人教版九年级下册数学全册教案+学案

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第26章反比例函数

17.1.1反比例函数的意义

一、教学目标

1.使学生理解并掌握反比例函数的概念

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式

3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想

二、重、难点

1.重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式

2.难点：理解反比例函数的概念

三、例题的意图分析

教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中

的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。

教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比

例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，

特别是函数与自变量之间的单值对应关系。

补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，

此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问

题的能力。

四、课堂引入

1.回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？

2.体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？

五、例习题分析

例1.见教材P47

分析：因为y是x的反比例函数，所以先设），=七，再把x=2和y=6代入上式求出常数匕即利用了

x

待定系数法确定函数解析式。

例1.（补充）下列等式中，哪些是反比例函数

（1）y=-（2）y=-—（3）xy=21（4）y=-^-（5）v=--

3xx+22x

（6）y=—+3（7）y=x—4

x

分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成y=K（k为常数，屏0）的形式，这里（1）、

x

（7）是整式，（4）的分母不是只单独含X,（6）改写后是y=分子不是常数，只有（2）、（3）、

X

（5）能写成定义的形式

例2.（补充）当m取什么值时，函数>=（m-2）/6是反比例函数？

分析：反比例函数y=4（原0）的另一种表达式是y=hT（心0）,后一种写法中x的次数是一1,因

x

此m的取值必须满足两个条件，即m—2#）且3—n?=-1,特别注意不要遗漏k和这一条件，也要防止出

现3—m2=l的错误。

解得m=-2

第1页共169页

例3.1补充）已知函数丫=丫1+丫2，yi与X成正比例，y2与X成反比例，且当x=l时，y=4；当x=2

时，y=5

（1）求y与x的函数关系式

（2）当x=—2时，求函数y的值

分析：此题函数y是由yi和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出yi、y2

与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意yi与x和yz与x的

函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k,要用不同的字母表示。

略解：设yi=kix（kj/O）,y2=—a2和），贝1］》=中+4,代入数值求得ki=2,

xx

kz=2,则y=2x+—,当x=—2时，y=-5

x

六、随堂练习

1.苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为

2.若函数y=（3+mW3是反比例函数，则m的取值是

3.矩形的面积为4,一条边的长为x,另一条边的长为y,则y与x的函数解析式为

4.己知y与x成反比例，且当x=-2时，y=3,则y与x之间的函数关系式是，

当x=-3时，y=

5.函数y=——!一中自变量x的取值范围是

x+2

七、课后练习

已知函数y=yi+y2,yi与x+1成正比例，y2与x成反比例，且当x=l时，y=0；当x=4时，y=9,

求当x=-1时y的命

答案：y=4

课后反思：

17.1.2反比例函数的图象和性质（1）

一、教学目标

1.会用描点法画反比例函数的图象

2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质

3.体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法

二、重点、难点

1.重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质

2.难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质

三、例题的意图分析

教材第48页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象

的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探

究函数的性质作准备。

补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一

步理解反比例函数的图象特征及性质。

补充例2是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让学生理解并掌握反比例函数解

析式y=K（k#0）中网的几何意义。

四、课堂引入

提出问题：

1.一次函数丫=10；+6（k、b是常数，k视）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y=kx（原0）

呢？

2.画函数图象的方法是什么？其一般步骤有哪些？应注意什么？

第2页共169页

3.反比例函数的图象是什么样呢？

五、例习题分析

例2.见教材P48,用描点法画图，注意强调：

(1)列表取值时，x#),因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两

边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值

(2)由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画

出的图象更精确

(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

(4)由于x#),后0,所以#0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴

例1.(补充)已知反比例函数y=(〃z-l)x〃上3的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内

y随x的变化情况？

分析：比题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y=(修0)自变量x的指数是一1,二是

根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k<0,则m—1V0,不要忽视这个条件

略解：；y=(加一1)-7是反比例函数.-2-3=-1,且m—1用

又,・,图象在第二、四象限・・・m—1V0

解得m=±A/2且mV1则m=-五

例2.(补充)如图，过反比例函数>=工(x>0)

x

的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分

别为C、D,连接OA、OB,设△AOC和△BOD的面

积分别是S2,比较它们的大小，可得()

