第十八章 平行四边形教学质量监测

第十八章平行四边形教学质量监测一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.1.下列说法中，正确的是（D）A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等的平行四边形是矩形2.若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是（C）A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形3.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（D）第3题图A.0.5km B.0.6kmC.0.9km D.1.2km4.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝4，EF＝1，则BC长为（A）第4题图A.7 B.8C.9 D.105.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（C）第5题图A.8 B.9C.10 D.116.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若OA＝3，EF＝2，则菱形ABCD的边长为（D）第6题图A.2 B.2.5C.3 D.57.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，交BD于点O，连接BM，DN.若AB＝4，MD＝5，则AD的长为（B）第7题图A.6 B.8C.10 D.128.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，点M为EF的中点，则AM的最小值为（C）第8题图A.1 B.1.3C.1.2 D.2.49.如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于点G，交CD于点F，若BG＝2BE，则DF∶CF的值为（A）第9题图A.5－13 B.5+18 C.10.如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B停止运动），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s.若经过t秒，△DEF为等边三角形，则t的值为（D）第10题图A.34 B.C.32 D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数是70°.第11题图12.如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则平行四边形ABCD的面积为123.第12题图13.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.若AB＝4，BC＝8，则图中阴影部分的面积为10.第13题图14.如图，在正方形ABCD中，点F为CD边上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于65°.第14题图15.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若点P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为23.第15题图16.如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝4.第16题图三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∠A＝30°，BC＝2，求CD的长.解：∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD是AB边上的中线.∴CD＝12AB∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝2×2＝4.∴CD＝12AB＝12×4＝18.（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若OB＝2，S菱形ABCD＝4，求AE的长.解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，BD⊥∴BD＝2OB＝2×2＝4.∵S菱形ABCD＝12AC·BD＝4，∴12×4×AC＝4.∴AC＝∴OC＝12AC＝12×2＝在Rt△BOC中，根据勾股定理，得BC＝OB2＋OC∵S菱形ABCD＝BC·AE＝5AE＝4，∴AE＝45＝419.（6分）数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的.小澈同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD＝OB，连接AD，CD（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证.已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB.OA＝OC.求证：四边形ABCD是平行四边形.（1）补全已知和求证；（2）小澈同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请用小澈的思路完成证明过程.（注意：其他方法不得分）（1）解：补全已知和求证如上所示.（2）证明：在△ABO与△CDO中，OD∴△ABO≌△CDO（SAS）.∴AB＝CD，∠BAO＝∠DCO.∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.20.（8分）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点.对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：Ⅰ.若D是AB的中点，DE＝12BC，则E是AC的中点Ⅱ.若DE∥BC，DE＝12BC，则D，E分别是AB，AC的中点Ⅲ.若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点.（1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题.他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点.小明尺规作图的方法步骤如下：①在图2中，作边BC的垂直平分线，交BC于点M；②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E'.请你在图2中完成以上作图；（2）小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明.解：（1）所求图形如图2所示.（2）命题Ⅱ为真命题：解图1证明：如解图1，过点E作EM∥AB交BC边于点M，连接DM.∵DE∥BC，∴四边形EDBM是平行四边形.∴BD＝EM，DE＝BM.又∵DE＝12BC∴DE＝BM＝CM.∴四边形DECM是平行四边形.∴DM＝CE，DM∥CE.∴DM∥AE.又∵EM∥AD，∴四边形ADME是平行四边形.∴AD＝EM，DM＝AE.∴AD＝BD，AE＝CE.∴D，E分别是AB，AC的中点.命题Ⅲ为真命题：解图2证明：如解图2，延长ED至点F，使DF＝DE，连接BF.∵D是AB的中点，∴AD＝BD.又∵∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF（SAS）.∴AE＝BF，∠AED＝∠BFD.∴AC∥BF.