2024-2025学年山西省高二年级上册11月期中联合考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山西省高二上学期11月期中联考数学检测试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占20%,选择性必修第一册占80%.

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

1.已知集合o={'''}'{'}'{'},贝0(%)()

A.{3}B.{1,2}C.{2,3}D.{3,4}

【正确答案】A

【分析】根据补集和交集的概念与运算直接得出结果.

由题意得用M={3,4},所以(令M)cN={3}.

故选：A

1-i

2.已知复数z满足1—z=——，则z的共辗复数亍=()

i

A.-1-iB.-1+iC.2+iD.2-i

【正确答案】D

【分析】根据复数的运算及共辗复数的概念求解.

因为匕==所以z=l—(-t—i)=2+i,则7=2—i.

ii

故选：D.

3.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x»0时，/(x)=2)则/(—1)=()

A.1B.2D.0

2

【正确答案】B

【分析】由函数的奇偶性可得/（-I）=/（l）,代入函数解析式直接得出结果.

由偶函数性质得，/（-H=2.

故选：B

4.从｛2,3｝和｛4,5｝两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率

是（）

1111

A.—B.-C.—D.一

6324

【正确答案】D

【分析】用列举法写出样本空间，再由概率公式计算.

组成两位数的样本空间。=｛24,42,25,52,34,43,35,53｝,样本点总数为8.能被3整除的数为

21

24,42,有2个.故所求概率为一=一.

84

故选：D.

5.图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m,水面宽6m,水面下降1m

后，水面宽度为（）

<6—►

A.3V5mB.3&mC.3诟nD.8m

【正确答案】C

【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为/（3,-2）代入抛物

线，解得答案.

建立如图所示的平面直角坐标系，则点/（3,-2）.设抛物线的方程为y=ax1,

o）2

由点4（3,—2）可得—2=9a,解得a二—“所以歹=—子

当天二一3时，%=±3a.,所以水面宽度为3j4m.

2

22

6.已知椭圆。：3_+亍=1,过点M（—1,1）的直线交C于A、8两点，且M是23的中点,

则直线的斜率为（）

4224

A.一B.一C.—D.一

9933

【正确答案】A

【分析】设4（再,必）、B（x2,y2）,利用点差法可求得直线的斜率.

若线段轴，则线段Z5的中点在x轴上，不合乎题意，所以，直线48的斜率存在，

设幺（再,必）、B（x2,y2）,由题意可得%=-2,%+了2=2,

X+近=1

042_22_2

则＜1,两式相减可得♦一々—匕=0,

x；y；94

—+—=1

4

工=工.T=彳%=一3尸4,解得

所以，

xr-x2xr-x2xi+x2-299

4

因此，直线Z5的斜率为一.

9

故选：A.

7.若动圆过定点4（2,0）,且和定圆C：（X+2）2+/=I外切，则动圆圆心尸的轨迹方程为

()

A.%2_匕=1(x>l)B.-乙=1(x<--)

3232

24y2124y21

C.4x2—--=1(x<——)D.4x2—--=1(x>-)

152152

【正确答案】D

【分析】根据动圆与定圆外切得出|尸。卜|尸旬=1<|/。|=4,再由双曲线定义判断

动点轨迹，写出方程即可.

定圆的圆心为C(—2,0),与4(2,0)关于原点对称.

设忸山=「，由两圆外切可得|尸C|=l+r,

所以|尸C|—|7^=1<以。|=4,

所以尸的轨迹为双曲线的右支.

2211r

设尸的轨迹方程为・一方=1(Q>0/>0)，则6Z=/,C=2,〃=/一/=a,

所以轨迹方程为4/一士=

15I2)

故选：D

8.已知4(2,0),5(10,0),若直线加一4歹+2=0上存在点P,使得方.方=0,则t的取

值范围为()

9

C.U[3,+oo)D.(-8,-7]U一,+GO

5

【正确答案】B

【分析】设P(xj),根据强.诟=0，得出产的轨迹方程，再结合条件尸为直线45上的

点，得到直线与圆的位置关系，即可求解.

设P(x,y),则苏=(2—x,_y),P5=(10-x,-j),

因为苏•屈=0，所以(2—x)・(10—x)+(—y)2=0,

即(x-6)2+/=16,所以点尸在以(6,0)为圆心，4为半径的圆上.

点尸在直线女—4y+2=0上，

所以直线/x—4y+2=0与圆(x—6)2+「=16有公共点，

|6r+2|21

则［।44,解得——<t<3.

