专题五 指数函数与对数函数的应用（A卷-基础巩固）解析版

中院研究所专题五指数函数与对数函数的应用（A卷·基础巩固）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：100分考试时间：100分钟题号一二三总分得分注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有一组实验数据如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是(C)A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)[解析]通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C．2．一辆汽车在某路段中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(A)A．分段函数 B．二次函数C．指数函数 D．对数函数[解析]由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是(C)A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100x[解析]对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；对于B中的函数，当x＝3或4时，误差也较大；对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差较小；对于D中的函数，当x＝2,3,4时，据函数关系式得到的结果与实际值相差都很远，综上，只有C中的函数误差最小，故选C．4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(C)A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)x2＋2xC．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x[解析]将x＝1,2,3依次代入各函数表达式中得x123y＝0.2x0.20.40.6y＝eq\f(2x,10)0.20.40.8y＝eq\f(1,10)x2＋2x2.14.46.9y＝0.2＋log16x0.20.450.2＋log163与已知值0.2,0.4,0.76相比较可知选C．5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(C)A．10天 B．15天C．19天 D．2天[解析]荷叶覆盖水面面积y与生长时间x天的函数关系式为y＝2x，当x＝20时，长满池塘水面，∴生长19天时，布满水面面积的一半，故选C．6.某人2016年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到2019年7月1日可取款(D)A．a(1＋x)2元 B．a(1＋x)4元C．a＋(1＋x)3元 D．a(1＋x)3元[解析]由题意知，2017年7月1日可取款a(1＋x)元，2018年7月1日可取款a(1＋x)·(1＋x)＝a(1＋x)2元，2019年7月1日可取款a(1＋x)2·(1＋x)＝a(1＋x)3元．7.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于(C)A．lgeq\f(0.5,0.92) B．lgeq\f(0.92,0.5)C．eq\f(lg0.5,lg0.92) D．eq\f(lg0.92,lg0.5)[解析]设akg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为t，由题意，得a(1－8%)t＝eq\f(a,2)，两边取对数，lg0.92t＝lg0.5，即tlg0.92＝lg0.5，∴t＝eq\f(lg0.5,lg0.92)，故选C．8.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致为（

）A． B． C． D．【解析】设原来森林蓄积量为a，∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，∴一年后，森林蓄积量为a（1+10.4%）两年后，森林蓄积量为a（1+10.4%）2，经过y年，森林蓄积量为a（1+10.4%）y，∵要增长到原来的x倍，需经过y年，∴a（1+10.4%）y＝ax∴1.104y＝x则y＝log1.104x.由于函数是对数函数，，所以函数y＝f（x）的图象大致为D.故选：D．第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分．9．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为__300__.[解析]将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.10．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__45__min，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．[解析]设过n个3min后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216⇒n＝15.故时间为15×3＝45(min)．11.已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长5%，则x年后的产量为_________件.【解析】由题意，一年后的产量为：（件）两年后的产量为：（件）三年后的产量为：（件）……则x年后的产量为：（件）故答案为：12.《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总值能耗降低.如果这五年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是____________【解析】由已知可得，每年的国民生产总值是上一年的，由题意可得.故答案为：.评卷人得分解答题：本题共2小题，共28分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.13．（14分）对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?[解析]设新树苗的木材量为Q，则10年后有两种结果：连续生长10年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；生长5年后重新栽树木，木材量M＝2Q(1＋18%)5.则eq\f(M,N)＝eq\f(2,1＋10%5).∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴eq\f(M,N)>1，即M>N.因此，生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量．14．（14分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当