备战2023年高考数学一轮复习-第2讲-用样本估计总体

第2讲用样本估计总体第十章统计与统计案例考向预测核心素养利用样本的均值、方差估计总体的集中趋势和离散程度是高考考查的热点，以客观题为主，中低难度.数据分析01基础知识回顾一、知识梳理1．总体百分位数的估计(1)百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)百分位数的意义反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点．2．总体集中趋势的估计名称概念中位数将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在__________________(当数据个数是奇数时)或________________________(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数众数一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数最中间的一个数据最中间两个数据的平均数3.总体离散程度的估计总体(样本)方差和总体(样本)标准差假设一组数据是x1，x2，…，xn，用

表示这组数据的平均数，那么这n个数的

常用结论二、教材衍化1．(人A必修第二册P202例2改编)一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为________，第86百分位数为________．解析：因为75%×20＝15，因为86%×20＝17.2，所以第86百分位数为第18个数据17.答案：14.5

172．(人A必修第二册P212例6改编)为调查高一年级学生期中考试数学成绩的情况，从(1)班抽取了12名学生的成绩，他们的平均分为91分，方差为3，从(2)班抽取了8名学生的成绩，他们的平均分为89分，方差为5，则合在一起后的样本均值为________，样本方差为________．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(

)(2)方差和标准差的单位是一样的．(

)(3)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值．(

)×√×二、易错纠偏1．(统计量意义作用不清致误)某鞋店试销一款新女鞋，销售情况如下表：鞋号/码3435363738394041数量/双259169532如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是(

)A．平均数B.众数C．中位数D.方差解析：鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数．√√3．(分层随机抽样所得样本的均值方差公式记忆不准致误)某学校有高中学生500人．其中男生320人，女生180人．希望获得全体高中生身高的信息，按照分层随机抽样原则抽取样本，男生样本量为32，女生样本量为18，通过计算男生身高样本均值为173.5cm，方差为17；女生身高样本均值为163.83cm，方差为30.03，则所有数据的样本均值为________cm，方差为________．答案：170.02

43.202核心考点共研考点一总体取值规律和百分位数的估计(自主练透)复习指导：通过样本数据或统计图表可对总体取值规律和百分位数进行估计．1．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是(

)A．该年第一季度GDP增长率由高到低排位第3的是山东省B．该年第一季度浙江省的GDP总量最低C．该年第一季度GDP总量和增长率由高到低排位均居同一位次的省份有2个D．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长√解析：由题图可知A，D项均正确，该年第一季度GDP总量和增长率由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一，河南均第四，共2个，故C项正确；该年浙江省的GDP增长率最低．故B项不正确．故选B.2．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.解析：底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.答案：243．下表为12名毕业生的起始月薪：毕业生起始月薪毕业生起始月薪128507289022950831303305092940428801033255275511292062710122880则此12名毕业生起始月薪的第85百分位数是________．解析：将12个数据按从小到大排序：2710，2755，2850，2880，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325.计算i＝12×85%＝10.2，所以所给数据的第85百分位数是第11个数据3130.答案：3130(1)计算一组数据第p百分位数的步骤(2)应用统计图表或样本数据提取关键信息，对总体取值规律作出估计，可培养数据分析的核心素养．考点二总体集中趋势的估计(综合研析)复习指导：众数、平均数、中位数等可以用来估计总体集中趋势．

(1)(2022·江西景德镇一中7月月考)为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株进行高度(单位：cm)测量，并将高度数据制成了如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图求得甲、乙两个品种树苗高度的平均值都是65.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是(

)A．甲品种的平均高度高于乙品种，但乙品种比甲品种长得整齐B．乙品种的平均高度高于甲品种，但甲品种比乙品种长得整齐C．甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长得整齐D．甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长得整齐√【解析】(1)由题可知，甲、乙两个品种高度的平均值相同，均为65.5，即甲、乙品种的平均高度差不多，从频率分布直方图可以看出乙品种比甲品种高度更集中，长得更整齐，故选D.(2)统计局就某地居民的月收入(单位：元)情况调查了10000人，并根据所得数据画出了频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2500，3000)内．①估计该地居民的月收入的中位数为________，众数为________．②估计该地居民月收入的平均数为________．【解析】(2)①由题图得，(0.0002＋0.0004＋a＋a＋0.0003＋0.0001)×500＝1，解得a＝0.0005.因为0.0002×500＝0.1，0.0004×500＝0.2，0.0005×500＝0.25，0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，因此估计该地居民月收入的中位数是3900元．在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，②样本平均数为(2750×0.0002＋3250×0.0004＋3750×0.0005＋4250×0.0005＋4750×0.0003＋5250×0.0001)×500＝3900，因此估计该地居民月收入的平均数为3900元．【答案】(2)①3900

4000

②3900估计总体集中趋势的几个数字特征(1)中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需要根据实际需要选择使用．(2)频率分布直方图的数字特征①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标；②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积和应该相等；③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和，即在频率分布直方图中，每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．|跟踪训练|1．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下：身高[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]频数535302010由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)(

)A．119.3

B.119.7

C．123.3

D.126.7√2．(多选)(2022·辽宁新高考名校5月联考)某大学共有12000名学生，为了了解学生课外图书阅读情况，该校随机地从全校学生中抽取1000名，统计他们年度阅读书籍的数量，并制成如图所示的频率分布直方图，由此来估计全体学生年度阅读书籍的情况．下列说法中不正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)(