∵EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形.∴BF＝CE.∴CE＝AE.∴E是AC的中点.21.（10分）在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答.在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF.求证：四边形BFDE是矩形.小星和小红分别给出了自己的思路：小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明；小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明.（1）小星的思路正确，小红的思路正确；（选填“正确”或“错误”）（2）请选择小红或小星的思路完善证明过程.证明：（2）选择小红的思路：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C.∵BE⊥CD，∴BE⊥AB.∴∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°.在△ADF和△CBE中，AD∴△ADF≌△CBE（SAS）.∴∠DFA＝∠BEC＝90°.∴∠DFB＝180°－∠DFA＝180°－90°＝90°.∴∠BED＝∠EBF＝∠DFB＝90°.∴四边形BFDE是矩形.选择小星的思路：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB.∵AF＝CE，∴AB－AF＝CD－CE，即BF＝DE.∴四边形BFDE是平行四边形.∵BE⊥AB，∴∠BED＝90°.∴平行四边形BFDE是矩形.22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）四边形BEDF能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由.解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.根据题意，得CD＝4tcm，AE＝2tcm.在Rt△CDF中，∠C＝30°，CD＝4tcm，∴DF＝12CD＝12×4t＝2t（∴DF＝AE.∵∠B＝90°，DF⊥BC，∴DF∥AB.∴四边形AEFD是平行四边形.当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形.根据题意，得60－4t＝2t，解得t＝10.即当t＝10时，四边形AEFD是菱形.（2）四边形BEDF不能成为正方形.理由如下：根据题意，得CD＝4tcm，AE＝2tcm.当∠EDF＝90°时，DE∥BC.∴∠ADE＝∠C＝30°.∴AD＝2AE＝2×2t＝4t.∵CD＋AD＝AC，∴4t＋4t＝60，解得t＝152∴当t＝152时，∠EDF＝90此时，DF＝2t＝2×152＝15，BF＝DE＝AD2－AE∴DF≠BF.∴四边形BEDF不能成为正方形.四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.23.（8分）如图，在菱形ABCD中，已知E是边BC上一点，且AE＝AB，∠EAD＝2∠BAE.（1）求∠BAD的度数；（2）求证：BE＝AF.（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∴∠AEB＝∠EAD＝2∠BAE.∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝∠EAD＝2∠BAE.∵∠ABE＋∠AEB＋∠BAE＝180°，∴2∠BAE＋2∠BAE＋∠BAE＝180°.∴∠BAE＝36°.∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝36°＋2×36°＝108°.（2）证明：根据（1），得∠BAD＝108°，∠AEB＝2×36°＝72°.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∴∠ABD＝12×（180°－108°）＝36根据（1），得∠BAE＝36°.∴∠ABD＝∠BAE.∴AF＝BF.∵∠BFE是△ABF的一个外角，∴∠BFE＝∠BAE＋∠ABD＝36°＋36°＝72°.∴∠AEB＝∠BFE.∴BE＝BF.∴BE＝AF.24.（10分）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C'的位置上.（1）若∠1＝55°，求∠2，∠3的度数；（2）若AB＝12，AD＝18，求△BC'F的面积.解：（1）根据题意，得∠2＝∠BEF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠2＝∠BEF＝∠1＝55°.∴∠3＝180°－∠2－∠BEF＝180°－55°－55°＝70°.（2）根据题意，得EB＝DE，BC'＝DC，∠C'＝∠D.设DE＝EB＝x，则AE＝18－x.在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2，∴x2＝122＋（18－x）2，解得x＝13.∴AE＝18－x＝18－13＝5.∴S△ABE＝12AB·AE＝12×12×∵∠ABC＝∠EBC'＝90°，∴∠ABC－∠EBF＝∠EBC'－∠EBF，即∠ABE＝∠C'BF.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC.∴AB＝C'B.在△ABE和△C'BF中，∠∴△ABE≌△C'BF（ASA）.∴S△BC'F＝S△ABE＝25.（10分）如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF.（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）过点B作BG⊥AE于点G，若CB＝AF，请直接写出四边形BGED的形状.（1）证明：∵AB平分∠CAE，∴∠CAB＝∠BAE.∵AB∥DF，∴∠BAE＝∠DFE.∴∠CAB＝∠EFD.在△CAB和△EFD中，∠∴△CAB≌△EFD（ASA）.∴AB＝FD.又∵AB∥FD，∴四边形ABDF是平行四边形.（2）解：四边形BGED是正方形.理由如下：根据（1），得BC＝DE，四边形ABDF是平行四边形.∴BD＝AF.∵AB平分∠CAE，BC⊥AC，BG⊥AE，∴BC＝BG.∵BC＝AF，∴BD＝DE＝BG，且∠BGE＝∠GED＝90°.∵BG∥DE，BG＝DE，∴四边形BGED是平行四边形.∵BD＝DE，∴四边形BGED是菱形.∵∠BGE＝∠GED＝90°，∴四边形BGED是正方形.26.（10分）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点.（1）求证：四边形OMPN是矩形；（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长.（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点，∴PM，PN是△OCD的中位线.∴PM∥OC，PN∥OD.∴四边形OMPN是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠MON＝90°.∴四边形OMPN是矩形.（2）解：如图，连接AP.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形.∴AD＝BD＝AB＝4.∴OD＝12BD＝12×4＝在Rt△OAD中，根据勾股定理，得OA＝AD2－OD2∴OC＝OA＝23.∵M，N分别为OD，OC的中点，∴OM＝12OD＝12×2＝1，ON＝12OC＝12×2∴AN＝OA＋ON＝23＋3＝33.根据（1），得四边形OMPN是矩形.∴NP＝OM＝1，∠PNA＝90°.∴在Rt△