“+165

故选:B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知抛物线C：V=4x的焦点为/，直线/:y=1)与C在第一象限的交点为尸，

过点P作。的准线的垂线，垂足为下列结论正确的是()

7T

A.直线过点EB.直线的倾斜角为一

3

TT

C.ZFPM=-D.是等边三角形

2

【正确答案】ABD

【分析】求出抛物线的焦点，代入验证可判断A；由直线的斜率求出倾斜角可判断B；由/"必

与直线的倾斜角的关系可判断C；由抛物线定义可知归厂|=进而判断△"Af的形状,

从而判断D.

抛物线C：/=4x的焦点为尸(1,0),而0=百(1-1),所以直线过点少，故A正确；

设直线的倾斜角a,因为直线/：y=—1)的斜率为左=tana=百，0<a<Ti,

TT7T

所以&=—,即直线的倾斜角为一，故B正确；

33

TT

因为=a=—,故C错误；

3

因为点P在抛物线上，由抛物线定义可知，归尸|=|m4，

jr

又NFPM=—,所以是等边三角形，故D正确.

3

故选：ABD.

10.已知函数/(x)=2sinx(cosx-sinx)+l,则()

A./(x)的最小正周期为兀

57r

B./(x)的图象关于直线x=H对称

8

/(X)的图象关于点三,1]

中心对称

D./(x)在(—J上单调递增

【正确答案】ABD

【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得/(x)=J5sin2x+；,结合正弦函数的图象与

性质依次判断选项即可.

详解】/(%)=2sinx(cosx-sinx)+1=sin2x+cos2x二后sin+：

2兀

A：7二万=兀，所以/(x)的最小正周期为兀，故A正确；

.-7C7Cjj_7C左兀j_

B:令2%H-Fkit,左£Z,何X-1---，左£Z,

4282

5兀

当左=1时，x=—,

8

57r

所以x=—为函数/(x)的一条对称轴，故B正确；

8

TTTTKTT

C：令2x+—=左兀,左£Z,得工=----F—，左EZ,

482

TT

当左=0时，x=—

8

所以-：,0为函数/(x)的一个对称中心，故C错误;

1

7rITTTtITIT

D：令----1-2kii<2x+—<—+2hi.kEZF得-----卜kn工x工一十kn(keZ),

24288

22

当左=0时，----—,即/(x)的单调递增区间为——

8888

而4喘为的真子集，故D正确.

故选：ABD

11.若£公平面7,be平面7,所，平面7,则称点F为点E在平面7内的正投影，记为

尸=多(£).如图，在直四棱柱48co中，BC=2AD>AD1AB,P,N分别

为幺4，Cq的中点，方0=3两，/8=BC=Z4=6.记平面ZRC为a,平面ABCD

为月,病=4闻0<4<1),为=%[%(〃)].&=<％(>)].()

A.若丽=2羽—2乖+〃福，则〃=1

B.存在点H,使得〃&//平面a

C.线段HK1长度的最小值是上

5

D.存在点H,使得HK]LHK2

【正确答案】ABC

【分析】先建系，对于选项A,先证Q,B,N,P四点共面，再计算〃的值；对于选项B,

先找出K2,可得N瓦是平面a的一个法向量，结合〃£//平面a,则函•我=0,

依此求出H的位置;对于选项C,表示出|函求解其最小值即可;对于D,依据,

则立•魂=0,从而可判定H的存在性.

对于A：因为45CD—48001为直四棱柱，AD1AB,所以以A为坐标原点，AD,AB,

Z4所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ,BN.

A

Q

则4（006）,43,0,0,5（0,6,0）,N（6,6,3）,P（0,0,3）,

故&=13,0,1],丽=（6,0,3）,

所以丽=2加，即Q,B,N,P四点共面，

若不=2而—2套+〃福，则2—2+〃=1,解得〃=1,A正确；

对于B：过点H作笈交，逐于点G,过点G作AB的垂线，垂足即&,

过点A作/逐的垂线，垂足即K2,连接HK1,HK2,由题意可得=62（0<2<1）,

则H（0,0,64）,G（0,3-32,3+32）,&（0,3—34,0）,K2（0,3,3）,

故我=（0,3,3）,函=（0,3-3九-62）,加=（0,3,3-62）,聋=（0,6,-6）,

易得7瓦是平面a的一个法向量，若〃£//平面a,

贝4函.矶=0,Bp3（3-32）+3（-62）=0,解得几=；e（0,l）,符合题意，

所以存在点H,使得〃&//平面a,B正确,

防卜,(3-34)2+(—64)2=3453—2X+1=3,5(2—，

对于c：

当力=1时,取得最小值，最小值为生5,C正确.

