2025年高考数学一轮复习讲义：随机事件与概率

第三节随机事件与概率

课标解读考向预测

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解近几年的高考以考查随机事件的频

概率的意义以及频率与概率的区别.率与概率、古典概型为主，其中古

2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与典概型常与排列组合知识交汇考

样本点的关系.查.预计2025年高考以上题型均可

3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会求随机事件能出现，其中随机事件的频率与概

的并、交运算.率的题目以解答题的形式出现，互

4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的斥事件、对立事件的概念及古典概

概率加法公式.型以选择题、填空题的形式出现，

5.理解古典概型及其概率计算公式.难度中档.

必备知识——强基础

知识梳理

1.样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验£的每个可能的基本结果称为样本点,常用。表示.

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用a表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有〃个可能结果例，02,…，。“，则称样本空间0={01,

0)2，…,①〃}为有限样本空间.

(2)随机事件

①定义：将样本空间O的应］子集称为随机事件,简称事件.

②表示：大写字母/,B,C,....

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.

2.事件的运算

定义表示法图示

事件/与事件3至少有一个发生，

并事件

称这个事件为事件A与事件B的

并事件(或和事件)（或/+8）

事件/与事件3同时发生，称这

同.08

交事件样一个事件为事件A与事件B的

（或AB）

交事件(或积事件)

3.事件的关系

定义表示法图示

若事件/发生，事件8同一定

配回1

包含关系发生,称事件3包含事件N(或事

（或AUB）

件/包含于事件8)

如果事件A与事件B质］不能同

若4ng=0,则力与g

互斥事件时发生,称事件/与事件2互斥(@c|)

互斥

(或互不相容)

如果事件A和事件B在任何一次

试验中国有且仅有一个发生,

若4n5=0,且4U5

对立事件CD

称事件/与事件3互为对立，事=0,则4与5对立

件/的对立事件记为/

4.概率与频率

⑴频率的稳定性

一般地，随着试验次数”的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件/发生的频率方(4)

会逐渐稳定于事件/发生的概率尸(N).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

(2)频率稳定性的作用

可以用圆频率版/)来估计概率闻P⑷.

5.概率的性质

性质1：对任意的事件/,都有P(/)20；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(0=1,尸(0)=0；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么尸U2)=1尸(4)+尸(2)；

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P⑻=1-PQ4),P(A)=迈1一尸⑶;

性质5:如果那么P(/)WP(3),由该性质可得，对于任意事件/,因为0U/U。，所以

0(尸⑷W1；

性质6：设/,2是一个随机试验中的两个事件，有尸〃U3)=Ep(/)+PC8)—P(/nB).

6.古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

⑴有限性：样本空间的样本点只有同有限个.

(2)等可能性：每个样本点发牛的可能性同相等.

7.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间a包含〃个样本点，事件/包含其中的左个样本点,

则定义事件A的概率P(A)=血会=2~.

nn(0)

其中，〃(⑷和或0分别表示事件/和样本空间0包含的样本点个数.

常用电论

1.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(/lU/2

U...UAn)=P(A1)-hP(A2)+...~hP(An)■

2.当随机事件/,2互斥时，不一定对立；当随机事件n,3对立时，一定互斥.也即两事

件互斥是对立的必要不充分条件.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“3,错误的打“x”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

(2)若事件/和2是互斥事件，则/ng是不可能事件.()

(3)从装有3个大球、1个小球的袋中取出一球的试验是古典概型.()

(4)若NU8是必然事件，则事件/与3是对立事件.()

(5)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果是等可能事件.()

答案(l)x(2)d(3)x(4)x(5)x

2.小题热身

(1)(人教A必修第二册习题10.1T14改编)从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小

于160cm的概率为0.2,该同学的身高在［160,175］（单位：cm）内的概率为0.5,那么该同学

的身高超过175cm的概率为（）

A.0.2B.0.3

C.0.7D.0.8

答案B

解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在［160,175］（单位：cm）内

的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为1,故所求概率为1—0.2—0.5=03

（2）一个射手进行射击，记事件/尸“脱靶”，也=“中靶”，在="中靶环数大于4”.则在上述

事件中，互斥而不对立的事件是（）

A.4与也B.〃与小

C.在与小D.以上都不对

答案B

解析射手进行射击时，事件/尸''脱靶"，出一'中靶"，出="中靶环数大于4”，事件为与

也不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件出与4互斥且对立，A不正确；事件4与

出不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件小与在互斥不对立，B正确；事件在与出

可以同时发生，即事件4与4不互斥不对立，C不正确，显然D不正确.

