这一基本要求，这是解决对数问题的出发点.

⑵善于运用对数的运算性质将对数式进行合理地化简与变形，这是研究性质的重要途径.

(3)注意等价转化思想方法的合理运用，这是解决对数综合问题的关键.

【巩固迁移】

8.已知函数八》)=3(%2—4%一5)在(°,+8)上单调递增，则。的取值范围是()

A.(—8,-I]B.(—8,2]

C.[2,+8)D.[5,+8)

答案D

解析由x2—4x—5>0,解得尤>5或x<—1,所以函数“r)的定义域为(一8,—1)U(5,+

°°).又函数yn%2—©—5在(5,+8)上单调递增，在(—8,—1)上单调递减，所以函数/(X)

=lg($一4苫一5)在(5,+8)上单调递增，所以.故选D.

9.已知/(X)=1+log3X(1W尤W9),设函数g(无)=[/(%)]2+/X2),则g(x)max—gCOmin=.

答案5

"1WxW9,

解析由题意得；.g(x)的定义域为[1,3],g(x)=[/(x)]2+/(x2)=(l+

log3X)2+l+log3X2=(log3X)2+41og3x+2,设f=k>g3X,则OWfWl,则y=?+4?+2=(/+2)2

—2在［0,1］上单调递增，，当/=0,即无=1时，g(x)min=2,当t=l,即X=3时，g(x)max

―7,••g(x)max-g(无)min.5.

课时作业

基础巩固练

一、单项选择题

2

3

1.lg4+21g5+log28+8=()

A.8B.9

C.10D.1

答案B

22

解析因为1g4+21g5=lg4+lg52=lg4+lg25=lg100=2,Iog28=log223=3,8^=(23)^=

2

22=4,所以1g4+21g5+log28+83=2+3+4=9.故选B.

2.函数八元)=第当的部分图象大致是()

答案A

解析易知人工)=碧季的定义域为{x|xWO},因为五一%)=二|%U=—霁鸟=—八x),

乙I乙乙I乙乙I乙

2

所以近尤)为奇函数，排除B,D；又式2)=济亍>0,排除C.故选A.

3.(2023・广东三校高三联考(二))若函数不五一x)为偶函数，贝Ua=()

11

A-4B-2

C.1D.2

答案B

解析易得，函数Kx)的定义域为R,因为函数/(x)=x31nNf+2a—x)为偶函数,且y=/

为奇函数，故g(x)=ln(q/+2a—尤)为奇函数,故g(—x)+g(x)=O,即In[枝(一尤A+Za+x]

+ln(7炉+2°—x)=0,即In(V+Za—/)=。，即2a=l,解得.故选B.

4.若木x)=lg(d—2以+l+a)在区间(一8,1]上单调递减，则。的取值范围为()

A.[1,2)B.[1,2]

C.[1,+8)D.[2,+8)

答案A

解析令函数g(x)=x2—2Q%+1+Q=(%—〃)2+1+〃一层，图象的对称轴为直线％=〃，要使函

g(l)>0,(2—4>0,

数兀0在(-8,1]上单调递减，则有彳即彳解得1W〃<2,所以〃的取值范围

为[L2).故选A.

5.(2024・湖南名校高三模拟)已知〃=log32,Z?=log53,c=log85,则下列结论正确的是()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

答案A

22

解析因为R)g32=10g3*<10g3<传=10g33l=,=10g55l=R)g5爽^<10g5印药=1唯3，所以。<。；

因为In3・ln8＜件甘^=（lnM55）2＜（ln5）2,所以"T＜£|，所以Iog53＜log85,所以。＜c,所

以〃＜b＜c.故选A.

6.若函数/0）=108。@+|3（4＞0,且aWl）在区间+8）内恒有y（尤）＞0,则兀r）的单调递

增区间为（）

A.（0,+8）B.（2,+8）

C.（1,+8）D.（j'+8）

答案A

解析令河=/+|方当xeg，+8）时，ME.（1,+8）,恒有於）＞o,所以。＞1,所以函

数y=logJW为增函数，又加=。：十步一卷所以M■的单调递增区间为（一|,+8）.又『+|

3

尤＞0,所以尤＞0或尤〈一家所以函数八X）的单调递增区间为（0,+8）.故选A.

mn

7.函数加v）的定义域为D,若满足如下两个条件:①穴尤）在D内是单调函数;②存在7'2QD,

mn

使得夫尤）在22上的值域为阿，n],那么就称函数大劝为“希望函数”.若函数/U）=log〃（"

+0（＜7＞0,且aWl）是“希望函数”，贝1h的取值范围是（)

1

-o

B.4

c

-H，。）D.10

答案A

m〃

解析：函数加）=iog”（炉+/）m＞o,且。/1）是“希望函数”，.•孙）在[工固上的值域为m，

n\.易知函数人元）单调递增,

m

yy

m

loga(。+t)=m,a+t=af£

即<.,.m,n为方程cf—o'—1=0的两个不相等的实数根,

nn

~22n

j0ga(〃+t)=n,a+t=ct,

X

51

令p=/,则p?—p—/=0,/.J=l+4r>0,—r>0,得一4</<0.故选A.

