立体几何解答题罕见压轴难题（解析版）

(2)若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值.·1·(1)连接OM,MN,BM，因为M,N是底面半圆弧上的两个三等分点，·1· 所以MN=NB=BO=OM，四边形OMNB是菱形，记ON与BM的交点为Q，Q为ON和BM的中点，因为∠PON=60°,OP=ON，所以PQ=3=1BM，所以PB⊥PM，因为PM∩PA=P，PM,PA⊂平面PAM，所以PB⊥平面PAM.(2)因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，所以PQ⊥底面ABM，则O(0,-1,0(,M(3,0,0(,B(-3,0,0(,N(0,1,0(,P(0,0,3(，·2·所以PM=(3,0,-3(，OP=(0,1,3(，OB=(-3,1,0(，设平面PAB的一个法向量为=(x,·2· 设直线PM与平面PAB的所成角为θ,故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为.面PBC∩平面PAD=l，直线DE与直线l交于点G.求的值；(2)若PB=PC=CD=2，求多面体POCDEF的体积.又因为AD⊄面PBC，BC⊂面PBC，因为平面PBC∩平面PAD=l，AD⊂面PAD，所以AD=GP，·3·所以△OBF∼△·3· (2)连接OP，OE，所以多面体POCDEF的体积为V=VP-OCD+VE-POD+VE-POF因为PB=PC=2，O是BC中点，所以PO⊥BC，PO=PC2-OC2=3，又因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO⊂平面PBC，所以PO⊥面ABCD，所以VP-OCD=1×S△OCD×PO=1×1×1×2×因为E为PA中点，所以VE-POD=1VA-POD=1VP-OAD=1×所以VE-POF=2VE-POB=2×1VA-POB=1×1×1×1×所以多面体POCDEF的体积为V=3+3+3·4·延长线于点H，经测量∠D1DH=12°,且AB=10,A1B1=8⋅(sin12°≈0.2·4· 数S(x(=sinx+sin2x(x∈R(，你看这多美妙!”(x(的最大值吧.·5··5· S2(x(=sin2x(1+cosx)2=(1-cosx((1+cosx)3=×3(1-cosx((1+cosx)3≤×(3(1-cosx(+(1+cosx((1+cosx(+(1+=.S(x(=(sinx+sinx+sin2x(,=sinx+sinxsin(π-2x((≤3sinx+x+π-2=(x)=(sinx+sinxcosx)2、、=、、=当且仅当sinx=3时取等号.·6··6· S2(x(=(sinx+sinxcosx)2=⋅sinx+sinx⋅2cosx(2≤=+sin2x((-sin2x+2(，根据二次函数知识可知当sinx=取得最大值，(x)≤;(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的行处理.是正方形，且平面A1BC⊥平面ABB1A1.(1)求证：AB⊥BC；·7·(2)当AC与平面A1BC所成的角为，在线段A1C上是否存在点E，使平面ABE与平面·7· (1)证明：连接AB1交A1B于点D，由平面A1BC丄侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，得AD丄平面A1BC，又BCC平面A1BC，所以AD丄BC.三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，则AA1丄底面ABC，所以AA1丄BC.又AA1∩AD=A，从而BC丄侧面A1ABB1，又ABC侧面A1ABB1，故AB丄BC.上ACD直线AC与平面A1BC所成的角,π假设在线段A1C上存在一点E，使得二面角A-BE-πA点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系A-xyz，且设A=λA(0≤λ≤1(，A=(0,2、2,-2)，得E(0,2、2λ,2-2λ(·8·设平面EAB的一个法向量=(x,y,z(，由AE丄，AB丄得：·8· {，取=(1,-1,-,:点E为线段A1C中点时，二面角A-BE-C的大小为.(2)求点D到平面PBC的距离；(1)“点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，:PO丄平面ABCD，“ACC平面ABCD， :PO丄AC，“四边形ABCD为菱形，:BD丄AC，:AC丄平面PBD，“BDC平面PBD， :AC丄PD；(2)由题意可得△ABD、△BCD与△PBD都是边长为2的等边三角形，1·9·:PO=·9· ∴PC=PO2+CO2=6，∵BP=BC=2，∴S△PBC=×6×22-(26设点D到平面PBC的距离为h，由VD-PBC=VP-BDC得S△PBC⋅h.5.5.故点D到平面PBC的距离为.(3)设直线PE与平面PBC所成的角为θ,∵AD∥BC⇒AD∥平面PBC，∴E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离h.