(A)Si>S2(B)Si=S2

(C)Si<S：(D)大小关系不能确定

分析：从反比例函数y=七(k/0)的图象上任一点P(x,y)向x轴、y轴作垂线段，与x轴、y轴所

x

围成的矩形面积3=同=阿，由此可得Si=S2=；,故选B

六、随堂练习

1.已知反比例函数丁=2^,分别根据下列条件求出字母k的取值范围

x

(1)函数图象位于第一、三象限

(2)在第二象限内，y随x的增大而增大

2.函数y=—ax+a与y=—3(ar0)在同一坐标系中的图象可能是()

x

第3页共169页

3.在平面直角坐标系内，过反比例函数y=K(k>0)的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与

x

X轴、y轴所围成的矩形面积是6,则函数解析式为

七、课后练习

1.若函数y=(2m-l)x与y=上±的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是

x

2.反比例函数y=-2,当x=-2时，y=；当xV—2时；y的取值范围是；

x

当X>一2时；y的取值范围是

3.已知反比例函数y=(。-2)£“6,当工〉。时，丫随x的增大而增大，

求函数关系式

答案：3.a=-V5,y=——―-

x

17.1.2反比例函数的图象和性质(2)

一、教学目标

1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质

2.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法

二、重点、难点

1.重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题

2.难点：学会从图象上分析、解决问题

三、例题的意图分析

教材第51页的例3一是让学生理解点在图象上的含义，掌握如何用待定系数法去求解析式，复习巩固

反比例函数的意义；二是通过函数解析式去分析图象及性质，由"数''到"形”，体会数形结合思想，加深学生

对反比例函数图象和性质的理解。

教材第52页的例4是已知函数图象求解析式中的未知系数，并由双由线的变化趋势分析函数值y随x

的变化情况，此过程是由“形''到"数"，目的是为了提高学生从函数图象中获取信息的能力，加深对函数图象

及性质的理解。

补充例1目的是引导学生在解有关函数问题时，要数形结合，另外，在分析反比例函数的增减性时，一

定要注意强调在哪个象限内。

补充例2是一道有关一次函数和反比例函数的综合题，目的是提高学生的识图能力，并能灵活运用所学

知识解决一些较综合的问题。

四、课堂引入

复习上节课所学的内容

1.什么是反比例函数？

2.反比例函数的图象是什么？有什么性质？

五、例习题分析

例3.见教材P51

分析：反比例函数y=&的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号，因此要先求常数k,而

x

题中已知图象经过点A(2,6),即表明把A点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k,这样解

析式也就确定了。

例4.见教材P52

例1.(补充)若点A(-2,a)、B(-1,b)、C(3,c)在反比例函数y=&(k<0)图象上，则

x

a、b、c的大小关系怎样？

分析：由k<0可知，双曲线位于第一、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，因为A、B任

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第二象限，且一1>一2,故b>a>0；又C在第四象限，则cVO,所以