55

对于D：若HKJH"则依「m2=3(3—32)—6X(3—6X)=0,

得4%—34+1=0,无解，所以不存在点H,使得〃(,网2,D错误.

故选：ABC

关键点点睛：根据题意可知用,犬2在平面48片4上，然后建立坐标系，根据投影表示所需要

点的坐标，然后利用坐标计算即可.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知单位向量扇B满足卜-可=|司，则3与在的夹角为.

7T

【正确答案】y##60°

_1

【分析】根据平面向量数量积的运算律求得限6=—,结合数量积的定义计算即可求解.

2

_1

由5一q=同，可得铲一2晨B+后=@解得万0=—,

2

/——\G.b1

则cos«,Q=丽=5,又伍%[0,兀],

JT

所以2与3的夹角为一.

3

故W

13.如图，在棱长为2的正方体/BCD-4用G2中，R是CR的中点，则

AF-AC=.

【正确答案】6

}

【分析】~AF=^ADl+ACyAZCn为等边三角形，利用向量数量积的定义求善.充即

可.

棱长为2的正方体ABCD-中，

连接AD-则AACDi是边长为2行的等边三角形，

22

AF-AC=-(AD.+AC]-AC=-AD,-AC+-AC=-X2A/2x272XCOS-+-X(2A/2)=6

2、,22232

故选：6

V2

14.已知椭圆G：J+=1（。>6>0）与双曲线6:=1（加>0,〃>0）有公共焦

ab2mn2

点片，鸟,G与。2在第一象限的交点为尸，且尸片，尸8，记。1，。2的离心率分别为,，％，则

11

---1----

【正确答案】2

【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得|尸耳卜°+冽,忸工|=a-加，根据勾股定理化简可得

a2+m2=2C2＞结合离心率定义即可得结果.

由题意可知，|下羽|+|尸闾=2a,|F骂|—|尸闾=2加,

所以忸片上a+m,\PF2\=a-m.

22

因为尸々_L尸鸟，所以4c2=（4+加y+g—冽）2,即/+加2=2/,'+笄=2,

CC

11c

所以“3=2,

故2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知在V/8C中，4（2,1）,5（2,3）,C（6,l）,记VZ3C的外接圆为圆M.

（1）求圆M的标准方程；

（2）求过点A且与圆M相切的直线的方程.

【正确答案】（1）（x—4r+0—2）2=5

（2）2x+j-5=0

【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半

径，从而得到圆的方程；

方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程.

（2）先求圆心与A点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切

线方程.

【小问1详解】

（方法一）直线48的方程为x=2,A、3的中点为（2,2）,

所以线段AB的中垂线方程为＞=2,

直线ZC的方程为＞=1,A、。的中点为（4,1）,

线段ZC的中垂线方程为x=4.

直线y=2与直线x=4的交点为（4,2）,即圆河的圆心为（4,2）.

点（4,2）与点4（2,1）的距离为44-2）2+（2_咪=,

即圆M的半径为石，所以圆M的标准方程为（x-4）2+⑶-2）2=5.

（方法二）设圆M的标准方程为（x—a『+（y—bp=/,

(2-疗+(1Wa2-4a+b~-2b+5=r2

贝”(2—4+(3—4=/,

<a2-4a+b~-6b+13=r~

(6—a/+(1—6)2=/a2-12a+b2-2b+31=r2

a=4

解得b=2

r2=5

故圆M的标准方程为（x-4）2+3—2）2=5

【小问2详解】

圆M的圆心为M（4,2）,4（2,1）,直线ZM的斜率为左===万,

所以切线斜率为左2=一[=-2,所求切线方程为y-1=-2（x-2）,

整理得2x+v-5=0.

16.如图，长方体48co-4B1G2的底面48co是正方形，E/,G分别为。。”力用,。。

的中点，24=248.

（1）证明：EF〃平面ZGD].

（2）求二面角G—2，—。的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行;

（1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

设幺4=248=2,以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0),。(1,0,2),G

设平面AGDX的法向量为五=(x,y,z),

~7rTnfx+2z=0,

n•AD.=0,

则《一i即〈1八

n-AG=0,+―J7-0?

iI2

令x=2,则为=(2,—4,一1).

证明.£(1,1』),尸［0；1；丽=1-1,-：,01

因为EF-n=-1x2——x(—4)+0x(—1)=0,所以EFJ_万,

EF<Z平面ACDr,所以£尸〃平面AGDX.

