2024-2025学年陕西省西安市高新区九年级上期末数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年陕西省西安市高新区九年级上期末数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）

1.（3分）“横看成岭侧成峰”出自北宋苏轼的《题西林壁》.这句诗词说明用不同角度观察同一事物可能

会有不同的结论.某物体如图所示，它的俯视图是（）

a3

2.（3分）已知线段a,b,c,d满足工=三，则下列比例式不一定正确的是（）

b4

b4a+b7a—12a+3a

A.-=-B.-----=-C.-----=-D.-------=一

a3b4b-13b+4b

3.（3分）若（冽-3），加M-X-5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）

A.1B.3C.-1D.±V3

4.（3分）春节期间，小澎陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下/处沿坡前行，到达C处时，发现C处标

语牌上写着“恭喜你已上升50米”，若此山坡的坡度i=l：2.4,爱思考的小澎很快告诉妈妈：“我们至

A.50B.120C.130D.170

5.（3分）如图，在正方形A8CD中，。为对角线/C、AD的交点，E、尸分别为边BC、CD上一点，且

OELOF,连接若/4OE=150°,DF=V2,则£尸的长为（）

第1页（共28页）

A.2B.2+V2C.2V2D.V2+1

6.（3分）已知△NBC,NC=90°,4c=3cm,4B=5cm,点P从点C出发以lcm/s沿CB-R4运动,时

间/为何值时，以点/、P、C为顶点的三角形与△A8C相似（）

7.（3分）如图，四边形48co内接于。。，AB是。。的直径，连接C。交。。于点E,若/£=25°,则

C.110°D.115°

8.（3分）已知二次函数y=a/+6x+c（aWO）与x轴的一个交点为（4,0）,其对称轴为直线x=l,其部

分图象如图所示，有下列5个结论：①abcVO；②晶-4ac<0；③8a+c=0；④若关于x的方程af+bx+c

=-1有两个实数根xix2,且满足xi<x2，则xi<-2,m>4；⑤直线"WO）经过点（0,

c）,则关于x的不等式办2+（b-k）x+c+#>0的解集是0<x<4.其中正确结论的个数为（）

第2页（共28页）

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.（3分）如果点/（2,a）,B（3,b）在二次函数y=/-3x的图象上，那么a6（填“

或“=

10.（3分）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也蕴含着“黄金分割”.如图，8为/C的黄金

分割点（AB>BC）,若/C=20c〃z,则的长为cm.（结果保留根号）

11.（3分）如图，已知s讥a=得，若点/（3,m）是射线。/上的点，则加=.

12.（3分）如图，在平面直角坐标系xQy中，矩形CU8C的两边OC、CM分别在x轴、y轴的正半轴上,

反比例函数y=^（x>0）与相交于点。，与3C相交于点E,若BE=4EC,且△ODE的面积是9,

则k的值为.

第3页（共28页）

//C8=90°,AC=BC=],动点M、N在斜边N3上，ZMCN=45°,

求MM的最小值

三、解答题（共13小题，计81分）

14.（5分）计算：V4-cos30°-|1-V3|+(-

15.（5分）计篁・，讥245。।4cos60°

IT舁.sin4b+tan6,0o_r

16.（5分）解方程:x(x-5)=2x-10.

17.（5分）如图，在平面直角坐标系中，△0/8的顶点坐标分别为。（0,0）,A（2,1）,B（1,-2）.

(1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧按2：1放大，画出△0/8的一个位似△CULBI；

(2)画出将△0/2向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的△OM232；

(3)△。4囱与△。》282是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心并写出点河的坐标.

18.（5分）如图，四边形/BCD是矩形,点尸在线段出的延长线上，点£在线段的延长线上，CF

DE.求证：AF=BE.

第4页（共28页）

19.（5分）随着人民群众对文化艺术需求的增长和西安城市建设进程的不断加快，越来越多的地标性建筑

也在西安诞生，这些文化地标不仅刷新了城市封面，也让西安这座城市更具年轻、时尚与活力.周末,

小欣和小颖想从/.国家版本馆西安分馆丛陕西考古博物馆C西安奥体中心。.西安曲江万人竞技

中心这四座地标性建筑中选择两座进行参观,她们不知道如何选择，于是制作了如图所示的四张卡片（卡

片正面分别是这四座地标性建筑的照片，卡片背面完全相同），将卡片背面朝上洗匀后，小欣从中随机

抽取一张，不放回，小颖再从剩下的三张中随机抽取一张,他们两人抽取的两张卡片正面是哪两座建筑

的照片，就去参观哪两座建筑.

