黑龙江省双鸭山市尖山区第一中学2024-2025学年高中毕业班第三次教学质量监测文综试题含解析_第1页
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文档简介

黑龙江省双鸭山市尖山区第一中学2024-2025学年高中毕业班第三次教学质量监测文综试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.已知、分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线的一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点、,过点作轴的垂线,垂足恰为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.已知数列对任意的有成立,若,则等于()A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则()A. B. C. D.5.已知复数z满足(其中i为虚数单位),则复数z的虚部是()A. B.1 C. D.i6.抛物线的焦点为,则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个7.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A. B. C. D.8.已知集合,,则()A. B.C. D.9.如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试(满分100分)中得分情况的茎叶图,则下列说法错误的是()A.甲得分的平均数比乙大 B.甲得分的极差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位数和乙相等10.过抛物线()的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.,且在第一象限,则()A. B. C. D.11.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则()A.1 B. C.2 D.312.设为虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,利用等体积法进行推导,在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值,则这个定值是______14.的展开式中,的系数为____________.15.设,则除以的余数是______.16.在中,,点是边的中点,则__________,________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图为某大江的一段支流,岸线与近似满足∥,宽度为.圆为江中的一个半径为的小岛,小镇位于岸线上,且满足岸线,.现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道(图中粗线部分折线段,在右侧),为保护小岛,段设计成与圆相切.设.(1)试将通道的长表示成的函数,并指出定义域;(2)若建造通道的费用是每公里100万元,则建造此通道最少需要多少万元?18.(12分)已知椭圆:的两个焦点是,,在椭圆上,且,为坐标原点,直线与直线平行,且与椭圆交于,两点.连接、与轴交于点,.(1)求椭圆的标准方程;(2)求证:为定值.19.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知等差数列的公差为,等差数列的公差为.设分别是数列的前项和,且,,(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.20.(12分)设函数.(1)当时,解不等式;(2)若的解集为,,求证:.21.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最小值为,正实数、满足,求证:.22.(10分)已知,(其中).(1)求;(2)求证:当时,.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

先求出的值域,再利用导数讨论函数在区间上的单调性,结合函数值域,由方程有两个根求参数范围即可.【详解】因为,故,当时,,故在区间上单调递减;当时,,故在区间上单调递增;当时,令,解得,故在区间单调递减,在区间上单调递增.又,且当趋近于零时,趋近于正无穷;对函数,当时,;根据题意,对,且,使得成立,只需,即可得,解得.故选:D.本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题,涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题,属综合困难题.2.B【解析】

设点位于第二象限,可求得点的坐标,再由直线与直线垂直,转化为两直线斜率之积为可得出的值,进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限,由于轴,则点的横坐标为,纵坐标为,即点,由题意可知,直线与直线垂直,,,因此,双曲线的离心率为.故选:B.本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出、、的等量关系,考查计算能力,属于中等题.3.B【解析】

观察已知条件,对进行化简,运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知,则,所以有,,,,两边同时相加得,又因为,所以.故选:本题考查了求数列某一项的值,运用了累加法和裂项法,遇到形如时就可以采用裂项法进行求和,需要掌握数列中的方法,并能熟练运用对应方法求解.4.C【解析】

利用诱导公式以及二倍角公式,将化简为关于的形式,结合终边所在的直线可知的值,从而可求的值.【详解】因为,且,所以.故选:C.本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式,属于给角求值类型的问题,难度一般.求解值的两种方法:(1)分别求解出的值,再求出结果;(2)将变形为,利用的值求出结果.5.A【解析】

由虚数单位i的运算性质可得,则答案可求.【详解】解:∵,∴,,则化为,∴z的虚部为.故选:A.本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念,属于基础题.6.B【解析】

圆心在的中垂线上,经过点,且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等,圆心在抛物线上,直线与抛物线交于2个点,得到2个圆.【详解】因为点在抛物线上,又焦点,,由抛物线的定义知,过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种.故选:.本题主要考查抛物线的简单性质,本题解题的关键是求出圆心的位置,看出圆心必须在抛物线上,且在垂直平分线上.7.D【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.【详解】执行该程序可得.故选:D.本题考查程序框图.解题可模拟程序运行,观察变量值的变化,然后可得结论,也可以由程序框图确定程序功能,然后求解.8.C【解析】

求出集合,计算出和,即可得出结论.【详解】,,,.故选:C.本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.9.B【解析】

