高考复习专题练习专题20函数的基本性质小题(单调性、奇偶性、周期性、对称性)(学生版+解析)

专题20函数的基本性质小题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）解题秘籍解题秘籍定义域①分式函数定义域：②偶次根式函数的定义域：③次幂型函数的定义域：④对数函数的定义域：⑤正切函数的定义域：单调性单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）复合函数的单调性奇偶性①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：，图象关于原点对称偶函数：，图象关于轴对称③奇偶性的四则运算周期性（差为常数有周期）①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）对称性（和为常数有对称轴）轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：模拟训练模拟训练一、单选题1．（22·23下·西安·一模）定义在R上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C．1 D．32．（22·23·攀枝花·三模）定义在R上的连续函数满足，且为奇函数.当时，，则（

）A． B． C．2 D．03．（22·23·南宁·一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（

）A．5 B．4 C．3 D．04．（23·24上·吉林·一模）已知函数，的定义域均为，，且，则（

）A．24 B．26 C．28 D．305．（22·23·九江·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（

）A． B． C． D．6．（22·23·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．7．（22·23下·湖北·二模）已知函数图象的对称轴为，则图象的对称轴为（

）A． B．C． D．8．（23·24·雅安·一模）已知函数的定义域为恒成立.当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．9．（23·24上·绵阳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．是以4为周期的函数 D．的图象关于对称10．（23·24上·绵阳·一模）若函数满足，则说的图象关于点对称，则函数的对称中心是（

）A． B． C． D．11．（22·23下·大庆·二模）记，若（且），则称是的n次迭代函数．若，则（

）A． B． C．2022 D．202312．（2023·吉安·一模）若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为（

）A．2016 B．2017 C．4032 D．403413．（22·23·惠州·一模）若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，且，则称函数为“类奇函数”．若某函数是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（

）A．若0在定义域中，则B．若，则C．若在上单调递增，则在上单调递减D．若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数”14．（22·23下·辽宁·二模）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（

）．A．1348 B．1347 C．1346 D．134515．（22·23下·包头·一模）定义在R上的不恒为零的偶函数满足，且．则（

）A．30 B．60 C．90 D．12016．（22·23下·常德·一模）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（

）A． B．0 C．1 D．217．（22·23·新乡·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．18．（22·23下·全国·三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．19．（23·24上·宁波·一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个20．（22·23下·南充·三模）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（

）A．615 B．616 C．1176 D．2058二、多选题21．（22·23·衡水·一模）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（

）A． B．C． D．22．（23·24上·郴州·一模）定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（

）A． B．为的对称轴C． D．23．（22·23下·长沙·一模）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（

）A． B．C．为奇函数 D．为偶函数24．（22·23·齐齐哈尔·一模）定义在上的函数满足，且当时，，则（

）A． B．的一个周期为3C．在上单调递增 D．25．（22·23·河北·一模）已知符号函数，偶函数满足，当时，，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．26．（23·24上·宁波·一模）已知函数：，对任意满足的实数，均有，则（

）A． B．C．是奇函数 D．是周期函数27．（22·23下·莆田·二模）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（

）A． B．为偶函数C． D．28．（22·23下·聊城·一模）已知奇函数的定义域为，，对于任意的正数，都有，且时，都有，则（

）A．B．函数在内单调递增C．对于任意都有D．不等式的解集为29．（22·23·茂名·二模）已知定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，，…，，给出以下结论，其中正确的是（

）A． B．函数为偶函数C．函数在区间上单调递减 D．30．（23·24上·永州·一模）已知函数与的定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是（

）A．4为的一个周期 B．C． D．31．（22·23下·厦门·二模）定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则(

)A．的图象关于对称 B．4是的一个周期C． D．32．（22·23上·安徽·二模）已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（

