中考数学总复习 实数基础知识回顾

中考数学总复习专题基础学问回顾一实数

一、单元学问网络

有理数、无理数、实数、科学记数法、相反数和肯定值、数轴上的点和数的对应。

二、考试目标要求：

了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数和数轴上的点

一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和肯定值的概念及意义.进一步，

对上述学问理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建

立在应用学问解决问题的基础之上，即将考查的学问、方法融于不同的情境之中，通

过解决问题而考查学生对相应学问、方法的理解状况.了解乘方和开方的概念，并理解

这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幕的

意义和基本性质.

详细目标：

1.有理数

(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.

(2)借助数轴理解相反数和肯定值的意义，会求有理数的相反数和肯定值(肯定值

符号内不含字母).

(3)理解乘方的意义，驾驭有理数的加、减、乘、除、乘方及简洁的混合运算(以

三步为主).

(4)理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.

(5)能运用有理数的运算解决简洁的问题.

(6)能对含有较大数字的信息作出合理的说明和推断.

2.实数

⑴了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

⑵了解开方和乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方

运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

⑶了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应.

(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围.

⑸了解近似数和有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算,

并按问题的要求对结果取近似值.

三、学问考点梳理

学问点一、实数的分类

1.按定义分类:

‘正整数,

自标

整数零,

负整数，郁艮小数或无限循环小数

实数,正分数

分数

负分数

'正无理数

无理数无限不循坏小数

负无理数

2.按性质符号分类:

,正整数

正有理教

正实数,正分数

［正无理数

实数

负整数

负有理数

负实数负分数

负无理数

注：0既不是正数也不是负数.

3.有理数:

m

整数和分数统称为有理数或者“形如二(m,n是整数nWO)”的数叫有理数.

4.无理数：

无限不循环小数叫无理数.

5.实数：

有理数和无理数统称为实数.

学问点二、实数的相关概念

1.相反数

(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数.0

的相反数是0.

(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，和原点距离相等的两个点表示的两个数

互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.

(3)互为相反数的两个数之和等于0、b互为相反数=0.

2.肯定值

(1)代数意义：正数的肯定值是它本身；负数的肯定值是它的相反数；0的肯

定值是0.可用式子表示为：

(2)几何意义：一个数a的肯定值就是数轴上表示数a的点和原点的距离.距离是

一个非负数，所以肯定值的几何意义本身就揭示了肯定值的本质，即肯定值是一个非

负数.用式子表示：若a是实数，则20.

3.倒数

(1)实数a(awO)的倒数是1；0没有倒数；

(2)乘积是1的两个数互为倒数.a、b互为倒数nab=L

4.平方根

(1)假如一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根.一个正数有两个平方

根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.a(a'O)的平

方根记作土A.

⑵一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根.a(aNO)的算术平方根记作石.

5.立方根

假如x3,那么x叫做a的立方根.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个

负的立方根；零的立方根仍是零.

学问点三、实数和数轴数轴定义：

规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不行.

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示

一个实数.

学问点四、实数大小的比较

L对于数轴上的随意两个点，靠右边的点所表示的数较大.

2.正数都大于0,负数都小于0,两个正数，肯定值较大的那个正数大；两个负数;

肯定值大的反而小.

3.对于实数a、b,若>0na>b；

0-a；

<O~a<b.

4.对于实数a,b,c,若a>b,b>c,则a>c.

5.无理数的比较大小：

利用平方转化为有理数：假如a>b>0,a2>b2=a>bO石)的；

或利用倒数转化：如比较,历T和4-m？.

学问点五、实数的运算

1.加法

同号两数相加，取相同的符号，并把肯定值相加；肯定值不相等的异号两数相加,

取肯定值较大的加数的符号，并用较大的肯定值减去较小的肯定值；互为相反数的两

个数相加得0;一个数同0相加，仍得这个数.

2.减法

减去一个数等于加上这个数的相反数.