（1）小欣抽取的卡片正面是C.西安奥体中心的概率是

（2）请用列表法或画树状图的方法求小欣和小颖最终去参观8.陕西考古博物馆、C.西安奥体中心这

两座建筑的概率.

20.（5分）某校社会实践小组为测量大雁塔的高度，如图，在地面上点C处垂直于地面竖立了高度为2

米的标杆CD,这时地面上的点£,标杆的顶端点D,大雁塔的塔尖点2正好在同一直线上，测得EC

=4米.将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点尸，标杆的顶端点大雁塔的塔尖点8正好在同

一直线上（点尸，G,E,C,/在同一直线上），这时测得尸G=6米，CG=60米.请你根据以上数据,

计算大雁塔的高度

21.（6分）已知关于x的一元二次方程x2-（m+5）x+3m+6=0.

第5页（共28页）

（1）求证：不论实数加取何值，方程总有实数根；

（2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求a的

值.

22.（7分）如图，2。是△43C的角平分线，过点。作。E〃8c交于点E,DF〃4B交BC于点、F.

（1）求证：四边形不为菱形；

（2）如果N/=90°,/C=30°,BD=6,求菱形3EDF的边长.

23.（7分）某种商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出40件.经市场调查发

现如下信息：

信息一：每降价1元，每星期可多卖出10件；

信息二：由于货源紧缺，每星期最多能卖90

件.

设每件商品的售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元.

（1）求y与x的函数解析式；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是多少？

24.（8分）如图，在RtZUBC中，NACB=90°,。为的中点，以CD为直径作OO,交边于点E,

过点£作垂足为点尸.

（1）求证：E尸为OO的切线；

（2）若/C=6,CD=5,求。尸的长.

25.（8分）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官.如图，某跳

水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知

跳板N3长为2米，跳板距离水面CD的高2C为3米，跳水曲线在离起跳点/水平距离1米时达到距

水面最大高度后米，现以。所在直线为x轴，C3所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

第6页（共28页）

(1)当仁4时，求这条抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，求运动员落水点与点C的距离；

(3)图中CE=?米，CF=6米，若跳水运动员在区域所内(含点E,F)入水时才能达到训练要求,

26.(10分)问题提出：

(1)如图1,在△480中，O4=OB=4,ZAOB=120a,。。半径为1,点尸是上的动点.则P

到AB的最小值为；

问题探究：

(2)如图2,在正方形N5CD中，找出所有的点P,使得/3PC=60°；

(3)问题解决：

如图3,有一个矩形水池N3C。，已知3C=30s,AB=20m.设计者想把水池分为四部分，分别是三角

形4EB,三角形CED,三角形BEC,三角形4EB.满足比tL/G,BF=2EF,点E在AGk,G为BC

上的任意一点.若三角形CED区域养鱼，其他区域养虾.已知养鱼每平方米1000元，养虾每平方米

800元.请问花费的最少费用是多少？

BGC

图3

第7页(共28页)

2024-2025学年陕西省西安市高新区九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）

1.（3分）“横看成岭侧成峰”出自北宋苏轼的《题西林壁》.这句诗词说明用不同角度观察同一事物可能

会有不同的结论.某物体如图所示，它的俯视图是（）

【解答】解：根据俯视图的定义可知,

它的俯视图是,

故选：C.

2.（3分）已知线段“，b,c,d满置=*则下列比例式不一定正确的是（

b4a+b7a-1_2a+3a

A.­=—B.-----=-C.

a3b4b-1~3b+4b

【解答】解一•线段，，6满置=*

b4a+ba37

3b=4a,-=一，一;一-+1=-

a3bb4+1=7,

故/、3正确;

-12

右b-1-3’

则3a-3=26-2,

•'.3a-26=1,

由已知无法得出，故C不一定正确;

止a+3a

b+4b

第8页（共28页）

则ab+3b=ab+4a,

♦・36=4。,

故。正确，

故选：C.

