人教版2022-2023学年度第一学期九年级数学上册期中测试卷及答案(含两套题)

………………○………………外………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………内………………○………………装………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○…学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________数学试题第=PAGE4*2-17页（共=SECTIONPAGES4*28页）数学试题第=PAGE4*28页（共=SECTIONPAGES4*28页）数学试题第=PAGE3*2-15页（共=SECTIONPAGES4*28页）数学试题第=PAGE3*26页（共=SECTIONPAGES4*28页）人教版2022--2023学年度第一学期期中测试卷九年级数学（满分：120分时间：100分钟）题号一二三总分分数一、选择题（共10小题，每小题3分，总分30分）1.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A.34° B.36° C.38° D.40°3.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（）A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm4.圆锥底面圆的半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是（）A.10π B.15π C.30π D.45π5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A.8人 B.9人 C.10人 D.11人6.如图，是的直径，点、是上的点，若，则的度数为（）A.65° B.55° C.60° D.75°7.已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A.﹣1＜x＜4 B.﹣1＜x＜3 C.x＜﹣1或x＞4 D.x＜﹣1或x＞38.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A B. C. D.9.已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A.x1≠x2 B.x1+x2＞0 C.x1•x2＞0 D.x1＜0，x2＜010.如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（）A①③④⑤ B.①②③④ C.①②④⑤ D.①②③④⑤二、填空题（共6小题，每题3分，总分18分）11.已知圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，则这条弧长为______．12.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为______．13.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_______．14.如图，已知、是⊙O的直径，，，则的度数为______度．15.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为______．16.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是_____．三、解答题（共9小题，总分72分）17.（6分）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．（1）△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C；（2）画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2．18.（6分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．19.（6分）如图，D△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．（1）求证：EB＝DC；（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．20.（6分）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）求DE的长．21.（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．22.（8分）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），设花圃的宽AB为xm，面积为S．（1）求S与x函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45的花圃，AB的长是多少米？（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？（结果保留两位小数）23.（8分）已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆上不与A，B重合的两点，且点N在上.（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，P是MN的中点，连接MB，NA，PC，试探究∠MCP，∠NAB，∠MBA之间的数量关系，并证明.24.（12分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心，半径为5，⊙P与抛物线的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由；（3）如图2，点F是点C关于对称轴的对称点，若直线交y轴于点K，点G为直线上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．25.（12分）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，总分30分）1.C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．【详解】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，解题的关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．2.C【解析】【分析】根据旋转的性质求出和的度数，计算出的度数．【详解】解：由题意得，，，又，．故选：C．【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转角、旋转方向和旋转中心的概念是解题的关键．3.C【解析】【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可．【详解】解：连接OA，则OA=10cm，∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm，∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm，在Rt△ODA中，由勾股定理得OD=cm，∵OC=10cm，∴CD=OC-OD=4cm，故选C．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键．4.B【解析】【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．【详解】由勾股定理得：母线，∴S侧=•2πr•R=πrR=π×3×5=15π．故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键．5.B【解析】【分析】根据题意设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人数为x人，

第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，

那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，

整理得，x2+2x-99=0，

解得x=9或-11，

x=-11不符合题意，舍去．

那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．故选：B．【点睛】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，并可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，注意要舍去不合题意的解．6.A【解析】【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠CAB=25°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．【详解】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=25°，∴∠ABC=90°-∠CAB=65°，∴∠ADC=∠ABC=65°．故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7.B【解析】【分析】首先求出点（-1，0）关于对称轴x=1的对称点，进而结合图象可得当y＜0时x的取值范围．【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），

则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），

即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），

所以y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜3．故选：B．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x轴的另一个交点坐标．8.B【解析】【分析】根据等腰直角三角形的外接圆半径的长求出斜边，再由勾股定理求出直角边，利用等腰直角三角形的面积即可求出内切圆的半径．【详解】如图所示，是等腰直角三角形，是它的外接圆，是它的内切圆，连接AE、BE，∵等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，∴AB=4，∴在中，，∵是内切圆，∴EF=EG=ED，∴，∵，∴，即，∴．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆和内切圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆基本的性质定理是解题的关键．9.A【解析】【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论．【详解】A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A符合题意；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确，不符合题意；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误，不符合题意；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，结论D错误，不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．10.D【解析】【分析】根据正三角形性质，得，；根据旋转的性质，得，，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④；绕点A逆时针旋转得到，根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案．【详解】