）A．B．函数的图象关于点对称C．D．若，则三、填空题33．（22·23下·南京·二模）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数．34．（22·23·海口·二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是．35．（23·24上·湖北·一模）已知函数是上的奇函数，，都有成立，则．36．（22·23·江西·二模）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则.37．（22·23·松江·二模）已知函数为上的奇函数；且，当时，，则．38．（22·23下·绍兴·二模）已知函数为偶函数，且，则.39．（23·24上·浙江·一模）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则.四、双空题40．（22·23下·青岛·一模）设函数是定义在整数集Z上的函数，且满足，，对任意的，都有，则；．专题20函数的基本性质小题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）解题秘籍解题秘籍定义域①分式函数定义域：②偶次根式函数的定义域：③次幂型函数的定义域：④对数函数的定义域：⑤正切函数的定义域：单调性单调性的运算①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③为↗，则为↘，为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）复合函数的单调性奇偶性①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：，图象关于原点对称偶函数：，图象关于轴对称③奇偶性的四则运算周期性（差为常数有周期）①若，则的周期为：②若，则的周期为：③若，则的周期为：（周期扩倍问题）④若，则的周期为：（周期扩倍问题）对称性（和为常数有对称轴）轴对称①若，则的对称轴为②若，则的对称轴为点对称①若，则的对称中心为②若，则的对称中心为周期性对称性综合问题①若，，其中，则的周期为：②若，，其中，则的周期为：③若，，其中，则的周期为：奇偶性对称性综合问题①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：模拟训练模拟训练一、单选题1．（22·23下·西安·一模）定义在R上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】先求出函数的周期，再根据对称性求解.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，又，所以，则，即是以4为周期的周期函数，；故选:B.2．（22·23·攀枝花·三模）定义在R上的连续函数满足，且为奇函数.当时，，则（

）A． B． C．2 D．0【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期为，再根据求解即可.【详解】因为函数满足，所以关于对称，即①.又因为为奇函数，所以，即②.由①②知，所以，即，所以函数的周期为，所以，,因为时，，所以，又为奇函数，所以当时，，所以，故选：B.3．（22·23·南宁·一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（

）A．5 B．4 C．3 D．0【答案】B【分析】根据已知条件求得的对称轴、对称中心、周期以及的周期，据此即可求得结果.【详解】∵，∴以为对称中心，且；∵即，∴为偶函数，以轴为对称轴；∴，即，由知，，∴，，从而，即，∴的周期为4，∴的周期为4；故．故选：B.4．（23·24上·吉林·一模）已知函数，的定义域均为，，且，则（

）A．24 B．26 C．28 D．30【答案】C【分析】利用赋值法由求得，再由推得是周期函数，进而求得，从而得解.【详解】因为，所以；因为，所以，两式相减得，即是以为周期的周期函数，由，可得，，又，则，所以，则.故选：C.5．（22·23·九江·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求.【详解】由，令得．令，得，，．因为为偶函数，，即，曲线关于直线对称．又，图像关于点中心对称，，可得，即，又，的周期．，，．故选：A．6．（22·23·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.【详解】∵函数为偶函数，∴，即，∴函数的图象关于直线对称，又∵函数定义域为，在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴由得，，解得.故选：D.7．（22·23下·湖北·二模）已知函数图象的对称轴为，则图象的对称轴为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题设条件可得，故可得正确的选项.【详解】设，则，故，整理得到，所以图象的对称轴为.故选：C.8．（23·24·雅安·一模）已知函数的定义域为恒成立.当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先得到关于对称，结合得到，结合条件得到的单调性，结合，得到，由单调性求出解集.【详解】因为，所以关于对称，所以，因为，所以，因为，，故在上单调递增，所以在上单调递减，因为，，所以，当时，，结合单调性可知，当时，，结合单调性可知，故的解集为.故选：A9．（23·24上·绵阳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．是以4为周期的函数 D．的图象关于对称【答案】B【分析】根据抽象函数的对称性结合周期性判断各个选项即可.【详解】因为函数是定义域为的偶函数，所以，因为是奇函数，所以，将换成，则有，A：令，所以，因此本选项正确；B：因为，所以函数关于点对称，由，可得，的值不确定，因此不能确定的值，所以本选项不正确；C：因为，所以，所以，因此是以4为周期的函数，因此本选项正确；D：因为，所以，因此有，所以函数的图象关于对称，由上可知是以4为周期的函数，所以的图象也关于对称，因此本选项正确，故选：B.10．（23·24上·绵阳·一模）若函数满足，则说的图象关于点对称，则函数的对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想，计算出，从而求出对称中心.【详解】函数定义域为，定义域的对称中心为，所以可猜，则，，故所以的对称中心为，故选：C．11．（22·23下·大庆·二模）记，若（且），则称是的n次迭代函数．若，则（