由平均数、方差公式和极差、中位数概念,可得所求结论.【详解】对于甲,;对于乙,,故正确;甲的极差为,乙的极差为,故错误;对于甲,方差.5,对于乙,方差,故正确;甲得分的中位数为,乙得分的中位数为,故正确.故选:.本题考查茎叶图的应用,考查平均数和方差等概念,培养计算能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.10.C【解析】

作,;,由题意,由二倍角公式即得解.【详解】由题意,,准线:,作,;,设,故,,.故选:C本题考查了抛物线的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.11.C【解析】

连接AO,因为O为BC中点,可由平行四边形法则得,再将其用,表示.由M、O、N三点共线可知,其表达式中的系数和,即可求出的值.【详解】连接AO,由O为BC中点可得,,、、三点共线,,.故选:C.本题考查了向量的线性运算,由三点共线求参数的问题,熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.12.A【解析】

利用复数的除法运算化简,求得对应的坐标,由此判断对应点所在象限.【详解】,对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:A.本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点所在象限,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

计算正四面体的高,并计算该正四面体的体积,利用等体积法,可得结果.【详解】作平面,为的重心如图则,所以设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为则故答案为:本题考查类比推理的应用,还考查等体积法,考验理解能力以及计算能力,属基础题.14.16【解析】

要得到的系数,只要求出二项式中的系数减去的系数的2倍即可【详解】的系数为.故答案为:16此题考查二项式的系数,属于基础题.15.1【解析】

利用二项式定理得到,将89写成1+88,然后再利用二项式定理展开即可.【详解】,因展开式中后面10项均有88这个因式,所以除以的余数为1.故答案为:1本题考查二项式定理的综合应用,涉及余数的问题,解决此类问题的关键是灵活构造二项式,并将它展开分析,本题是一道基础题.16.2【解析】

根据正弦定理直接求出,利用三角形的边表示向量,然后利用向量的数量积求解即可.【详解】中,,,可得因为点是边的中点,所以故答案为:;.本题主要考查了三角形的解法,向量的数量积的应用,考查计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),定义域是.(2)百万【解析】

(1)以为原点,直线为轴建立如图所示的直角坐标系,设,利用直线与圆相切得到,再代入这一关系中,即可得答案;(2)利用导数求函数的最小值,即可得答案;【详解】以为原点,直线为轴建立如图所示的直角坐标系.设,则,,.因为,所以直线的方程为,即,因为圆与相切,所以,即,从而得,在直线的方程中,令,得,所以,所以当时,,设锐角满足,则,所以关于的函数是,定义域是.(2)要使建造此通道费用最少,只要通道的长度即最小.令,得,设锐角,满足,得.列表:0减极小值增所以时,,所以建造此通道的最少费用至少为百万元.本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.18.(1)(2)证明见解析【解析】

(1)根据椭圆的定义可得,将代入椭圆方程,即可求得的值,求得椭圆方程;(2)设直线的方程,代入椭圆方程,求得直线和的方程,求得和的横坐标,表示出,根据韦达定理即可求证为定值.【详解】(1)因为,由椭圆的定义得,,点在椭圆上,代入椭圆方程,解得,所以的方程为;(2)证明:设,,直线的斜率为,设直线的方程为,联立方程组,消去,整理得,所以,,直线的直线方程为,令,则,同理,所以:,代入整理得,所以为定值.本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的定值问题,属于中档题.19.(1);(2)【解析】

方案一:(1)根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组,求出和,从而写出数列的通项公式;(2)由第(1)题的结论,写出数列的通项,采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法,求出数列的前项和.其余两个方案与方案一的解法相近似.【详解】解:方案一:(1)∵数列都是等差数列,且,,解得,综上(2)由(1)得:方案二:(1)∵数列都是等差数列,且,解得,.综上,(2)同方案一方案三:(1)∵数列都是等差数列,且.,解得,,.综上,(2)同方案一本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的应用,考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n项和,属于中档题.20.(1);(2)见解析.【解析】

(1)当时,将所求不等式变形为,然后分、、三段解不等式,综合可得出原不等式的解集;(2)先由不等式的解集求得实数,可得出,将代数式变形为,将与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,进而可证得结论.【详解】(1)当时,不等式为,且.当时,由得,解得,此时;当时,由得,该不等式不成立,此时;当时,由得,解得,此时.综上所述,不等式的解集为;(2)由,得,即或,不等式的解集为,故,解得,,,,,当且仅当,时取等号,.本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用基本不等式证明不等式,考查推理能力与计算能力,属于中等题.21.(1);(2)见解析.【解析】

(1)分、、三种情况解不等式,综合可得出原不等式的的解集;(2)利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值为,进而可得出,再将代数式与相乘,利用基本不等式求得的最小值,进而

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