2024-2025学年高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征练习含解析新人教A版必修3

PAGE1-第15课时用样本的数字特征估计总体的数字特征学问点一众数、中位数、平均数的概念及简洁应用1．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一项是()A．中位数可以精确地反映出总体的状况B．平均数可以精确地反映出总体的状况C．众数可以精确地反映出总体的状况D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能精确地反映出总体的状况答案D解析依据平均数、中位数、众数的定义可知平均数、中位数、众数都有局限性，都不能精确地反映出总体的状况．2．一个样本的容量为60，分成5组，已知第一组、第三组的频数分别是9、10，其次、五组的频率都为eq\f(1,5)，则该样本的中位数在()A．其次组B．第三组C．第四组D．第五组答案B解析其次组的频数为60×eq\f(1,5)＝12，∵9＋12＝21<30，9＋12＋10＝31>30，∴中位数在第三组．学问点二标准差、方差的意义3．下列说法正确的是()A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定答案B解析本题主要考查平均数、方差的性质，平均数表示样本的集中趋势，平均值的大小并不能说明该组数据的方差的大小，所以A错误；方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误，故选B．学问点三标准差、方差的应用4．在某项体育竞赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．92，2B．92，2．8C．93，2D．93，2．8答案B解析去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90，90，93，94，93，所以eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝eq\f(460,5)＝92，s2＝eq\f(2×90－922＋2×93－922＋94－922,5)＝eq\f(14,5)＝2．8，故选B．5．已知母鸡产蛋的最佳温度在10℃左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？解①eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4．②极差：甲地温度极差＝15－(－5)＝20；乙地温度极差＝10－0＝10．③标准差：s甲＝eq\r(\f(1,6)×[－5－42＋…＋－4－42＋－3－42])≈8．4；s乙＝eq\r(\f(1,6)×[1－42＋…＋2－42＋0－42])≈3．5．明显两地的平均温度相等，乙地温度的极差、标准差较小，说明白乙地温度波动较小．因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋．易错点一运用数字特征作评价时考虑不周6．一次数学学问竞赛中，两组学生成果如下：经计算，已知两个组的平均分都是80分，请依据所学过的统计学问，进一步推断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由．易错分析对一组数据进行分析的时候，应从平均数、众数、中位数等多个角度进行推断．否则评价易出现偏差．正解(1)甲组成果的众数为90分，乙组成果的众数为70分，从成果的众数这一角度看，甲组成果好些．(2)甲、乙两组成果的中位数、平均数都是80分，其中甲组成果在80分以上(含80分)的有33人，乙组成果在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成果总体较好．(3)从成果统计表看，甲组成果大于或等于90分的有20人，乙组成果大于或等于90分的有24人，所以乙组成果在高分段的人数多．同时，乙组满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组成果较好．易错点二忽视方差的统计意义导致错误作答7．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2)：品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9．89．910．11010．2乙9．410．310．89．79．8若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议．易错分析由于忽视了比较两种小麦产量的稳定性而致误．正解由题意得eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)×(9．8＋9．9＋10．1＋10＋10．2)＝10，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)×(9．4＋10．3＋10．8＋9．7＋9．8)＝10．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9．8－10)2＋(9．9－10)2＋(10．1－10)2＋(10－10)2＋(10．2－10)2]＝0．02，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9．4－10)2＋(10．3－10)2＋(10．8－10)2＋(9．7－10)2＋(9．8－10)2]＝0．244，甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10，且seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以产量比较稳定的为甲种冬小麦，举荐引进甲种冬小麦大量种植．一、选择题1．为主动提倡“学生每天熬炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操竞赛，9位评委给高三(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91；复核员在复核时，发觉有一个数字(茎叶图中的x)无法看清．