2024年广东省中考数学试卷(含答案解析)

2024年广东省中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（3分）-2的相反数是（）

A.2B.-2C.1D.-1

22

2.（3分）如图所示，a与b的大小关系是（）

i-------L

A.a<bB.a>bC.a=bD.b=2a

3.（3分）下列所述图形中，是中心对称图形的是（）

A.直角三角形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形

4.（3分）据广东省旅游局统计显示，2024年4月全省旅游住宿设施接待过夜游

客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（）

A.0.277X107B.0.277X108C.2.77X107D.2.77X108

5.（3分）如图，正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边正方

形EFGH的周长为（）

H

A.V2B.2亚C.V2+1D.2A/2+1

6.（3分）某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3000元，4000

元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（）

A.4000元B.5000元C.7000元D.10000元

7.（3分）在平面直角坐标系中，点P（-2,-3）所在的象限是（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的包标为（4,3）,那么cosa的值

是)

9.（3分）已知方程x・2y+3=8,则整式x・2y的值为（）

A.5B.10C.12D.15

10.（3分）如图，在正方形ABCD中，点P从点A动身，沿着正方形的边顺时

针方向运动一周，则4APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图

B.

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11.（4分）9的算术平方根是.

12.（4分）分解因式：m2-4=.

x-l42-2x

13.（4分）不等式组2x、x-l的解集是.

14.（4分）如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，绽开后得到扇形AOC,已知圆链

的高h为12cm,OA=13cm,则扇形AOC中菽的长是cm（计算结果保留

15.（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2逝，E为BC边上一点，BC=3BE,

将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的处，则

16.（4分）如图，点P是四边形ABCD外接圆上随意一点，且不与四边形顶点重

合，若AD是。。的直径，AB=BC=CD.连接PA、PB、PC,若PA=a,则点A到PB

和PC的距离之和AE+AF=.

三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）

17.（6分）计算：|-3|-（2024+sin30°）°-（-1）工

2

18.（6分）先化简，再求值：总及•一一卜空心，其中

aa2+6a+9a2-9

19.（6分）如图，己知^ABC中，D为AB的中点.

（1）请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE（保留作图痕迹，不要求写

作法）;

（2）在（1）的条件下，若DE=4,求BC的长.

A

D

BC

四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）

20.（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采纳新的施工方式，工效提升

了50%,结果提前4天完成任务.

（1）求这个工程队原安排每天修建道路多少米？

（2）在这项工程中，假如要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修

建道路的工效比原安排增加百分之几？

21.（7分）如图，RtAABC中，ZB=30°,ZACB=90°,CD1AB交AB于D,以

CD为较短的直角边向4CDB的同侧作RtZXDEC,满意NE=30°,ZDCE=90°,再用

同样的方法作RtAFGC,ZFCG=90°,接着用同样的方法作RtAHIC,ZHCI=90°.若

AC=a,求Cl的长.

GI

22.（7分）某学校打算开展“阳光体育活动〃，确定开设以下体育活动项目：足球、

乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必需且只能选择一项，为了解选择各种体

育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数

据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请依据统计图回答问题：

（1）这次活动一共调查了名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于度；

（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是

人.

各项目人数扇形统计圜

五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）

23.（9分）如图，在直角坐标系中,直线y=kx+1（kWO）与双曲线y=2（x>0）

x

相交于点P（1，m）.

（1）求k的值；

（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（）；

（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0,1）,求该抛物线的函数解

3

析式，并求出抛物线的对称轴方程.

24.（9分）如图，。。是△ABC的外接圆，BC是③。的直径，ZABC=30°,过点

B作。O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过

点A作。O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.

（1）求证：AACFSADAE；

（2）若S/Aoc;亚，求DE的长；

4

（3）连接EF,求证：EF是。。的切线.

D

B

E

25.（9分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2,边BC在其所在的直线上

平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD,并过点Q作QOLBD,垂

足为0,连接0A、0P.