过E作垂线EF⊥平面PBC交于点F，则θ=∠EPF，∵PO⊥平面ABCD，且PO=3，∴PA=OP2+OA2=6，PD=OP2+OD2=2，cos∠PAD==AP2+AD2-PD26+4cos∠PAD===2AP⋅AD2×6×2∴sin∠PAD=1-cos2∠PAD=AP⋅ADsin∠PAD=AP⋅ADsin∠PAD=AD⋅·10·DE=PD2-PE2=4-=，sinθ=，·10· CC丄平面ABB1A1，点D为棱BB1(2)棱B1C1(除两端点外)上是否存在点M，使得二面角B-A1M-B1的余弦值为，若存:△AA1C为等边三角形，得AA1丄OC，:AA1丄OD，“CDC平面OCD，:AA1丄CD；(2)“平面AA1C1C丄平面ABB1A1，且平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，OC丄AA1，OCC平面AA1C1C，:OC丄平面ABB1A1，ODC平面ABB1A1，:OC丄OD，·11··11· 不妨设AB=2，则B(1,2,0(，A1(-1,0,0(，C1(-2,0,3(，B1(-1,2,0(，则A1B1=(0,2,0(，A1C1=(-1,0,3(，C1B1=(1,2,-3(，OC1=(-2,0,3(，A1B=(2,2,0(，设=(x1,y1,z1(为平面假设棱B1C1上(除端点外)存在点M满足题意，令=λ(0<λ<1(，得M(λ-2,2λ,3-3λ(，设=(x2,y2,z2(为平面BA1M的一个法向量，=(1,-1,1+λ ,=-+λ( 时，二面角B-A1M-B1时，二面角B-A1M-B1的平面角均为锐角，C1MC1MCB1·12··12·等. A的中点.(1)在三棱锥P-ABC中，证明：B(2)求平面PBC与平面ABC夹角的余弦值.(1)由P所以BE⊥PA，取AC中点为F，连接EF，BF，在△PBA中，BE=AB2-AE2=2，所以BE2+FE2=BF2，所以BE⊥EF所以BE⊥平面PAC，因为AC⊂平面PAC，所以BE⊥AC；·13·则E(0,0,0(，A(0,2,0(，B(0,0,、2)，P(0,-2,0(·13· ,-1,0)，,-1,0)，A=(0,-2,、2,-1,-、2设平面ABC与平面PBC的一个法向量分别为n1=(x1,y1,z1(，n2=(x2,y2,z2(，平面PBC与平面ABC的夹角为θ,→x1=→x1=x1-y1-21=x1-y1-2(x2-y2-2 =212所以2=,-1,2(所以2=,-1,2..上的动点．将△ADE沿DE翻折到△SDE，△BEF沿EF翻折到△SEF，(1)因为ABCD是正方形，:SE丄SD,SE丄SF，·14··14· SBC，设BF=x(1<x≤4)，则CF=4-x.x(=4+x(=4+x.在△DEF中，DS=4,SF=x，DF=x2-8x+32.2DS.SFx可得cos上DSF=DS2+SF2-DF2=2DS.SFxS△DBF=DS.SF.sin上DSF=4x-1，8x-1x+4“VS-DEF=VE-DSF，4x-1.2=(4+x8x-1x+44t=4令x-1=4t=4令g(t(=t+,t∈(0,3(，g(t1(-g(t2(=t1+t2+=(t1-t2(+-=(t1-t2(，当t1,t2∈(0,、3(且t1<t2时，t1-t2<0,t1t2-5〈0,t1t2〈0，则g(t1(-g(t2(>0，:θ最大值为可得g(t)在(0,3[上单调递减，:θ最大值为 ·15·上ABC=.将△ADC沿对角线AC折到△APC的位置，点P在平面ABC内的射影H恰好落在直线AB上.·15· (1)求二面角P-AC-B的正切值；(1)如图，过点H作HM丄AC于点M，连接PM，DM，“PH丄平面ABCD，ACC平面ABCD，:PH丄AC，又HM丄AC，HM∩PH=H,HM,PHC平面PMH，:AC丄平面PMH，“PMC平面PMH，:AC丄PM，:AC丄DM.:上PMH为二面角P-AC-B的平面角.:CM=，AM=.CDMC3又AHⅡCD，:AH=AM=1:AH=1CDMC3“PM=DM=，:MH=DM=，:Rt△PMH中，PH=、6，:tan上PMH==2、2，所以二面角P-AC-B的正切值为22.·16··16· 则A(0,-1,0(，B(0,1,0(，C(3,0,0(，P(0,0,6(，∴==(-,0,，B—=-=,-1,，A—=(0,2,0(.0-y+=03,-1,0(.3,-1,0(.33,1-λ,-36(∴B=(3λ,-λ,0(，∴F=B-33,1-λ,-36(π因为直线FQ与平面ABFπ ∴sin=== ∴sin===、3λ-32+(1-λ(2+(-、3λ-32-18λ+9=0，解得λ=或λ=(舍去).BQQC.=3时，FQ与平面ABF所成的角为BQQC.·17··17· 中心，将四棱锥M-BCGF绕直线CG逆时针旋转α(0<α<π(后，得到四棱锥M/-B/CGF/.,求证：平面MBF⊥平面M/B/F/；连接BH、BF/，则M是BH中点，M/是BF/中点，所以平面MBF与平面BFHD重合，平面M/B/F/与平面BFF/B/重合，由正方体性质可知BF⊥平面EFF/H，∠HFF/为二面角H-BF-F/的平面角，所以∠HFF/=，所以，平面MBF⊥平面M/B/F/(2)假设存在α,使得直线M/F/⊥平面MBC，·18··18· 则C(0,0,0(、B(2,0,0(、M(1,-1,1(，故=(2,0,0(、=(1,-1,1(，设平面MBC的法向量为=(x,y,z(，则+z=0，取y=1，得=(0,1,1(是平面MBC的一个法向量，因为|MG|=|MC|=12+(-1(2+12=3，则PM⊥CG，同理可知，PMI⊥CG，于是∠MPMI是二面角M-CG-MI的平面角，∠MPQ是二面角M-CG-Q的平面角，∠QPMI是二面角Q-CG-MI的平面角.