数学-湖南省长郡二十校联盟2025届新高考教学教研联盟高三第一次联考（长郡二十校一联）试题和答案

2025届新高考教学教研联盟高三第一次联考审校、制作：湖南炎德文化实业有限公司姓名姓名注意事项：无效。A.{2}B.{2,52.若(1+i)z=3+i(i为虚数单位),则z—z=4.若甲组样本数据x₁,xz,…,xn(数据各不相同)的平均数为5,乙组样本数据3x₁+a,3x₂+5.(1+√3tan80°)(1-√3tan20°A.2A.6072B.6075C.6点F到其中一条渐近线的距离为1,且满足β=5α,则双曲线C的焦距为AA8.已知f(x)=x²e²+a|x|e+2(a∈R)有4个零点，则实数a的取值范围为二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)B.△PF₁F2的周长为5D.|PF₁I²+|PF₂I²的最小值为810.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c²=b(a+b),则A.c<b11.如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个A.将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为C.小球从房间C出发，4次移动后到达房间H的移动路径有6种D.小球从房间C出发，20次移动后到达房间H的概率为三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.若函数f(x)=|ln(x+a)|在(0,+α)上单调递增，则实数a的取值范围是13.若函数f(x)=sinwx+√3coswx在(0,π)内有2个零点，则w的最大值为14.将一个圆锥整体放入棱长为2的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内，圆锥的轴线与容器的15.(本小题满分13分)某市统计了2024年4月的空气质量指数(AQI),将其分为[0,50],(50,100),(100,150),(1)求a;(2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；附：x²=(a+b)×(ctd)×(a+c)×(b+d)’附：x²=(a+b)×(ctd)×(a+c)×(b+d)’月份空气质量合计不达标合计α数学试卷第3页(共5页)16.(本小题满分15分)△PAD,且平面PAD⊥平面BAD.当△PAB面积最大时：(1)求CD;(2)求二面角A-PD-B的余弦值.17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=axe²-(a+1)e²+x.数学试卷第4页(共5页)18.(本小题满分17分)抛物线E:y²=2px(p>0)的焦点为F,A(x₁,yi),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)是E上的三个点，直线AB,AC均与圆M:(x—2)²+y²=r(r>0)值为3.(1)求E的方程；(2)若r=1,求∠BAC的取值范围；(3)若y₁y₂+y₁y₃+y₂y₃为定值，求r.19.(本小题满分17分)(1)若bn=an+1,证明：{bn+1-2bn}为常数列，并求{an}的通项公式；(2)将a,a₂,…,a₂025随机填入45×45的方格表中，证明：对任意某行，不存在其它的行或列，使其各自所有数之和相等；(3)将a₁,a₂,…,a₂025所有任意两项的算术平均数按从小到大的顺序排列，得到的新数列的前数学试卷第5页(共5页)2025届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案题号123456789BCCDBADC一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)la|-|b|成立，两边平方得到cosθ=-1,故sinθ=0成立.所以“sinθ=0”条件.4.D【解析】对于选项A,由题意可知3×5+a=12,a=-3,故A正确；对于选项B,乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的3²=9倍，故B正确；对于选项C,设甲组样本数据的中位数为m,则乙组样本数据的中位数为3m+a,当,m=3m+a,所以两组数据的中位数可能相等，故C正确；对于选项D,不妨设x₁<x₂<…<xn,则甲组数据的极差为x,-x₁,x1),又因为甲组数据各不相同，所以两组数据的极差不相等，故D错误.5.B【解析】(1+√3tan所以f(n+1)=f(n)+f(1)+3=f(n)+3,故f(n)=f(1)+3(n-1)=3n-3,7.D【解析】根据点F到其中一条渐近线的距离为1,可得b=1,且满足β+α=π,又β=5a,∴,故a=√3,c=2,y=|x|e²其图象如图所示：当时，一个t对应3个不同的x,当时，一个t对应2个不同的x,令g(t)=t+at+2,因为f(x)有4个零点，又g(0)=2>0,则方程g(t)=0在)和各有一个零点，由二次函数的性质可知，只需要,即数学参考答案-1二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)正确.B.