2024-2025学年高中数学课时分层作业13向量的概念含解析新人教B版必修4

PAGE1-课时分层作业(十三)向量的概念(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列说法正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))就是eq\o(AB,\s\up8(→))的基线平行于eq\o(CD,\s\up8(→))的基线B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量C[向量eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))包含eq\o(AB,\s\up8(→))的基线平行于eq\o(CD,\s\up8(→))的基线和eq\o(AB,\s\up8(→))的基线与eq\o(CD,\s\up8(→))的基线重合两种状况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线相互平行的向量，所以A、B、D项均错．]2．下列结论正确的是()A．向量必需用有向线段来表示B．表示一个向量的有向线段是唯一的C．有向线段eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(BA,\s\up8(→))是同一向量D．有向线段eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(BA,\s\up8(→))的大小相等D[向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的详细位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(BA,\s\up8(→))的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误，D项正确．]3.如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))；②eq\o(AO,\s\up8(→))∥eq\o(AC,\s\up8(→))；③eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))共线；④eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\o(BO,\s\up8(→)).下列选项正确的是()A．①②④ B．①③④C．①②③ D．②③④C[eq\o(AO,\s\up8(→))与eq\o(OC,\s\up8(→))方向相同，大小相等，所以①正确；eq\o(AO,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))方向相同，所以eq\o(AO,\s\up8(→))∥eq\o(AC,\s\up8(→))，所以②正确；因为AB∥CD，所以eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))共线，③正确；因为eq\o(AO,\s\up8(→))与eq\o(BO,\s\up8(→))方向不同，所以eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\o(BO,\s\up8(→))错误．故选C.]4.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的随意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的全部向量中，除向量eq\o(OA,\s\up8(→))外，与向量eq\o(OA,\s\up8(→))共线的向量共有()A．6个 B．7个C．8个 D．9个D[如题中图，与向量eq\o(OA,\s\up8(→))共线的向量有eq\o(AO,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))，eq\o(DO,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))共9个，故选D.]5．若|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|且eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))，则四边形ABCD的形态为()A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形C[由eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))知四边形为平行四边形；由|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|知四边形ABCD为菱形．故选C.]二、填空题6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB,\s\up8(→))是平行向量，与eq\o(BC,\s\up8(→))是共线向量，则m＝________.0[因为A，B，C三点不共线，所以eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))不共线，又因为m∥eq\o(AB,\s\up8(→))且m∥eq\o(BC,\s\up8(→))，所以m＝0.]7．给出以下五个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的是________．(填序号)①③④[共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显符合要求的只有①③④.]8．给出下列各量：①铅笔盒对桌面的压力；②气温－10℃；③高台跳水运动员在最高点的速度；④|a|；⑤把一条射线绕其端点顺时针旋转30°所构成的角－30°.其中是向量的是________．(把正确选项的序号填在横线上)①③[①压力是矢量，故也是向量；②与力相比，温度只有大小，没有方向，零上与零下只是温度凹凸的一种区分、表述，因此－10℃不是向量；③高台跳水运动员在最高点的速度大小为0，但速度本身属于矢量，故也是向量；④|a|表示向量a的长度，它是一个数值；⑤－30°的角中的负号表明白“线转成角”时的旋转方向，这与向量的方向是不同的，不是向量．]三、解答题9．O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与eq\o(AO,\s\up8(→))，eq\o(BO,\s\up8(→))相等的向量；(2)找出与eq\o(AO,\s\up8(→))共线的向量；(3)找出与eq\o(AO,\s\up8(→))模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up8(→))与eq\o(CO,\s\up8(→))是否相等？[解](1)eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(BO,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→)).(2)与eq\o(AO,\s\up8(→))共线的向量有：eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(CO,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→)).(3)与eq\o(AO,\s\up8(→))模相等的向量有：eq\o(CO,\s\up8(→))，eq\o(DO,\s\up8(→))，eq\o(BO,\s\up8(→))，eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(CF,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→)).(4)向量eq\o(AO,\s\up8(→))与eq\o(CO,\s\up8(→))不相等，因为它们的方向不相同．10．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))且eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))，求证：eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→)).[证明]因为eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，所以|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以|eq\o(DA,\s\up8(→))|＝|eq\o(CB,\s\up8(→))|且DA∥CB.又因为eq\o(DA,\s\up8(→))与eq\o(CB,\s\up8(→))的方向相同，所以eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→)).同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\o(NA,\s\up8(→)).因为|eq\o(CB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DA,\s\up8(→))|，|eq\o(CM,\s\up8(→))|＝|eq\o(NA,\s\up8(→))|，所以|eq\o(MB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DN,\s\up8(→))|.又eq\o(DN,\s\up8(→))与eq\o(MB,\s\up8(→))的方向相同，所以eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→)).[等级过关练]1.如图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不肯定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(EF,\s\up8(→))|B.eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(FH,\s\up8(→))共线C.eq\o(BD,\s\up8(→))与eq\o(EH,\s\up8(→))共线D.eq\o(DC,\s\up8(→))与eq\o(EC,\s\up8(→))共线C[|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(EF,\s\up8(→))|肯定相等，eq\o(AB,\s\up8(→))与eq\o(FH,\s\up8(→))肯定共线，eq\o(DC,\s\up8(→))和eq\o(EC,\s\up8(→))肯定共线，eq\o(BD,\s\up8(→))与eq\o(EH,\s\up8(→))不肯定共线，故选C.]2.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是()A．图中所标出的向量中与eq\o(AB,\s\up8(→))相等的向量只有1个(不含eq\o(AB,\s\up8(→))本身)B．图中所标出的向量中与eq\o(AB,\s\up8(→))的模相等的向量有5个(不含eq\o(AB,\s\up8(→))本身)C.eq\o(BD,\s\up8(→))的长度恰为eq\o(DA,\s\up8(→))长度的eq\r(3)倍D.eq\o(CB,\s\up8(→))与eq\o(DA,\s\up8(→))不共线D[∵在菱形ABCD中，CB∥DA，∴eq\o(CB,\s\up8(→))与eq\o(DA,\s\up8(→))共线，故选D.]3．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)与eq\o(ED,\s\up8(→))相等的向量为__________________________________；(2)与eq\o(AB,\s\up8(→))共线的向量为________________________________．(1)eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))(2)eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))、eq\o(DC,\s\up8(→))、eq\o(EC,\s\up8(→))、eq\o(CE,\s\up8(→))[∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，∵四边形ABDE是平行四边形，∴ABED，∴C、D、E三点共线，∴由图形可知，eq\o(ED,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，与eq\o(AB,\s\up8(→))共线向量为eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))、eq\o(DC,\s\up8(→))、eq\o(EC,\s\up8(→))、eq\o(CE,\s\up8(→)).]4．如图所示，E1，E2，F1，F2，G1，G2，H1，H2分别是矩形ABCD所在边上的三等分点，若|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝3，则以图中16个点中的随意两点为始点和终点的全部向量中，模等于2且与eq\o(AB,\s\up8(→))平行的向量有________个，模等于1的向量有________个，模等于eq\r(5)的向量有________个．242436[与eq\o(AB,\s\up8(→))平行包括与eq\o(AB,\s\up8(→))同向和反向，因而模等于2且与eq\o(AB,\s\up8(→))平行的向量个数为12×2＝24，模等于1的向量有12×2＝24个，模等于eq\r(5)的向量有9×4＝36个．]5．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000eq\r(2)km到达D地．画图表示向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，并指出向