于是∠MPMI=α,因为P=(1,-1,0(，P=(2,0,0(，cos∠MPQ=因为0<∠MPQ<π,则∠MPQ=，所以∠QPMI=α-，因为PM⊥CG，PMI⊥CG，PM∩PMI=P，PM、PMI⊂平面MPMI，所以，CG⊥平面MPMI，且|MIP|=|M故cos(α-sin(α-(,1(因为2cosα-2cos(α-=2cosα-2cosαcos-2sinαsin=cosα-sinα,所以MI=(cosα-sinα,cosα+sinα,1(，·19·若直线MIFI⊥平面MBC，是平面MBC的一个法向量，则MI⎳,·19· (cosα-sinα=0(cosα-sinα=0∠BAD=120°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E,F,H分别是棱PB,BC,PD的中点.(1)求平面EFH与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)求平面EFH截四棱锥P-ABCD所得的截面与PA交于点Q，求的值.(1)作AG⊥AD，以A为原点建立空间直角坐标系，E,-,1(，故P=(0,2,-2)，P=(、3,1,-2)，设面PDC的法向量,y,z)，设面EFH法向量,b,c)，E=,,-1(，E=(-,,0(，·20··20· 设二面角为β,则cosβ=故平面EFH与平面PCD所成二面角的余弦值为.连接DC找中点G，连接GF并延长交AB延长线于I，连接IE并根据平面的基本性质易知：E,F,G,H,Q共面，即多边形EFGHQ若J是AB中点，连接GJ,EJ，又E,F为PB,BC中点，所以，则B是IJ中点，即IJ=2BJ故平面EFH与平面PCD所成二面角的余弦值为.连接DC找中点G，连接GF并延长交AB延长线于I，连接IE并根据平面的基本性质易知：E,F,G,H,Q共面，即多边形EFGHQ若J是AB中点，连接GJ,EJ，又E,F为PB,BC中点，所以，则B是IJ中点，即IJ=2BJ=AB=2，又EJ=1,IA=3，==，可得AQ=，故PQ=2-AQ=，分别为α,β,试求出tan(α+β(的取值范围.(3)求三棱锥E-PMN的体积的最大值.=|OF2|=|OF2|=1，·21··21· 由BF2OBF2F，F，所以根据椭圆性质知1≤m≤3，故tan(α+β)∈-,-.由VE-PMN=VM-PEF2+VN-PEF2，要使三棱锥E-PMN的体积最大，只需△PEF2面积和M,N到面PEF2距离之和都最大，S△PEF2=SBF2EB-S△PBF2-S△PEB，令EB=a,PB=b且a,b∈[0,4]，则PB=4-b，b(a-1)设MN:y=tx+1，联立椭圆得(3t2+4)x2+6tx-9=0，且Δ=144(t2+1)>0，·22·所以xM+xN=-，xMxN=-，而|xM-xN|=、(xM+xN)2-4xMxN，所以|xM-xN|=，令l=·t2+1≥1，则|xM-xN|==，由对勾函数性质知y=3l+在[1,+∞)上递增，故|xM-xN|max=·22· 综上，(VE-PMN(max=×8×3=8.如图，四面体ABCD中，AB=BC=BD=AC=2,AD=DC=、2.(1)求证：平面ADC⊥平面ABC；(2)若D=λD(0<λ<1)，②若PH⊥平面ABC,H为垂足，直线DH与平面APC的交点为G．当三棱锥P-ACH体积(1)取AC的中点O，连接DO,OB，因为AC=2,AD=DC=2，则DO⊥AC，所以AD2+DC2=AC2，所以DA⊥DC，所以又因为AB=BC=BD=2,所以BO⊥AC，则BO=BC2-CO2=3，又因为BO2+DO2=BD2，所以DO⊥BO，又因为DO⊥AC，AC∩BO=O,AC,BO⊂平面ABC，所以DO⊥平面ABC，又因为DO⊂平面ACD，所以平面ADC⊥平面ABC；所以A(1,0,0(,C(-1,0,0(,D(0,0,1(,B(0,、3,0(，所以由D=λD(0<λ<1)可得：x1=0,y1=、3λ,z1=-λ+1，所以P(0,、3λ,-λ+1(，·23·A=(-1,0,1(,A=(-2,0,0(,A=(-1,、3λ,-λ+1(·23· 设平面APC的法向量为=(x,y,z(，则λy+(-λ+1(z=0，取y=-λ+1，可得x=0,z=-、3λ,所以=(0,-λ+1,-、3λ(，因为直线AD与平面APC所成角为30°,②由(1)知，DO⊥平面ABC，又PH⊥平面ABC,PB=2-2λ,所以==，即，所以PH=1-λ,BH=(1-λ(，所以OH=OB-BH=、3-、3(1-λ(=3λ,三棱锥P-ACH体积为：因为0<λ<1，当λ=时，三棱锥P-ACH体积最大为，A(1,0,0(,C(-1,0,0(,D(0,0,1(,B(0,、3,0(设D=μD(0≤μ≤1(，设G(x2,y2,z2(，所以x2=0,y2=μ,z2=-μ+1，所以G(0,μ,-μ+1(，·24··24· 所以D=D，所以=.如图，四棱锥P-ABCD中，二面角P-CD-A的大小为90°,∠DCP=∠DPC<∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90°,E是PA的中点.(1)求证：平面EBD⊥平面PCD；(2)若直线PD与底面ABCD所成的角为60°,求二面角B-ED-C的余弦值.【解析】(1)由∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90°,得AD=AB,AD⎳BC，则∠DBC°=∠DCB=45，所以BD=CD,∠BDC=90°,即BD⊥CD.