b>a>O>c

说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要

强调“在每一象限内”，否则，笼统说kVO时y随x的增大而增大，就会误认为3最大，则c最大，出现错

误。

此题还可以画草图，比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易H错，应学会使用。

例2.:补充）如图，一次函数丫=1^+1?的图象与反比例函数y='的图象交于A（-2,1）、B（1,

x

n）两点

（1）求反比例函数和一次函数的解析式

（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值

的x的取值范围

分析：因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反

比例函数的解析式y=又B点在反比例函数的图象上,

x

代人即可求出n的值，最后再由A、B两点坐标求出一次函

数解析式y=-x—l,第（2）问根据图象可得x的取值范

围xV—2或OVxVl,这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个

在下方。

六、随堂练习

1.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则函数y二丝的图象在（）

x

（A）第一、三象限（B）第二、四象限

（C）第三、四象限（D）第一、二象限

出2+1

2.已知点（一1,山）、（2,yz）、（兀，y）在双曲线>*上，则下列关系式正确的是（）

3x

（A）yi>y2>y3（B）yi>y3>y2

（C）y2>yi>y3（D）y3>yi>y2

七、课后练习

1.已知反比例函数y二竺里的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小，且k的值还满足

x

9-2（2A:-l）>2k-l,若k为整数，求反比例函数的解析式

2.已知一次函数y=的图像与反比例函数y=的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B

x

的纵坐标都是一2,

求（1）一次函数的解析式；

（2）AAOB的面积

答案：

1I.3T5

1.y=一或）"一或y二一

XXX

2.⑴y=-x+2,（2）面积为6

课后反思：

17.2实际问题与反比例函数（1）

一、教学目标

1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力

第5页共169页

二、重点、难点

1.基点：而用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式

三、例题的意图分析

教材第57页的例1,数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用

了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。

教材第58页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍

复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。

补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形

结合的思想方法，以便更好地解决实际问题

四、课堂引入

寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉

同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？

五、例习题分析

例1.见教材第57页

分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为10、底面积是S,深度为d,满足基本公式：

圆柱的体积=底面积x高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，

（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）问则是与（2）相反

例2.见教材第58页

分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量=工作速度x工作时间，由于题目中货物总

量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t,因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即

当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少？

例1.1补充）某气球内充满了一定质量的气

体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）

是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如

图所示（千帕是一种压强单位）

（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压

是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆

炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

分析：题中已知变量尸与V是反比例函数关系，并且图象经过点A,利用待定系数法可以求出产与V

的解析式，得尸=守，（3）问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范

围。根据反比例函数的图象和性质，户随V的增大而减小，可先求出气压尸=144千帕时所对应的气体体积,

再分析出最后结果是不小于2立方米

3

六、随堂练习

I.京沈高速公路全长658km,汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）

与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为

2.完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）

之间的函数关系式

3.一定质量的氧气，它的密度夕（kg/m3）是它的体积V（n?）的反比例函数，当V=10时，p=1.43,

（1）求夕与V的函数关系式；（2）求当V=2时氧气的密度「

143

答案：2=亨，当V=2时，Q=7.15

第6页共169页

七、课后练习

1.小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）

（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？

（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？

（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？

答案：v=v=240,1=12

t

2.学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按

150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天

（1）则y与x之间有怎样的函数关系？

（2）画函数图象

（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？

课后反思：

17.2实际问题与反比例函数（2）

一、教学目标

1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2.渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学

模型

二、重点、难点

1.重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题

三、例题的意图分析

教材第58页的例3和例4都需要用到物理知识，教材在例题前已给出了相关的基本公式，其中的数量

关系具有反比例关系，通过对这两个问题的分析和解决，不但能复习巩固反比例函数的有关知识，还能培养

学生应用数学的意识

补充例题是一道综合题，有一定难度，需要学生有较强的识图、分析和归纳等方面的能力，此题既有一

次函数的知识，又有反比例函数的知识，能进一步深化学生对一次函数和反比例函数知识的理解和掌握，体

会数形结合思想的重要作用，同时提高学生灵活运用函数观点去分析和解决实际问题的能力

四、课堂引入

1.小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是

什么？

2.台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？

五、例习题分析

例3.见教材第58页

分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成

反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F是自变量动力臂/的反比例函数，当/=1.5时，代入解析式中

求F的值；（2）问要利用反比例函数的性质，/越大F越小，先求出当F=200时，其相应的/值的大小，

从而得出结果。

例4.见教材第59页

22（）2

分析：根据物理公式PR=U2,当电压U一定时，输出功率P是电阻R的反比例函数，则夕=式一,（2）

问中是已知自变量R的取值范围，即11O0RW22O,

求函数P的取值范围，根据反比例函数的性质，电

阻越大则功率越小，

得220<P<440

第7页共

例1.:补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立

方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8

分钟燃毕，比时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为,自变量x的取值范为；

药物燃烧后，y关于x的函数关系式为.

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经

过分钟后，员工才能回到办公室；

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中

的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么？

分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y是x的正比例函数，设y=将点（8,6）代人解析式,

求得y=自变量0VxS8；药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，设y=用待定系数法求

,4x

得八？

（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公

室，先将药含量y=L6代入y二竺，求出x=30,根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间x的增大

x

而减小，求得时间至少要30分钟

（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y=3时，代入y中，得x=4,即当药物燃烧4分钟

4

时，药含量达到3亳克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3亳克，所以当y=3

时，代入y=竺，得x=16,持续时间为16—4=12>10,因此消毒有效

x

六、随堂练习

1.某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（）

,、300（、八、300（M

（A）y=-----（x>0）（B）y=-----（x>0）

xx

（C）y=300x（x>0）（D）y=300x（x>0）

2.己知甲、乙两地相s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a（升），

那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y（升）与汽车的行驶速度v（千米/时）的函数图象大致是（）

①)

3.你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就y侏）f

渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，

面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）80

60

第40

20

S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示：

(1)写出y与S的函数关系式；

(2)求当面条粗ISmn?时，面条的总长度是多少米？

七.课后练习

一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3,如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，且排水时间为5〜

10分钟

(1)试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围；

(2)请画出函数图象

(3)根据阿象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？

课后反思：

第27章相似

图形的相似

教学目标

通过一些相似的实例，让生观察相似图形的特点，感受形状相同的意义，理解相似图形的概念.能通过

观察识别出相似的图形.能根据直觉在格点图中画出已知图形的相似图形.

在获得知识的过程中培养学习的自信心.

教学重点

引导学正通过观察识别相似的图形，培养学生的观察分析及归纳能力.

教学难点

理解相似图形的概念.

教学过程

一、观察课本第42页图24.1.1、图24.1.2,每组图形中的两图之间有什么关系？

二、归纳：

每组图形中的两个图形形状相同，大小不同.

具有相同形状的图形叫相似图形.

师可结合实例说明：

⑴相似图形强调图形形状相同，与它优的位置、颜色、大小无关.

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况.

⑶我们可以这样理解相似形：

两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.

⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形.

三、你还见过哪些相似的图形？请举出一些例子与同学们交流.

四、观察课本第43页图24.1.3中的三组图形，它们是否相似形？为什么？

五、想一想：

第9页共169页

放大镜下的图形与原来的图形相似吗？

放大镜下的角与原来图形中的角是什么关系？

可让学生动手实验，然后讨论得出结论.

六、观察课本第43页图24.1.4中的三组图形，它们是否相似形？为什么？

让学生通过比较图24.1.3与图24.1.4,体会相似图形与不相似图形的“形状”特点.

七、课本第43页“试一试

让生各自独立完成作图，再展示评析.

八、巩固：

1.课本第43页练习.

2.课本第44页习题24.1.

对于第2题，学生的判断是对相似图形的一种直观认识，最好让学生充分交流彼此的看法.

九、小结：

你通过这节课的学习，有哪些收获？

十、作业：略.

相似三角形

教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质

教学重点：相似三角形的判定与性质

教学过程：

一知识要点：

1、相似形、成比例线段、黄金分割

相似形：形状相同、大小不一定相同的匡形。特例：全等形。

相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的

长度的比相等，即凹=£(或a：b=c：d),那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

黄金分割：将一条原段0割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一

比值等于0,618…。这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全

线段的比例中项。

例1：(1)放大镜下的图形和原来的图形相似吗？

(2)哈哈镜中的形象与你本人相似吗？

(3)你能举出生活中的一些相似形的例子吗/

例2：判断下列各组长度的线段是否成比例：

(1)2厘米，3厘米，4厘米，1厘米

(2)1・5厘米，2,5厘米，4・5厘米，65厘米

(3)E厘米，22厘米，3・3厘米，44厘米

(4)1厘米，2厘米，2厘米，4厘米。

例3：某人下身长90厘米，上身长70厘米，要使整个人看上去成黄金分割，需穿多高的高跟鞋？

例4：等腰三角形都相似吗？

矩形都相似吗？

正方形都相似吗？

2、相似形三角形的判断：

a两角对应相等

b两边对应成比例且夹角相等

c二边对应成比例

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3、相似形三角形的性质:

a对应角相等

b对应边成比例

c对应线段之比等于相似比

d周长之比等于相似比

e面积之比等于相似比的平方

4、相似形三角形的应用：

计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度以及等份线段

例题

1：如图所和ABCD中，G是BC延长线上一点,AG交BD于点E,

交DC于点F,试找出图中所有的相似三角形

2如图在正方形网格上有6个斜三角形：a:ABC；b:BCDc:BDEd:

BFGe:FGHf:EFK,试找出与三角形a相似的三角形

3、在ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米每秒的速度移动，

点Q从笺B开始沿BC向点C以4厘米每秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒钟PBQ

与ABC相似？△△

△

K

4、某房地产公司要在一块矩形ABCD土地上规划建Q~~--------C设一个矩形GHCK小区

公园（如图），为了使文物保护区AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能

在文物保护区内。已知AB=200米，AD=160米，AF=40F「米，AE=60米。

（1）当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，求M__9______IH公园的面积；

（2）当G是EF上什么位置时，公园面积最大？ANEB

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同步练习：

1.已知：AB=2,M是的黄金分割点，

(1)求AM的长；(2)求AM：MB

2.已知：x:y:z=2:3:4,求：

（1）x+y+z（2）3"十2―（3）若2x・3y+z=・2求x,y,z的

3.已知：d=——=—--=---=k，求k的值。

a+b+cb+c+da+c+da+b+d

4.已知：△ABC中，AD=AE,DE交BC延长线于F,求证：BFCE=CFBDO

5.如图：已知CD〃EF〃GH〃AB,AB=16,CD=10,DE：EG：GA=1：2：3,求

EF+GHo

6如图已知CD：DA=BE：ED=2：1,

求BF：FC及AE：EFo

7.如图，在直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上，(C与A不重合)，当由

点B,O,C组成的三角形与三角形AOB相似时，求点C的坐标？

8.如图，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC平行AD,DE平行BC,若三角形BEC的面积=1,三

角形ADE的面积=3,求三角形CDE的面积

位似图形教案

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教学目标：

1、知识目标:

①了解位似图形及其有关概念；

②了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

2、能力目标、

①利用图形的位似解决一些简单的实际问题；

②在有关的学习和运用过程中发展学生的应用意识和动手操作能力。

3、情感目标:

①通过学习培养学生的合作意识；

②通过探究提高学生学习数学的兴趣。

教学重点：

探索并掌握位似图形的定义和性质；

教学难点：

运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算。

教学方法：

从学生生活经验和已有的知识出发，采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、

归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习；提高学生自主探究、合作交流和分析

归纳能力；同时在教学过程对不同层次的学生进行分类指导，让每个学生都得到充分的发展。

教学准备：

刻度尺、为每个小组准备好打印的五幅位似图形、多媒体展示课件、

教学手段：

小组合作、多媒体辅助教学

教学设计说明:

1、为了便于学生理解位似图形的特征，我在设计中特别注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式

获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识.

2、探索知识是本节的重点，设计这一环节，通过学生的做、议、读、想、试等环节来完成，把学习的

主动权充分放给学生，每一环节及时归纳总结，使学生学有所获，探索创新.

教学过程：

一、创设情境引入新知

观察大屏幕有五个图形，每个图形中的四边形ABCD和四边形AIBICD都是相似图形。分别观察着五

个图形，你发现每个图形中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？

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特点：（1）两个图形相似：

（2）每组对应点所在的直线交于一点,

二、合作交流探究新知

请同学们阅读课本58页，掌握什么叫位似图形、位似中心、位似比？

如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这样的两人图形叫做他似留牛，这个交点叫

做他似中心，这时两个相似图形的相似比又叫做它们的便似匕匕。议一议观察上图中的五个图形，回答下列问

题：（1）在各图形中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关系？（2）在各图中，任取一对对应

点，度量这两个点到位似中心的距离。它们的比与位似比有什么关系？再换一对对应点试一试。（每小组同

学拿出准备好的位似图形通过观察、测量试验和计算得出：）

位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比。由此得出：

位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。三、指导应用

深化理解

（同学们观察大屏幕出示的问题）

例1如图D,E分别是AB,AC上的点。（1）如果DE〃BC,那么

△ADE和4ABC位似图形吗?为什么？（2）如果ZiADE和

△ABC是位似图形，那么DE〃BC吗?为什么？小组讨论如何解这道

题：问题1,证位似图形的根据是什么？需要哪几个条件?

根据是位似图形的定义。

需要两个条件：

!、4ADE和AABC相似；

2、对应点所在的直线交于一点。

问题2：已知4ADE和aABC是位似图形，我们根据什么又能得出什么结论?

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根据位似图形的性质得出：

1、对应点和位似中心在同一条直线上；

2、它们到位似中心的距离之比等于相似比。

（一生口述师板书：）

解：（1）4ADE和AABC是位似图形.理由是：

VDE/7BC

AZAED=ZB,ZAED=ZC.

VAADE^AABC.

又,・,点A是4ADE和AABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE

交于点A,

•二△ADE和AABC是位似图形。

（2）DE〃BC.理由是：

VAADEfilAABC是位似图形

/.△ADE^AABC.

・・・NADE=NB,

・・・DE〃BC.

四、继续观察拓展提高

（同学们继续观察屏幕展示的图形）

在图（1）——（5）中,位似图形的对应线段AB与AiB］是否平行?BC与BC,CD与CIDI,AD与AD

是否平行?为什么？

同桌观察探究并发言：对应边平行或在同一条直线上。

（出示课件：展示一组位似图形，动画闪动图形的对应边，直观展示位似图形的对应边平行或在同一条

直线上）

五、反馈练习落实新知

挑战自我：

1、下面每组图形中都有两个图形.

（1）哪一组中的每两个图形是位似图形？

AB,CD相交于点E,AC〃DB.AACE与aBDE是位似图形吗？为什么？

（此环节由学生独立完成，第二题让一名学生到黑板上板书，以备面对全体矫正）

六、归纳小结反思提高

请同学们谈一谈本节课的有什么收获和感想？

本节课我们学习了位似图形，知道了什么叫位似图形，位似图形有什么性质？我们可以利用定义来证明

位似图形，已知位似图形我们可以根据性质得到有关结论。观察并判断位似图形的方法是，一要看是否相似,

二要看对应边是否平行或在同一条直线上。

七、自我评价检测新知

1、如果两个位似图形的每组所在的直线都,那么这样的两个图形叫做位似图形，这

个点叫做,这时的相似比又叫做o

2、位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于；位似图形的对应角,对应

线段（填：“相等”、“平行”、“相交”

、“在一条直线上”等）

3、位似图形的位似中心，有的在对应点连线上，有的在的延长线上。

4、如果两个位似图形成中心对称，那么这两个图形（填“一定"、"不''或"可能”等）

5、下列每组图形是由两个相似图形组成的，其中中的两个图形是位似图形。

◊

（由学生独立完成，教师巡视。最后公布答案，教师并将发现的问题及时矫正有利于学生知识的巩固和

提高）

八、课后延伸探索创新

在如图所示的图案中，最外圈的8个三角形组成的图形和次外圈的8个红色三角形

组成的图形是位似图形吗？如果是，为似比是多少？

九、板书设计:

十、课后反思:

课题：位似图形1、存在问题：

一、位似图形有关概念和性质：三、随堂练习（学生板演）

（1）学生在动手操作，与探

1、概念；

2、性质

二、例题四、拓展思考题答案

究位似图形的共同特征环节比较顺利，但是归纳性质用语言表达时则较困难;

（2）证明位似图形的思路还需要在老师的提示下找到，没能及时内化；

（3）内外位似区别不清楚。

2、改进意见：

（1）通过合作交流不断提高学生的语言表达能力和形象思维能力；

（2）注意通过定理公式的逆向运用发展学生的逆向思维；

（3）内外位似图形如果能举例说明并让学生自己来鉴别会掌握得更好。

27.1图形的相似（第1课时）教学目标

1.掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似.

2.能根据柞似比进行计算.

3.通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义，领会特殊与一般的关系.

4.能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力.5.能根据相似比求长度和角度，培养学生

的运用能力.

6.通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.重点:相似三角形

的初步认识.教学过程

1、观察共同特征：形状相同，大小不同.相似图形：我们把这种形状相同的图形说成是相似图形问题1：两

个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形

或得到，问题2：举出现实生活中的几个相似图形的例子例如，放映电影时，投在屏

幕上的画面就是胶片上的图形的放大；实际的建筑物和它的模型是相似的；用复印机把一个图形放大或缩小

所所得的图形，也都与原来的图形相似.问题3：尝试着画几个相似图形？（多媒体出示）

2、教材“观察”

图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（多媒体出示）

第18页共169页

相似不相似不相似课堂练习:教材p37页1、2o教学后记：

27.1图形的相似（第2课时）教学目标：1.掌握相似多边形的定义、表示法,

并能根据定义判断两个多边形是否相似.

2.能根据相似比进行计算.

3.能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力.

4.能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.重难点：根据定义求线段长或角的度数。教学过程:

准备活动：

阅读理解：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相等,

如（即ab=cd）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

一、复习旧知相似多边形有关概念二、引入新知例题.如图（多媒体出示），四边形ABCD和EFGH相似，

求Nl、N2的度数和EF的长度.

解：四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应角相等。AZ1=ZC=83°,ZA=ZE=118°

在四边形ABCD中，Z2=360°-（78°+83°+118°）=118°

四边形ABCD和EFGH相似，它们的对应边成比例。由此得：

,即，解得，x=28（cm）.

三巩固练习！

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27.1图形的相似（第1课时）

教学目标

1.掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似.

2.能根据相似比进行计算.

3.通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义，领会特殊与一般的关系.

4.能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力.

5.能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.

6.通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.

重点:相似三角形的初步认识.

教学过程

］、观察

共同露E：形状相同，大小不同.

相似图形：我们把这种形状相同的图形说成是相似图形

问题1：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形

或得到，

问题2：举出现实生活中的几个相似图形的例子

例如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大；

实际的建筑物和它的模型是相似的；

用复印机把一个图形放大或缩小所所得的屋形，也都与原来的图形相似.

问题3：尝试着画几个相似图形？（多媒体出示）

2、教材“观察”

图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（多媒体出示）

相似不相似不相似

课堂练习:教材p37页1、2o

教学后记：

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27.1图形的相似(第2课时)

教学目标：1.掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似.

2.能根据相似比进行计算.

3.能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力.

4.能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.

重难点：根据定义求线段长或角的度数。

教学过程：

准备活动：

阅读理解：对于四条线段外从"，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另外两条线段的比相等,

如£