浙江专用2024高考数学二轮复习特色专题高考新元素教案

PAGE1-特色专题高考新元素一创新型问题新课程标准要求学生“对新奇的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与敏捷地应用所学的数学学问、思想和方法，进行独立思索、探究和探讨，提出解决问题的思路，创建性地解决问题．”随着改革的深化和推动，高考的改革使学问立意转向实力立意，推出了一批新奇而又新颖的、具有创新意识和创新思维的新题．创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解实力、学问迁移实力、类比猜想实力、数学探究实力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出实力考查的新奇问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小，求解此类问题，要求学生有临场阅读，提取信息和进行信息加工、处理的实力，敏捷运用基础学问的实力和分析问题、解决问题的综合实力．“新定义”问题新定义问题是指在特定情景下，用新的数学符号或文字叙述对探讨的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的学问解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学学问，将问题向熟识的、已驾驭的学问进行转化．[典型例题](1)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对随意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个(2)设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋eq\f(5,2)在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0] B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【解析】(1)法一：不妨设a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满意对随意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．法二：设a1，a2，a3，…，ak中0的个数为t，则1的个数为k－t，由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t≤k≤2t,k≤8,t≤4,k，t∈N)).当t＝1时，k＝1，2，当t＝2时，k＝2，3，4，当t＝3时，k＝3，4，5，6，当t＝4时，k＝4，5，6，7，8，所以“规范01数列”共有2＋3＋4＋5＝14(个)．法三：前同法二．问题即是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t≤k≤2t,k≤8,t≤4,k，t∈N))表示的区域内的整点(格点)的个数，如图整点(格点)为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范01数列”共有14个．(2)方程ax2－3x－a＋eq\f(5,2)＝－x在区间[1，4]上有解，明显x≠1，所以方程ax2－3x－a＋eq\f(5,2)＝－x在区间(1，4]上有解，即求函数a＝eq\f(2x－\f(5,2),x2－1)在区间(1，4]上的值域，令t＝4x－5，则t∈(－1，11]，a＝eq\f(8t,t2＋10t＋9)，当t∈(－1，0]时，a≤0；当t∈(0，11]时，0<a＝eq\f(8,t＋10＋\f(9,t))≤eq\f(8,2\r(t×\f(9,t))＋10)＝eq\f(1,2)，当且仅当x＝3时取等号．综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，故选C.【答案】(1)C(2)C[对点训练]1．定义“上升数”是一个数中右边的数字比左边的数字大的自然数(如123，568，2479等)，任取一个两位数，这个两位数为“上升数”的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析：选B.两位数10，11，12，…，99共90个，其中十位数为1的“上升数”为12，13，…，19共8个，十位数为2的“上升数”为23，24，…，29共7个，…十位数为8的“上升数”为89，只有1个，则全部两位数中的“上升数”共8＋7＋6＋…＋1＝eq\f(8（8＋1）,2)＝36个，则两位数为“上升数”的概率P＝eq\f(36,90)＝eq\f(2,5)，选B.2．(经典考题)定义“函数y＝f(x)是D上的a级类周期函数”如下：函数y＝f(x)，x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的随意实数x都有af(x)＝f(x＋T)恒成立，此时T为f(x)的周期．若y＝f(x)是[1，＋∞)上的a级类周期函数，且T＝1，当x∈[1，2)时，f(x)＝2x(2x＋1)，且y＝f(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，＋∞)) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞)) D．[10，＋∞)解析：选C.因为x∈[1，2)时，f(x)＝2x(2x＋1)，所以当x∈[2，3)时，f(x)＝af(x－1)＝a·2x－1(2x－1)，当x∈[n，n＋1)时，f(x)＝af(x－1)＝a2f(x－2)＝…＝an－1f(x－n＋1)＝an－1·2x－n＋1(2x－2n＋3)，即x∈[n，n＋1)时，f(x)＝an－1·2x－n＋1(2x－2n＋3)，n∈N*，同理，当x∈[n－1，n)时，f(x)＝an－2·2x－n＋2(2x－2n＋5)，n∈N*.因为f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以a>0且an－1·2n－n＋1(2n－2n＋3)≥an－2·2n－n＋2·(2n－2n＋5)，解得a≥eq\f(10,3).故选C.3．(经典考题)设S为实数集R的非空子集，若对随意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋beq\r(3)|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则肯定有0∈S；③封闭集肯定是无限集；④若S为封闭集，则满意S⊆T⊆R的随意集合T也是封闭集．其中的真命题是__________．(写出全部真命题的序号)解析：对于整数a1，b1，a2，b2，有a1＋b1eq\r(3)＋a2＋b2eq\r(3)＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)eq\r(3)∈S，a1＋b1eq\r(3)－(a2＋b2eq\r(3))＝(a1－a2)＋(b1－b2)eq\r(3)∈S，(a1＋b1eq\r(3))·(a2＋b2eq\r(3))＝(a1a2＋3b1b2)＋(a1b2＋a2b1)eq\r(3)∈S，所以①正确．若S为封闭集，且存在元素x∈S，那么必有x－x＝0∈S，即肯定有0∈S，所以②正确．当S＝{0}时，S为封闭集，所以③错误．取S＝{0}，T＝{0，1，2，3}时，明显2×3＝6∉T，所以④错误．答案：①②“新运算”问题新运算问题是在原有运算的基础上定义了一种新运算，在精确把握信息本质的基础上，将这种新运算转化为早已熟识的运算，从而进一步运用已有的学问去分析、解决问题．[典型例题](经典考题)当x≠1且x≠0时，数列{nxn－1}的前n项和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxx－1(n∈N*)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x＋x2＋x3＋…＋xn(n∈N*)按等比数列的求和公式，先求得x＋x2＋x3＋…＋xn＝eq\f(x－xn＋1,1－x)，两边都是关于x的函数，两边同时求导，(x＋x2＋x3＋…＋xn)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－xn＋1,1－x)))′，从而得到Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝eq\f(1－（n＋1）xn＋nxn＋1,（1－x）2)，根据同样的方法，请从二项绽开式(1＋x)n＝1＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn动身，可以求得，Sn＝1×2×Ceq\o\al(1,n)＋2×3×Ceq\o\al(2,n)＋3×4×Ceq\o\al(3,n)＋…＋n(n＋1)×Ceq\o\al(n,n)(n≥4)的值为________．(请填写最简结果)．