由二面角P-CD-A的大小为90°,知平面PCD⊥平面CDA，即平面PCD⊥平面ABCD，又平面PCD∩平面ABCD=CD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PCD，又BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面PCD.由平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PH⊂平面PCD，PH⊥CD，所以PH⊥平面ABCD，则DH为PD在底面ABCD内的射影，所以∠PDH为直线PD与底面ABCD所成的角，即∠PDH=60°.由∠DCP=∠DPC<，知DP=DC且△PDC为钝角三角形，设AD=1，得BD=DC=DP=2，BC=2，在△PHD中，PD=2,DH=2PH=6，在△ADH中，∠ADH=·25·由余弦定理得AH=AD2+DH2-2AD⋅DHcos45°=2，有AH2+DH2=AD2·25· 所以AH丄CD，过D作DFⅡPH，则DF丄底面ABCD，所以DB,DC,DF两两垂直，建立如图空间直角坐标系D-xyz，B(2,0,0),C(0,·2,0),P(0,-,A,-,0(,E,-,(，所以D=(·2,0,0),D=,-,D=(0,2,0)，设平面EBD和平面ECD的一个法向量分别为1,y1,z12,y2,z2)，{..1=0,y1=,x2=-3,y2=0，故所求二面角B-ED-C的余弦值为.(2)若AB=2,G为△BCD的内心，求直线PG与平面PCD所成角的正弦值.(1)因为PA丄平面ABCD,CDC平面ABCD，所以PA丄CD，因为PD与平面ABCD所成的角为45。,PA丄平面ABCD，又E为PD的中点，所以AE丄PD，·26··26· 又CD⊥PA,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，因为PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.所以G在对角线AC上.所以OG=GF,CG=2OG，所以CO=CG+OG=(、2+1(OG,AC=2CO=2(、2+1(OG，所以AG=AO+OG=CO+OG=(2+2(OG=2(1+2(OG，所以AG=AC，又因为AB=2，所以AG=2.由题意知AB,AD,AP两两垂直，以AB,AD,AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.所以P(0,0,2(,D(0,2,0(,E(0,1,1(，所以PG=(2,2,-2(AE=又因为AE⊥平面PCD，所以平面PCD的一个法向量为(0,1,1AE=设直线PG与平面PCD所成角为θ,=,1,1(⋅=2-2.4矩形ABEF沿EF翻折至矩形AIBIEF的位置，使平面AIBIEF⊥平面CDFE，如图2所示.·27··27· (1)证明：平面AIEM丄平面AIFM；EQ\*jc3\*"Font:Arial"\*hps24\o\ad(\s\up7(EQ),EA)进一步有AIF丄EF，因为平面AIBIEF丄平面CDFE，平面AIBIEF∩平面CDFE=EF，且AIFC平面AIBIEF，AIF丄EF，所以AIF丄平面CDFE，因为EMC平面CDFE，所以AIF丄EM.因为FM∩AIF=F，FMC平面AIFM，AIFC平面AIFM，所以EM丄平面AIFM.又EMC平面AIEM，所以平面AIEM丄平面AIFM.如图所示．则F(0,0,0(，M(1,1,0(，E(0,2,0(，AI(0,0,1(，从而FM=(1,1,0(，EAI=(0,-2,1(.由题设E=λEI(0<λ<1(，则E=λ(0,-2,1(=(0,-2λ,λ(，又F=(0,2,0(，则F=F+E=(0,2-2λ,λ(.由(1)知，M=(-1,1,0(是平面AIMF的一个法向量，·28·因为平面AIBIEF丄平面CDFE，平面AIBIEF∩平面CDFE=EF，且QP丄EF，QPC平面AIBIEF·28· 所以QP⊥平面ABEF，即QP⊥平面MEF，又FM⊂平面MEF，则QP⊥FM，所以FM⊥平面PGQ，则MF⊥QG，所以∠QGP为二面角Q-FM-E的平面角.由(1)知AF⊥平面CDFE，AF⊂平面AFM，所以平面AFM⊥平面CDFE，所以二面角A-FM-E为直二面角，所以二面角Q-FM-E的正弦值等于二面角A-FM-Q的余弦值，所以在Rt△QGP中，tan∠QGP= (2)若二面角P-QD-C的正弦值为，求BQ的长.(1)证明：取AA1的中点M，连接MP，MB.·29··29· =4，又点M，P分别是棱A1A，D1D的中点，所以MP∥AD，且MP==3.在正方形ABCD中，BC∥AD，BC=4，又B从而MP∥BQ且MP=BQ，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以PQ∥MB.又因为MB⊂平面ABB1A1，PQ⊄平面ABB1A1，所以PQ∥平面ABB1A1；(2)在平面AA1D1D中，作A1O⊥AD于O.因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，A1O⊥AD，A1O⊂平面AA1D1D，所以A1O⊥平面ABCD.在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则ON⊥OD.A1O=4.(0,-,2(，=(0,-4,0(.,1(，另取平面DCQ的一个法向量为=(0,0,1(.设二面角P-QD-C的平面角为θ,由题意得|cosθ|=1-sin2θ=1.·30··30· ==所以当二面角P-QD-C的正弦值为时，BQ的长为1.,0((-1≤t≤3(，所以D=(4,t-3,0(.