浙江省宁波市奉化区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省宁波市奉化区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线过点,则此直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题知,直线过点,所以直线的斜率为,记直线的倾斜角为,所以,所以.故选：C.2.空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由、可得，故.故选：C.3.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A.40 B.42 C.43 D.45【答案】B【解析】设等差数列an的公差为，因为，，所以，则.故选：B.4.已知正四棱柱中，，则到平面的距离为（）A.4 B.2C. D.【答案】D【解析】设，连接，由题意，是中点，∴，又，，平面，所以平面，作于点，如图，则平面，∴，而，平面，所以平面，正四棱柱中，侧棱与底面垂直，则必垂直该底面上的直线，中，，，因此，所以，所以到平面的距离为．故选：D．5.已知离心率为2的双曲线,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点,设、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设右焦点，依题意F是AB的中点，渐近线为，F到渐近线的距离为，因为、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，F是AB的中点，所以，所以，故，得，又因为离心率，得，故双曲线的方程为.故选：A.6.已知是数列的前n项和，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以当时，.因为，所以.当时，，两式相减得.因为，所以.因为，所以从第二项起是公比为的等比数列，所以，所以所以，，所以.故答案为：7.已知，，，其中，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设，则，当时，，当时，，当时，在上，单调递减，,∴，∴，故选C．8.已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且,若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，即，在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得即，整理得易得面积又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，所以由已知，得，则，即在中，利用正弦定理知即，又，整理得两边同除以，则，解得或（舍去）故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列结论正确的是（）A.直线的方向向量，平面的法向量，则B.两个不同的平面，的法向量分别是，，则C.若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数D.若，，，则点在平面内【答案】BD【解析】A因为，所以，故A错误；B因为，所以，因此，故B正确；C因为，所以，因此，即，故C错误；D因为，所以向量共面，即点四点共面，从而点P在平面ABC内，故D正确.故选：.10.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则的最小值为4C.以线段为直径的圆与直线相切D.若，则直线的斜率为1【答案】AC【解析】抛物线：的焦点为，准线，设点，对于A，显然在抛物线上，则，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，当时，，有，因此当时取得最小值5，B不正确；对于C，，线段AB的中点M纵坐标为，则，显然点M是以线段为直径的圆的圆心，点M到直线的距离为，所以圆M与直线相切，C正确；对于D，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，由消去y得：，有，由得：，于是得，解得，D不正确.故选：AC11.已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（）A.若是等比数列，则B.若满足，则C.若满足，则D.若满足，则【答案】ACD【解析】选项A，若an是等比数列，则公比，，A正确；选项BC，若an满足，则，B错，C正确；选项D，若an满足，则，所以时，，又适合上式，因此D正确．故选：ACD．12.已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（）A. B.f(x)在处取得极大值C.当时， D.f(x)的图象关于点中心对称【答案】ABD【解析】A：，由题意，得，正确；B：，由得：或，易知在，上，f(x)为增函数，在上，f(x)为减函数，所以f(x)在处取得极大值，正确；C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；D：令且为奇函数，则，而g(x)图象关于中心对称，所以f(x)关于中心对称，正确；故选：ABD.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上一点，则___________.【答案】【解析】因为点为抛物线上一点，所以，解得：.所以焦点.所以.故答案为：14.点到直线距离的最大值______.【答案】【解析】因为直线显然过点，即，，连接，若，则点到直线的距离为；若不垂直，则点到直线的距离必小于，综上，点到直线距离最大值.故答案为：.15.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为____________.【答案】【解析】由已知，，,，所以，所以,故答案为：16.已知函数及其导函数的定义域均为,为奇函数，且则不等式的解集为__________．【答案】【解析】设，则，故单调递减．

因为为奇函数，定义域为，所以，故．

可转化为，即．

因为单调递减，所以，解得．

故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆的圆心为，且与直线相切.（1）求圆的标准方程；（2）设直线与圆M交于A，B两点，求AB.解：（1）因为圆心为，所以圆心M到切线的距离=，所以半径，所以圆M的标准方程为：+；（2）由题可知圆心M到直线的距离=，又由（1）知半径，所以=，所以AB=．18.已知等差数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.解：（1）设数列an的公差为，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，，两式相减得：，所以.19.如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.（1）证明：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.解：（1）因为底面，平面，所以.四边形是直角梯形，，，因为，所以.所以，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解法一：以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设点的坐标为，因为，所以，即，所以.所以.设平面的一个法向量为，则，取，则，得.又因为平面，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.所以，二面角的余弦值为.解法二：取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设点的坐标为，因为，所以，即，所以.所以.设平面的一个法向量为，则.取，则，则.又因为平面，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.所以二面角的余弦值为.20.牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加.（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求的表达式；（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入?()解：（1）由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，所以，；同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，所以，.（2）设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，即，令，则上式化为，即，解得，即，所以，，即，所以.所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入.21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，．解：（1）因为，所以．①当时，在单调递减；②当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，要证明，只要证，即证，设，则，令得，列表得a10单调递减极小值单调递增所以，即，所以．22.已知椭圆离心率等于，长轴长为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轨