2024年高考全国甲卷数学(文)真题

年高考全国甲卷数学(文)真题数学一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设z＝2i，则z·z＝()A．－i B．1C．－1 D．2D[依题意得，z＝－2i，故z·z＝－2i2＝2.故选D.]2．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝()A．{1，3，4} B．{2，3，4}C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9}C[依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9，则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，于是A∩B＝{1，2，3，4}．故选C.]3．若实数x，y满足约束条件4x-3y-3≥0，x-2y-2≤0，2x+6y-9≤0，A．5 B．12C．－2 D．－7D[实数x，y满足4x-3y-3≥0，由z＝x－5y可得y＝15x－15则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线y＝15x－15z过点联立4x-3y-3=0，2x+6y-9=0，解得x=3则zmin＝32－5×1＝－7故选D.]4．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()A．14 B．1C．12 D．B[画出树状图：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为824＝13.5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝()A．－2 B．73C．1 D．2D[法一：利用等差数列的基本量由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝9a1＋9×82d＝1⇔9a1＋36d＝1又a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝29(9a1＋36d)＝2故选D.法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝9a1+a92＝9a3+a7故选D.法三：特殊值法不妨取等差数列的公差d＝0，则S9＝1＝9a1⇒a1＝19，则a3＋a7＝2a1＝2故选D.]6．已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A．4 B．3C．2 D．2C[设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝62+-4-42＝10，|PF2|＝则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝2c2a＝84故选C.]7．设函数f(x)＝ex+2sinx1+x2，则曲线y＝f(x)在点A．16 B．1C．12 D．A[f′(x)＝ex+2cosx1+x2-ex+2sinx·2x1+x22，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋8．函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8，2.8]的大致图象为()ABCDB[f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx＝f(x)，又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A、C，又f(1)＝－1＋e-1esin1>－1＋e-1esinπ6＝e2故可排除D.故选B.]9．已知cosαcosα-sinα＝3，则A．23＋1 B．23－1C．32 D．1－B[因为cosαcosα所以11-tanα＝3，解得tanα＝1所以tanα+π4＝tanα+11-tan故选B.]10．已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2 B．3C．4 D．6C[设直线为l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l过定点P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为5，且点P在圆C内．因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值，易得|PC|＝|xP－xC|＝1，所以|AB|＝252-1211．设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m.下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；③若n∥α，且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n.其中所有真命题的编号是()A．①③ B．②④C．①②③ D．①③④A[对①，当n⊂α，因为m∥n，m⊂β，则n∥β；当n⊂β，因为m∥n，m⊂α，则n∥α；当n既不在α内也不在β内，因为m∥n，m⊂α，m⊂β，则n∥α且n∥β，故①正确；对②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误；对③，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，同理可得n∥t，则s∥t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s∥平面β，因为s⊂平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确；对④，若α∩β＝m，n与α和β所成的角相等，如果n∥α，n∥β，则m∥n，故④错误．综上只有①③正确，故选A.]12．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B＝π3，b2＝94ac，则sinA＋sinC＝(A．23913 BC．72 D．C[因为B＝π3，b2＝94ac，则由正弦定理得sinAsinC＝49sin2B由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝94ac即a2＋c2＝134ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝134sinAsinC＝所以(sinA＋sinC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝74因为A，C为三角形内角，则sinA＋sinC>0，则sinA＋sinC＝72故选C.]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f(x)＝sinx－3cosx在[0，π]上的最大值是________．