3.（3分）若（〃[-3）#「"-x-5=0是关于x的一元二次方程，则机的值为（）

A.1B.3C.-1D.±V3

【解答】解：由题意可知：（加一丁广/，

1租一3。0

解得：m=-1,

故选：C.

4.（3分）春节期间，小澎陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下/处沿坡前行，到达C处时，发现C处标

语牌上写着“恭喜你已上升50米”，若此山坡的坡度，=1：2.4,爱思考的小澎很快告诉妈妈：“我们至

少走坡路（）米了”.

A

A.50B.120C.130D.170

【解答】解：：山坡的坡度i=l：2.4,

：.BC：AB=1：2.4,

•.•BC=50米，

；.A8=120米，

由勾股定理得：AC=VXB2+BC2=V1202+502=130（米），

所以我们至少走坡路130米了，

故选：C.

5.（3分）如图，在正方形A8CD中，。为对角线/C、AD的交点，E、尸分别为边BC、CD上一点，且

OELOF,连接若/4OE=150°,DF=V2,则£尸的长为（）

第9页（共28页）

A.2B.2+V2C.2V2D.V2+1

【解答】解：在正方形/BCD中，4C和她为对角线，

AZAOB=ZBOC=90°,ZOBC=ZOCD=45°,OB=OC,

・.・N4O£=150°,

ZBOE=60°；

•：OELOF,

：.ZEOF=ZBOC=90°,

ZBOE=ZCOF=60°,

AABOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF,

•••△。跖是等腰直角三角形；

过点尸作尸G，。。，如图，

：.ZOGF=ZDGF=90°,

VZOZ)C=45O,

•••△OG方是等腰直角三角形,

・・・GF=DG="DF=1,

：.OF=2GF=2,

：.EF=V2OF=2V2.

故选：C.

第10页（共28页）

6.（3分）已知△NBC,ZC=90°,AC=3cm,4B=5cm,点、P从点、C出发以Icm/s沿CB-B4运动,时

间/为何值时，以点/、P、。为顶点的三角形与△NBC相似（）

9/69,36

C.清兄D.渭％

【解答】解：・.・/。=90°,AC=3cm.AB=5cm,

:・BC=y/AB2—AC2=4cm.

当△4C3s△尸C4时，

CPAC

则—=一,

ACBC

*_C_P__3

••—，

34

9

CP=4。加，

:点P从点c出发以每秒I个单位长度的速度运动,

於9

•*-t=-r=A（秒）；

±4

如图，当尸。时，

・A£

••二—二,

CP3

12

CP=~^~cm，

BP—y/BC2—CP2=-^-cm,

BP+BC=^-cm,

・・・点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度,

36

**•t=等=-g-（秒），

第11页（共28页）

936

综上所述，时间，为二秒或高秒时，以点/、P、。为顶点的三角形与AZBC相似.

故选：D.

7.（3分）如图，四边形45。。内接于。。，48是。。的直径，连接C。交。。于点E,若NE=25°,则

ZD的度数是（）

A

A.100°B.105°C.110°D.115°

【解答】解：・.・。8是。的直径，

：.ZCBE=9Q°,

AZBCE=90°-/E=90°-25°=65°,

•：OB=OC,

：.ZABC=ZBCE=65°,

・・•四边形45C。内接于。。，

/.ZZ）=180°-ZABC=115°.

故选：D.

8.（3分）已知二次函数（qWO）与％轴的一个交点为（4,0）,其对称轴为直线x=l,其部

分图象如图所示，有下列5个结论：@abc<0；②店-4tzc<0；③8Q+C=0；④若关于X的方程af+bx+c

=-1有两个实数根X1X2,且满足贝1」用<-2,X2>4；⑤直线>=京-4左（左WO）经过点（0,

°）,则关于x的不等式办2+（b-k）x+c+4左>0的解集是0VxV4.其中正确结论的个数为（）

D.2

【解答】解：由图象得：aVO,c>0,b=-2«>0,

第12页（共28页）

abc<0,故①是正确的；

1/抛物线与x轴有两个交点，

...0=ax2+6x+c有两个不相等的实数根，

：.b2-4ac>0,故②是错误的；

根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为：-2,4,

...当x=-2时，4a-2b+c—8a+c—Q,故③是正确的；

由图象得：抛物线与>=-1的交点的横坐标分别位于-2的左边，4的右边，

/.Xi<-2,X2>4；故④是正确的；

:直线y=fcv-4左（左片0）经过点（0,c）和（4,0）,

.,.于x的不等式ax?+（b-k）x+c+4左>0即：o^+bx+c>日-4后的解集是0<x<4,故⑤是正确的;

故选：B.

