江西省九江市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题【含答案解析】

九江市2024－2025学年度上学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等项内容填写在答题卡上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解.【详解】依题意，得，解得，故选：C．2.若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出展开式的通项，令的指数等于零，进而可得出答案.【详解】展开式的通项为，令，得，则，解得.故选：A．3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可.【详解】根据抛物线的定义，可知，解得.故选：B．4.若随机变量，则（）A.4 B.5 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根据二项分布求期望公式得到，从而由得到答案.【详解】根据二项分布的知识，得，.故选：B．5.圆与圆的位置关系为（）A.外离 B.外切 C.内切 D.相交【答案】D【解析】【分析】法一：求出圆心距，与半径之和，半径之差比较，得到两圆相交；法二：求出圆心距，刚好等于的半径，得到两圆相交.【详解】法一：，，，，，，，，圆与圆相交，法二：，，，，，故圆心在圆上，而,圆与圆相交.故选：D．6.在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】A【解析】【分析】利用向量坐标表示，求出，，进而平面，再求出，利用锥体的体积公式即可求得结果.【详解】，，，，，即，，平面,平面，又，，即，，故选：A．7.如图所示，5颗串珠用一根竹签串起．现将它们依次取出，一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，两颗☆☆串珠被连着取下的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列举法逐个情况都列出来即可求得结果.【详解】列举法：依次将标识符号为：-1-2-3-4-5-，将它们依次取出，一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，所有的可能结果如下：（1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3），（1，2，5，3，4），（1，5，2，3，4），（1，5，2，4，3），（1，5，4，2，3），（1，5，4，3，2），（5，4，1，2，3），（5，4，1，3，2），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1），（5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3），（5，1，4，2，3），（5，1，4，3，2）共16种可能．其中1，2连在一起有（1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3），（1，2，5，3，4），（5，4，1，2，3），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1），（5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3）9种可能．，故选：D．8.已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】表达出，将其代入双曲线上，整理得到，计算出.【详解】由对称性，知轴，，，四边形是正方形，则，，则，，则在双曲线上，，即，即，化简整理得，即，所以，即，又，故，解得或（舍去）.故选：C．【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量，，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】掌握正态分布中的含义，结合正态曲线的对称性求解即可.【详解】对于选项A，由正态曲线的对称性知，故A正确；对于选项B，因为，所以，故B错误；对于选项C，因为，故C错误；对于选项D，，故D正确．故选：AD.10.现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】对于A：利用全概率求；对于B：利用对立事件概率公式求；对于CD：根据条件概率公式运算求解.【详解】由题意可得：，，对于A：由全概率公式可得，故A错误；对于B：，故B正确；对于CD：，故C正确；，故D正确．故选：BCD.11.在平面直角坐标系中，已知点和曲线上不同两点，记，则下列结论中正确的是（）A.若点和直线上不同两点，则的最小值为0B.若点和椭圆上不同两点，则的最大值为0C.若点和圆上不同两点，，则的最大值为D.若点和双曲线右支上不同两点，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】数形结合，可判断AB的真假；结合基本不等式和余弦定理，可判断C的真假；结合双曲线的定义，可判断D的真假.【详解】对于选项A，如图1，2，．故A正确；对于选项B，，（三点共线时取等号）．故B错误；对于选项C，如图3，可知圆，圆心，又，故为圆直径，连接，则，因为，,且,所以：，又，（时取等号）．．故C正确；对于选项D，如图4，可知点是双曲线的左焦点，设右焦点为．由双曲线的定义，得，即（当点在线段上时取等号）．故D正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：对C选项，结合余弦定理，得到是判断C选项的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.两平行直线，之间的距离为______．