【小问2详解】

易知方为平面的一个法向量，且48=（0,1,0）.

AB,五4V21

cos(AB,n

RS21

易得二面角G-AD.-D为锐角，所以二面角G-AD.-D的余弦值为生包.

21

2

17.已知椭圆G：■+£=I(a〉6〉0)的右焦点F与抛物线C2:y=2px(p>Q)的焦点

重合，过点E且与x轴垂直的直线交C2于48两点，M是G与C2的一个公共点,|71^|=5,

叫=6.

(1)求。与。2的标准方程；

(2)过点A且与C?相切的直线与Ci交于点C。，求|CD|.

22

【正确答案】(1)G的标准方程为不+以=1,G的标准方程为V=i2x

7

【分析】(1)由抛物线的定义代入计算，即可求得G的标准方程，再将点河的坐标代入椭圆

方程，即可得到的标准方程;

(2)根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

记厂(c,0)(c>0),则抛物线的方程为/=4cx,其准线方程为x=-c.

因为月=6,所以62=",解得c=3,则G的标准方程为/=12x.

不妨设点M在第一象限，记M(X〃,为J(XM>0,加>0),因为四刊=5,

所以。+%=5,解得应=2.因为yj=12%，所以加=2遍，即上(2,2n).

,22,(2A/6)2

2

--------------------------二1a—36,

由<a2b12'解得

段=27,

a2=b2+9,

22

所以G的标准方程为二+二=1.

3627

【小问2详解】

不妨设点A在第一象限，则/（3,6）.

设直线=—6）+3.

联立｛2得12/W+72〃L36=0.

J=12x,

由A=（12加）-4x（72冽-36）=0,解得加=1,则/:x-y+3=0.

设。（石,乂）,。（々,歹2）.

x-v+3=0,

-2472

联立<12+）2]得7x?+24x-72=0，贝！1再+%2=—）

,36+27-'

故=V2xJ（X]+%）~—4XJX2=■

18.如图，在三棱锥尸中，为等边三角形,V/3C为等腰直角三角形,

PA=2,AC1BC,平面平面48c.

(1)证明.A8d.pc

(2)点。在线段PC上，求直线/£)与平面尸8C所成角的正弦值的最大值.

【正确答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由线面垂直的判定定理可证48,平面POC,再由其性质定理即可证明；

(2)根据题意，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面角

的公式代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

证明：取48的中点。，连接。

因为AP/B为等边三角形，所以OPJ.N6.

因为V48C为等腰直角三角形，且所以。瓦

因为。Pu平面POC,OCu平面POC,OPcOC=O,所以ZB，平面POC,

所以48_LPC.

【小问2详解】

因为平面PAB1平面ABC,平面尸4Sc平面ABC=AB,OP<z平面PAB,OP±AB,所

以。P_L平面ABC.

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则^(O,-1,O),C(1,O,O),尸(0,0,V3),5(0,1,0),C5=(-1,1,0),CP=(-1,0,扬，

设丽=2而则而=就+函=(1/,0)+2(-1,0,省)

设平面PBC的法向量为记=(x,y,z),

CB-n=Q,-x+j=0,

则《即《

CP-n=O,—x+A/SZ=0,

令z=G，则x=3,y=3,所以为=（3,3,班）.

设直线AD与平面PBC所成的角为8,

3-32+3+326

则sin"cos（AD,n

当且仅当人:时，等号成立.

故直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值为生8.

7

19.已知。为坐标原点，双曲线C。—，=l（a>0/>0）的左、右顶点分别为,圆

必+/=1过点％,与双曲线c的渐近线在第一象限的交点为。，且|44=6.

（1）求。的方程；

（2）过点M（T,0）«>a）且斜率不为0的直线与双曲线C的左、右两支的交点分别为。，尸,

连接。。并延长，交双曲线。于点R,记直线4区与直线4尸的交点为3,证明：点8在曲

—+—----=1

线/爪…）上

t+a

2

【正确答案】（1）/—2=1

3

（2）证明见解析

【分析】（I）由圆f+j?=1过点4得。=1,由已知得A。。外是等边三角形，进而得渐近

线的斜率，即可求出Z）,即可得出C的方程；

（2）设直线/:》=叼—/,P（XI，K）,Q（X2*2），联立直线与双曲线。的方程，根据韦达定理

得%+，将直线4尺与直线4尸的方程变形可得

加班1%一(7+1)»2=(x—l)%%①

由①+②