3.乘法

几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数有偶数个时，积为

正；当负因数有奇数个时，积为负.几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

4.除法

除以一个数，等于乘上这个数的倒数.两个数相除，同号得正，异号得负，并把

肯定值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0.

5.乘方和开方

(1)所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次基是正数，负数的偶次舞是正数，

负数的奇次幕是负数.

(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方.

a°=1,a"=——(dtw0)

(3)零指数和负指数7

6.实数的六种运算关系

加法和减法互为逆运算；乘法和除法互为逆运算；乘方和开方互为逆运算.

7.实数运算依次

加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算.这三级运算的依

次是三、二、一.假如有括号，先算括号内的；假如没有括号，同一级运算中要从左

至右依次运算.

8.实数的运算律

加法交换律:

加法结合律：（）（）

乘法交换律：

乘法结合律：（）（）

乘法安排律：（）

学问点六、有效数字和科学记数法

1.近似数：

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位.

2.有效数字：

一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，全部的数字,

都叫做这个近似数的有效数字.

3.科学记数法：

把一个数用ax】。'n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法.

四、规律方法指导

1.数形结合思想

实数和数轴上的点一一对应，肯定值的几何意义等，数轴在许多时候可以帮助我

们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口.

2.分类探讨思想

（算术）平方根，肯定值的化简都须要有分类探讨的思想，考虑问题要全面，做到

既不重复又不遗漏.

3.从实际问题中抽象出数学模型

以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个学问点来解

决问题，然后有的放矢.

4.留意视察、分析、总结

对于找寻规律的题目，细致视察变更的量之间的关系，尝试用数学式子表示规律.

对于阅读两量大的题目，常常是把规律用语言加以叙述，细致阅读，找到关键的字、

词、句，从而找到思路.经典例题精析.考点一、实数概念及分类

1

1.(2010上海)下列实数中，是无理数的为()A.3.14B.3C.

mD.V9思路点拨：考查无理数的概念.

【答案】C

2.下列实数亍、60°、5、(④)、3.14159、-拈、卜可、血中无理数有()

个A.1B.2C.3D.4

万

答案：C.无理数有60°、《、®

总结升华：对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再依据结果去推断.

举一反三：

【变式1】把下列各数填入相应的集合里：

“0,一圾2,-01010010001-cos60°.tan450,-031-

272

⑴自然数集合：｛…｝

⑵整数集合：｛…｝

⑶分数集合：｛…｝

⑷无理数集合：｛…｝

答案：⑴自然数集合：｛"a的45。,…)

⑵整数集合：｛^.a-K/Rtan450,-)

<—,cos600,-0.31--*

(3)分数集合：I7

（4）无理数集合：IN243J

3.（2010北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A,B,C,D.请你按

图中箭头所指方向（即AfBfCfDfCfBfAfBfCf…的方式）从A起先数连续的正

整数1,2,3,4,…，当数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰

好数到的数是；当字母C第21次出现时（n为正整数），恰好数到的数是（用含n的

代数式表示）.

思路点拨：字母C第“奇数”次出现时，恰好数到的数是这个“奇数”的3倍。

【答案】B,603,6n+3

考点二、数轴、倒数、相反数、肯定值

4.（2010湖南益阳）数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为（）

A.6或-6B.6C.-6D.3或-3思路点拨：数轴上的点A

到原点的距离是6的点有两个，原点的左边、右边各有一个。

【答案】A

5.（l）a的相反数是5,则a的倒数是.

（2）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：b0a―今

则化匍

思路点拨：

（1）留意相反数和倒数概念的区分，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒

数的两个数要变更分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0,互

_1

为倒数的两个数乘积等于1来计算.由a的相反数是W,所以三，二的倒数为

5.

(2)此题考查肯定值的几何意义，肯定值和二次根式的化简.留意要去掉肯定值符号,

要判别肯定值内的数的性质符号.