）A． B． C．2022 D．2023【答案】B【分析】根据题意，由函数的解析式迭代可得，由此可得，进而可得，将代入计算可得答案．【详解】根据题意，，即，则，，，故有，所以，故.故选：B．【点睛】准确理解题干给出的“n次迭代函数”的概念并正确应用，是解决本题的关键.12．（2023·吉安·一模）若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为（

）A．2016 B．2017 C．4032 D．4034【答案】C【分析】先计算得到，再构造函数，判断的奇偶性得出结论．【详解】解：令得，，令得，，令，则，，，是奇函数，，即，．故选：C．13．（22·23·惠州·一模）若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，且，则称函数为“类奇函数”．若某函数是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（

）A．若0在定义域中，则B．若，则C．若在上单调递增，则在上单调递减D．若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数”【答案】C【分析】对A，根据“类奇函数”的定义，代入求解即可；对B，根据题意可得，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导判断即可.【详解】对于A，由函数是“类奇函数”，所以，且，所以当时，，即，故A正确；对于B，由，即随的增大而减小，若，则成立，故B正确；对于，由在上单调递增，所以，在上单调递减，设，在上单调递增，即在上单调递增，故C错误；对于D，由，所以，所以函数也是“类奇函数”，所以D正确；故选：C14．（22·23下·辽宁·二模）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（

）．A．1348 B．1347 C．1346 D．1345【答案】B【分析】根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得在上的零点个数，再分区间和讨论即可.【详解】在上满足，，关于直线和直线对称，，，，，所以的周期为6，又在闭区间上只有，则，，且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，则在闭区间上只有，同理可推得在也只有两个零点，因为，则在共有个零点，因为，且在的图象与的图象相同，则在上有个零点，则方程在闭区间上的根的个数为1347个.故选：B.【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．15．（22·23下·包头·一模）定义在R上的不恒为零的偶函数满足，且．则（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【分析】根据题意可以构造，得到，进而求出的值，当求出的值，从而求出结果.【详解】当，时，可化为，令，则，，所以，则，，，则，，则，，则，因为，当时,,即所以，则，则，所以，所以，故选：D.【点睛】关键点睛：函数综合问题需要观察题目特征，适当构造函数，并研究函数的性质，从而解决问题.16．（22·23下·常德·一模）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据奇函数的性质得到，由条件结合函数的对称性和周期性的定义得到函数的周期为，且，，即可求解.【详解】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，则，即函数关于点对称，所以有①，又②，所以函数关于直线对称，则由②得：，，所以，则又由①和②得：，得，所以，即，所以函数的周期为，则，所以，故选：A.【点睛】结论点睛：函数的定义域为，对，（1）存在常数，使得，则函数图象关于点对称.（2）存在常数使得，则函数图象关于直线对称.17．（22·23·新乡·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围.【详解】因为当时，；，所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.当时，，，故当时，对任意，不成立，当时，，同理当时，，以此类推，当时，必有.函数和函数的图象如图所示：因为当时，，令，解得，（舍去），因为当时，成立，所以.故选：A.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.18．（22·23下·全国·三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得当时，可得恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求的取值范围【详解】因为，函数在上的最小值为，所以对，恒成立，所以恒成立，即恒成立，当时，，当时，可得恒成立.当或时，不等式显然成立；当时，，因为，所以，，，所以；当时，，因为，所以，，，所以.综上可得，实数b的取值范围是.故选：D.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立⇔；(2)恒成立⇔.19．（23·24上·宁波·一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】B【分析】由题意有，通过分析得到，是满足题意的唯一解，注意检验.【详解】由题意若不等式在上恒成立，则必须满足，即，由，两式相加得，再由，两式相加得，结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，解得，经检验，当，时，，有，，满足在上恒成立，综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个.故选：B.【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.20．（22·23下·南充·三模）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则（

）A．615 B．616 C．1176 D．2058【答案】B【分析】由题意可以推出，，再结合可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，故；由函数为奇函数，则，整理可得，即函数关于对称，故；由，可得，所以，故，解得，所以，所以.