（1）请干脆写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请推断0A、0P之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y=SMPB,BP=x（0WxW2）,求y与x之间的函数关

系式，并求出y的最大值.

2024年广东省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（3分）-2的相反数是（）

A.2B.-2C.1D.-1

22

【分析】依据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数.

【解答】解：依据相反数的定义，-2的相反数是2.

故选：A.

【点评】本题考查了相反数的意义.留意驾驭只有符号不同的数为相反数，。的

相反数是0.

2.（3分）如图所示，a与b的大小关系是（）

i----------L

A.a<bB.a>bC.a=bD.b=2a

【分析】依据数轴推断出a,b与零的关系，即匕.

【解答】依据数轴得到a<0,b>0,

故选A

【点评】此题是有理数大小的比较，主要考查了识别数轴上的点表示的数，也是

解本题的难点.

3.（3分）下列所述图形中，是中心对称图形的是（）

A.直角三角形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形

【分析】依据中心对称图形的定义对各选项分析推断即可得解.

【解答】解：A、直角三角形不是中心对称图形，故本选项错误；

B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；

C、正五功形不是中心对称图形，故本选项错误：

D、正三角形不是中心对称图形，故本选项错误.

故选B.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要找寻对称中心，旋

转180度后两部分重合.

4.（3分）据广东省旅游局统计显示，2024年4月全省旅游住宿设施接待过夜游

客约27700000人，将27700000用科学记数法表示为（）

A.0.277X107B.0.277X108C.2.77X107D.2.77X108

【分析】科学记数法的表示形式为aXl（r的形式,其中忆|V10,n为整数.确

定n的值时，整数位数减1即可.当原数肯定值＞10时，n是正数；当原数的肯

定值VI时，n是负数.

【解答】解：将27700000用科学记数法表示为2.77X107,

故选C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10n的

形式，其中lW|a|V10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

5.（3分）如图，正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边正方

形EFGH的周长为（）

H

A.V2B.2亚C.后+1D.2V2+1

【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=g=l,ZBCD=90°,CE=CF=1,

2

得出4CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得

出正方形EFGH的周长.

【解答】解：,・,正方形ABCD的面积为1,

・・.BC=CD=W=1，ZBCD=90°,

YE、F分别是BC、CD的中点,

ACE=1BC=1,CF=1CD=1,

2222

ACE=CF,

/.△CEF是等腰直角三角形，

・・・EF=&CE;返，

2

，正方形EFGH的周长=4EF=4X返=2班；

2

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；娴熟驾驭正

方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键.

6.（3分）某公司的拓展部有五个员T,他们每月的T资分别是3000元，4000

元，5000元，7000元和10000元，那么他们工资的中位数是（）

A.4000元B.5000元C.7000元D.10000元

【分析】找中位数要把数据按从小到大的依次排列，位于最中间的一个数（或两

个数的平均数）为中位数.

【解答】解:从小到大排列此数据为:3000元,4000元,5000元，7000元,10000

元，

5000元处在第3位为中位数，

故他们工资的中位数是5000元.

故选B.

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的实力.一些学生往往

对这个概念驾驭不清晰，计算方法不明确而误选其它选项，留意找中位数的时候

肯定要先排好依次，然后再依据奇数和偶数个来确定中位数，假如数据有奇数个，

则正中间的数字即为所求，假如是偶数个则找中间两位数的平均数.

7.（3分）在平面直角坐标系中，点P（-2,-3）所在的象限是（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【分析】依据各象限内点的坐标特征解答即可.

【解答】解：点P（-2,-3）所在的象限是第三象限.

故选C.

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符

号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）;其次象限1-,

+）；第三象限（-，-）；第四象限（+,-）

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的2标为（4,3）,那么cosa的值

【分析】利用勾股定理列式求出0A,再依据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即

可.

【解答】解：由勾股定理得

所以cosa=—.