（3）把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为

（）

A.一B.1

6

C.-D.-

23

答案C

解析根据题意，语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，有A才=24种不同的

排法,若语文书和英语书不相邻，其排法有A3Ag=12种，则语文书和英语书不相邻的概率P

12,1

242

考点探究——提素养

考点一随机事件（多考向探究）

考向1随机事件的关系及运算

例1（1）（2024•广东梅州中学月考）“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，

分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研

究，记事件/为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件3为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至

多研究一个黑匣子”，事件。为“两个黑匣子都研究”.贝1（）

A./与C是互斥事件

B.3与。是对立事件

C.3与C是对立事件

D.C与。是互斥事件

答案D

解析事件/为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件8为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾

驶舱语音记录器''或"研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录

器”；事件C为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录

器”，或“两个黑匣子都不研究“；事件。为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器

和研究飞行数据记录器对于A,事件/与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B,

事件8与事件。不是对立事件，故B不正确；对于C,事件8与事件C不是对立事件，故C

不正确；对于D,事件C和事件。不能同时发生，故C与。是互斥事件，故D正确.故选

D.

（2）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：G="点数为产，其中，=1,2,3,4,

5,6；人="点数不大于2"，。2="点数不小于2"，。3="点数大于5"；£="点数为奇数”；F

="点数为偶数下列结论正确的是（）

A.G与C2对立B.人与功不互斥

C.£>3£FD.£?（。由。2）

答案BC

解析对于A,G="点数为1”，C2="点数为2”，G与C2互斥但不对立，故A不正确；对

于B,。尸“点数不大于2”，功="点数不小于2”，当出现的点数是2时,A与。2同时发生,

所以Di与不互斥，故B正确；对于C,。3=”点数大于5”表示出现6点，尸="点数为偶

数”，所以A发生时尸一定发生，所以。3=尸，故c正确；对于D,。由6表示两个事件同

时发生，即出现2点，£="点数为奇数”，所以。由。2发生，事件E不发生，所以£?（。由。2）

不正确，故D不正确.

【通性通法】

事件关系判断的策略

一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，

若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互

判断事件的互斥、对

斥事件.反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发

立关系

生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不

发生，即有且仅有一个发生

一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现

判断事件的交、并关

的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合

系

的关系和运用Venn图分析事件

【巩固迁移】

1.在一次随机试验中，彼此互斥的事件4B,C,。发生的概率分别是0.2,0,2,0.3,0.3,

则下列说法正确的是（）

A.4U3与C是互斥事件，也是对立事件

B.8UC与。是互斥事件，也是对立事件

C.NUC与3UD是互斥事件，但不是对立事件

D./与8UCU。是互斥事件，也是对立事件

答案D

解析对于A,NU3与C是互斥事件，但不对立，因为P（NU3）+2（。=0.7力，故A错误;

对于B,2UC与。是互斥事件，但不对立，因为尸（BUO+CD^O.^l,故B错误；对于

C,NUC与是互斥事件，也是对立事件，因为尸（/UO+RBUZOul,故c错误；对

于D,/与8UCU。是互斥事件，也是对立事件，因为P（⑷+尸（8UCUD）=1,故D正确.

考向2随机事件的频率与概率

例2某险种的基本保费为0（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年

度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度

01234三5

出险次数

保费0.85。a1.25。1.5a1.75〃2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:

出险次数01234N5

频数605030302010

(1)记/为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(/)的估计值；

(2)记3为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求尸(8)

的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

解(1)事件/发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的

频率为竺士^=0.55,故尸(/)的估计值为0.55.