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.（3分）如果点/（2,a\B（3,b）在二次函数-3x的图象上，那么〉<6（填“

或“=

【解答】解：•.,点/（2,。）、B（3,b）在二次函数y=f-3x的图象上，

.,.a=x2-3x=22-3X2=-2；b=x2-3x=32-3X3=0；

:・ct〈b.

故答案为：<.

10.（3分）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也蕴含着“黄金分割”.如图，5为/C的黄金

分割点（AB>BC）,若/C=20c〃z,则的长为（30-10V5）cm.（结果保留根号）

第13页（共28页）

【解答】解：由题知,

因为2为/C的黄金分割点（AB>BC）,

〜ABV5-1

所以就=丁

又因为/C=20c%,

所以48=(10V5-10)cm,

所以8c=/C-/8=(30-10V5)cm.

故答案为：（30—10回.

11.（3分）如图，已知sina=暂，若点R（3,m）是射线。/上的点，则■=1.5

【解答】解:过尸作/C_Lx轴于C,

,：F(3,m),贝！|OC=3,CF

!~E

在RtZ\OFC中，s讥a=^=詈,

OF=V5m,

：.OF2=CF2+OC2,

第14页（共28页）

BP（V5m）2=m2+32,

・・・7=L5或-1.5（舍去）,

故答案为：1.5.

12.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形。45c的两边OC、分别在％轴、〉轴的正半轴上,

反比例函数y=/（x>0）与相交于点。，与相交于点E,若BE=4EC,且△ODE的面积是9,

则k的值为_

4

【解答】解：:四边形OCBA是矩形,

：.AB=OC,OA=BC,

设点B坐标为（a,b）,

■:BE=4EC,

1

（〃，qb）,

・・•点。、E在反比例函数图象上,

••a-qb=k,

■:SM）DE=S矩形0c切-S^AOD-S^OCE-S^BDE

12,

=25ab=9Q,

75

ab=

T

75_15

:・k=x

5彳二彳♦

故答案为：，

13.（3分）如图，RtZ\/8C中，ZACB=90°,AC=BC=\,动点M、N在斜边4s上，/MCN=45

求AW的最小值2-V2

第15页（共28页）

c

图①

•：/MCN=45：在NB上方以MN为斜边作等腰RtzXMCW,

以O”为半径作△CW的外接。。，连接。C、OM.ON,

取MM的中点为尸，48的中点为。，连接。P、CP、CQ,

设。的半径为r,

在Rt448C中，AC=BC=l,

在RtZXMON中，OM=ON=r,

；.CQ=孝，0P=%,MN^V2r.

'：OC+OP^CP^CQ,

：.r+^r^CP>孝.

如图②，

图②

当且仅当点C、0、尸共线，且CP与CQ重合时,

,姓V2

‘'+/=彳'

此时厂最小，

解得r=V2—1,

MN=V2r=2-V2,即7W的最小值为2-鱼，

第16页（共28页）

故答案为：2-四.

三、解答题(共13小题，计81分)

14.(5分)计算：V4-cos30°-|1-V3|+

【解答】解：V4.cos30°-|l-V3|+(-1)-2

=2x^-(V3-l)+4

=V3-V3+1+4

=5.

5(5分)计算：s讥245。+搬斗.

【解答】解：si/45。+广需;

LdYloU_1

V2,4x1

=(—)2H---2_

273-1

,1,2

-2+而

1

=2++1

=|■+V3.

16.(5分)解方程：x(x-5)=2x-10.

【解答】】解：X(x-5)=2x-10,

x(x-5)-2(x-5)=0,

(x-2)(x-5)=0,

.,.X-2=0或x-5=0,

解得：xi=2,X2=5.