由图知•a>«•v0,|a忖B|;a+2<|ct+4卜一(a+b)=-a-b.

答案：⑴5；(2).

举一反三：

2i

【变式1】化简-(-2)的结果是()A.-2B.-2C.2

D.2

答案：选D.

【变式2】若1和m-3互为相反数，贝(思路点拨：互为相反数的两个数之和

等于0..*.1-3=0,解得1.

答案：1.

【变式3]-2的倒数是.思路点拨：留意倒数和相反数的区分，乘积为1的两个

数互为倒数.答案：2.

21

【变式4】-3的肯定值是()A.-3B.3C.~3D.3

答案：选B.

【变式5】若11,则x的取值范围是()A.xelB.x<lC.x<lD.x>l

答案：选B.

总结升华：

⑴考查肯定值的意义;

（2）考查肯定值的非负性，肯定值具有以下性质:

①20,即肯定值的非负性；②若（a20）,则土a,即肯定值的原数的双值性.

【变式6】下列说法正确的是（）

A.-1的倒数是1B.-1的相反数是TC.1的算术平方根是1D.1

的立方根是±1

思路点拨：本例考查了实数中涉及的四个重要概念：互为倒数、互为相反数、算术

平方根、立方根.解答时，一方面应从概念蕴含着的数学关系式入手，可知-1的倒数

是T,-1的相反数是1;另一方面依据定义具有的双重性，可知1的算术平方根是1,

1的立方根是1.

答案：选C.

【变式7】甲、乙两同学进行数字猜谜嬉戏：甲说一个数a的相反数就是它本身,

乙说一个数b的倒数也等于它本身，请你猜一猜.

解析：欲求，首先应知道a、b的值.由于甲、乙两同学所说的内容隐含着a和b

的值，因此易得，;.O,±1,.•.±11.

【变式8】（长沙市）如图，数轴上表示数4的点是

思路点拨：实数和数轴上的点一一对应，表示正

数的点在原点的右侧，^3«1.732.答案：B.考点三、近似数、有效数字、科学记

数法

6.（1）依据统计，某市2008年财政总收入达到105.5亿元.用科学记数法（保留三

位有效数字）表示105.5亿元约为（）

A.1.055X1010元B.1.06X1010元C.1.06X1011元D.1.05

X1011元

（2）2007年5月3日，中心电视台报道了一则激烈人心的新闻，我国在渤海地区

发觉储量规模达10.2亿吨的南堡大油田，10.2亿吨用科学记数法表示为（单位：

吨）（）

A.1.02X107B.1.02X108C.1.02X109D.1.02X1010

思路点拨：解答本题的关键是正确理解近似数的精确度及有效数字等概念.精确

度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.一个近似数四舍五入到哪

一位，就说这个近似数精确到哪一位；一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，

到精确到的数位止，全部的数字都叫做这个数的有效数字.一个数的近似数，常常要用

科学记数法来表示.用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分，因此⑴

中105.5亿元=10550000000元，用科学记数法表示为1.055X1010,保留三个有效

数字为1.06X1010；（2）中应表示为1.02X109.

答案：⑴B；（2）C.举一反三：

【变式11废旧电池对环境的危害非常巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水

（相当于一个人一生的饮水量）.某班有50名学生，假如每名学生一年丢弃一粒纽扣电

池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数

法表示为立方米.

解：600X50=30000=3X104.总结升华：本题既考查有理数的乘法运算，又考

查科学记数法以及分析问题的实力.从数学的角度来考查废旧电池对环境造成的危害，

促使我们从小就要酷爱大自然，树立环保意识.

【变式2】用科学记数法表示0.00608的结果是（）

A.6.08x104B.608x1（）4仁0608x10*D.0608x10"

思路点拨：首先选项C、D所表示的记数方法不是科学记数法，因为它们中的a不

符合只有一位整数数位，B中的n值错误.科学记数法只是一种表示数的方法，并没有

变更数的大小.

答案:A.

