四川省宜宾市普通高中2025届高三上学期12月测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省宜宾市普通高中2025届高三上学期12月测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.0 B.1 C. D.2【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与直线平行，则，解得或，当时，直线与直线平行，符合题意；当时，直线与直线平行，符合题意；综上所述：或显然是的真子集，所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.故选：A.3.已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，所以在方向上的投影向量坐标为.故选：B.4.某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则以下结论中正确的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】身高的平均数为，因为离群点的横坐标168小于平均值，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，所以，，所以A正确，B错误；去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以，所以C正确，D错误．故选：AC．5.已知是双曲线若的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知，是双曲线的焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则：设进一步解得：，，利用双曲线的定义关系式：，则，故，所以，则双曲线的离心率是.故选：D．6.将函数的图象向右平移个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，根据题意结合偶函数的对称性可知：将位于y轴左侧的第一个对称轴平移至y轴即可，令，解得，可知的对称轴为，令，可得，所以的最小值是.故选：A.7.在平行六面体中，，则与平面ABCD所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】连接，为的中点，，，，，故；，又，又，故，又、平面，且，故平面，即是平面的法向量，设与平面ABCD所成角为所以故选：B.8.函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知：的定义域为0,+∞，，且，若在定义域内是增函数，则f'x≥0在定义域可得，构建，则，因为在定义域0,+∞上单调递增，可知在定义域0,+∞上单调递增，可得，即，构建，则，令h'x>0，解得；令h'可知hx在0,1内单调递减，在1,+∞内单调递增，则，可得，所以实数a的最大值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.若在区间上为减函数，则实数的取值范围是B.若在区间上只有两个零点，则实数的取值范围是C.若在区间上有且仅有一个极小值，则实数的取值范围是D.若在区间上有且仅有一个最大值，则实数的取值范围是【答案】BD【解析】当时，，对于选项A，若在区间上为减函数，则，得到，又，所以，故选项A错误，对于选项B，若在区间上只有两个零点，则，解得，所以选项B正确，对于选项C，若在区间上有且仅有一个极小值，则，解得，所以选项C错误，对于选项D，若在区间上有且仅有一个最大值，则，解得，所以选项D正确，故选：BD.10.已知抛物线的焦点为F，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A.点F的坐标为B.若直线MN过点F，则C.若，则最小值为D.若，则线段MN的中点P到x轴的距离为【答案】BD【解析】对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为，由，消去整理得，则，，故B正确；对于C，若，则直线过焦点，所以，当时，，故C错误；对于D，因为，则，即点纵坐标为，所以到轴的距离为，故D正确.故选：BD.11.已知有两个不同的极值点，且，则下列结论正确的有（）A. B.C.为函数的极大值点 D.【答案】ACD【解析】易知，，令，得到令，则，令，得到，当时，，时，，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，又时，，，，时，，则图象如图，因为有两个不同的极值点，且，则与有两个不同的交点，由图知，，，所以选项A正确，选项B错误，由图知，当时，，则，当时，，则，所以为函数的极大值点，故选项C正确，对于选项D，由图知，，所以，故选项D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等比数列中，若，且公比，则该数列的通项公式____________．【答案】【解析】设等比数列的首项为，因为，所以，两式相比得到，整理得到，解得或，又公比，所以，代入，得到，所以，故答案为：.13.，则___________．【答案】【解析】因为.故答案为：.14.设集合，现对的任一非空子集，令为中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为___________．【答案】【解析】集合对的非空子集共有个，其中，最小值为的子集可视为的子集与集合的并集，共有个，同上可知，最小值为的子集共有个，最小值为的子集共有个，...，最小值为的子集共有个.最大值为的子集可视为的子集与集合的并集，共有个，同上可知，最大值为的子集共有个，最大值为的子集共有个，...，最大值为的子集共有个.所以，M的所有非空子集中的最小值之和为，最大值之和为，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若，求面积的取值范围．解：（1）因为，则，整理可得，利用正弦定理可得，又因为，则，可得，即，且，所以.（2）由正弦定理，可得，由题意可知：，解得，则，可得，即，又因为面积，所以面积的取值范围为.16.已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）恒成立，求a取值范围．解：（1）当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.（2）因为的定义域为0,+∞，若，可得，整理可得，构建，则，可知在0,+∞内单调递增，则，令，则对任意恒成立，构建，则，令，解得；令，解得；可知在0,1内单调递减，在1,+∞内单调递增，则，可得，所以a的取值范围为.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，，，，点E为线段PD上的动点．（1）若平面平面，求证：；（2）若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为，求的值．（1）证明：∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴.（2）解：如图，取中点，连接，过作交于点，∵，∴，又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴，∴以原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，∵，，，且，∴∴，B1,0,0，P0,0,1，C1,1,0，∴，设，则，∴，，，，设平面ABE与平面PCD的法向量分别为：n1=x则，，令，，解得，，设平面ABE与平面PCD的夹角为，则，即，∴或，即或.18.某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．（1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X的分布列与期望；（2）若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．解：（1）由题意知，则，，，，所以X的分布列为X0123P．（2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为，若选择，此时要能获得大奖，则需次游戏的总得分大于，设局游戏中，得3分的局数为m，则，即．易知，故此时获大奖的概率同理可以求出当，获大奖的概率为因为所以，则答：甲选择时，获奖的概率更大．19.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C相交于点A，B：若，以AF为直径的圆过点．按照如下方式依次构造点列的坐标为，直线与C的另一个交点分别为，直线与x轴的交点为，设点的横坐标为．（1）求C的方程；（2）求数列的通项公式；（3）数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由．解：（1）因为抛物线的焦点为，设，则的中点为，由题意可知：，，可得，，所以抛物线方程为