由余弦定理可得，,则sinC=sin2B,若C+2B=π,则A=B,即a=b,此时c²=b(a+b)=a²+b²,则,此时C=C.B+C=3B∈(0,π),则),选项C正确；,,则),选项D正确。11.ABD【解析】A.任取两个房间，相邻有9种情况：{A,C},{B,C},{C,D},{B,F},{D,H},{E,F},{F,G},{G,H},{H,I},所以任取两个房间不相邻的概率为,选项A正确；B.k=6时，可将小球放在房间A,B,D,E,G,I,此时房间两两不相邻，k=7时，房间C,F,H均与3个房间相邻，从9个房间任意抽走2个房间后，总有相邻的房间，所以k≤6,选项B正确；C.小球从房间C出发，4次移动后到达房间H有7种路径：C→A→C→D→H,C→B→C→D→H,C→B→F→G→H,C→D→C→D→H,C→D→H→D→H,C→D→H→G→H,C→D→H→I→H,选项C错误；D.设小球从房间C经过n次移动到达房间H的概率为p,n为偶数，小球在房间C,2次移动的路径有：C→A→C,C→B→C,C→D→C,C→B→F,C→D→H,小球在房间F,2次移动的路径有：F→E→F,F→B→F,F→G→F,F→B→C,F→G→H,小球在房间H,2次移动的路径有：H→I→H,H→G→H,H→D→H,H→D→C,H→G→F,所以，小球从房间C出发，经过偶数次移动后一定在房间C,F,H之一，且当小球经过n次移动到达房间H时，第n-2次移动后必在房间C,F,H之一，小球从房间H经过2次移动到达房间H的概率为,选项D正确。数学参考答案-2三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.[1,+∞]【解析】由于y=|Inx|在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，将y=|lnx|向左平移至少一个单位即可，故a≥1.13.【解析,由于求w的最大值，故只考虑w>0的情况，当x∈(0,π)时，,若有2个零点，则,则w的最大值为 14.【解析】设正方体容器为ABCD-A₁B₁CD₁,在射线AA₁,AB,AD上分别取点E,F,G,使得AE=AF=AG, 则△EFG为等边三角形，设△EFG的内切圆圆心为O,半径为r,即求圆锥C₁O体积的最大值.当平面EFG经过正方体中心时,只考虑的情况，令f(x)=-x³+√6x²,∴f(x)在上单调递增，∴圆锥C₁O体积的最大值为四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.【解析】(1)由图可得，(0.010+0.006+2a)×50=1,解得a=0.002.………………3分(2)4月空气质量达标的频率为(0.006+0.002)×50=0.4,天数为30×0.4=12,………………5分设A=“从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标”,则.…………………………7分(3)补全列联表如下：月份空气质量4月6月8………9分零假设为H₀:空气质量是否达标与月份无关，根据表中数据，计算得根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H₀不成立，因此可以认为H₀成立，即认为空气质量是否数学参考答案-3过点P作PH⊥AD交AD于点H,∵平面PAD⊥平面BAD,平面PADN平面BAD=AD,PHC平面PAD,PH_AD,∴ABLAD.…∴由正弦定,可得……………………………7分∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面PBD的法向量n₁=(x,y,z),同理可得，平面PAD的法向量n₂=(0,1,0),13分∴由图可知，二面角A-PD-B的余弦值为………………15分 1 2∴f(x)在(-0,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)有两个零点只需f(x)mx=f(0)=-a-1>0,数学参考答案-4∴f(x)在(-0,0)上单调递增，在(0,+○)上单调递减，即x=0是f(x)的极大值点，不合题意；……………9分 ∴0<a<1时，,0∈,则f(x)在(-0,0)上单调递增，上单调递减，即x=0是 a>1时，,则f(x)在)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，即x=0是f(x)的极小值点，18.【解析】(1)分别过点P,M作抛物线E的准线：的垂线，垂足分别为P₀,M。,,当且仅当P₀,P,M共线时取等，…………2分(2)∵AB,AC均与圆M相切，.………………8分∴直线AB:(y₂-y₁)(x-x₁)-(x₂-x₁)(y-y₁)=0,∴直线AB:4x—(y₁+y₂)y+y₁y₂=0,10分∵直线AB与圆M相切，分∴y₂,y3是方程(yi-r²)y²+2y₁(8-r)y+64-(yí+16)r²=0的两个根，,…………………14分数学参考答案-519.【解析】(1)由题意得a=b-1,(bm+1-1)=4(b,-1)-4(b-1-1)-1,∴b+1-2b=0,即b-2b}为常数列，……………1分