，如下图：∵正∴，∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，∴，∴为等边三角形∴，即②正确；∵，∴和中∴∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确；∵，∴∴∵为等边三角形∴∴，即③正确；∵∴过点B做，交于点N∵为等边三角形∴∴∴∴∴四边形面积，即④正确；∵正∴绕点A逆时针旋转得到，如下图：∵，，，∴为等边三角形∴过点A做，交于点G，如下图：∵为等边三角形∴∴∴∴∵，，∴∴∴∴∴，即⑤正确；故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解．二、填空题（共6小题，每题3分，总分18分）11.π【解析】【分析】根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：因为圆弧所在圆的半径为3，所对的圆心角为60°，则这条弧长为：．故答案为：π．【点睛】考查扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．12.1.6【解析】【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．【详解】解：由旋转的性质可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=2，BC=36，∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6．故答案为1.6．【点睛】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．13.（1，-1）【解析】【分析】连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．【详解】解：直线MN的解析式为：x=1，∵，C'，所以CC'的中点坐标为，即，设直线CC′的解析式为：y=kx+b，由题意：，∴，∴直线CC′:，∵直线EF⊥CC′，且经过CC′中点，设直线EF的解析式为：，∴，∴∴直线EF:，由得，∴P点坐标为：．14.【解析】【分析】根据对顶角的性质，再结合等弧所对的圆心角相等，即可求解．【详解】故答案为：64【点睛】本题考查了对顶角的性质，以及圆心角，弧，弦的关系，解题关键是熟练掌握等弧所对的圆心角相等．15.，【解析】【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，∴方程组的解为，，即关于的方程的解为，．故答案为x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是，对称轴直线x=-．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．16.【解析】【分析】取的中点，连接，先利用圆周角定理判断出点在以为直径的一段弧上运动，从而可得，再利用圆周角定理、勾股定理可得，然后根据两点之间线段最短即可求得最小值．【详解】解：如图，取的中点，连接，则，，，在点移动的过程中，点在以为直径的一段弧上运动，即上运动，，是直径，，在中，，，在中，，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，正确判断出点的运动轨迹是解题关键．三、解答题（共9小题，总分72分）17.（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）分别作出A、B、的对应点A1、B1即可；（2）分别作出A1、B1、C的对应点A2、B2、C2即可；【小问1详解】解：△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C如图所示；【小问2详解】解：△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2如图所示；【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型．18.（1）见解析；（2）等边△ABC的边心距1．【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，结合∠APC＝∠CPB＝60°可得∠BAC＝∠ABC＝60°，即可判断△ABC形状；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，然后根据直角三角形的性质进行计算即可．【详解】（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形判定与性质，作出辅助线、构造直角三角形以及证明△ABC是等边三角形是解答本题的关键．19.（1）见解析；（2）50°【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证；（2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得，即可求解．【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，∴△BAE≌△CAD，∴EB=DC；（2）∵△BAE≌△CAD，∴∠BEA=∠ADC=115°，∵∠DAE=50°，AD=AE，∴，∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°．【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．20.(1)详见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连结OD，由AD平分∠BAC，OA=OD，可证得∠ODA=∠DAE，由平行线的性质可得OD∥AE，再由DE⊥AC即可得OD⊥DE，即DE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥AC于点F，由垂径定理可得AF=CF=3，再由勾股定理求得OF=4，再判定四边形OFED是矩形，即可得DE=OF=4．【详解】（1）连结OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAB，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF=CF=3，∴OF=，∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE=OF=4．21.（1），；（2），【解析】【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1，利用待定系数法求出原来的原来的抛物线，然后根据平移后的抛物线经过原点，且对称轴不变进行求解即可；（2）过P作PQ∥y轴，交MN于Q，设Q（t，t），则P（t，），则PQ＝，求得S＝﹣（t﹣2）2+，由此利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）由题意得，解得，∴抛物线为，∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，∴平移后的抛物线为将M（1，1）代入y＝kx得k＝1；（2）过P作PQ∥y轴，交MN于Q，设Q（t，t），则P（t，），则PQ＝t﹣（）＝，∴S＝PQ×（3﹣1）＝PQ＝﹣t2+2t﹣＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，△PMN的面积最大，此时P（2，），S△PMN＝．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，二次函数图像的平移，熟知相关知识是解题的关键．22.（1）S=，≤x＜8；（2）AB=5米；（3）46.67．【解析】【分析】（1）用含x的代数式表示BC的长，后根据长方形的面积公式计算即可，确定x的范围时从BC大于0且BC≤10，两个角度确定；（2）转化成x的一元二次方程求解，注意根的大小必须满足（1）的取值范围；（3）配成顶点式，根据x的范围，函数的增减性计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是矩形，四边形EFCD是矩形，∴AB=CD=EF=x，∴BC=24-3x，∴S=AB×BC=x（24-3x）=，∵24-3x＞0，24-3x≤10，∴≤x＜8，∴S=，≤x＜8；（2）根据题意，得=45，解得，∵≤x＜8，∴舍去，∴AB=5（米）；（3）∵S==，∴对称轴为直线x=4，∵≤x＜8，且在对称轴右侧y随x的增大而减小，∴当x=时，S有最大值，∴S=≈46.67．即当AB=米时，S的最大值为46.67．【点睛】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，抛物线的对称轴，增减性，熟练掌握抛物线的增减性是解题的关键．23.（1）5；（2）∠MCP＋∠MBA＋∠NAB＝90°，证明见解析【解析】【分析】（1）只要证明△OBN是等边三角形即可解决问题；（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．如图2中，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．关键是证明CP∥QN.【详解】（1）如图1，∵AB是半圆O的直径，∴∠M＝90°．在Rt△AMB中，AB＝∴AB＝10.∴OB＝5．∵OB＝ON，又∵∠NOB＝60°，∴△NOB是等边三角形．∴NB＝OB＝5．（2）证明：如图2，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB.∵MC⊥AB，又∵OM＝OQ，∴MC＝CQ.即C是MN的中点又∵P是MQ的中点，∴CP是△MQN的中位线.∴CP∥QN.∴∠MCP＝∠MQN.∵∠MQN＝∠MON，∠MBN＝∠MON，∴∠MQN＝∠MBN.∴∠MCP＝∠MBN.∵AB是直径，∴∠ANB＝90°．∴在△ANB中，∠NBA＋∠NAB＝90°.∴∠MBN＋∠MBA＋∠NAB＝90°.即∠MCP＋∠MBA＋∠NAB＝90°【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、直径的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．24.（1）抛物线的关系式为；（2）相切，理由见解析；（3）存在，H；G，四边形CGHK的最小周长．