5

故选D.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概

念并精确识图求出0A的长度是解题的关键.

9.（3分）已知方程x・2y+3=8,则整式x・2y的值为（）

A.5B.10C.12D.15

【分析】依据等式的性质1：等式两边同时加上-3,可得x-2y=5.

【解答】解：由x-2y+3=8得：x-2y=8-3=5,

故选A

【点评】本题考查了等式的性质，特别简洁，属于基础题；娴熟驾驭等式的性质

是本题的关键，也运用了整体的思想.

10.(3分)如图，在正方形ABCD中，点P从点A动身，沿着正方形的边顺时

针方向运动一周，则aAPC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图

B.

【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种状况，表示出y与x的函数解析式，确

定出大致图象即可.

【解答】解：设正方形的边长为a,

当P在AB边上运动时，y=Aax；

2

当P在BC边上运动时，y=^a(2a-x)=--^ax+a2；

22

当P在CD边上运动时，y=—a(x-2a)=-^ax-a2；

22

当P在AD边上运动时，y=—a(4a-x)=--ax-2a2,

22

大致图象为：户J'

故选c.

【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象,

了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程.

二、填空题(共6小题，每小题4分，满分24分)

11.(4分)9的算术平方根是.3.

【分析】9的平方根为±3,算术平方根为非负，从而得出结论.

【解答】解：・・・(±3)2=9,

・・・9的算术平方根是[二3=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负.

12.(4分)分解因式：m2-4=(m+2)(m・2).

【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可.平方差公

式：a2-b2=(a+b)(a-b).

【解答】解：m2-4=[m+2)(m-2).

故答案为：(m+2)(m-2).

【点评】本题考查了平方差公式因式分解.能用平方差公式进行因式分解的式子

的特点是：两项平方项；符号相反.

x-2-2x

13.(4分)不等式组,2x、x-l的解集是-3<x〈l.

【分析】分别解两个不等式得到xWl和x>-3,然后利用大小小大中间找确定

不等式组的解集.

2-2x①

【解答】解：《2x，

解①得xWl,

解②得X>-3,

所以不等式组的解集为-3VxWl.

故答案为-3VxWl.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出

其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不

等式组的解集.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小

找不到.

14.（4分）如图，把一个圆锥沿母线0A剪开，绽开后得到扇形AOC,已知圆锥

的高h为12cm,0A=13cm,则扇形AOC中菽的长是一10ncm（计算结果保留

【分析】依据菽的长就是圆锥的底面周长即可求解.

【解答】解：•・•圆锥的高h为12cm,0A=13cm,

・•.圆锥的底面半径为京qP=5cm,

・•・圆锥的底面周长为lOncm,

，扇形AOC中菽的长是lOncm,

故答案为：10n.

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于绽开扇

形的弧长，难度不大.

15.（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2j5，E为BC边上一点，BC=3BE,

将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的夕处，则AB二

V3_.

【分析】先依据折叠得出BE二BE且NAB乍=NB=9O°,可知△EBt是直角三角形,

由已知的BC=3BE得EC=2BE得出NACB=30。，从而得出AC与AB的关系，求出

AB的长.

【解答】解：由折叠得：BE=B'E,ZAB/E=ZB=90\

・・・NEB'C=90°,

BC=3BE,

，EC=2BE=2BZE,

/.ZACB=30°,

在ABC中,AC=2AB,

/.AB=1AC=1-X2冷加，

故答案为：Vs.

【点评】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是本题的

关键，同时还运用了直角三角形中假如一条直角边是斜边的一半，那么这条直角

边所对的锐角是30。这一结论，是常考题型.

16.（4分）如图，点P是四边形ABCD外接圆上随意一点，且不与四边形顶点重

合，若AD是。。的直径，AB=BC=CD.连接PA、PB、PC,若PA=a,则点A到PB

和PC的距离之和AE+AF=_

【分析】如图，连接OB、OC.首先证明NAOB=NBOC=NCOD=60°,推出NAPB二工

2

ZAOB=30°,ZAPC=-l-ZAOC=60o,依据AE=AP・sin30°,AF=AP»sin60°,即可解决

2

问题.

