《电磁场与电磁波》课件-第6章 静态场的解

6.1概述6.2镜像法6.3分离变量法6.4有限差分法6.1概述6.1.1边值问题及分类静态场即静电场､恒定电流的电场和没有传导电流的空间的磁场,这类场的求解问题可总结为在给定边界条件下标量位函数和矢量位函数所满足的泊松方程或拉普拉斯方程的求解问题,即边值问题｡根据边界的已知条件,通常把边值问题分为以下三类｡(3)给定待求位函数部分场域边界上的位函数值和其余场域边界上的位函数的法向导数值,即这类问题称为第三类边值问题或称混合边值问题｡因为根据已知的边界条件即可确定边值问题的类型,所以确定边值问题类型的关键在于正确提出场域的边界条件｡6.1.2唯一性定理在静电场的很多求解方法中,有一些间接的方法用于求解非常方便｡相同的场使用不同的分析方法,其解的形式可能也不相同,但根据唯一性定理,只要它们满足相同的边界条件,这些不同形式的解就是有效的,而且彼此相等｡在说明唯一性定理之前,先讨论格林定理｡1.格林定理唯一性定理的证明需要借助场理论中的一个重要定理:格林定理｡格林定理可由散度定理得出｡2.唯一性定理唯一性定理是多种方法求解场边值问题的理论依据｡该定理表明对于任意静电场,当整个边界上的边界条件如位函数(或边界上位函数的法向导数)已知时,空间各部分的场就被唯一地确定了,与求解它的方法无关,即拉普拉斯方程有唯一的解｡下面用反证法证明第一类边值问题的解具有唯一性｡这说明满足场域边界条件的拉氏方程的解是唯一的｡利用唯一性定理,在求一些较难的场解时,可以采用灵活的方法,甚至猜测解的形式,只要该解能够满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程,这个解就是正确的｡6.2镜像法镜像法的实质是把实际上分布均匀的媒质看成是完全均匀的,并对于所研究的场域,用闭合边界外虚设的较简单的场源分布代替实际边界上复杂的场源分布来进行计算｡根据唯一性定理,只要虚设的场源与边界内的实际场源一起产生的场能满足给定的边界条件,这个结果就是正确的｡通常称虚设的场源为镜像源,如镜像电荷｡镜像源的大小和位置就像人照镜子时看到的自己一样,镜子的形状不同,像也不同｡在有源场域中,镜像法不仅可用于计算场强和电位,也可用于计算静电力及感应电荷的分布等｡6.2.1静电场中的镜像法在实际工程中,许多问题可近似为无限大导体平面､导体球､无限长导体等静电场的边值问题,这类问题由于分界面电荷分布比较复杂,所以直接求解比较困难,此时可使用镜像法,但它只能用于相当狭窄的一类问题,并且使用时应该注意应用区域｡6.2.2电轴法电轴法属于镜像法,是工程中常用的一种间接方法｡电轴即为镜像源｡平行双传输线是两平行带电圆柱导体,在电力工程中经常遇到,分析它的电场具有实际意义｡如果运用直接方法分析有困难,可以采用间接方法加以解决｡6.3分离变量法分离变量法是直接求解偏微分方程的一种方法,适用于无源空间的求解,在解决电磁场实际工程问题时被更多采用｡分离变量法就是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数的乘积,使该函数的偏微分方程可分解为几个单变量常微分方程的方法｡使用分离变量法的条件是:首先,场域边界面能够与一个适当的坐标系统的坐标面结合,或者分段地与坐标面结合;其次,在此坐标系中,所求的偏微分方程的解可以表示为3个函数的乘积,且每个函数分别仅是一个坐标的函数｡分离变量法的一般步骤如下:(1)按照边界面的形状,选择适合的坐标系｡(2)将待求位函数用3个仅含一个坐标变量的函数的乘积表示,即将偏微分方程分离为几个常微分方程｡(3)求出常微分方程的通解,然后根据给定的边界条件选择通解的形式,并确定通解中的待定系数｡由于实际工程中的位函数大多是二维场或近似二维场,因此下面讨论二维场的分离变量法｡6.3.1直角坐标系中的分离变量法由于第(2)种和第(3)种情况只能出现一种,所以式(6.3.5)中的第一项和第二项只能取一项｡