17.(5分)如图，在平面直角坐标系中，/XCUB的顶点坐标分别为。(0,0),A(2,1),B(1,-2).

(I)以原点。为位似中心，在y轴的左侧按2：1放大，画出△。48的一个位似△CULSI；

(2)画出将△0/5向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的/2;

(3)△0481与△。442是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心并写出点M的坐标.

第17页(共28页)

(3)如图所示，△04/1与△OM2?2是位似图形，点M(2,-2)是位似中心.

18.(5分)如图，四边形/BCD是矩形，点尸在线段A4的延长线上，点E在线段的延长线上，CF

【解答】解：.四边形48CD是矩形,

：.AD=BC,ZCBF=ZDAE=90°,

在RtABCF和RtAADE中，

(BC=AD

(CF=DE'

第18页(共28页)

:.RtABCFgRtAADE(HL),

:.BF=AE,

：.BF-AB=AE-AB,

即AF=BE.

19.（5分）随着人民群众对文化艺术需求的增长和西安城市建设进程的不断加快，越来越多的地标性建筑

也在西安诞生，这些文化地标不仅刷新了城市封面，也让西安这座城市更具年轻、时尚与活力.周末，

小欣和小颖想从/.国家版本馆西安分馆丛陕西考古博物馆C西安奥体中心。.西安曲江万人竞技

中心这四座地标性建筑中选择两座进行参观,她们不知道如何选择，于是制作了如图所示的四张卡片（卡

片正面分别是这四座地标性建筑的照片，卡片背面完全相同），将卡片背面朝上洗匀后，小欣从中随机

抽取一张，不放回，小颖再从剩下的三张中随机抽取一张，他们两人抽取的两张卡片正面是哪两座建筑

的照片，就去参观哪两座建筑.

1

（1）小欣抽取的卡片正面是C西安奥体中心的概率是

（2）请用列表法或画树状图的方法求小欣和小颖最终去参观2.陕西考古博物馆、C.西安奥体中心这

两座建筑的概率.

【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小欣抽取的卡片正面是C.西安奥体中心的

结果有1种，

•.・小欣抽取的卡片正面是c.西安奥体中心的概率是:.

4

故答案为：7-

（2）列表如下：

ABcD

ACA,B)(4,C)(A,D)

BQB,A)(.B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(.D,A)(D,B)CD,C)

共有12种等可能的结果，其中小欣和小颖最终去参观8.陕西考古博物馆、C.西安奥体中心这两座建

第19页（共28页）

筑的结果有：（5,C）,（C,B）,共2种，

21

・・・小欣和小颖最终去参观反陕西考古博物馆、C.西安奥体中心这两座建筑的概率为不=：.

20.（5分）某校社会实践小组为测量大雁塔的高度，如图，在地面上点。处垂直于地面竖立了高度为2

米的标杆C。，这时地面上的点标杆的顶端点。，大雁塔的塔尖点5正好在同一直线上，测得EC

=4米.将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点尸，标杆的顶端点H大雁塔的塔尖点5正好在同

一直线上（点RG,E,C,Z在同一直线上），这时测得/G=6米，CG=60米.请你根据以上数据，

计算大雁塔的高度4反

【解答】解：由题意可得：DC//AB,

：.△EDCs^EBA,

.DCEC

・另一E?

,:GH〃AB,

：.AFHGs^FBA,

・GHFG

・・瓦一定

■:DC=HG,

.竺EC

"FA-EA9

.64

"66+CA-4+S'

：.CA=120（米），

..DCEC

・BA一EA'

■A_4

BA-4+120’

：.AB=62（米），

答：大雁塔的高度45为62米.

第20页（共28页）

21.（6分）己知关于x的一元二次方程x2-+5）x+3m+6=0.

（1）求证：不论实数加取何值，方程总有实数根；

（2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求加的

值.

【解答】解：（1）由题意可知：A=[-（m+5）]2-4（3m+6）—m2-2m+l—（m-1）2^0,

不论实数加取何值，即方程总有实数根；

（2）设方程的两个根为a,b,

则：a+b—m+5,ab=3m+6,

由题意可得：。2+庐=25,

（a+b）2-2ab=25,

：.（加+5）2-2（3加+6）=25,

解得：机=2或仅=-6,

当加=-6时，a+b=-6+5=-1<0,不合题意，舍去.