【解析】【分析】（1）利用圆的性质求出A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；（2）C在圆上，根据证明切线口诀；有切点、连半径、证垂直，证明CP和CD垂直即可；（3）作K关于x轴的点K'，连接K'F交对称轴PD于点G，交x轴于点H，此时C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小，最小值为K'F+CK的长度．【详解】解：（1）如图所示，连PC，∵⊙P的圆心P（3，0），半径为5，∴A（-2，0）、B（8，0）、PC=5，OP=3，∴，∴C（0，4），∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），将A、B、C点代入得：，解得：，∴所求抛物线的关系式为：．（2）直线CD与⊙P相切，理由如下：由得顶点D，由题意，，，，∵，∴，∴，∵CD经过⊙P的半径外端点C，∴直线CD是⊙P的切线．（3）存在，理由如下：∵抛物线的对称轴是直线x=3，∴点F（6，4），设经过A（-2，0）、F（6，4）的直线，∴得，解之得，∴，∴AF与y轴交于点K（0，1），又∵点K（0，1）关于x轴的对称点K'（0，-1），如图2，∴HK=HK'，CG=GF，此时C、G、H、K四点所围成的四边形周长=CG+GH+HK+CK=GF+GH+HK'+CK，∴当连接K'F交对称轴PD于点G，交x轴于点H时，C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小，最小值=K'F+CK．又设经过K'（0，-1）、F（6，4）的直线，∴，解之得，∴，∴K'F与x轴交点坐标H；与对称轴x=3交点坐标G，∴，∴CK=4-1=3，∴四边形CGHK的最小周长=K'F+CK=．【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定、一次函数解析式得确定，勾股定理的运用，轴对称的性质、线段最短的问题、圆的切线的判定及性质、函数图象交点的求法和利用数形结合以及分类讨论的数学思想方法求出是解题关键．25.（1）①见解析；②；（2）【解析】【分析】（1）①根据题意作图即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，证明△DEC≌△EFH得到EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，则HB＝EC＝2，在Rt△FHB中，利用勾股定理即可求解；（2）过点F作FH⊥CB，交CB于H，先证明△DEC≌△EFH得到EC＝FH，CD＝BC＝EH，则HB＝EC＝HF，△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可．【详解】解（1）①如图所示，即为所求；②如图所示，过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∵∠DEF＝∠C＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，∴HB＝EC＝2，∴Rt△FHB中，BF＝＝．（2）结论：BF+BD＝BE．理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB，∠DCE＝90°，∵∠DEF＝∠DCE＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，∴HB＝EC＝HF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴，，∵HE+BH＝BE，∴BF+BD＝BE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．人教版2022--2023学年度第一学期期中测试卷九年级数学（满分：120分时间：100分钟）题号一二三四五总分分数一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1.在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到抛物线为（）A. B. C. D.3.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形概率是（）A. B. C. D.4.某商品经过连续两次降价，售价由原来每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）.A.； B.； C.； D..5.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（）.A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个6.在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（）A.0，4 B.0，3 C.3，4 D.0，07.若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x－2－10123y1472－1－2－1则当时，y的值为（）A.－1 B.2 C.7 D.148.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A.20° B.35° C.40° D.55°9.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（）A.2 B.3 C.4 D.610.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝．其中正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题（每小题4分，共28分）11.一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的表面积为_______．12.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m．13.点（-1，）、（2.5，）、（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（用“＞”连接）：_________．14.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点A′落在直线BC上，连接AB′，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则AB′长为_____．15.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是_____．16.如图，在扇形中，，点为的中点，交弧于点，以点为圆心，的长为直径作半圆交于点．若，则图中阴影部分的面积为________．17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=5，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_________．三、解答题（一）（每小题6分，共18分）18.解方程：（7x＋3）2＝14x＋6．19.我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有名；补全条形统计图；（2）扇形统计图中“排球”对应扇形的圆心角度数是；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．20.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）在（1）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．四、解答题（二）（每小题8分，共24分）21.如图，一次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．（1）根据图象，直接写出满足的x的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且，求点P的坐标．22.新冠疫情期间，某网店以100元/件的价格购进一批消毒用紫外线灯，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价和日销售量的四组对应值如表：售价x（元/件）150160170180日销售量y（件）200180160140另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）日销售纯利润为W（元），求出W与x的函数表达式；（3）当售价定为多少元时，日销售纯利润最大，最大纯利润是多少．23.如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是上的一点．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；（3）在（2）的条件下，若OA＝18，求的长．五、解答题（三）（每小题10分，共20分）24.如图，已知在矩形ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为(s)．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF．（1）求正方形PCEF的面积（用含的代数式来表示，不要求化简），并求当正方形PCEF的面积为25cm2时的值；（2）设△DEF的面积为(cm2)，求与之间的函数关系式，并求当为何值时？△DEF的面积取得最小值，这个最小值是多少？（3）求当为何值时？△DEF为等腰三角形．25.如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1.B【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．既是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2.B【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3.B【解析】【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；