若记分员计算无误，则数字x应当是()A．2B．3C．4D．5答案A解析假设94分是最高分，由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，即eq\f(89＋88＋92＋90＋x＋93＋92＋91,7)＝91，∴635＋x＝91×7＝637，∴x＝2．经检验符合题意．故选A．2．在某次测量中得到的A样本数据如下：2，4，4，6，6，6，8，8，8，9．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征相同的是()A．众数B．平均数C．中位数D．标准差答案D解析依据题意，B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得，则平均数、众数、中位数都增加2，依据标准差公式可知，标准差也不变．故选D．3．甲、乙两个数学爱好小组各有5名同学，在一次数学测试中，用如图所示的茎叶图统计出其成果．若甲、乙小组的平均成果分别是eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，则下列结论正确的是()A．eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，甲比乙成果稳定B．eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，乙比甲成果稳定C．eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，甲比乙成果稳定D．eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，乙比甲成果稳定答案A解析依据茎叶图可知，甲组5名同学的成果分别是88，89，90，91，92，乙组5名同学的成果分别是88，83，84，89，91．故eq\x\to(x)甲＝90，eq\x\to(x)乙＝87，即eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙；seq\o\al(2,甲)＝2，seq\o\al(2,乙)＝9．2，即seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲比乙成果稳定．4．为了普及环保学问，增加环保意识，某高校随机抽取30名学生参与环保学问测试，得分(非常制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为eq\x\to(x)，则()A．me＝m0＝eq\x\to(x)B．me＝m0＜eq\x\to(x)C．me＜m0＜eq\x\to(x)D．m0＜me＜eq\x\to(x)答案D解析由题目所给的统计图可知，30个数据按大小依次排列好后，中间两个数为5，6，故中位数为me＝eq\f(5＋6,2)＝5．5．又众数为m0＝5，平均值eq\x\to(x)＝eq\f(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2,30)＝eq\f(179,30)≈5．97，∴m0＜me＜eq\x\to(x)．5．已知数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个一般职工某月份的收入(均不超过2万元)，设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，假如再加上某人这个月份的收入x101(约100万元)，则相对于x，y，z，这101个数据()A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．平均数变大，中位数可能不变，方差也不变C．平均数变大，中位数肯定变大，方差可能不变D．平均数变大，中位数可能不变，方差变大答案D解析因为数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个一般职工2024年10月份的收入，而x101大于x1，x2，x3，…，x100许多，所以这101个数据中，平均数变大，但中位数可能不变，也可能变大，由于数据的集中程度受到x101比较大的影响，变得更加离散，所以方差变大．故选D．二、填空题6．样本a1，a2，a3，…，a10的平均数为12，样本b1，b2，…，b8的平均数为5，则样本a1，b1，a2，b2，…，a8，b8，a9，a10的平均数为________．答案eq\f(80,9)解析由题知eq\x\to(a)＝12，eq\x\to(b)＝5，则新样本的平均数为eq\f(12×10＋5×8,10＋8)＝eq\f(80,9)．7．已知一组样本x1，x2，…，xn的标准差s＝8．5，则另一组样本3x1＋5，3x2＋5，…，3xn＋5的标准差s′＝________．答案25．5解析s′＝3s＝25．5．三、解答题8．某工厂有工人1000名，其中250名工人参与过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参与过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名，调查他们的生产实力(此处生产实力指一天加工的零件数)．(1)A类工人和B类工人应分别抽查多少名？(2)A类工人的抽查结果和B类工人的抽查结果如下表所示：A类工人B类工人①先确定x，y，再画出频率分布直方图．就生产实力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过视察直方图干脆回答结论)②分别估计A类工人和B类工人生产实力的平均数，并估计该工厂工人的生产实力的平均数．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)解(1)由题意可知应从A类工人中抽查25名，B类工人中抽查75名．(2)①由(1)可知4＋8＋x＋5＋3＝25，6＋y＋36＋18＝75，得x＝5，y＝15．频率分布直方图如下图所示．从直方图可以推断：B类工人中个体间的差异程度更小．②eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(4,25)×105＋eq\f(8,25)×115＋eq\f(5,25)×125＋eq\f(5,