(3-t,4,1(，另取平面DCQ的一个法向量为=(0,0,1(.(t-3)y=0设二面角P-QD-C的平面角为θ,由题意得|cosθ|=1-sin2θ=1.=(3-t(2+17(3-t(2+1726=(3-t(2+17(3-t(2+1726所以当二面角P-QD-C的正弦值为时，BQ的长为1.因为平面A1ADD1丄平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，PH丄AD，PHC平面A1ADD1，所以PH丄平面ABCD，又DQC平面ABCD，所以PH丄DQ.所以DQ丄平面PHG，又PGC平面PHG，所以DQ丄PG.·31·在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1ADD1·31· 所以PH=2，DH=.设BQ=x(0≤x≤4(，则CQ=4-x，DQ=42+(4-x(2=x2-8x+32，因为二面角P-QD-C的平面角与二面角P-QD-A的平面角互补，且二面角P-QD-C的正弦值为，所以sin∠PGH=，从而tan∠PGH=5.所以当二面角P-QD-C的正弦值为时，BQ的长为1. 求异面直线AC与BF1所成角的余弦值；(ii)求|PH|的最大值.·32·2=a2-c2=·32· 解得A(0,1(，B(-,-，由对称性知C,-，则AI(0,0,1(，B,-,0(，C,,0(A=,,-1(，B1=(-,,0(，设直线AIC与BF1所成角为θ,==，异面直线AIC与BF1所成角的余弦值为.=++1得，2+2y2+2y-1=0，所以y1y3=-1=-y2+2∞-2∞1+1+2y，y1y11-32∞1-3，3=∞1-1y3+1=y3=∞1-1y1y11-32∞1-3，·33·=，·33· 由A,F1,B三点共线，得=，所以x2y1-x1y2=y2-y1，(2x1-3((y4-y3(令y=0得，x=-y1(x4-x3(+((2x1-3((y4-y3((ii)由题意知点P(0,-1(，点H的轨迹为以F2(1,0(，Q,0(为直径的圆(除F2,Q外)，如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面AB·34··34· 因为ABCD是矩形，N是线段DC上的中点，所以DN⎳AB,DN=AB，因此有DN⎳MQ,DN=QM，(2)假设存在实数λ,使直线MN同时垂直于直线PB，直线DC，即MN⊥PB,MN⊥AB，而PB∩AB=B,PB,AB⊂平面ABP，所以MN⊥平面ABP，因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，而PA∩AB=A,PA,AB⊂平面ABP，因此不存在实数λ,使直线MN同时垂直于直线PB，直线DC；所以∠PDQ是直线MN与直线PD所成角，设AD=a(a>0)，由(2)可知PA⊥AD，所以PD=a2+4,DQ=、a2+1，2+22+4×a2+1令a2+2=t(t>2)，所以0<<，于是有cos∠PDQ=t=1，、t+2×、t-1-2、t+2×、t-1则直线MN与直线PD所成最大角的余弦值为.·35··35· (2)证明：PB丄平面PAM；(3)若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值.(1)连接OM,MN,BM，因为M,N是底面半圆弧上的两个三等分点，所以△MON,△NOB都为正三角形，所以MN=NB=BO=OM，四边形OMNB是菱形，因为四边形OMNB是菱形，则Q为ON和BM的中点，而在等边△MON,△NOB中，易知MQ=BQ=3，即PQ=MQ=BQ，所以PB丄PM，又PM∩PA=P，PM,PAC平面PAM，所以PB丄平面PAM.(3)因为点P在底面圆内的射影恰在ON上，·36··36· 则O(0,-1,0(,M(3,0,0(,B(-3,0,0(,N(0,1,0(,P(0,0,3(，所以PM=(3,0,-3(，OP=(0,1,3(，OB=(-设直线PM与平面PAB的所成角为θ,故直线PM与平面PAB (1)证明DE⊥平面ABCD；(2)求平面AB1D与平面BDF夹角的余弦值.因为AD=DC=2,AC1=22，所以AD2+DC=AC，所以AD⊥DC1，·37·又AD⊥DC,DC∩DC1=D,DC,DC1⊂平面CDD1C1，所以AD⊥平面CDD1C1，所以AD⊥DE,AD⊥·37· 因为DE丄AD,AD∩DC=D,AD,DCC平面ABCD，所以DE丄平面ABCD.标系D-xyz.易知DE=3，所以D(0,0,0(,A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,3)，C1(0,1,3),D1(0,-1,3)，所以1=(0,-1,、3),D=(0,2,0),A=(-2,0,、3),D=(2,2,0),D=(2,0,0)，D1=(0,-1,3)，设=t=(0,-t,、3t((0≤t≤1)，则D=D+=(0,2-t,、3t)，使得A=λD+μD=λ(2,2,0)+μ(0,2-t,、3t)=(2λ,2λ+2μ-tμ,、3μt).D=(2,1,3)，·38·取y2=3设平面AB1D与平面BDF的夹角为θ,·38· 故平面AB1D与平面BDF夹角的余弦值为.BC=2，将△ADE沿DE翻折到△PDE的位置.