专题四 对数函数（B卷-能力提升）解析版

专题四对数函数（B卷·能力提升）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：100分考试时间：100分钟题号一二三总分得分注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数表达式中，是对数函数的有(B)①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；=5\*GB3⑤y＝log2(x＋1)．A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤的真数为(x＋1)，∴⑤也不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义．2．函数y＝eq\r(log\s\do9(\f(1,3))（3x－2）)的定义域是(D)A．[1，＋∞) B．(eq\f(2,3)，＋∞)C．(1，＋∞) D．(eq\f(2,3)，1]【解析】由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,3))（3x－2）≥0，,3x－2>0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2≤1，,3x－2>0，))∴eq\f(2,3)<x≤1，故选D．3．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(D)A．b＜a＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜c＜a[解析]因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.4．已知函数f(x)＝eq\f(1,\r(1－x))的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(C)A．{x|x＞－1} B．{x|x＜1}C．{x|－1＜x＜1} D．∅【解析】由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞－1}，则M∩N＝{x|－1＜x＜1}，故选C．5．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6，3)，则f(2)的值为(B)A．－2 B．2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]由题意得3＝loga8，∴a3＝8，∴a＝2.∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log24＝2.6．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是(B)A．a4<a3<a2<a1B．a3<a4<a1<a2C．a2<a1<a3<a4D．a3<a4<a2<a1[分析]由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa＝1，结合图象判断．[解析]在图中作一条直线y＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1,y＝loga3x))，得loga3x＝1，所以x＝a3.所以直线y＝1与曲线C3：y＝loga3x的交点坐标为(a3，1)．同理可得直线y＝1与曲线C4，C1，C2的交点坐标分别为(a4，1)，(a1，1)，(a2，1)．由图象可知a3<a4<a1<a2，故选B．7．函数f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2－3x－10)的单调递增区间为(A)A．(－∞，－2) B．(－∞，eq\f(3,2))C．(－2，eq\f(3,2)) D．(5，＋∞)[解析]由题意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.令u＝x2－3x－10，函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A．8．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(A)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．9．a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a、b、c的大小关系是(C)A．a<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．c<a<b[解析]a＝20.3>20＝1，b＝0.32∈(0，1)，c＝log20.3<log21＝0，∴c<b<a.10．的解集是()A.{x|x>1} B.{x|x>2或x<-2} C.{x|x<1} D.{x|-2<x<2}【解析】得>,所以,即,解得x>2或x<-2.故选B.第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分．11．函数f(x)＝loga(2x－3)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是(2，0)．[解析]令2x－3＝1，解得x＝2，∴P点横坐标x＝2，此时纵坐标y＝0，故过定点P(2，0)．12．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是(1，2)．[解析]若f(x)，g(x)均为增函数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a>1，,a>1，))即1<a<2；若f(x)，g(x)均为减函数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<3－a<1，,0<a<1，))无解，故1<a<2.13．函数的定义域为c<a<b．【答案】14．已知，a，b，c按由小到大的顺序排列．【答案】c<a<b15．已知：a＝log65，b＝π0.3，c＝lneq\f(1,2)，则a,b,c的大小关系为b>a>c．A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b[解析]a＝log65<log66＝1，b＝π0.3>π0＝1，c＝lneq\f(1,2)<ln1＝0.∴b>a>c17．函数y＝log2x在[1，2]上的值域是0≤y≤1．[解析]∵1≤x≤2，∴log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1．18．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－x）\s\up6(\f(1,2))（x≤0）,log2x（x>0）))，则f[f(eq\f(1,16))]的值为0≤y≤1[解析]∵x>0时，f(x)＝log2x，∴f(eq\f(1,16))＝log2eq\f(1,16)＝log22－4＝－4，又x≤0时，f(x)＝(－x)eq\s\up6(\f(1,2))，∴f(－4)＝4eq\s\up6(\f(1,2))＝2.∴f[f(eq\f(1,16))]＝f(－4)＝2.评卷人得分解答题：本题共3小题，共28分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.19．（8分）已知函数f(x)＝lg|x|.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)画出函数f(x)的图象．[解析](1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴函数f(x)是偶函数．(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lgx(x>0)的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lgx(x>0)的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．11．求下列函数的反函数．20．（10分）已知f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)，(a>0，且a≠1)．(1)证明：f(x)为奇函数；(2)求使f(x)>0成立的x的取值范围．[解析](1)f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)(a>0，且a≠1)的定义域为{x|eq\f(1＋x,1－x)>0}，解得f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)(a>0，且a≠1)的定义域为{x|－1<x<1}．因为f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)，(a>0，且a≠1)，所以f(－x)＝logaeq\f(1－x,1＋x)＝－logaeq\f(1＋x,1－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)因为f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)(a>0，且a≠1)，所以由f(x)>0，得logaeq\f(1＋x,1－x)>loga1，当0<a<1时，有0<eq\f(1＋x,1－x)<1，解得－1<x<0；当a>1时，有eq\f(1＋x,1－x)>1，解得0<x<1；所以当a>1时，使f(x)>0成立的x的取值范围是(0，1)，当0<a<1时，使f(x)>0成立的x的取值范围是(－1，0)．21.（10分）已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．[分析]