2025届福建省南平市某校高三上学期第二次段考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省南平市某校2025届高三上学期第二次段考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，因此，.故选：B.2.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，解得：.故选：D.3.某班有5名男同学，4名女同学报名参加辩论赛，现从中选取4名同学组成一个辩论队，要求辩论队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的辩论队数量是（）A.120 B.126 C.210 D.420【答案】A【解析】若总的辩论队数量是，则全是男生的辩论队数量是，全是女生的辩论队数量是，故满足的辩论队数量是，故选：A．4.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（）（附：）A.22% B.33% C.44% D.55%【答案】C【解析】由题意可知：大约增加了，故选：C5.在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（）A.等边三角形 B.钝角三角形C.有一个内角是的直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】因为向量，共线，则，由正弦定理可得：，则，因为，则，可知，，，均不为，可得，则，即；同理由向量，共线可得：；综上所述：.所以形状为等边三角形.故选：A6.定义在上的函数，是的导函数，且成立，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为时，，所以可化为，设，，则，所以函数在上的单调递减，因为，所以，所以，即，所以.故选：B.7.函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在上为增函数，在为增函数，故，所以，故，由可得，又，设，则，当时，，当时，，所以在上为增函数，在为减函数，故，而，故在上的取值范围为，即的取值范围为.故选：D.8.已知向量，且，则与夹角的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知向量，a→·即,即，建立如图所示平面直角坐标系，设，，，，则，，，又，则，即N的轨迹为以为圆心，为半径的圆，由图可知，当与圆相切时，最大，此时，则的最大值为，即与夹角的最大值为.故选：二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.的最小值是【答案】ACD【解析】由题知，设，则，因为，所以，则，且，A正确，B不正确；，当且仅当时，等号成立，C正确；又，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：ACD10.设函数，则下列结论正确的是（）A.，在上单调递增B.若且，则C.若在上有且仅有个不同的解，则的取值范围为D.存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数【答案】ACD【解析】对于A选项，，当时，，因为，，所以，，在上单调递增，A对；对于B选项，若，则函数的最小正周期为，因为，则，B错；对于C选项，若在上有且仅有个不同的解，且当时，，由可得，则，解得，所以，的取值范围为，C对；对于D选项，因为，将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象，因为函数为奇函数，则，可得，因为，故当时，合乎题意，D对.故选：ACD.11.已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（）A.的取值范围是 B.C. D.【答案】BCD【解析】令，令，由题可知，，，令，得，显然，当x∈0,1时，，所以单调递减；当x∈1,+∞时，，所以单调递増；，得示意图所以都符合题意，故A错误；由示意图可知，显然，当且时，易知取两个互为倒数的数时，函数值相等，因为，所以互为倒数，即，故B正确；，等且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确；因为，要证，即证，因为，所以，即证，我们分别证明，，证明：因为，所以，证明：要证，即证，不妨设，得，显然，当时，h'x<0，此时当时，h'x>0，此时故，故，即，所以证得，即证得，即得，故选项D正确.故选：BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则在方向上的投影向量坐标为__________．【答案】【解析】在方向上的投影向量为，故答案为：.13.若的展开式中各项系数的和为，则__________，该展开式中的常数项为_________．【答案】①.②.【解析】令，则展开式各项系数和为，解得：；展开式通项为，令，解得：，此时常数项为；令，解得：，此时常数项为；展开式的常数项为.故答案为：；.14.对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】函数，求导，令，求导，函数在上单调递增，当时，；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，因此函数在上单调递增，当时，，即，函数，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，此时，即；在上单调递增，此时，即，由对任意的，存在唯一的使得，得是的子集，即，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，其中，若函数的最小正周期为．（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象上所有点向右平移个单位，得到的图象，若，求满足的的取值集合．（1）解：由题意，所以，解得，所以，令，所以所以函数的单调递增区间为．（2）解：将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得，再将得到图象上所有点向右平移个单位，得，即，由，得或，所以或，故的取值集合．16.已知函数，．（1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间；（2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．解：（1），定义域为0,+∞，则，因为函数在处取得极大值，所以，解得或2，当时，，令得或，令得，故在上单调递增，在12,1上单调递减，此时为极小值点，不合要求，当时，，令得或，令得，故在上单调递增，在上单调递减，此时为极大值点，满足要求，综上，，有极大值，极小值，单调递增区间为，单调递减区间为；（2），定义域为0,+∞，则，因为，所以，令φ'x>0得，令φ'故φx在上单调递减，在上单调递增，则，令得，，解得，故实数a的取值范围是.17.已知的内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围.解：（1）由正弦定理得，，所以，即，化简得：，即，又，所以.（2）由正弦定理得：，所以，，所以，因为是锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以.18.为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：近视情况每天看电子产品的时间合计超过一小时一小时内近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值．解：（1）零假设为：学生眼睛近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为眼睛近视与长时间使用电子产品有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．19.已知函数．