而BE=CE，M是BC的中点，所以ME丄ED，又平面PED丄平面BCDE，平面PED∩平面BCDE=DE，MEC平面BCDE，所以ME丄平面PED，如图以E为坐标原点，分别以EM,ED分别为x,y轴正半轴建立空间直角坐标系：所以E(0,0,0(，M(1,0,0(，B(1,-1,0(，C(1,1,0(，D(0,2,0(，则P(0,t,t(，N(0,t,t(，·39·所以M=(-1,t,t(，B=(-1,t+1,t(，B=(0,2,0(，E=(0,t,t(，E·39· 设平面PBC的法向量=(x1,y1,z1(，sinθ== =-+t=>，解得·2<t<2.设平面PEC的法向量=(x2,y2,z2(，，取=(1,-1,1(，设平面PBC与平面PEC所成锐二面角为α,则cosα===i=1+∈,(，所以平面PBC与平面PEC所成锐二面角余弦值的取值范围是,.VK-CGH=GH⋅CH⋅KGsinα≤GH⋅CH⋅KG，S△CHG=CH⋅GH,S△KHG=KG⋅GH，S△CKG>S△KGH,S△CKH>S△CHG(取不到等号，)∴S>CH⋅GH+KG⋅GH=GH⋅(CH+KG(，GH⋅CH⋅KG>GH⋅(CH+KG(⋅r，∴>2+.·40·在Γ·40· (1)求三棱锥A-F1F2P体积的最大值；由椭圆Γ所在的平面⊥平面ABC，且两面交线为BC，所以OQ⊥底面PBC，且AB⊥底面PBC，设点P(x0,y0(，椭圆Γ的方程为+=1(a>b>0(.由题意，易知OB=OC=BC=2，OF1=OF2=BC=1，VA-F1F2P=·|AB|·S△F1F2P=S△F1F2P=·|F1F2|·|y0|=|y0|≤b=3，故三棱锥A-F1F2P体积的最大值是、3.则A1=(1,0,-3(，F=(2cosθ+1,、3sinθ,0(，设平面APF1的一个法向量=(x,y,z(，·41·所以平面APF1的一个法向量=(3sinθ,-、3(2cosθ+1(,sinθ(·41· 同理可求得平面APF2的一个法向量=(、3sinθ,-(2cosθ-1(,、3sinθ(，|n1||n2|=33sin2θ+3(4cos2θ-1(+3sin2θ2(cosθ+3(2-5⋅|n1||n2| 3/3==、-4t4-16t3+12t2+72t+27(2、-4t4-16t3+12t2+72t+27所以-4t4-16t3+12t2+72t+27<-4t4-t3+12t2+72t+，令f(t(=-4t4-t3+12t2+72t+，fI(t(=-8(t-1((2t2+6t+9(，+6t+9>0，令fI(t(=0得t=1，当t∈(0,1(时，fI(t(>0，f(t(单调递增；当t∈(1,时，fI(t(<0，f(t(单调递减，此时f(t(≤f(1(=106<108；(II)当t∈,2(时，令g(t(=-4t4-16t3+12t2+73t+27，gI(t(=-16t3-48t2+24t+72，令h(t(=gI(t(，则hI(t(=24(-2t2-4t+1(<0，所以gI(t(单调递减，所以gI(t(<gI=-<0，即g(t(单调递减，g(t(<g=<108，综上，-4t4-16t3+12t2+73t+27<108对t∈(0,2(成立，即cos,> =,<，故二面角F1-AP-F2的大小小于60°得证. ·42·面ABCD,∠D1DC=∠DAB=,E为C1D1的中点，F为棱C1C上的动点(含端点)，过A1,E,F·42· (1)是否存在点F使得α⊥底面ABCD？请说明理由；(1)连接D1C,BD，取DC中点为O，连接D1O,OB，因为D1D=DC=2,∠D1DC=，故三角形D1DC为等边三角形，则D1O⊥DC；ABCD；在三角形BDC中，因为DC=BC=2,∠DCB=∠DAB=60°,三角形BDC为等边三角形，则BO⊥DC；，故O(0,0,0(,C(0,1,0(,A(3,-2,0(,D1(0,0,3(,C1(0,2,3(,A1(3,-1,3(,E(0,1,3(，,1[，则=λ+(1-λ(1=(0,λ,0(+(0,2-2λ,、3-3λ(=(0,2-λ,3-3λ(，即F(0,2-λ,3-3λ(；又E=(、3,-2,0(,E=(0,1-λ,-、3λ(，·43·设平面A1EF的法向量为=(x,y,z(，·43· 故平面A1EF的法向量为(1-λ((；(2)设平面α与平面ABCD所成二面角为θ,2+2λ-1=0，解得λ=-1(舍去)或λ=.C点的三等分点为G，取BB1上靠近B点的三等分点为H，连接D1G,A1H,HG,HF，如下所示：又A1D1则平面A1HFE与平面A1EF是同一个平面；×又VABCD-A1B1C1D1=SABCD×OD1=×××sin60°×A1B1×B1H=×2××2×S△A1B1H=×sin60°×EC1×C1F=S△EC1F=由(1)知，OB⊥OC,OB⊥OD1，OC∩OD1=O,OC,OD1⊂面EFC1，故OB⊥面EFC1，则棱台A1B1H-EC1F的高为OB=3，·44··44· 6 AD的中点，P在底面的投影H为线段EC的中点，M是棱PC上一点.(2)若PB丄EM,PC=EC，确定点M的位置，并求二面角B-EM-C的余弦值.(1)设BD∩CE=N，因为底面ABCD是边长为2的菱形，:MNⅡPE，PE丈平面MBD，且MNC平面MBD,:PEⅡ平面MBD.(2)“PH丄平面ABCD，且BCC平面ABCD，:PH丄BC，又E为棱AD的中点，所以BC丄CE，“PH丄平面ABCD，PHC平面PCE，所以平面PCE丄平面ABCD，又平面PCE∩平面ABCD=CE，BCC平面ABCD，:BC丄平面PEC，又EMC平面PEC，:BC丄EM，·45·又“PB丄EM，PB∩BC=B,PB,BCC平面PBC，:EM丄平面PBC，且PCC平面PBC，:EM丄PC·45· 因为P在底面的投影H为线段EC的中点，所以PC=PE，又PC=CE所以M在底面ABCD上的投影为CH的中点.