【解析】依题意，对(1＋x)n＝1＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋Ceq\o\al(3,n)x3＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn两边同时求导，得n(1＋x)n－1＝Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)x＋3Ceq\o\al(3,n)x2＋…＋nCeq\o\al(n,n)xn－1，①取x＝1，得Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋3Ceq\o\al(3,n)＋…＋nCeq\o\al(n,n)＝n×2n－1，②②×2得，2Ceq\o\al(1,n)＋2×2Ceq\o\al(2,n)＋2×3Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝n×2n，③再对①式两边同时求导，得n(n－1)(1＋x)n－2＝1×2Ceq\o\al(2,n)＋2×3Ceq\o\al(3,n)x＋…＋n(n－1)Ceq\o\al(n,n)xn－2，取x＝1，得1×2Ceq\o\al(2,n)＋2×3Ceq\o\al(3,n)＋…＋n(n－1)Ceq\o\al(n,n)＝n(n－1)×2n－2，④③＋④得1×2Ceq\o\al(1,n)＋2×3Ceq\o\al(2,n)＋3×4Ceq\o\al(2,n)＋…＋n(n＋1)Ceq\o\al(n,n)＝n×2n＋n(n－1)×2n－2＝n(n＋3)×2n－2.【答案】n(n＋3)×2n－2[对点训练]1．(经典考题)定义平面对量之间的一种运算“⊙”如下：对随意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对随意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2解析：选B.若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．2．(经典考题)设数列{an}的前n项和为Sn.若对随意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值．解：(1)证明：由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是对随意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H数列”．(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因为{an}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2＝am，即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.因为d<0，所以m－2<0，故m＝1.从而d＝－1.当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝eq\f(n（3－n）,2)是小于2的整数，n∈N*.于是对随意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－eq\f(n（3－n）,2)，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”．因此d的值为－1.二古代算术与现代高考我国是有着五千年文明的古国，具有丰富的文化基础，在数学领域里具有深厚的数学渊源，其中《九章算术》中的一些理论推动着当今科学和数学的发展，随着我国经济建设蓬勃发展，现今部分高考数学试题也在古代算术的基础上，结合现代高考元素应运而生，这些试题是古代算术与现代高考结合的经典范例，是传统文化与现代科学的有机融合．[典型例题](1)(2024·高考浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)z＝100，))当z＝81时，x＝______，y＝______．(2)(经典考题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到随意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________．【解析】(1)因为z＝81，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝19，,5x＋3y＝73，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝11.))(2)如图，单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成，所以，正六边形的面积S6＝6×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).【答案】(1)811(2)eq\f(3\r(3),2)[对点训练]1．(名师原创)《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量改变匀称(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为()A.eq\f(7,2) B.eq\f(37,33)C.eq\f(67,66) D.eq\f(10,11)解析：选C.设从最下节往上的容量构成等差数列{an}， 公差为d.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝4,a9＋a8＋a7＋a6＝3))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝4,4a1＋26d＝3))，解得a1＝eq\f(95,66)，d＝－eq\f(7,66).中间为第五节，即a5＝a1＋4d＝eq\f(95,66)＋4×(－eq\f(7,66))＝eq\f(67,66).故选C.2．(名师原创)《九章算术》是我国古代闻名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin22.5°≈eq\f(5,13))A．600立方寸 B．610立方寸C．620立方寸 D．633立方寸解析：选D.连接OA、OB，OD，设⊙Ο的半径为R，则(R－1)2＋52＝R2，所以R＝13.sin∠AOD＝eq\f(AD,AO)＝eq\f(5,13).所以∠AOD＝22.5°，即∠AOB＝45°.所以S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝eq\f(45π×132,360)－eq\f(1,2)×10×12≈6.33平方寸．所以该木材镶嵌在墙中的体积为V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.3．(名师原创)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为________．解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·(eq\f(1,2))2x＝12.6，解得x＝1.6.答案：1.6三学科间的渗透数学是自然科学的皇后，这是德国大数学家高斯提出的，说明白数学与自然科学的关系非常亲密，数学学问常常渗透到各学科领域，彰显出数学学科应用于人们生活生产中的宏大魅力．[典型例题]放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断削减，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满意函数关系：M(t)＝M02－eq\f(t,30)，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的改变率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝()A．5太贝克 B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克 D．150太贝克【解析】因为M′(t)＝－eq\f(1,30)ln2×M02－eq\f(t,30)，所以M′(30)＝－eq\f(1,30)ln2×M02－eq\f(30,30)＝－10ln2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－eq\f(t,30)，所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×2－eq\f(60,30)＝600×eq\f(1,4)＝150(太贝克)，故选D.【答案】D[对点训练]1．(名师原创)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发觉的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由四种不同的碱基A，C