4.7 余弦函数的图像和性质

授课题目4.7余弦函数的图像和性质选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长2课时授课类型新授课教学提示本课通过类比正弦函数的图像和性质，学习余弦函数的图像和性质，借助代数运算与几何直观，认识余弦函数的图像与性质，学习运用“五点法”可以画出余弦函数在一个周期上的简图．教学目标学会借鉴正弦函数的图像与性质的研究方法，研究余弦函数的图像与性质，能根据余弦曲线理解余弦函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，逐步提升逻辑推理等核心素养；能用“五点法”作出余弦函数在［0，2π］上的图像；逐步提升直观想象等核心素养；能根据余弦函数的性质解决简单的相关问题，逐步提升逻辑推理和直观想象等核心素养．教学重点余弦函数的性质．教学难点用五点作图法作出函数在一个周期内的图像．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入我们用描点法作出了正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图像,通过不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)得到了正弦函数y＝sinx,x∈R的图像,并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质．对于余弦函数y＝cosx,x∈R,可否用同样的方法来研究？提问启发引导思考作答交流通过类比强调知识间的联系探索新知用描点法作出余弦函数y＝cosx在[0,2π]上的图像.(1)列表.把区间[0,2π]12等份,分别求y=cosx在各分点及区间端点的正弦函数值.讲解理解数形结合说明问题(2).根据表中xy角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接y＝cosx[0,2π]像.不难看出，下面五个点(,)，,0，，0，,2 2 y＝cosx在[0,2π]上的图像的关五点法出简图．cos(2kπ+x)＝cosx(k∈Z)将函数y＝cosx在[0,2π]x轴向左或向右平2π，4π，…y＝cosR余弦曲线续光滑曲线．将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内，可以看出：把正弦函数y＝学生通过观察思考参与知识形成过助观察程感受形图形探索和明思考发现的乐趣强调函讲解领会数周期性在余弦函数作图中说明理解的重要作用讲解借助图形思考说明多角度借图说借图说sinx，x∈R的图像向左平移个单位长度，就得2到余弦函数y＝cosx，x∈R的图像．温馨提示y＝sinx,x∈R的图像向右平移,y＝cosxx∈R图像,如果是,需平移多少？Ry＝cosx，x∈R质：定义域.R.值域余弦函数的值域是[-1,1当x=2kπ(k∈Z)时,y取最大值,ymax=1;当x=π+2kπ(k∈Z)时,y取最小值,ymin=1.周期性.余弦函数是周期为2π的周期函数．奇偶性.y轴对称和诱导公式cos(−x)=cosx可知,余弦函数是偶函数．单调性.余弦函数y＝cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,函数值从-11;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上是减函数,1减小到-1．思考问观察题图形类比正理解弦函数知识强调知识提出之间的问题已有知思考识解决引导交流新问题讲解理解举例思考交流总结结论理解记忆例题辨析1y=-cosx在[0,2π]上的图像．解 (1)列表.提问思考余弦函(2)根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=-cosx在[0,2π]上的图像.例2 求函数y＝3cosx＋1的最大值最小值取得最大值、最小值时x的集合．解 由余弦函数的性质知-1≤cosx≤1所以-3≤3cosx≤3，从而 -2≤3cosx+1≤4，即-2≤y≤4．故函数的最大值为4，最小值为-2．y＝3cosx＋1xy=cosxx的集合{x|x=2kπ,k∈Z}y＝3cosx＋1xy=cosxx的集合{x|x=2kπ+π,k∈Z}．例3不求值，比较下列各组数值的大小：(1)cos与cos；5 5(2)cos与cos．10 8 解根据余弦函数的图像和性质可知：引导分析数图像讲解解决强调交流余弦函数性质的简单应用提问思考引导分析讲解解决初步尝试利用强调交流余弦函数图像和性质解决问提问思考题引导分析(1)因为024，余弦函数y=cosx5 5在区间[0,π]上是减函数，所以coscos；5 5(2)因为 ，余弦函数8 10y=cosx在区间[-π，0]上是增函数，所以coscos10 8 讲解强调解决交流练习4.7y=cosx-1在[0,2π]上的图像．x的集合：(1)y=2cosx-1； (2)y1cosx．2不求值，比较下列各组数的大小：(1)cos与cos；7 7(2)cos与cos． 8 7 提问思考及时掌握学生的知识掌握情巩固练习巡视动手求解补