【答案】##【解析】【分析】先将变换直线为，再利用两平行线间的距离即可求得结果.【详解】由题意得，由两平行线间的距离公式，得．故答案为：13.“九江之夜”文旅街区是我市重点引进的文旅项目，它坐落在我市濂溪区芳兰湖畔，一经开业便引得广大市民游客争相打卡．为了更好的服务招亲广场、电音舞台、篝火广场、水系舞台这四个网红打卡点，主管单位向我市征集了5名志愿者，若要求每个网红点至少安排一名志愿者，每名志愿者只服务一个网红点，则电音舞台恰好安排两人的方法有______种．【答案】60【解析】【分析】根据题意，利用排列组合知识结合分步乘法计数原理求解.【详解】第1步：电音舞台先安排2人有种方法；第2步：将剩余3人分给其余的3个网红点，有种方法．故电音舞台恰好安排两人的方法有种．故答案为：6014.在直四棱柱中，底面是平行四边形，，，，点是的中点，是平面内一动点，则周长的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】首先根据题意做出图形，找出关于平面的对称点，再利用等量代换与两点之间距离最短，即可求得结果.【详解】如图，，，，由余弦定理得，，即．延长至，使得，连接，则四边形为正方形，，由直四棱柱知，平面，即为关于平面的对称点，．故的周长．故答案为：【点睛】关键点点睛：做出图形，找出关于平面的对称点，利用等量代换与两点之间距离最短即可.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点．（1）求圆的标准方程；（2）设直线的倾斜角分别为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用待定系数法，求出圆的一般方程，再转化成标准方程，即可求解；（2）先求圆心到直线的距离，数形结合求得，再利用倍角公式，即可求解.【小问1详解】设圆的一般方程为，则解得所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为.【小问2详解】如图，点到直线的距离，又圆的半径，所以，所以.16.“甲辰龙腾、盛世中华”．2024年5月25至26日，九江银行•“庐山杯”长江经济带龙舟邀请赛在九江市浔阳区南门湖隆重举行，本次赛事共邀请了来自长江经济带11个沿江省市、江西省11个地市和九江市16个县（市、区）共计37支代表队参赛．赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次龙舟赛喜爱程度的调查，现随机抽取100份进行调查统计，得到如下列联表．喜爱不喜爱合计男2060女1540合计45（1）完成列联表，并根据小概率值，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否与性别有关；（2）已知在地方组500米直道赛比赛中，闯入决赛的有4支市区代表队：浔阳区，经开区、濂溪区、八里湖新区和4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县．假设决赛中各支队伍的实力相当，设随机变量表示决赛后前3名中市区代表队的队数，求的分布列及数学期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910828【答案】（1）列联表见解析，有关（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）补充列联表，根据的计算公式判断是否与性别有关即可；（2）依题意，得，利用古典概型的概率公式求出概率得到分布列，再利用数学期望的计算公式求出期望即可.【小问1详解】列联表补充如下喜爱不喜爱合计男402060女152540合计5545100又，故可判断该市市民对本次龙舟赛喜爱程度是与性别有关.【小问2详解】依题意，得，，，，，则的分布列如下：0123则.17.在四棱锥中，已知底面是边长为的正方形，，．（1）求证：；（2）设为的中点，求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.【小问1详解】在四棱锥中，连接交于，连接，四边形为正方形，由，，，得，则，由为的中点，得，又，又，平面，因此平面，又平面，所以.【小问2详解】由，为的中点，得，又，平面，即平面，以为原点直线分别为轴建立空间直角坐标系，，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，所以平面与平面所成角的余弦值为.18.如图，已知，，，，是椭圆的左右顶点，是椭圆上位于轴上方的两点，．当时的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意知，再由三角形面积得出，得出在椭圆上，代入即可求得结果.（2）根据题意延长交椭圆于点，连接，根据图形的对称性可知，则，求为定值，即证为定值，再设直线利用韦达定理即可求得结果.小问1详解】依题可知当时，由，得即点在椭圆上，代入得，解得故椭圆的方程为小问2详解】延长交椭圆于点，连接．由图形的对称性可知，则设直线方程：，，，联立消去，整理得，要证为定值，即证为定值，即证为定值为定值，即为定值19.“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是．（1）求甲在一局比赛中得0分的概率；（2）已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）完成一局比赛即为甲、乙、丙各出一次石头剪刀布，再分析其中甲得0分的各种情况，即可得解；（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】甲在一局比赛中得0分包含以下情况：①三人出现三种手势：有种情况②三人出现两种手势且甲为输者：有种情况故所求概率【小问2详解】在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得0分为事件，可知；设三人出现同一种手势，即每人各得1分为事件，可知；设三人出现两种手势，即有人得4分为事件，可知设游戏结束时有人得分为3分以上（