200

(2)事件8发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于

1且小于4的频率为女’=0.3,故尸(2)的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

保费0.85。a1.25。1.5。L75Q2a

频率0.300.250.150.150.100.05

调查的200名续保人的平均保费为0.85“0.30+"0.25+1.25"0.15+1.5"0.15+1.75"0.10

+2ax0.05=l.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.

【通性通法】

频率与概率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，

区别通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概

率的估计值

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐

联系

步趋近于某一个常数，这个常数就是概率

【巩固迁移】

2.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于

或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为/配方和2配方)做试验，各生产了

100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数82042228

3配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数412423210

(1)分别估计用/配方、3配方生产的产品的优质品率；

⑵已知用8配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值/的关系为y=

-2,十94,

,2,94Wf<102,估计用8配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用8配方生产的上

4,/2102,

述100件产品中每件产品的平均利润.

解(1)由试验结果知，用/配方生产的产品中优质品的频率为卫9=0.3,所以用/配方生

100

产的产品中优质品率的估计值为0.3.

由试验结果知，用8配方生产的产品中优质品的频率为"士型=0.42,所以用8配方生产的

100

产品中优质品率的估计值为0.42.

⑵由条件知，用8配方生产的一件产品的利润大于0,当且仅当其质量指标值/N94,由试

验结果知，质量指标值t294的频率为坦匕=0.96,

100

所以用2配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96.

用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为+x[4x(—2)+54x2+42x4]=2.68元.

考点二互斥事件与对立事件的概率

例3(1)人类通常有O,A,B,AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是

有严格规定的.设X代表O,A,B,AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血

者，则输血规则如下：①X—X；②O—X；③X—AB.已知我国O,A,B,AB四种血型的人

数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,在临床上，按照上述规则，若受血者为A型血，

则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为()

A.0.31B.0.48

C.0.65D.0.69

答案D

解析若受血者为A型血，则0型血和A型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能

为这位受血者正确输血的概率为0.41+0.28=0.69.

⑵某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33名成员，

一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2

个小组的概率为________，他至多参加2个小组的概率为.

口木515

解析记“恰好参加2个小组”为事件/,“恰好参加3个小组”为事件瓦随机选取一名成员，

恰好参加2个小组的概率尸(/)=n+工+”=工，恰好参加3个小组的概率

606060156015

7?

则至少参加2个小组的概率为尸⑷+P(5)=至多参加2个小组的概率为

।213

=1——=一.

1515

【通性通法】

求互斥事件概率的一般方法

将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的

直接法

求和公式计算

先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(/)=l—P(N)求出所求概率，特

间接法

别是“至多,，”至少,，型题目，用间接法比较简便

【巩固迁移】

3.已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取

出红球为事件取出黑球为事件3,随机事件C与3对立.若尸(/U2)=0.5,则尸(C)=

A.0.3B.0.6

C.0.7D.0.8

答案c

解析由题意可知，P(/)=彳=0.2.因为/与8互斥且尸(/口2)=0.5,所以尸(3)=0.3.又因为

随机事件。与3对立，所以尸(0=1—0.3=0.7.

4.若随机事件N,3互斥，A,3发生的概率均不等于0,且尸(/)=2—a,P(B)=4a—5,则

实数a的取值范围为.

[5g

答案【4,3」

0<P(4)<1,

解析由题意可知.0<尸(B)<1,

PCA)+P(B)W1,

fl<a<2,

即,0<4°—5<1,即解得.故实数”的取值范围为

3(2—3W1，

考点三古典概型

例4(1)(2024・南通质检)我国数学家张益唐在“挛生素数”研究方面取得突破，享生素数也称

为挛生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选

取2个不同的数，恰好是一组学生素数的概率为()

答案D

解析大于3且不超过20的素数为5,7,11,13,17,19,共6个，随机选取2个不同的

数，分别为(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,

19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共15种选法，其中恰

好是一组挛生素数的有(5,7),(11,13),(17,19),共3种，故随机选取2个不同的数，恰

好是一组李生素数的概率为3=上

155

(2)已知a,6W{-2,—1,1.2},若向量/M=(a,b),〃=(1,1),则向量胆与“所成的角

为锐角的概率是()