在△CDE中，CE=CD2+DE2-2CD×DE×cos60°=4+1-2×2×1×1=3，、∵CE⊥AD,PH=2CE=、以过C点且与平面ABCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，所以C(0,0,0(,B(2,0,0(,E(0,3,0(,M(0,43,(，∴E=(2,-3,0(,M=(0,343,-(，-∵BC⊥平面PEC，∴CB=(2∵BC⊥平面PEC，∴∴cosn,CB=∴cosn,CB===.因为二面角B-EM-C是一个锐角，所以二面角B-EM-C.如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点.·46··46· (1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2，∠ACB=60°,点F在BD上；①点F为BD中点，求CF与AB所成角的余弦值；【解析】(1)∵AD=CD，E为AC的中点，∴AC⊥DE，在△ABD和△CBD中AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB，∴△ABD≅△CBD，∴AB=CB，又E为AC的中点，∴AC⊥BE，又DE,BE⊂平面BDE，DE∩BE=E，∴AC⊥平面BDE，又∵AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD；∴∠MNE(或其补角)为CF与AB所成的角，由∠ACB=60°且AB=CB，∴△ABC是等边三角形，则AB=BC=2,BE=、3，由AD⊥CD且AD=CD，E为AC的中点，∴在等腰直角△ADC中DE=AE=EC=1，CD=2，在△BDE中，DE=1,BE=3,BD=2，所以DE2+BE2=BD2，即DE⊥BE，在△BEM中，由余弦定理得EM2=BE2+BM2-2BE⋅BM⋅cos∠EBM，在△BCF中，CF2=BC2+BF2-2BC⋅BF⋅cos∠CBF，·47·47· :CF与AB所成角的余弦值为.②连接EF，由(1)知，AC丄平面BED，EFC平面BED，:AC丄EF，则S△AFC=AC.EF，当EF丄BD时EF最小，即△AFC的面积最小.“AC丄平面BDE，BDC平面BDE，:AC丄BD，又“ACC平面ACF，EFC平面ACF，AC∩EF=E，:BD丄平面ACF，又“BDC平面ABD，:平面ABD丄平面ACF，过点C作CQ丄AF于Q(或交AF延长线)，“平面ABD∩平面ACF=AF，CQC平面ACF，:CQ丄平面ABD，:上CFA(或其补角)为CF与平面ABD所成的角，由△ABD三△CBD知AF=CF，:EF丄AC，在直角△BED中，BE=3,DE=1,BD=2、在直角△FEA中，AE=1,EF=:AF=AE2、=:sin上AFC=1-(cos上AFC(2=473，:CF与平面ABD所成的角的正弦值为43.·48··48· (1)分别取AC,AB,BC的中点H,I,K，连接A1C,A1H,HI,HK，所以A1H⊥AC，因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，A1H⊂平面A1ACC1，所以A1H⊥平面ABC，因为∠ABC=90°,I,K分别为AB,BC的中点，所以四边形BIHK为矩形，所以HI⊥HK，则C(-,,0(,A,-,0(,A1(0,0,3(,B,,0(，易得=(0,0,1(为平面A1B1C1的一个法向量.E(-,,，=B(-,,3(=(x2-,y2-,z2(，所以x2=0,y2=、3,z2=3，即B1(0,3,因为A=A1=-,,3(=(-,,，A=(-1,3,0(，所以=A-A=,-,,=,-,，·49·设平面CEF的法向量为=(x,y,z(·49· 1,z=x-x-3CE=01,z=x-x-3CE=0CF=0,则x=⋅取y=3,所以=，设平面CEF与平面A1B1C1的夹角为θ,、3、3即平面CEF与平面A1B1C1夹角的余弦值为所以存在唯一实数对(λ,μ(，使得=λ+μ，，、此时G为AB、PP·50·50· 由题意，A(1,-1,-1(，E(1,-1,1(，P1(1,0,-1(，P2(-1,1,0(，P3(-1,0,1(，设平面P1P2P3的一个法向量=(x,1,1(，Pd=(1-sinαi+1(2+(1-cosαi(2+(sinαi-cosαi+1(2①(其中α4=α1)所以(2-sinαi+1-cosαi( 所以(2-sinαi+1-cosαi( ·51··51· 再求f的最大值：由①知d=4-2cosαi-2sinαi+1-2sinαicosαi+1PPP如图，在三棱台ABC-DEF中，H在AC边上，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACD=(2)若AC=2DF且△ABC的面积为，求CF与平面ABD所成角的正弦值.解得DH=23，2=CH2+DH2，得AC⊥DH，又因为平面ACFD⊥平面ABC，平面ACFD∩平面ABC=AC，DH⊂平面ACFD，所以DH⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，则DH⊥BC，·52·又BH⊥BC，BH∩DH=H，BH⊂平面BDH，DH⊂平所以BC⊥平面BDH，而DB⊂平面BDH，则BC⊥DB·52· 则AC=3=AH+HC→AH=1，——A(0,-1,0(,B(23,,0(,D(0,0,23(,C(0,2,0(,F(0,,23(,A=(,A=(0,1,23(,=(0,-,23(，、3、3设CF与平面ABD所成角为θ,2+-232所以CF与平面ABD所成角的正弦值63在如图所示的几何体中，DA丄平面ABC,EB丄平面ABC,AC=BC=BE=2，记M为DC中点，平面DAC与平面EBC的交线为l.