【解答】解：如图，连接OB、OC.

p

TAD是直径，AB=BC=CD,

,,AB=CD，

，ZAOB=ZBOC=ZCOD=60°,

・・・ZAPB=1ZAOB=30°,ZAPC=1ZAOC=60°,

22

在RtZ^APE中，・.・NAEP=90。（AE是A到PB的距离，AE±PB）,

.•.AE=AP-sin300=-la,

2

在RtAAPF中,9：ZAFP=90°,

.•.AF=AP*sin6O°=2Zla,

_2

・・.AE+AF=1+愿a.

2

故答案为11亚a.

2

【点评】本题考查圆周角定理、锐角三角函数等学问，解题的关键是学会添加常

用协助线，学会利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题（共3小题，每小题6分，满分18分）

17.（6分）计算：|-3|-（2024+sin30°）（-工）工

2

【分析】依据实数的运算依次，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算

式|-3|-（2024+sin30°）0-（-工）.】的值是多少即可.

2

【解答】解：|-3|-（2024+sin30°）°-（-X）

2

=3-1+2

=2+2

=4.

【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要娴熟驾驭，解答此题的关键是要明

确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开

方，再算乘除，最终算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要依据从左

到有的依次进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍旧适用.

（2）此题还考查了零指数辕的运算，要娴熟驾驭，解答此题的关键是要明确：

®a0=l（aWO）；②0°WL

（3）此题还考查了特别角的三角函数值，要牢记30。、45。、60。角的各种三角函

数值.

（4）此题还考查了负整数指数索的运算，要娴熟驾驭，解答此题的关键是要明

确：①（aWO,p为正整数）；②计算负整数指数事时，肯定要依据负整

ap

数指数察的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可

变为正指数.

18.（6分）先化简，再求值：空—+空心，其中

aa2+6a+9a2-9

【分析】原式第一项约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到最

简结果，把a的值代入计算即可求出值.

【解答】解：原式;月展，612殳-3)_6*2a_2(a+3)-2,

a(a+3)2Q+3)(a-3)a(a+3)a(a+3)a(a+3)a

当N一］时，原式=&谒翳1r回

【点评】此题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键.

19.（6分）如图，已知^ABC中，D为AB的中点.

（1）请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE（保留作图痕迹，不要求写

作法）;

（2）在（1）的条件下，若DE=4,求BC的长.

【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可.

（2）依据三角形中位线定理即可解决.

【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E,点E就是所求的点.

（2）VAD=DB,AE=EC,

ADE/7BC,DE=1BC,

2

VDE=4,

/.BC=8.

【点评】本题考查基本作图、三角形中位线定理等学问，解题的关键是驾驭线段

垂直平分线的作法，记住三角形的中位线定理，属于中考常考题型.

四、解答题（共3小题，每小题7分，满分21分）

20.（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采纳新的施工方式，工效提升

了50%,结果提前4天完成任务.

（1）求这个工程队原安排每天修建道路多少米？

（2）在这项工程中，假如要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修

建道路的工效比原安排增加百分之几？

【分析】（1）设原安排每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，依据

题意，列方程解答即工;

（2）由（1）的结论列出方程解答即可.

【解答】解：（1）设原安排每天修建道路x米,

可得：12002200

xl.5x'

解得：x=100,

经检验x=100是原方程的解,

答：原安排每天修建道路100米;

（2）设实际平均每天修建道路的工效比原安排增加y%,

可得：器品瑞铲,

解得:y=20,

经检验y=20是原方程的解，

答：实际平均每天修建道路的工效比原安排增加百分之二十.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，

设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.