答案B

解析向量，〃与”所成的角为锐角等价于mn>0,且wi与〃的方向不同，即Mr"=(a,Z>)(1,

1)=a+bX),且存6,则满足条件的向量加有(一1,2),(1,2),(2,-1),(2,1),共4种，

又的取法共有4x4=16种，则向量,"与〃所成的角为锐角的概率是4=上

164

(3)已知冽，〃£{1,2,3,4},且加沏，则方程工+丁=1表示焦点在工轴上的椭圆的概率是

mn

答案1

2

22

解析方程一+匕=1表不焦点在x轴上的椭圆,则别>〃>0,有(2,1),(3,1),(3,2),(4,

mn

1),(4,2),(4,3),共6种，在题设条件下，方程有A?=12种，所以所求概率为

【通性通法】

公式法求解古典概型问题的步骤

【巩固迁移】

5.将3名男生、1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至

少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是()

答案D

解析分配方案的总数为CZA§,恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有CgA芬中，则

恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是P=¥=L

6.(2022•全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

解析从正方体的8个顶点中任取4个，有"=Cg=70种取法，这4个点在同一个平面的有

根=6+6=12种取法，故所求概率尸=m=退=。.

n7035

7.已知函数y=N,集合/={-3,—2,—1,0,1,2,3},现从/中任意取出若干个元素

组成函数y=x2的定义域。，则函数＞=9的值域为{1,4}的概率为.

套案9

口127

解析易知集合/的非空子集有27—1=127个，即样本点的总数为127,记“函数y=V的值

域为{1,4}”为事件“。中含有2个元素且函数y=x2的值域为{1,4}”为事件Mi,“D中

含有3个元素且函数了=%2的值域为{1,4}“为事件欣，中含有4个元素且函数y=N的值

域为{1，4}”为事件跖，易知Mi+拔+跖=州，则Mi中含有的样本点为(一1,-2),(-1,

2),(1,-2),(1,2),共4个；跖中含有的样本点为(一1,-2,1),(-1,-2,2),(-2,

1,2),(-1,1,2),共4个；祐中含有的样本点为(-2,—1,1,2),只有1个.所以尸(V)

4419

=P(M1+M2+M3)=JP(M1)+JP(M2)+P(M3)=—+—+—=i|7.

考点四古典概型与统计的交汇问题

例5为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模

的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药

品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统

计数据如表:

疲乏症状

新药合计

无疲乏症状有疲乏症状

未使用新药15025t

使用新药Xy100

合计225m275

(1)求2x2列联表中的数据x,乃相，1的值，根据小概率值a=0.05的独立性检验，能否判断

有无疲乏症状与是否使用该新药有关？

(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽出4

人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率.

2

皿cnQad-bc)

附：/2=--------------------------------------------n=a~\~b~\~c~\~d.

(Q+6)(c+d)(Q+C)(6+d)

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解(1)由数表知，％=225—150=75,7=100-75=25,冽=275—225=50,150+25=175,

所以x=75,y=25,加=50,t=\75,

零假设为Ho：有无疲乏症状与是否使用该新药无关.

根据列联表中的数据，经计算得到*2=275X(150x25-25x75)2=*4.9H>3.841=x0.05.

175x100x225x5056

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断M不成立，即认为有无疲乏症状与是否使用

该新药有关.

⑵从使用新药的100人中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人的抽样比为工=工，

10025

则抽取有疲乏症状的人数为工x25=l,无疲乏症状的人数为3,

25

记“这2人中恰有1人有疲乏症状”为事件于是尸(〃)=T=所以这2人中恰有1人

C42

有疲乏症状的概率是1

2

【通性通法】

有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无

论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是

解题的关键.复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.

【巩固迁移】

8.为了调查国企员工对现行个税法的满意程度，研究人员在某地各个国企中随机抽取了1000

名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a=46.