·53··53· (2)若三棱锥M-ABC的体积V1与几何体ABCDE的体积V2满足关系V2=6V1,P为l上一点，(1)因为DA丄平面ABC,EB丄平面ABC，所以DAⅡBE,又DA丈平面EBC，BEC平面EBC，所以DAⅡ平面EBC,又DAC平面DAC，且平面DAC与平面EBC的交线为l，所以DAⅡl，所以l丄平面ABC.因为M为DC中点，所以M到平面ABC的距离为，因为DA丄平面ABC，DAC平面ABED，所以平面ABC丄平面ABED，且平面ABC∩平面ABED=AB，COC平面ABC，所以CO丄平面ABED，2SABED.|CO|=V2=×22SABED.|CO|=V2==(4-x2(.x2≤2，当且仅当4-x2=x2，即x=2时取等号，如图建立空间直角坐标系，则A(-2,0,0(,B(2,0,0(,C(0,2,0(,D(-2,0,1(,t(，设平面PAB的一个法向量=(x1,y1,z1(，丄AB丄AP丄AB丄AP即=(0,2,-，设直线CD与平面PAB所成角为θ,·54··54· 令y=，则y==，令y>0，则t2-t-2<0，所以-1<t<2，函数y在(0,2(上为增函数，在(2,+∞(上为减函数，所以当t=2时ymax=，即(sinθ(max=，故直线CD与平面PAB所成角的正弦值的最大值.如图，四边形ABCD为矩形，△ACD≌△ACE，且二面角C-A(1)求证：平面ACE⊥平面BC(2)设F是BE的中点，AE=1,BE=λ,二面角E-AC-F的平面角的大小为θ,当λ∈[2,3[【解析】(1)因二面角C-AB-E为直二面角，即平面ABC⊥平面ABE，又AB⊥BC，平面ABC∩平面ABE=AB，BC⊂平面ABC，则BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，即得BC⊥AE，四边形ABCD为矩形，△ACD≌△ACE，则∠AEC=∠ADC=90°,即AE⊥CE，BC∩CE=C,BC,CE⊂平面BCE，于是AE⊥平面BCE，AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面BCE；(2)过E作Ez⊥平面ABE，由(1)知AE⊥平面BCE，BE⊂平面ACE，故AE⊥BE，·55··55· ∵AD=AE=1，EB=λ,则A(0,1,0(，B(λ,0,0(，C(λ,0,1(，F,0,0(，E=(0,1,0(，E=(λ,0,1(，F=(-,1,0(,F=,0,1(，则=(-,0,1(，(则=(-,-1,1(，由图可知二面角E-AC-F为锐二面角，从而有cosθ=|cos‹,›|===⋅1+，如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，E为PD的中点，且满足AE∥平面PBC，(2)若PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AP=AB=AD=2，点M在四棱锥P-ABCD的底面内，且在以A，B为焦点，并满足MA+MB=4的椭圆弧上.若二面角M-PB-A的余弦值为,求直线PM与平面ABCD所成角的正切值.7CD=2EF因为AB∥CD，所以EF∥AB，所以A,B,F,E四点共面·56·又因为AE∥平面PBC,AE⊂面ABFE，且平面ABFE∩平面PBC=BF，所以AE∥·56· 所以四边形ABFE为平行四边形，所以AB=EF，所以DC=2AB.P(-1,0,2(因为MA+MB=4>AB=2，所以点M的轨迹是以AB为焦距的椭圆(在梯形ABCD内的部OA=OB=1，所以椭圆M的轨迹方程为+=1，设点M(m,n,0(，则+=1(在梯形ABCD内的部分)①设平面MPB的一个法向量为=(x,y,z(，P—=(2,0,-2(，B—=(m-1n,1-m,n(因为y轴⊥平面PBA，其一个法向量=(0,1,0(，设二面角M-PB-A的平面角为θ,联立①②,解得m=0或m=另作BH∥AD且BH=AD，则BH⊥平面APB,∴平面HPB⊥平面APB，H为(1,-2,0(，二面角H-PB-A为90°,当m=>1时，二面角M-PB-A的平面角为钝角，不符题意，m=舍去，所以m=0此时M(0,-、3,0(，经检验，M在梯形ABCD内，PA=MA=2，∵PA⊥平面ABCD，∴直线PM与平面ABCD所成角为∠AMP，在Rt△PAM中，tan∠AMP==1，·57··57· P.(1)求三棱锥B1-A1PE的体积的最大值；(1)由AA1垂直于平面ABC，且ABC-A1B1C1为直三棱柱，故AA1⊥平面A1B1C1，故A1E为三棱锥E-A1B1P的高，设AE=AF=A1P=t∈(0,1(，则A1E=1-t，故VB1-A1PE=VE-A1B1P=S△A1B1P×(1-t(=t(1-t(=-t-2+，故t=时，三棱锥B1-A1PE的体积有最·58·(2)由AA1垂直于平面ABC，AB、AC⊂平面·58· 故AA1⊥AB、AA1⊥AC，又AB⊥AC，设AE=AF=A1P=t∈(0,1(，则有A(0,0,0(、B(1,0,0(、E(0,0,t(、F(0,t,0(、P(0,t,1(、C(0,1,0(，故B=(-1,0,t(、B=(-1,t,0(、B=(-1,t,1(、B=(-1,1,0(，设平面BEF与平面BCP的法向量分别为=(x1,y1,z1(、=(x2,y2,z2(，((1=1=2=2=1-t，故=(t,1,1(，=