北师大版九年级数学上册特殊平行四边形《矩形的性质与判定》示范教学课件

第2节

矩形的性质与判定(二)九年级数学上册•北师大版第一章

特殊平行四边形1.掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质与判定的区别与联系.2.会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生的分析能力.3.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理（重点）．4.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题（难点）.

情境&导入有一个角是直角的平行四边形.矩形的定义：平行四边形矩形有一个角是直角性质边角对角线矩形矩形的对边平行且相等.矩形的两条对角线相等且互相平分.矩形的四个角都是直角.类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？矩形是特殊的平行四边形.类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.（1）随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.已知：如图,在□ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,

AC=DB.求证：□ABCD是矩形.证明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB.

∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.ABCD矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言描述：在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形.ABCD例1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC.求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC.∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC.∴OA＝OB.∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.ABCD矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵

∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形.ABCD例2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD=∠BAC，∠CAN＝∠CAM.∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．1.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.2.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？拿绳子测量四边形的每一个边长，如果四边长度一样，那么根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。3.如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.再用绳子测量对角线是否相等.对角线相等的平行四边形是矩形.例3.如图在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.

求□ABCD的面积.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4.∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴BC=∴S□ABCD=AB·BC=4×=.练习&巩固1.能够判断一个四边形是矩形的条件是A．对角线相等B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等D．对角线垂直且相等练习&巩固2.下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是()①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形.A.1 B.2 C.3 D.4练习&巩固3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