选择的方法是:如果某一坐标对应的边界条件具有周期性,则该坐标的分离常数一定是实数,其解只能具有三角函数形式,而不可能是双曲函数｡确定解的通式后,再根据给定的边界条件,通过确定系数和取舍函数,便可得到位函数的准确解答｡6.3.2圆柱坐标系中的分离变量法实际工程中的同轴线､圆波导等具有圆柱形边界,对应场域也具有圆柱形边界,都适合应用圆柱坐标系｡6.3.3球坐标系中的分离变量法在求解空间场时,如果场域为球形空间或边界为球面,最好采用球坐标｡球坐标中电位的拉普拉斯方程为6.4有限差分法6.4.1有限差分法概述设函数f(x),当其独立变量x有一个很小的增量h时,相应的函数f(x)的增量为称之为函数f(x)的一阶差分｡因为差分是有限量的差,所以通常被称为有限差分｡有限差分法是基于差分原理的应用,将所求场域离散化为网格离散节点的集合,以各离散点上函数的差商近似代替该点的偏导数,将偏微分方程的求解问题转化为相应差分方程组的求解问题｡应用有限差分法的一般步骤如下:(1)将场域按一定方式离散化,即确定离散点的分布方式,也称场域的网格剖分方式｡为简化所得差分方程,一般离散点分布采用完全有规则的网格节点,以便在每个离散点上可以得到相同形式的差分方程｡其中,正方形网格剖分是最常用的剖分方法,如图6.4.1所示｡根据实际问题,也可以采用矩形､正三角形等网格形式｡网格线的交点称为网格节点,网格线间的距离h称为步距｡(2)构造差分方程,即根据差分原理,对场域内的偏微分方程和定解条件进行差分离散化｡(3)根据差分方程,选择合适的代数方程的解法,求得离散解,更多的是通过编制程序由计算机来完成｡6.4.2二维泊松方程的差分离散化泊松方程实际上就是偏微分方程,边值问题的实质是偏微分方程的定解问题｡下面根据正方形网格剖分方法说明二维泊松方程的离散化方法,即与二维泊松方程和拉普拉斯方程对应差分方程的建立过程｡1.有限差分法的实质2.偏微分方程离散化设在以正方形网格剖分的二维场域内,如图6.4.1所示,电位函数φ满足拉普拉斯方程,各边界上的电位已知｡由图可知,除场域边界附近的节点外,位于场域内的其他正方形网格的节点对于与其相邻的节点都具有相同的特征,这种特征称为对称星形｡设在对称星形节点0上的位函数为φ0=φ(xi,yi),则周围相邻节点1､2､3､4的位函数可表示为也就是说,节点0处的位函数值等于它周围4个相邻节点的位函数值的平均值,常称为五点差分格式｡6.4.3边界条件的离散化求解边值问题,除了对泊松方程离散差分化外,还需要对边界条件进行差分离散化处理｡1.第一类边值问题的边界条件的差分离散化第一类边值问题给出的边界条件是所有场域边界的位函数值,即φ(s)=f(s)｡具体可分两种情况｡2.第二类边值问题的边界条件的差分离散化(2)网格节点未落在边界上｡若网格节点未落在边界上,如图6.4.4(b)所示,则对于边界节点0′可以用与其邻近的节点0来近似表示｡取节点0′处的外法向作为节点0处的外法向,节点0仍按上述所示的方法列出差分格式即可｡3.第三类边值问题的边界条件的差分离散化4.不同媒质分界面上边界条件的差分离散化在实际工程中,还会出现不同媒质分界面上的边界条件等问题,不同媒质分界面的边界条件离散化是边界条件差分离散化的一个重要部分｡这里仍以二维场的情况说明其差分格式的构造｡2)媒质分界面与网格对角线重合6.4.4差分方程组的求解当原始的偏微分方程近似地用差分方程代替后,就可以通过解差分方程组来求解场域中任意点的位函数｡下面以第一类边值问题来说明求解的过程｡在具体求解时,由于数值解的精度要求,希望选取的步距h越小越好,而步距的减小会使网格内节点数迅速增加,所以对于大型代数方程组,应该根据其特点,寻求合适的代数解法｡1.同步迭代法同步迭代法是最简单的迭代方式｡因差分格式有较高的规律性和重复性,所以用迭代法编制的程序比较简单,存储量和运算量都比较少｡同步迭代法的步骤如下:同步迭代法的特点是收敛速度慢,在每个节点产