故选：B.二、多选题21．（22·23·衡水·一模）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】依次验证各选项中的函数是否满足即可.【详解】若的图象的对称轴方程为，则；对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，，，即不恒成立，C错误；对于D，，D正确.故选：BD.22．（23·24上·郴州·一模）定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（

）A． B．为的对称轴C． D．【答案】BCD【分析】由，得函数图象关于直线对称，由是奇函数，得的图象关于点对称，从而得是周期函数，4是它的一个周期，由，得图象关于点对称，从而知与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，由此可判断各选项．【详解】，则函数图象关于直线对称，B正确；是奇函数，即，，则的图象关于点对称，，，C正确；所以，从而，所以是周期函数，4是它的一个周期，，A错；又，图象关于点对称，因此与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，，D正确．故选：BCD．23．（22·23下·长沙·一模）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（

）A． B．C．为奇函数 D．为偶函数【答案】BD【分析】令和，即可判断选项AB；令，即可判断选项CD.【详解】令，则，∴或1．令，则，若，则，与不恒为0矛盾，∴，∴选项B正确选项A错误；令，则，∴，∴为偶函数，∴选项D正确选项C错误.故选：BD．24．（22·23·齐齐哈尔·一模）定义在上的函数满足，且当时，，则（

）A． B．的一个周期为3C．在上单调递增 D．【答案】ABD【分析】给x赋值可求得的值可判断A项，运用函数周期性定义可判断B项，求得当时，的解析式进而判断其单调性可判断C项，运用周期性求值即可判断D项.【详解】对于A项，因为当时，，所以，又因为，所以令，则，所以，故A项正确；对于B项，根据得，所以，所以，所以该函数的一个周期为3，故B项正确；对于C项，因为，所以，当时，则，又因为当时，，所以，所以，，又因为在上单调递减，所以由单调性性质可得在上单调递减，故C项错误；对于D项，由A项知，，，因为，所以令得，解得：，由B项可得，所以，又因为，所以结合周期性可得，故D项正确．故选：ABD.25．（22·23·河北·一模）已知符号函数，偶函数满足，当时，，则下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用函数的周期性及给定函数，求出函数的值域，再结合符号函数逐项判断作答.【详解】当时，，而是偶函数，则当，，因此当时，，其取值集合为，又，即是周期为2的函数，于是函数的值域为，的部分图象，如图，

当时，，A错误；，B错误；当时，，C正确；当时，取，则，此时，D错误.故选：ABD26．（23·24上·宁波·一模）已知函数：，对任意满足的实数，均有，则（

）A． B．C．是奇函数 D．是周期函数【答案】AC【分析】由条件等式通过赋值可判断AC选项；进而令，可得，可设，满足，进而验证BD选项是否满足，即可判断.【详解】由，令，则，即，因为，所以，故A正确；令，，则，即，即，所以，即，所以函数是奇函数，故C正确；令，则，由AC选项，不妨设，则，，满足，而BD选项不满足，故BD错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.27．（22·23下·莆田·二模）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（

）A． B．为偶函数C． D．【答案】ACD【分析】对于A，利用赋值法即可判断；对于B，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；对于C，利用换元法结合的奇偶性即可判断；对于D，先推得的一个周期为6，再依次求得，从而利用的周期性即可判断.【详解】对于A，因为，令，则，故，则，故A正确；对于B，因为的定义域为，关于原点对称，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故B错误；对于C，因为为偶函数，所以，令，则，故，令，则，故，又为奇函数，故，所以，即，故C正确；对于D，由选项C可知，所以，故的一个周期为6，因为，所以，对于，令，得，则，令，得，则，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于利用赋值法与函数奇偶性的定义推得的奇偶性，再结合题设条件推得为周期函数，从而得解.28．（22·23下·聊城·一模）已知奇函数的定义域为，，对于任意的正数，都有，且时，都有，则（