)A．该校学生年度阅读书籍本数的中位数为6B．该校学生年度阅读书籍本数的众数为10C．该校学生年度阅读书籍本数的平均数为6.88D．该校学生年度读书不低于8本的人数约为3600√√√解析：对于A：由题图可知，中位数在[4，8)内，设中位数为x，则0.06×4＋0.10×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，故A错误．对于B：由题图可知，众数在[4，8)内，故B错误．对于C：平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，故C正确．对于D：由题图可知，该校抽取的学生年度读书不低于8本的频率之和为1－0.16×4＝0.36，所以该校学生年度读书不低于8本的人数约为0.36×12000＝4320，D错误．故选ABD.考点三总体离散程度的估计(综合研析)复习指导：通过方差、标准差等数字特征可对总体离散程度进行估计．

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[－0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80]企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.|跟踪训练|1．(多选)为了比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机抽取了该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)列表如下：甲2628312931乙2830293132以下结论正确的是(

)A．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温B．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温C．甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差D．甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差√√方法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论AD正确．2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．解析：由题表中数据可知，乙、丙的平均环数最高，但丙方差最小，说明技术稳定，且成绩好．答案：丙03课后达标检测A.7，7

B.8，7.5

C．7，7.5

D.8，6√[A基础达标]1．某射击小组有20人，教练将他们某次射击的数据绘制成如下表格，则这组数据的众数和中位数分别是(

)环数5678910人数127631解析：从表中数据可知7环有7人，人数最多，所以众数是7；中位数是将数据从小到大排列，第10个与第11个数据的平均数，第10个数是7，第11个数是8，2．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(

)A．中位数

B.平均数C．方差

D.极差解析：记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数．√3．(2022·河南部分名校第一次阶段性测试)下图是2012—2020年我国快递业务量变化情况统计图，则这9年我国快递业务量同比增速的中位数为(

)A．30.5% B.48.0%C．51.4% D.51.9%√解析：将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第5个数48.0%.故选B.√5．(多选)(2021·新高考卷Ⅱ)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的是(

)A．样本x1，x2，…，xn的标准差B．样本x1，x2，…，xn的中位数C．样本x1，x2，…，xn的极差D．样本x1，x2，…，xn的平均数√√解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选AC.解析：设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积和为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频数为200×0.2＝40.答案：407．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故最大值为10.答案：108．将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图(如图)，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是__________．(结果保留两位小数)解析：由题图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.0100＋0.0150＋0.0150＋0.0300)×10×100%＝70%，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.0100＋0.0150＋0.0150＋0.0300＋0.0225)×10×100%＝92.5%.因此，80%分位数一定位于[120，130]内．答案：124.449．在一次全省科普知识竞赛中，某市3000名参赛选手的初赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求t的值，并估计该市选手在本次竞赛中，成绩在[80，90)内的选手人数；解：(1)依题意，(2t＋3t＋7t＋6t＋2t)×10＝1，所以t＝0.005.所以成绩在[80，90)内的频率为6×0.005×10＝0.3，故所求选手人数为3000×0.3＝900.(2)如果在本次竞赛中该市计划选取1500人入围决赛，那么进入决赛选手的分数应该如何制定？(结果保留整数)

解：(2)要选取1500人入围决赛，即求该组数据的中位数．因为成绩在前三组的频率为(2＋3＋7)×0.005×10＝0.6>0.5，成绩在前两组的频率为(2＋3)×0.005×10＝0.25<0.5，所以中位数在区间[70，80)内，③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多．同时，乙组满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．[B综合应用]11．(多选)(2022·江川二中高二期中考试)某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是(

)A．这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B．这80辆小型车辆车速的中位数的估计值为77.5C．这80辆小型车辆车速的平均数的估计值为77.5D．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h的概率为0.65√√√对于C：平均数的估计值为62.5×0.05＋67.5×0.1＋72.5×0.2＋77.5×0.3＋82.5×0.25＋87.5×0.1＝77，故C错误．对于D：估计车速超过75km/h的概率为(0.06＋0.05＋0.02)×5＝0.65，故D正确．故选ABD.12．(多选)(2022·福建三明5月三模)某市原来开汽车上班的唐先生累计了过去一年每个工作日的上班通行时间，并进行初步整理，得到如下频率分布表(T表示通行时间，单位：min)．T[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]频率0.10.30.30.20.1该市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排，唐先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开汽车两种出行方式中随机选择一种，如果唐先生选择自行车，当天上班的平均通行时间为30min.将频率视为概率，以各组区间的中点值代表该组的值，根据用样本估计总体的思想对唐先生上班通行时间进行判断，以下说法不正确的是(

)A．开汽车出行的通行时间的中位数为27.5minB．开汽车出行的通行时间少于40min的概率为0.01C．选择骑自行车比开汽车平均通行时间多耗费5minD．若选择骑自行车和开汽车的概率相等，则平均通行时间为28.5min√√√对于B，由频率分布表可知开汽车出行的通行时间少于40min的概率为1，所以B错误；对于C，由频率分布表可得开汽车平均通行时间为0.1×17.5＋0.3×22.5＋0.3×27.5＋0.2×32.5＋0.1×37.5＝27(min)，所以选择骑自行车比开汽车平均通行时间多耗费3min，所以C错误；13．某医院急救中心关于病人等待急诊的时间记录如下表：等待时间/分0～55～1010～1515～2020～25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x＝________，病人等待时间标准差的估计值s＝________．(精确到小数点后两位)答案：9.5

5.3414．气象意义上从春季进入夏季的标志为：连续5天每天日平均温度不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：℃)．①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2.则肯定进入夏季的地区有________个．解析：甲地肯定进入夏季，因为众数为22，所以22℃至少出现两次，若有一天低于22℃，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，设丙地日平均温度为x，则