2[由题意知，f(x)＝sinx－3cosx＝2sinx-π3，当x∈[0，π]时，x－π3∈-π3，2π3，sinx-π3∈-32，1，于是f(x)∈[14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．64[两圆台的上、下底面面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为4r2-r15．已知a>1且1log8a-1loga64[由题意1log8a-1loga4＝3log2a-12log2a＝－52解得log2a＝－1或log2a＝6.又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64.]16．曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为________．(－2，1)[令x3－3x＝－(x－1)2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)，则g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，令g′(x)＝0(x>0)得x＝1，当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(0)＝1，g(1)＝－2，因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，等价于y＝a与g(x)＝x3＋x2－5x＋1的图象有两个交点，所以a∈(－2，1)．]三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{Sn}的前n项和．[解](1)因为2Sn＝3an＋1－3，故2Sn－1＝3an－3，所以2an＝3an＋1－3an(n≥2)，即5an＝3an＋1，故等比数列的公比q＝53故2a1＝3a2－3＝3a1×53－3＝5a1－3，故a1＝1，故an＝5(2)由等比数列求和公式得Sn＝1×1-53n1-设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝32×531-53n18．(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果p>p＋1.65p1-pn，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(150附：K2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030则完整的2×2列联表如下：优级品非优级品总计甲车间262450乙车间7030100总计9654150K2＝150×26×30-70×242因为K2＝4.6875>3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；因为K2＝4.6875<6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．(2)由题意可知p＝96150＝0.64又p＋1.65p1-pn＝0.5＋1.65×0.5×1-0.5150≈0.5＋1.65×所以p>p＋1.65p1-p19．(12分)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝10，AE＝23，M为CD的中点．(1)证明：EM∥平面BCF；(2)求点M到平面ADE的距离．[解](1)证明：由题意得，EF∥MC，且EF＝MC，所以四边形EFCM是平行四边形，所以EM∥FC.又CF⊂平面BCF，EM⊄平面BCF，所以EM∥平面BCF.(2)取DM的中点O，连接OA，OE(图略)，因为AB∥MC，且AB＝MC，所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM＝BC＝10，又AD＝10，故△ADM是等腰三角形，同理△EDM是等边三角形，可得OA⊥DM，OE⊥DM，OA＝AD2-DM22＝3，OE＝ED2-DM22＝3，又AE＝23，所以OA又OA⊥DM，OE∩DM＝O，OE，DM⊂平面EDM，所以OA⊥平面EDM.易知S△EDM＝12×2×3＝3在△ADE中，cos∠DEA＝4+12-102×2×23＝所以sin∠DEA＝134，S△ADE＝12×2×23×设点M到平面ADE的距离为d，由VM-ADE＝VA-EDM，得13S△ADE·d＝13S△EDM·OA，得d＝故点M到平面ADE的距离为61320．(12分)已知函数f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a≤2时，证明：当x>1时，f(x)<ex-1恒成立．[解](1)f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＝ax-1当a≤0时，f′(x)＝ax-1x<0，故f(x)在(0，＋∞)当a>0，x∈1a，+∞时，f′(x)>0，f(当x∈0，1a时，f′(x)<0，f(综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无单调递增区间；当a>0时，f(x)在1a，+∞(2)证明：a≤2，且x>1时，ex-1－f(x)＝ex-1－a(x－1)＋lnx－1≥ex-1－2x＋1＋lnx，令g(x)＝ex-1－2x＋1＋lnx(x>1)，下证g(x)>0即可．g′(x)＝ex-1－2＋1x，再令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝ex-1－1显然h′(x)在(1，＋∞)上单调递增，则h′(x)>h′(1)＝e0－1＝0，即g′(x)＝h(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g′(x)>g′(1)＝e0－2＋1＝0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)>g(1)＝e0－2＋1＋ln1＝0，问题得证．21．(12分)设椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M(1)求C的方程；(2)过点P(4，0)的直线与C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴．[解](1)设F(c，0)，由题设有c＝1且b2a＝32，故a2-1a＝32，故a故椭圆C的方程为x24(2)直线AB的斜率必定存在，设AB：y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由3x2+4y2=12，y=kx-4，可得(3＋4k2)x2－32k2故Δ＝1024k4－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－12<k<1又x1＋x2＝32k23+4k2，x1而N52，0，故直线BN：y＝y2x2-5所以y1－yQ＝y1＋3y2＝k＝k·2＝k·2×＝k·128k2-24-160故y1＝yQ，即AQ⊥y轴．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ＋1.(1)写出C的直角坐标方程；(2)设直线l：x=ty=t+a(t为参数)，若C与l相交于A，B两点，若|AB|＝2，求a[解](1)由ρ＝ρcosθ＋1，将