2024-2025学年广东省广州市部分学校高二上学期第二次质检数学试卷 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市部分学校2024-2025学年高二上学期第二次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.故选：A.2.如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（）A.1,1,1 B.C. D.【答案】A【解析】由题意，，，，，，设是平面的一个法向量，则有，令，得，，.故选：A.3.已知向量，，向量在向量上的投影向量为

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）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A4.圆的圆心和半径分别是（）A.，1 B.，3 C.，2 D.，2【答案】C【解析】由圆的标准方程，得圆心为，半径为2.故选：C.5.将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线的方程为，其斜率为，设直线的斜率为，，．由题意可知，，，的方程为：，即．故选：B6.空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】因为，所以的一个单位方向向量为.因为，故，,所以点到直线的距离为.故选：A7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（）A.的方程为B.在上存在点，使得到点的距离为3C.在上存在点，使得D.上的点到直线的最小距离为1【答案】C【解析】对A：设点Px,y∵，则，整理得，故C的方程为，故A正确；对B：的圆心，半径为，∵点到圆心的距离，则圆上一点到点的距离的取值范围为，而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确；对C：设点Mx,y，∵，则，整理得，∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆，又，则两圆内含，没有公共点，∴在C上不存在点M，使得，C不正确；对D：∵圆心到直线的距离为，∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确；故选：C.8.已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（）A. B. C. D.12【答案】A【解析】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为，且，则点的坐标为，则，记，则可将理解为点到的距离之和，即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值.如图，作出点关于直线的对称点,则，连接，交直线于点,则即的最小值，且,故的最小值为.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（）A.点的坐标为2,1 B.C. D.的最大值为5【答案】ABC【解析】因为可以转化为，故直线恒过定点，故A选项正确；又因为：，即恒过定点，由和,满足，所以,可得,故B选项正确；所以,故C选项正确；因为,设为锐角,则,，所以,所以当时,取最大值,故选项D错误.故选：ABC.10已知圆：，直线：（），则（）A.直线l恒过定点B.当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1C.直线与圆有两个交点D.圆与圆恰有三条公切线【答案】ACD【解析】对于A，直线，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；对于B，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B错误；对于C，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故C正确；对于D，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，此时两圆圆心距为，所以两圆位置关系为外切，则两圆恰有三条公切线，故D正确.故选：ACD.11.如图,在平行六面体中,已知,，E为棱上一点，且，则（）A. B.直线与所成角的余弦值为C.平面 D.直线与平面所成角为【答案】ABD【解析】不妨设则.对于A，因,故，故，故A正确；对于B，因，,则，，设直线与所成角为，则故B正确；对于C，因，即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误；对于D，因，,因，，则有因平面，故平面，即平面的法向量可取为，又，设直线与平面所成角为，因，，，则，因，故，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，，共面，所以，即，即，解得，所以，所以，所以最小值为，故答案为：.13.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为内一点，记，则的最小值为______.【答案】【解析】设为坐标原点，由，可得，且为锐角三角形，所以费马点在线段上，如图所示，设，则为顶角是的等腰三角形，可得，又由，则，所以的最小值为.故答案为：.14.已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.【答案】【解析】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为，所以，得到，又正三棱柱的高为2，所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心，又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面的两个切点，设为，则，又点是正三棱柱表面上的动点，当与（或）重合时，的值最小，此时，由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大，连接，并延长交于，则，此时，得到，则的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知圆，过作直线圆交于点．（1）求证：是定值；（2）若点．求的值．解：（1）若直线的斜率不存在，则，则，所以；若直线的斜率存在，设，，消去，得，，又，所以.综上，为定值.（2）易知直线的斜率存在，由（1）知，所以，得，由，得，所以.16.如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥．（1）求证：四点共面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为平面平面，所以．因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直，则以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：根据题意，得．所以．因为，所以共面，又有公共点，所以四点共面．（2）存在，理由如下：，则，设m=x1则，即，令，得平面的一个法向量为．假设线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，令，则，设n=x2则，即，令，得平面一个法向量为．设平面与平面所成角为，则．化简整理，得，因为，所以，所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时．17.已知为圆C：上任意一点，（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．解：（1）由题可知，设,得直线，该直线与圆有交点即可，所以圆心到直线的距离要小于等于半径即可，有解得即所以的最大值为，最小值为（2）显然表示点Mx,y到点的距离的平方，即已知Mx,y在圆上，所以显然，所以所以所以所以所以的最大值为，最小值为.18.我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切.（1）直接写出的反射光线所在直线的方程；（2）求圆的方程；（3）点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程.解：（1）设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上，所以的反射光线所在直线的方程为.（2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3，则，即，整理得或，又点在第一象限，即，因此，点，所以圆的方程为.