2、6、7；4、6、7；其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，

所以能构成三角形的概率是，

故选：B．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边．4.A【解析】【分析】可设降价的百分率为，第一次降价后的价格为，第一次降价后的价格为，根据题意列方程求解即可.【详解】解：设降价的百分率为根据题意可列方程为解方程得，（舍）∴每次降价得百分率为故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.5.D【解析】【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.【详解】∵直线不经过第二象限，∴，∵方程，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆=，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.6.A【解析】【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴是，则当时，，是最小值；当时，是最大值．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．7.C【解析】【分析】由给出的x和y的值可得，抛物线的对称轴为x＝2，由抛物线的对称性可知，x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，由此即可求解．【详解】解：由表格可知，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣1，∴由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线x＝2，∴x＝5时y的值与x＝﹣1时y的值相等，由表格可知，当x＝﹣1时，y＝7，∴x＝5时y的值为7．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图象的对称性，根据表格求得对称轴为直线x＝2是解题关键．8.B【解析】【分析】连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，∴∠FEB＝∠FOB=70°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.9.C【解析】【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，即可得出k的值．【详解】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵A，B两点在反比例函数y（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，∴A（，4），B（，2），∴AE＝2，BEkkk，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC，∴AB＝BC，在Rt△AEB中，BE1∴k＝1，∴k＝4．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．10.B【解析】【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=，则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确，符合题意；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴，所以②错误，不符合题意；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确，符合题意；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=，所以④正确，符合题意．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（每小题4分，共28分）11.10π【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：该圆锥的侧面积=πrl=π×2×3=6π．底面积=4π．∴这个圆锥的表面积为6π+4π=10π．故答案为：10π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥侧面积=圆锥底面半径×圆周率×母线，即圆锥侧面积=πrl．12.10【解析】【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求．【详解】在函数式中，令，得，解得，（舍去），∴铅球推出的距离是10m．故答案为10．【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离．13.【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=1，根据x＞1时，y随x的增大而减小，即可得出答案．【详解】解：∵，∴图象的开口向下，对称轴是直线x=1，A（-1，）关于对称轴的对称点为（3，），∵2.5＜3＜5，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．14.【解析】【分析】证明，利用勾股定理求出即可．【详解】解：如图，由旋转的性质可知，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明，利用勾股定理求解．15.3【解析】【分析】过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，延长BA交y轴于点G，结合反比例系数k的几何意义表达出矩形OFAG和矩形OEBG的面积，再结合平行四边形的性质求出平行四边形OABC的面积．【详解】解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，延长BA交y轴于点G，则四边形OFAG和四边形OEBG是矩形，∵点A在反比例函数y＝上，点B在反比例函数y＝上，∴S矩形OFAG＝1，S矩形OEBG＝4，∴S▱OABC＝S矩形ABEF＝S矩形OEBG﹣S矩形OFAG＝4﹣1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的面积和矩形的面积．解题的关键是利用“同底等高的平行四边形和矩形的面积相等”将平行四边形OABC的面积转化为矩形ABEF的面积．16.【解析】【分析】如图（见解析），先利用余弦三角函数求出，再根据，利用扇形和直角三角形的面积公式即可得．【详解】如图，连接OE，，，，，在中，，，，则阴影部分面积为，，，故答案为：．【点睛】本题考查了余弦三角函数、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，通过作辅助线得出是解题关键．17.【解析】【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD-BE求解即可．【详解】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=，∵∠MBN=90°，MN=5，EM=NE，∴BE=MN=2.5，∵DE≥BD-BE，∴当点B、E、D在同一直线上时，DE的值最小，