21.（7分）如图，RtAABCZB=30°,ZACB=90°,CD_LAB交AB于D,以

CD为较短的直角边向2\CDB的同侧作RtZXDEC,满意NE=30。，ZDCE=90°,再用

同样的方法作RtAFGC,NFCG=90°,接着用同样的方法作RtAHIC,ZHCI=90°.若

AC=a,求。的长.

【分析】本题介绍两种方法：

①在RtAACD中，利用30度角的性质和勾股定理求CD的长；同理在RtAECD

中求FC的长，在RtZ\FCG中求CH的长；最终在RtZ^HQ中，利用30度角的性

质和勾股定理求Q的长.

②在RtZXDCA中，利用30。角的余弦求CD,同理依次求CF、CH、CP,最终利用

正弦求Q的长.

【解答】解：解法一：在RtZXACB中，ZB=30°,ZACB=90°,

AZA=90°-30°=60°,

VCD1AB,

.•.ZADC=90°,

AZACD=30°,

在RtZXACD中,AC=a,

.*.AD=la,

2

由勾股定理得：CD=42_ga产年,

同理得：FC二亚xl上至，CH=Y1X至二当

224248

在RtZXHCI中，Zl=30°,

・，.HI=2HC=

4_____________________

由勾股定理得：CI=J（3f0产/乎产咨,

解法二：ZDCA=ZB=30°,

在RtAiDCA中，cos30。=型，

AC

，CD=AC-cos30°=1a,

2

在RtZSXDF中，cos30°=雪

CD

CF二返X®:

224

同理得：CH=cos30℃F=Y3xWa二皿ia,

248

在《△HQ中，ZHIC=30°,

tan30°=™,

CI

Q二缢・叵型a；

838

答：。的长为包.

8

【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形含30。角的性质，在直角三角形中，

30。角所对的直角边等于斜边的一半，这一性质常常运用，必需娴熟驾驭；司时

在运用勾股定理和直角三角形含30。角的性质时:肯定要书写好所在的直角三角

形，尤其是此题多次运用了这一性质，此题也可以利用三角函数解决.

22.（7分）某学校打算开展“阳光体育活动〃，确定开设以下体育活动项目：足球、

乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必需且只能选择一项，为了解选择各种体

育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数

据进行整理.，绘制出以下两幅不完整的统计图，请依据统计图同答问题：

（1）这次活动一共调查了_迦_名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于108」度:

（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是胭

人.

【分析】（1）由〃足球〃人数及其百分比可得总人数；

（2）依据各项目人数之和等于总人数求出“篮球〃的人数，补全图形即可;

（3）用“篮球〃人数占被调查人数的比例乘以360。即可；

（4）用总人数乘以样本中足球所占百分比即可得.

【解答】解：（1）这次活动一共调查学生：804-32%=250（人）；

（2）选择“篮球〃的人数为：250-80-40-55=75（人），

补全条形图如图：

（3）选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角为：JLX36O°=1O8°；

250

（4）估计该学校选择足球项目的学生人数约是：1500X32%=480（人）；

故答案为：（1）250；（3）108；（4）480.

【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中

得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清晰地表示出每个项目的数

据；扇形统计图干脆反映部分占总体的百分比大小.

五、解答题（共3小题，每小题9分，满分27分）

23.(9分)如图，在直角坐标系中，直线厂kx+1(kWO)与双曲线y=2(x>0)

相交于点P(1,m).

(1)求k的值；

(2)若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q(2,1)；

(3)若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N(0,1),求该抛物线的函数解

析式，并求出抛物线的对称轴方程.

环

4-

P(\fm)

O-1-2-3~4^

Z-1-

【分析】(1)干脆利用图象上点的坐标性质进而弋入求出即可；

(2)连接PO,QO,PQ,作PA_Ly轴于A,QB_Lx轴于。于是得到PA=1,OA=2,

依据点Q与点P关于直线y=x成轴对称，得到直线y=x垂直平分PQ,依据线段

垂直平分线的性质得到OP=OQ,依据全等三角形的性质得到QB=PA=1,OB=OA=2,

于是得到结论；

(3)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c,把P、Q、N(0,—)代入y=ax2+bx+c,

解方程组即可得到结论.