:.m=2.

22.（7分）如图，3。是△48C的角平分线，过点D作DE〃BC交4B于点E,DF〃AB交BC于点F.

（1）求证：四边形3助厂为菱形；

（2）如果NN=90°,ZC=30°,BD=6,求菱形BED尸的边长.

【解答】证明：（1）,.,DE//BC,DF//AB,

四边形BFDE是平行四边形，

,:BD是△43C的角平分线，

NEBD=ZDBF,

'.,DE//BC,

：.ZEDB=ZDBF,

：./EBD=ZEDB,

：.BE=ED,

平行四边形BEDE是菱形；

第21页（共28页）

(2)解：如图，过点。作。于兄

VZA=90°,ZC=30°,

AZABC=60°，

由（1）得：四边形BE。歹是菱形,

:・BE=DE=BF=DF,

•；DF〃AB,

：.ZABC=ZDFC=60°,

,.・5。平分N45C,

AZABD=ZDBC=30°,

■:BD=6,

1

：.DH=^BD=3,

•：/FDH=90°-NDFC=3U°,

:.FH=^~DH=V3,

：.DF=2DH=2V3,

即菱形3皮甲的边长为2国.

23.(7分)某种商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出40件.经市场调查发

现如下信息：

信息一：每降价1元，每星期可多卖出10件；

信息二：由于货源紧缺，每星期最多能卖90

件.

设每件商品的售价为x元，每星期可获得的销售利润为y元.

(1)求y与x的函数解析式；

(2)每件商品的售价定为多少元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是多少？

【解答】解：⑴根据题意得：y=(x-40)[40+10(60-x)]

=(x-40)(40+600-10x)

第22页(共28页)

=-10/+640x+400x-25600

=-IOA^+IOW-25600,

•••每星期最多能卖90件，

/.40+10(60-x)W90,

解得x255,

的取值范围为55WxW60,

与x的函数解析式为＞=-10X2+1040X-25600(55WxW60)；

(2)y=-10X2+1040X-25600=-10(x-52)2+1440,

V-10＜0,

随X的增大而减小，

：55WxW60,

...当x=55时，＞有最大值，最大值为1350,

答：每件商品的售价定为55元时，每星期可获得的销售利润最大，最大利润是1350元.

24.(8分)如图，在Rt445C中，/ACB=90°,。为N2的中点，以CD为直径作O。，交BC边于点E,

过点£作昉，垂足为点尸.

(1)求证：E尸为。。的切线；

【解答】(1)证明：如图，连接OE,DE,

：CO是。。直径，

：.ZCED=90°,

即DELBC,

:在RtZ\48C中，ZACB=90°,D为的中点,

：.CD=BD,

...点£是BC的中点，

又：点。是CO的中点，

；.OE是LBCD的中位线,

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：.OE//AB,

"JEFLAB,

：.EFLOE,

是。。的半径，

产是的切线；

(2)解：是直角三角形ABC斜边中线，CD=5,

：.AB=2CD=10,

：/C=6,

:.BC=7AB2-AU=8,

:点£是BC的中点，

1

；.BE=WBC=4,

在RtZXBQE中，BD=5,BE=4,

：.DE=<BD2-BE2=3,

ii

•：S的E=*E・BE=^BD・EF,即3X4=5X£R

12

••,EF=号,

i9

在RtzXDEP中，DE=3,£尸=甘,

：.DF=VDE2-EF2=I，

25.（8分）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官.如图，某跳

水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知

跳板N3长为2米，跳板距离水面CD的高3c为3米，跳水曲线在离起跳点/水平距离1米时达到距

水面最大高度左米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

（1）当万=3时，求这条抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离；

第24页（共28页）

(3)图中CE=?米，C尸=6米，若跳水运动员在区域斯内(含点E,F)入水时才能达到训练要求,

【解答】解：(1)根据题意，可得抛物线顶点坐标M(3,k),A(2,3),

一9

又.：k=2，

可设抛物线解析为：尸