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若恰有两个极值点．①求的取值范围；②证明：．（1）解：当时，，，则则的图象在处的切线方程为，即.（2）证明：f'x令gx=-x2+4x-a则有两个不同实数根，且，则有Δ=16-4a>0x1由知，，且，则，所以，即，则要证，即证，即，令，，令，则在上恒成立，故在上单调递减，又μ1故存在，使，即，则当时，h'x>0, 即hx在上单调递增，在上单调递减，则，由对勾函数性质可知，上单调递增，由x0∈1,2即，即，即可得证：.福建省南平市某校2025届高三上学期第二次段考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，因此，.故选：B.2.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，解得：.故选：D.3.某班有5名男同学，4名女同学报名参加辩论赛，现从中选取4名同学组成一个辩论队，要求辩论队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的辩论队数量是（）A.120 B.126 C.210 D.420【答案】A【解析】若总的辩论队数量是，则全是男生的辩论队数量是，全是女生的辩论队数量是，故满足的辩论队数量是，故选：A．4.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（）（附：）A.22% B.33% C.44% D.55%【答案】C【解析】由题意可知：大约增加了，故选：C5.在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（）A.等边三角形 B.钝角三角形C.有一个内角是的直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】因为向量，共线，则，由正弦定理可得：，则，因为，则，可知，，，均不为，可得，则，即；同理由向量，共线可得：；综上所述：.所以形状为等边三角形.故选：A6.定义在上的函数，是的导函数，且成立，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为时，，所以可化为，设，，则，所以函数在上的单调递减，因为，所以，所以，即，所以.故选：B.7.函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在上为增函数，在为增函数，故，所以，故，由可得，又，设，则，当时，，当时，，所以在上为增函数，在为减函数，故，而，故在上的取值范围为，即的取值范围为.故选：D.8.已知向量，且，则与夹角的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知向量，a→·即,即，建立如图所示平面直角坐标系，设，，，，则，，，又，则，即N的轨迹为以为圆心，为半径的圆，由图可知，当与圆相切时，最大，此时，则的最大值为，即与夹角的最大值为.故选：二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知点是的中线上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.的最小值是【答案】ACD【解析】由题知，设，则，因为，所以，则，且，A正确，B不正确；，当且仅当时，等号成立，C正确；又，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：ACD10.设函数，则下列结论正确的是（）A.，在上单调递增B.若且，则C.若在上有且仅有个不同的解，则的取值范围为D.存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数【答案】ACD【解析】对于A选项，，当时，，因为，，所以，，在上单调递增，A对；对于B选项，若，则函数的最小正周期为，因为，则，B错；对于C选项，若在上有且仅有个不同的解，且当时，，由可得，则，解得，所以，的取值范围为，C对；对于D选项，因为，将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象，因为函数为奇函数，则，可得，因为，故当时，合乎题意，D对.故选：ACD.11.已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（）A.的取值范围是 B.C. D.【答案】BCD【解析】令，令，由题可知，，，令，得，显然，当x∈0,1时，，所以单调递减；当x∈1,+∞时，，所以单调递増；，得示意图所以都符合题意，故A错误；由示意图可知，显然，当且时，易知取两个互为倒数的数时，函数值相等，因为，所以互为倒数，即，故B正确；，等且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确；因为，要证，即证，因为，所以，即证，我们分别证明，，证明：因为，所以，证明：要证，即证，不妨设，得，显然，当时，h'x<0，此时当时，h'x>0，此时故，故，即，所以证得，即证得，即得，故选项D正确.故选：BCD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则在方向上的投影向量坐标为__________．【答案】【解析】在方向上的投影向量为，故答案为：.13.若的展开式中各项系数的和为，则__________，该展开式中的常数项为_________．【答案】①.②.【解析】令，则展开式各项系数和为，解得：；展开式通项为，令，解得：，此时常数项为；令，解得：，此时常数项为；展开式的常数项为.故答案为：；.14.对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】函数，求导，令，求导，函数在上单调递增，当时，；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，因此函数在上单调递增，当时，，即，函数，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，此时，即；在上单调递增，此时，即，由对任意的，存在唯一的使得，得是的子集，即，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，其中，若函数的最小正周期为．（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象上所有点向右平移个单位，得到的图象，若，求满足的的取值集合．（1）解：由题意，所以，解得，所以，令，所以所以函数的单调递增区间为．（2）解：将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得，再将得到图象上所有点向右平移个单位，得，即，由，得或，所以或，故的取值集合．16.已知函数，．（1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间；（2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．解：（1），定义域为0,+∞，则，因为函数在处取得极大值，所以，解得或2，当时，，令得或，令得，故在上单调递增，在12,1上单调递减，此时为极小值点，不合要求，当时，，令得或，令得，故在上单调递增，在上单调递减，此时为极大值点，满足要求，综上，，有极大值，极小值，单调递增区间为，单调递减区间为；（2），定义域为0,+∞，则，因为，所以，令φ'x>0得，令φ'故φx在上单调递减，在上单调递增，则，令得，，解得，故实数a的取值范围是.17.已知的内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形且，求面积的取值范围.解：（1）由正弦定理得，，所以，即，化简得：，即，又，所以.（2）由正弦定理得：，所以，，所以，因为是锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以.18.为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情