(1)求0,6的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数)

(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从[50,60),[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中

随机抽取2人，求至少有1人的分数在［50,60)的概率.

解(1)依题意，得(。+6+0.008+0.027+0.035/10=1,所以。+6=0.03,

又a=46,所以。=0.024,6=0.006,

所以中位数为70H-----------------------75.14.

0.035

⑵依题意，知分数在［50,60)的员工抽取了2人，记为a,b,分数在［60,70)的员工抽取了6

人，记为1,2,3,4,5,6,

所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况有(a,6),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,

5),(a,6),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(b,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,

5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,

6),共28种,

其中满足条件的有(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(a,6),(b,1),(b,2),

(b,3),(b,4),(b,5),(b,6),共13种,

设“至少有1人的分数在［50,60)”为事件/,贝I尸⑷谭

课时作业

A级基础巩固练

一、单项选择题

1.抛掷一枚骰子，记“向上的点数是1或2”为事件4“向上的点数是2或3”为事件3,则

()

A.A^B

B.A=B

C.NU8表示向上的点数是1或2或3

D.NnB表示向上的点数是1或2或3

答案C

解析由题意，可知4={1,2},B={2,3},贝|]/08={2},A^B={\,2,3},所以NUB

表示向上的点数为1或2或3.故选C.

2.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中随机不放回地摸球两次，每

次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为2,“两个球都是白球”的概率为1,贝！]“两

153

个球颜色不同”的概率为（）

答案c

解析设“两个球都是红球''为事件/,“两个球都是白球”为事件2,“两个球颜色不同”为事件

C,则P(/)=j,尸(2)=”且。=/口2.因为aB,C两两互斥，所以P(0=1—P(C)=1

91Q

一尸(/U8)=l—[P(/)+尸(孙=1一1一了..故选C.

3.(2023•广东东莞模拟)在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率

是()

答案B

解析不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17,随机选取两个不同的数有C彳=21种，

和等于16的有3+13=16,5+11=16,共2种，所以和等于16的概率是

21

4.《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书，与《孙子兵

法》合称我国古代兵法谋略学的双璧，三十六计共分胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并

战计、败战计六套，每一套都包含六计，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计

策，则这2个计策都来自同一套的概率为()

答案C

解析从这36个计策中任取2个计策，基本事件总数〃=。6=630,这2个计策都来自同一

套包含的基本事件的个数机=6逐=90,则这2个计策都来自同一套的概率为尸=%=型=1.

n6307

故选C.

5.设条件甲：事件N与事件8是对立事件，结论乙：概率满足尸(N)+P(B)=1,则甲是乙的

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若事件/与事件8是对立事件，则NU3为必然事件，再由概率的加法公式得尸(/)+

尸(2)=1.但尸(4)+「(3)=1,A,2不一定是对立事件，如投掷一枚硬币3次，事件/="至少

出现一次正面“，事件8=“出现3次正面”，则尸(4)=',P(B)=\满足尸⑷+尸(3)=1,但4,

88

3不是对立事件.故甲是乙的充分不必要条件.

6.(2024•海南华侨中学模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验

舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人,

问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲、乙两人安排在不同舱内的概率为()

答案B

解析从甲、乙、丙、丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，

则有CZA3=6x2=12种可能，要使得甲、乙在同一个舱内，由题意，甲、乙只能同时在天和

核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有A3=2种可能.所以甲、乙两人安

排在同一个舱内的概率P=2=1则甲、乙两人安排在不同舱内的概率P=I--=-

12666

7.已知q£{0,1,2),6£{—1,1,3,5},则函数外)="2—2队在区间(1,+切)上为增

函数的概率是()

答案A

解析因为。£{0,1,2},—1,1,3,5},所以样本点总数〃=3x4=12.函数外)=办2

—2乐在区间(1,+oo)上为增函数，①当〃=0时，{x)=—2反，符合条件的只有(0,-1),

即0=0,6=—1；②当好0时，需要满足符合条件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),

a

(2,1),共4种.所以函数人x)=ox2—2bx在区间(1,+oo)上为增函数的概率是

8.(2024•“西南汇”联考)已知某校高三年级共1400人,按照顺序从1到1400编学号.为了如

实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有2个黑球和

3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问

题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现

在高三年级1400人全部参与调查，经统计，有972人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高

三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为()