∴DE的最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．还考查了勾股定理．三、解答题（一）（每小题6分，共18分）18.．【解析】【分析】先把完全平方展开，再用因式分解法解一元二次方程．【详解】解：，．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，比较基础．19.（1）100，见解析（2）18°（3）【解析】【分析】（1）根据篮球的人数和占所占的百分比求出总人数，用总人数减去其它项目的人数，即可求出足球的人数，从而补全统计图；（2）用排球的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数的值；（3）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和同时选中甲和乙的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】根据题意得本次被调查学生人数=30÷30%=100（人），喜爱足球的人数为：100-30-20-10-5=35（人），条形图如图所示，

故答案为：100；【小问2详解】排球人数所占比例为：，所以，扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数=故答案为：小问3详解】设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：

∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，

∴P（A、B两人进行比赛）=【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.（1）见解析，点A1的坐标是（1，﹣4）（2）π【解析】【分析】（1）将点A、B分别绕原点O顺时针旋转90°后得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可；（2）先求出线段OA的长，结合∠AOA1＝90°，根据扇形的面积公式求解即可．【小问1详解】解：如图，△OA1B1为所作，点A1的坐标是（1，﹣4）；【小问2详解】解：∵点A（4，1），∴OA＝，∴线段OA在旋转过程中扫过的面积＝π．【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及扇形面积公式．四、解答题（二）（每小题8分，共24分）21.（1）x＜﹣1或0＜x＜4（2）直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝（3）【解析】【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围；（2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求的值，从而求得解析式；（3）设直线AB与y轴的交点为C，根据，求得点P的横坐标．【小问1详解】∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．由图象可得：的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；【小问2详解】∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，4），B（4，n）∴∴n＝﹣1∴B（4，﹣1）∵一次函数的图象过点A，点B∴，解得：∴直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为；【小问3详解】设直线AB与y轴的交点为C，则OC=3∴C（0，3），∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵点P在线段AB上，∴，∴．【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．22.见详解【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）根据日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000，写出函数关系式即可．(3)利用函数的性质，求出函数的最大值；【详解】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，将点（150，200）、（160，180）代入上式得，解得．故y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+500．（2）∵日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000＝（﹣2x+500）（x﹣100）﹣2000＝﹣2x2+700x﹣52000（3）W＝﹣2x2+700x﹣52000∵﹣2＜0，故W有最大值．当x＝﹣＝175（元/件）时W的最大值为==9250（元）．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，在应用中，找到等量关系，建立二次函数模型，注意自变量的取值范围．23.（1）见解析（2）65°（3）23π【解析】【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠CPB＝∠PBC，等量代换得到∠APO＝∠CBP，根据三角形的内角和得到∠CBO＝90°，于是得到结论；（2）根据等腰三角形和直角三角形的性质得到∠ABO＝25°，∠APO＝65°，根据三角形外角的性质得到∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，根据圆周角定理即可得到结论；（3）根据弧长公式即可得到结论．【小问1详解】证明：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠P