高三理科数学二轮复习跟踪强化训练22

跟踪强化训练(二十二)1.(2017·济南质检)如图，在直三棱柱ADE－BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.[证明]证法一：由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2))).(1)eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(BA,\s\up16(→))＝(－1,0,0)，∴eq\o(OM,\s\up16(→))·eq\o(BA,\s\up16(→))＝0，∴eq\o(OM,\s\up16(→))⊥eq\o(BA,\s\up16(→)).∵棱柱ADE－BCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴eq\o(BA,\s\up16(→))是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵eq\o(DF,\s\up16(→))＝(1，－1,1)，eq\o(DM,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，0))，eq\o(DC,\s\up16(→))＝(1,0,0)，由n1·eq\o(DF,\s\up16(→))＝n1·eq\o(DM,\s\up16(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－y1＋z1＝0，,\f(1,2)x1－y1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝\f(1,2)x1，,z1＝－\f(1,2)x1，))令x1＝1，则n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－\f(1,2))).同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.证法二：(1)eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\o(OF,\s\up16(→))＋eq\o(FB,\s\up16(→))＋eq\o(BM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DF,\s\up16(→))－eq\o(BF,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→)))－eq\o(BF,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(BF,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→)))－eq\f(1,2)eq\o(BF,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(BF,\s\up16(→)).∴向量eq\o(OM,\s\up16(→))与向量eq\o(BF,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))共面，又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，∵eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))，eq\o(FC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BF,\s\up16(→))，∴eq\o(OM,\s\up16(→))·eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(BC,\s\up16(→))－\f(1,2)\o(BF,\s\up16(→))))·eq\o(BA,\s\up16(→))＝0，eq\o(OM,\s\up16(→))·eq\o(FC,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(BC,\s\up16(→))－\f(1,2)\o(BF,\s\up16(→))))·(eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BF,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(BF,\s\up16(→))2＝0.∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，∴OM⊥平面EFCD.又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.2．(2017·郑州质检)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C(1)证明：EF∥平面A1CD；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD[解](1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝eq\f(1,2)AC.又F为A1C1的中点，可得A1F＝eq\f(1,2)A1C1，所以A1F∥DE，A1F＝因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1以O为坐标原点，eq\o(OA1,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))，eq\o(OC1,\s\up16(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，a，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，a，\f(\r(3),2)a))，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，0))，D(0，a,0)．所以eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，\f(\r(3),2)a))，eq\o(A1D,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，a，0))，eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2)a)).设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1D,\s\up16(→))＝0，,n·\o(DC,\s\up16(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)x＋ay＝0，,\f(\r(3),2)az＝0.))设x＝2，解得n＝(2,1,0)．设直线BC与平面A1CD所成的角为θ，则sinθ＝eq\f(|n·\o(BC,\s\up16(→))|,|n|·|\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq\f(a,\r(5)·\r(a2))＝eq\f(\r(5),5).所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为eq\f(\r(5),5).3．(2017·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝eq\r(6)，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B－PD－A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．[解](1)证明：设AC，BD交点为E，连接ME.因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点．所以M为PB的中点．(2)取AD的中点O，连接OP，OE.因为PA＝PD，所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.因为ABCD是正方形，所以OE⊥AD.如图建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0,0，eq\r(2))，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(4，－4,0)，eq\o(PD,\s\up16(→))＝(2,0，－eq\r(2))．设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up16(→))＝0，,n·\o(PD,\s\up16(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4y＝0，,2x－\r(2)z＝0.))令x＝1，则y＝1，z＝eq\r(2).于是n＝(1,1，eq\r(2))．平面PAD的一个法向量为p＝(0,1,0)．所以cos〈n，p〉＝eq\f(n·p,|n||p|)＝eq\f(1,2).由题意知二面角B－PD－A为锐角，所以它的大小为eq\f(π,3).(3)由题意知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，\f(\r(2),2)))，C(2,4,0)，eq\o(MC,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(\r(2),2))).设直线MC与平面BDP所成角为α，则sinα＝|cos〈n，eq\o(MC,\s\up16(→))〉|＝eq\f(|n·\o(MC,\s\up16(→))|,|n||\o(MC,\s\up16(→))|)＝eq\f(2\r(6),9).所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为eq\f(2\r(6),9).4．(2017·沈阳二模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝eq\f(2π,3)，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.(1)求证：EF⊥平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．[解](1)证明：在梯形ABCD中，设AD＝CD＝BC＝1，∵AB∥CD，∠BCD＝eq\f(2π,3)，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·coseq\f(π,3)＝3.∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC.∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，∴AC⊥平面BCF.∵四边形ACFE是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.(2)由(1)，以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝CD＝BC＝CF＝1，令FM＝λ(0≤λ≤eq\r(3))，则C(0,0,0)，A(eq\r(3)，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－eq\r(3)，1,0)，eq\o(BM,\s\up16(→))＝(λ，－1,1)，设平面MAB的法向量为n1＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AB,\s\up16(→))＝0，,n1·\o(BM,\s\up16(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(3)x＋y＝0，,λx－y＋z＝0，