【解答】解：(1)•・•直线y=kx+l与双曲线y=2(x>0)交于点A(1,m),

Am=2,

把A(1,2)代入y=kx+1得：k+l=2,

解得：k=l；

(2)连接PO,QO,PQ,作PAJ_y轴于A,QB_Lx轴于B,则PA=1,OA=2,

・・•点Q与点P关于直线y=x成轴对称，

・・.直线广x垂直平分PQ,

.\OP=OQ,

.\ZPOA=ZQOB,

在aopA与△OQB中，

rZPA0=Z0BQ

<NPOA二NQOB，

OP=OQ

.,.△POA^AQOB,

.e.QB=PA=l,OB=OA=2,

・・・Q(2,1)；

故答窠为：2»1；

(3)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c,

・・,过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N(0,5),

3

，2=a+b+c

,l=4a+2b+c

5

二2

a-万

解得：b二1,

5

・•・抛物线的函数解析式为y=-Zx2+x+也，

33

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性

质，解题需把点的坐标代入函数解析式，敏捷利月方程组求出所需字母的值，从

而求出函数解析式，娴熟驾驭待定系数法求函数的解析式是解题的关键.

24.（9分）如图，。。是^ABC的外接圆，BC是。。的直径，ZABC=30°,过点

B作。0的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径A0的延长线交于点E,过

点A作00的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.

（1）求证：△ACFS/XDAE；

（?）若鼠AOC=退，求DF的长：

4

（3）连接EF,求证：EF是。。的切线.

【分析】（1）依据圆周角定理得至ljNBAC=90°,依据三角形的内角和得到ZACB=60°

依据切线的性质得到N'OAF=90。，ZDBC=90°,于是得到ND=NAFC=30。由相像三

角形的判定定理即可得到结论；

（2）依据SMOC二运，得到S^AC尸正，通过△ACFsaDAE,求得SMAE=2叵，

444

过A作AHLDE于H,酢直角三角形得到AH二返DH=2历DE,由三角形的面积公

33

式列方程即可得到结论；

（3）依据全等三角形的性质得到OE=OF,依据等腰三角形的性质得到NOFG二工

2

（180°-ZEOF）=30°,于是得到NAFO二NGFO,过0作OG_LEF于G,依据全等

三角形的性质得到OG=OA,即可得到结论.

【解答】（1）证明：:BC是。。的直径，

AZBAC=90°,

VZABC=30°,

・•.ZACB=60°

VOA=OC,

AZAOC=60°,

・；AF是。O的切线,

.,.ZOAF=90°,

AZAFC=30°,

VDE是。0的切线，

AZDBC=90°,

AZD=ZAFC=30°

AZDAE=ZACF=120°,

.*.AACF^ADAE；

(2)VZACO=ZAFC+ZCAF=30°+ZCAF=60°,

/./CAF=3O°,

AZCAF=ZAFC,

AAC=CF

AOC=CF,

,**SAAOC=^-»

4

SAACF=^^»

4

VZABC=ZAFC=30°,

AAB=AF,

VAB=1BD,

2

AAF=1BD,

2

AZBAE=ZBEA=30°,

.\AB=BE=AF,

・AF=1,

**DFT

VAACF^ADAE,

・SAACF,(AF)2.1

^ADAEDE9

・

••、c/\DAE_--------，

4

过A作AH_LDE于H,

AAH=2Z1DH=2Z1DE,

36

AS-ADE=—DE»AH=-LX2Z1.DE2=-^Z1,

2264

ADE=373；

(3)VZEOF=ZAOB=120°,

“OBE二NOAF

在△AOF与ABOE