（3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点，由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧，设，则，连接，，，，又，整理得，解得，即点，直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为，直线的方程为，即.19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．解：（1）连接，交于点，连接，点是的中点，点是的中点，所以,平面,平面，所以平面；（2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，即，，，则，设平面的法向量，则，令得，所以平面的法向量，平面的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值为；（3）由（2）知，，，，，，，，由（2）知平面的法向量，设直线与平面的夹角为，则整理得，解得或故当时，；当时，则的长为或．广东省广州市部分学校2024-2025学年高二上学期第二次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.故选：A.2.如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（）A.1,1,1 B.C. D.【答案】A【解析】由题意，，，，，，设是平面的一个法向量，则有，令，得，，.故选：A.3.已知向量，，向量在向量上的投影向量为

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）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A4.圆的圆心和半径分别是（）A.，1 B.，3 C.，2 D.，2【答案】C【解析】由圆的标准方程，得圆心为，半径为2.故选：C.5.将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线的方程为，其斜率为，设直线的斜率为，，．由题意可知，，，的方程为：，即．故选：B6.空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】因为，所以的一个单位方向向量为.因为，故，,所以点到直线的距离为.故选：A7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（）A.的方程为B.在上存在点，使得到点的距离为3C.在上存在点，使得D.上的点到直线的最小距离为1【答案】C【解析】对A：设点Px,y∵，则，整理得，故C的方程为，故A正确；对B：的圆心，半径为，∵点到圆心的距离，则圆上一点到点的距离的取值范围为，而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确；对C：设点Mx,y，∵，则，整理得，∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆，又，则两圆内含，没有公共点，∴在C上不存在点M，使得，C不正确；对D：∵圆心到直线的距离为，∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确；故选：C.8.已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（）A. B. C. D.12【答案】A【解析】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为，且，则点的坐标为，则，记，则可将理解为点到的距离之和，即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值.如图，作出点关于直线的对称点,则，连接，交直线于点,则即的最小值，且,故的最小值为.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（）A.点的坐标为2,1 B.C. D.的最大值为5【答案】ABC【解析】因为可以转化为，故直线恒过定点，故A选项正确；又因为：，即恒过定点，由和,满足，所以,可得,故B选项正确；所以,故C选项正确；因为,设为锐角,则,，所以,所以当时,取最大值,故选项D错误.故选：ABC.10已知圆：，直线：（），则（）A.直线l恒过定点B.当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1C.直线与圆有两个交点D.圆与圆恰有三条公切线【答案】ACD【解析】对于A，直线，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；对于B，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B错误；对于C，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故C正确；对于D，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，此时两圆圆心距为，所以两圆位置关系为外切，则两圆恰有三条公切线，故D正确.故选：ACD.11.如图,在平行六面体中,已知,，E为棱上一点，且，则（）A. B.直线与所成角的余弦值为C.平面 D.直线与平面所成角为【答案】ABD【解析】不妨设则.对于A，因,故，故，故A正确；对于B，因，,则，，设直线与所成角为，则故B正确；对于C，因，即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误；对于D，因，,因，，则有因平面，故平面，即平面的法向量可取为，又，设直线与平面所成角为，因，，，则，因，故，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，，共面，所以，即，即，解得，所以，所以，所以最小值为，故答案为：.13.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为内一点，记，则的最小值为______.【答案】【解析】设为坐标原点，由，可得，且为锐角三角形，所以费马点在线段上，如图所示，设，则为顶角是的等腰三角形，可得，又由，则，所以的最小值为.故答案为：.14.已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.【答案】【解析】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为，所以，得到，又正三棱柱的高为2，所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心，又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面的两个切点，设为，则，又点是正三棱柱表面上的动点，当与（或）重合时，的值最小，此时，由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大，连接，并延长交于，则，此时，得到，则的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知圆，过作直线圆交于点．（1）求证：是定值；（2）若点．求的值．解：（1）若直线的斜率不存在，则，则，所以；若直线的斜率存在，设，，消去，得，，又，所以.综上，为定值.（2）易知直线的斜率存在，由（1）知，所以，得，由，得，所以.16.如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥．（1）求证：四点共面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为平面平面，所以．因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直，则以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：根据题意，得．所以．因为，所以共面，又有公共点，所以四点共面．（2）存在，理由如下：，则，设m=x1则，即，令，得平面的一个法向量为．假设线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，令，则，设n=x2则，即，令，得平面一个法向量为．设平面与平面所成角为，则．化简整理，得，因为，所以，所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时．17.已知为圆C：上任意一点，（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．解：（1）由题可知，设,得直线，该直线与圆有交点即可，所以圆心到直线的距离要小于等于半径即可，有解得即所以的最大值为，最小值为（2）显然表示点Mx,y到点的距离的平方，即已知Mx,y在圆上，所以显然，所以所以所以所以所以的最大值为，最小值为.18.我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大