A.8B.20

C.148D.247

答案B

解析根据题意，回答问题一的学生约有1400x；=840人，回答问题二的学生约有1400x1=

560人,840人中约有420人回答“否”，则560人中约有972—420=552人回答“否”,8人回

答“是”，则问题二回答“是''的人数约占工，该校高三年级“带智能手机进入校园''的人数约为

70

1400x-=20.

70

二、多项选择题

9.包含甲、乙的若干人站成一排，其中不是互斥事件的是()

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“甲站排头”与“乙不站排尾”

C.“甲站排头”与“乙站排尾”

D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”

答案BCD

解析排头只能有一人，因此“甲站排头''与"乙站排头”互斥，而B,C,D中，甲、乙站位不

一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.故选BCD.

10.小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概

率分布如下表所示：

所需时间(分钟)30405060

线路一0.50.20.20.1

线路二0.30.50.10.1

则下列说法正确的是()

A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件

B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一

D.若小张上下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

答案BD

解析“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，故A错误；线

路一所需的平均时间为30x0.5+40x0.2+50x0.2+60x0.1=39分钟，线路二所需的平均时间

为30x0.3+40x0.5+50x0.1+60x0.1=40分钟，故B正确；线路一所需时间小于45分钟的概

率为0.7,线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8,小张应选线路二，故C错误；所需时

间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情

况，概率为0.2x0.1+0.1x0.1+0.1x0.1=0.04,故D正确.故选BD.

三、填空题

11.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件/表示“小于5的偶数点出现”，事件8表示

“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件/U万发生的概率为.

答案~

3

解析抛掷一枚骰子的试验有6种等可能的结果，依题意知尸⑷=/=:,尸(8)=：=:所以

6363

P(5)=l—尸(8)=1—因为5表示“出现5点或6点”的事件，所以事件4与5互斥，从

而尸(/U—2)=P—(/)+1P(13)2=；+；=；.

12.北斗七星自古是我国人民辨别方向、判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、

天矶、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随

机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为

天枢

玉衡天权

开阳

摇光天璇

天矶

答案］

解析因为玉衡和天权都没有被选中的概率为9=3=电，所以玉衡和天权至少一颗被选中

C?21

的概率为一"

13.(2024・湖南名校联考)某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣

拓展活动.现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、足球、羽毛球、网球五项活动，由于

受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一

活动的概率为.

套案72

口125

解析根据题意，每个人有5种选择，四人共54种选法，其中恰有两人参加同一种活动，有

C2QA彳种选法，故四人中恰有两人参加同一种活动的概率为宜誉=卫.

14.(2023•石家庄二中模拟)数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三

位数.水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间(150,160)内，我们姑且称它为“水仙四妹”,

则从集合{147,152,154,157,“水仙四妹”}的5个元素中任意取3个整数，则这3个整数

中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是.

答案:

2

解析设“水仙四妹”为150+x且04<10,xez,依题意，知F+53+X3=150+X,即有(工一

l)x(x+1)=24,可得x=3,即“水仙四妹”为153,所以集合为{147,152,153,154,157},

从该集合中任取3个元素，该试验的样本空间a={(147,152,153),(147,152,154),(147,

152,157),(147,153,154),(147,153,157),(147,154,157),(152,153,154),(152,

153,157),(152,154,157),(153,154,157)},共有10个样本点.记事件/表示“取出的

3个整数中含有153,且其余两个整数至少有一个比153小”，则事件/包含的样本点有(147,

152,153),(147,153,154),(147,153,157),(152,153,154),(152,153,157),共5

个，故尸(N)=*=l.

102

四、解答题

15.某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如下表:

质量指标值mm<185185^m<205加2205

等级三等品二等品一等品

从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分