）A．B．函数在内单调递增C．对于任意都有D．不等式的解集为【答案】ACD【分析】根据已知应用赋值法判断A选项，结合奇函数判断C选项，根据单调性定义判断B选项，结合单调性解不等式判断D选项.【详解】已知,令可得,令可得,得,,A选项正确;奇函数的定义域为,，所以,又知,所以函数在内不是单调递增,B选项错误;对于任意的正数，都有，对于任意都有,,,又因为函数为奇函数，可得,C选项正确;对于任意的正数，都有，,又因为,所以,所以,又因为所以,所以,所以函数在内是单调递增,又因为函数为奇函数，所以函数在内是单调递增,不等式,,已知,令,因为可得，函数在内是单调递增,所以,已知,令,因为,可得，同理，,又因为函数为奇函数，,,又因为函数在内是单调递增,所以不等式的解集为,D选项正确；故选:ACD.29．（22·23·茂名·二模）已知定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，，…，，给出以下结论，其中正确的是（

）A． B．函数为偶函数C．函数在区间上单调递减 D．【答案】BCD【分析】根据已知条件可得函数的对称中心和对称轴，然后可得周期，进而可判断A；根据偶函数的定义，结合已知直接验证可判断B；由已知条件先判断在的单调性，然后利用对称性即可判断C；判断的对称性，结合的对称性即可求得所有交点横坐标之和，以及纵坐标之和，然后可判断D.【详解】因为，所以，的图象关于对称，因为函数为奇函数，所以的图象关于点对称，且又，所以，即，所以的周期为4，所以，故A错误；由上可知，，，故B正确；因为，当时，都有，即，所以在区间单调递增，因为的图象关于点对称，所以在区间单调递增，又的图象关于对称，所以在区间单调递减，C正确；因为，所以的图象关于点对称，所以与的交点关于点对称，不妨设则，所以，所以，D正确.故选：BCD30．（23·24上·永州·一模）已知函数与的定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是（

）A．4为的一个周期 B．C． D．【答案】ACD【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称，所以，所以①，而②，两式相加得，则③，所以，所以是的一个周期，A选项正确.由③令得，由①令得，由②令得，则，所以，所以，C选项正确.由①令得，由，得，两式相减得，即，且关于对称，，所以④，所以，所以是周期为的周期函数，所以，所以B选项错误.由④令得，所以，由于，所以所以，所以D选项正确.故选：ACD【点睛】有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常用的结论.如等等，这些都是与周期性有关；如等等，这些都是与对称性有关.31．（22·23下·厦门·二模）定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则(

)A．的图象关于对称 B．4是的一个周期C． D．【答案】AD【分析】对A：由函数的图象关于对称可推得的图象关于对称.对B：令,由及可得到的图象于对称且关于对称，故4为的一个周期,而不是的一个周期.对C：举例说明.对D：由的周期性求得的值.【详解】对A：因为关于对称,有，令，则，的图象关于对称.选项A正确；对B：由题设条件得，令，有，则的图象于对称，因为，有，即，则的图象关于对称.所以，又，所以，所以，所以，所以4为的一个周期，即，则.选项B不正确；对C：由上知图象关于对称，对称，则令符合题意，而.故C不正确;对D：因为图象关于对称，所以，故，有.选项D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性，周期性得到的性质，关于的求值问题也转化为的求值问题.32．（22·23上·安徽·二模）已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（

）A．B．函数的图象关于点对称C．D．若，则【答案】ABD【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断ABC，对于D，通过观察选项可以推断很可能为周期函数，结合，的特殊性以及一些已经证明的结论，想到当令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步可得出是周期函数，从而可得出的值.【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，再令，，代入已知等式得，可得，结合得，故A正确；对于B，再令，代入已知等式得，将代入上式，得，∴函数为奇函数，∴函数关于点对称，故B正确；对于C，再令，代入已知等式，得，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，故C错误；对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，两式相加易得，所以有，即：，有：，即：，∴为周期函数，且周期为3，∵，∴，∴，，∴，∴，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于含有，，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有，双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.三、填空题33．（22·23下·南京·二模）幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数．【答案】（答案不唯一）【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可.【详解】取，则定义域为R，且，，，满足.故答案为：.34．（22·23·海口·二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是．【答案】【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解.【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到，