8.当x€（l,2）时，不等式（X—l）2＜logaX恒成立，则〃的取值范围是（)

A.（0,1）B.（1,2）

C.(1,2]D(0,£|

答案C

解析设力(x)=(x—1)2,我(无)=10g“X,要使当尤€(1,2)时，不等式(X—l)2<10g"X恒成立，只

需在区间(1,2)±,力(x)=(x—l)2的图象在龙(无)=10gaX的图象的下方即可.当O<6Z<1时，

显然不成立.当。>1时，如图所示，要使在区间(1,2)上，力(x)=(x—1)2的图象在力(x)=logqX

的图象的下方，只需力(2)9(2),即(2—l)2Wlogq2,所以log02Nl,解得1V〃W2.

二、多项选择题

9.在同一直角坐标系中，函数丁=炉与y=loga(x—2)的图象可能是()

答案BD

解析当a>l时，丁=能在(一8,+8)上单调递增且其图象恒过点(0,1),y=loga(x—2)在(2,

+8)上单调递增且其图象恒过点(3,0),则B符合要求；当0<〃<1时，y="在(-8,+oo)

上单调递减且其图象恒过点(0,1),y=logq(x—2)在(2,+8)上单调递减且其图象恒过点(3,

0),则D符合要求.故选BD.

10.已知函数危)=ln(e"+l)—%,则()

A.f(\n2)=ln1

B.段)是奇函数

C.危)在(0,+8)上单调递增

D.7(%)的最小值为In2

答案ACD

解析y(ln2)=ln(e21n2+1)—In2=ln故A正确；f^x)=\n(e^+l)—x=ln(e2;v+l)—In

e2x+1

x-x

IneX=ln(e+e),所以x)=ln(匕%+匕一%),所以|-x)=/(x)，所以兀0为偶函数，故B

错误；丁=?，+6—”在(0,+8)上单调递增，因此於)=ln(e*+er)在(0,+8)上单调递增，故

C正确；由于"x)在(0,+8)上单调递增，又火x)为偶函数,所以八工)在(一8,0]上单调递减,

所以/（无）的最小值为4））=ln2,故D正确.故选ACD.

三、填空题

11.（2024•江苏名校高三联考）写出一个同时满足下列性质①②的函数为fix尸.

①五孙）=黄尤）+"）；②/（尤）在定义域上单调递增•

答案log2龙（满足logaX（a>l）均可）

解析loga（MN）=logaM+logaN,且於）=logd（a>l）单调递增.故答案为logzx（满足logflx（a>l）

均可）.

12.若函数y=/（x）与y=5*互为反函数，则yf；%2—2尤）的单调递减区间是.

答案（一8,0）

解析因为y=«x）与y=5*互为反函数，所以y=«r）=log5X在定义域（0,+8）上为增函数，

由/一2彳>0,得x>2或尤<0,又丫=%2—2尤=（无一Ip—1在（-8,1）上单调递减，在（1,+°0）

上单调递增，所以2x）的单调递减区间是（一8,0）.

13.已知人x）=ln（f+2*+根）.若人助的值域为R,则实数机的取值范围是.

答案（一8,1]

解析因为/（x）的值域为R,所以V+Zx+mWO有解，则4—4加20,解得〃zWl,所以实数

机的取值范围是（一8,1].

14.（2024•湖北黄冈中学高三模拟）设x,y£R,a>l,b>l,若/=勿=3,3a+b=18,则：+

"的最大值为.

答案3

lo3Qa

解析因为户=夕=3,所以％=loga3,y=logb3.又Ioga3-log3“=*工1Iogb3-log3b=

昌I•兴4=1，所以1=log3〃，5=log3b.因为〃>1，b>\,根据基本不等式，有伴尹）=

81,当且仅当3〃=。，即4=3,b=9时，等号成立，所以abWTn,则1+'=log3a+log30=

xy

log3（。份Wlog327=3.所以的最大值为3.

四、解答题

15.（2024•山东潍坊高三模拟）定义在（-1,1）上的函数/（无）和g（x）,满足/i»+g（一尤）=0,且

1+%廿,

g（X）=10ga-1一,其中4>1.

（1）若（；）=2,求"x）的解析式；

（2）若不等式八x）>l的解集为（一g，求m-a的值.

解（1）由题意知，

2

兀0=—g(—x)=log可二P

又^^)=2,所以logq4=2,即a=2.

2

所以函数作)的解析式为本)=log2jTG(—14<D・

2

(2)由得不彳>〃，

2

由题意知1—x>0,所以1—

「21f3

］一—=—£,a=j,

所以，°即彳

m=1,m=1,

所以m~a=一：.

16.(2024•山东聊城高三期中)已知函数段)=logq(2一词.

(1)当x€［0,1］时，函数/(%)恒有意义，求实数。的取值范围；

(2)是否存在这样的实数处使得函数八%)在区间［1,2］上为增函数，并且最大值为1?如果存

在，试求出〃的值；如果不存在，请说明理由.

解⑴因为〃>0且aWl,设©)=2—QX,

则心)=2—以为减函数，当x€［0,1］时，/(%)的最小值为2—〃，

当x€［0,1］时，兀0恒有意义,

即当x€［0,1］时,2—办>0恒成立，

所以2—〃>0,所以〃<2.

又4>0且QWI,所以实数〃的取值范围为(0,1)U(1