【变式3】近似数0.030万精确到位，有个有效数字，用科学记数法表示记作万.

思路点拨：带有单位或以科学记数法形式给出的近似数，首先要把它转化为以“个”

为单位的数,再确定其精确的位数.如2.10x103=2100,即“1”后面的第一个“0”在

十位上，因此2.10x1a精确到十位，而不是百位.

答案：十；2；3.0X10“

7.(2010安徽芜湖)2010年芜湖市承接产业转移示范区建设成效明显，一季度完

成固定资产投资238亿元，用科学记数法可记作()

A.238X108元B.23.8X109元C.2.38X1010元D.0.238

X1011元

思路点拨：238亿元=23800000000

【答案】C

8.(2010山东青岛)由四舍五入法得到的近似数8.8X103,下列说法中正确的是

().

A.精确到非常位，有2个有效数字B.精确到个位，有2个有效数字

C.精确到百位，有2个有效数字D.精确到千位，有4个有效数字

思路点拨：8.8X103=8800精确到百位，用科学记数法表示的数有效数字个数要

看乘号前的。

【答案】C考点四、实数的大小比较

_17n

9.比较下列每组数的大小：⑴・五和-］；⑵企+75和

工

4+?；(3)A/^-4和4-7T?；(4)a和a(aWO).

思路点拨:

1711

⑴有理数比较大小：两个负数，肯定值大的反而小.因此比较了和三的大小，

可将其通分，转化成同分母分数比较大小；

(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；

(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利

用倒数关系比较；

(4)这道题事实上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行

比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了

4部分，下面就可以分类探讨每种状况.解：(1),,,所以

⑵(点+呵=7+2而=7+740,

伊+2)'=7+4/=7+屈

因为向〈、酶

所以6+W</-二；

(3),

而后+4和4+而可以很简洁进行比较得至［J而+4>4+拒>。，

所以717-4；

⑷当a<T或O〈a〈l时，a<a；

J

当-l〈a〈O或a>l时，a〉a；

当1或T时，1.

总结升华：第(4)题我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把工的值看成是关于

a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象,

可以很直观的比较出它们的大小.考点五、快速精确地进行实数运算

10.计算,㈠尸+我⑻收

思路点拨：该题是实数的混合运算，包括肯定值，0指数幕、负整数指数幕，正整数

指数累.只要精确把握各自的意义，就能正确的进行运算.

(-1)皿+mx(73^-1-21

解：=-1+4x1-2=1

总结升华:本题考点是实数的混合运算.易错点是遗忘负整数指数(0指数)幕的意义,

(x=o

而使W4'I

举一反三：

【变式1】填空：

1-1-11；

(-1X-1X-1)(-1).

5为正整数)

23>：2*x2<

—刎

思路点拨：

(D依据同号两数、异号两数相加、减、乘、除的法则，先确定符号，再算肯

定值.

(2)多个因数相乘时，由负因数个数的奇偶先定符号，再将肯定值相乘，乘方时

留意负数的偶次方为正，奇次方为负，先乘方，再乘除.

(3)合理运用乘法安排律和运用二m'："可使运算显得更加简便.

答案：-4、+1、-1、-5、-6、4096、S.

【变式2】计算：

3333

9-+99-+999-4-9999-

⑴4444

251

(--+-)X54-63*--67X8

(2)398

-3J-[(-2)sx(-l)-a-V^8]*(-5)x2

W//

思路点拨：

9-

(1)题可将4改写成……，然后用加法的交换律、结合律将整数和分数分别放在

一起便得结果；

(2)题擅长运用乘法安排律的顺逆两用，可使运算简便；

_51

(3)题留意混合运算的依次，不能先算.答案：(1)11109；(2)-110；(3)-J.

11.已知：x,y是实数，历力+丁-6y+9=0,若3,则实数a的值是.

思路点拨：此题考查的是非负数的性质.

解：V3x+4+y'-6y+9=0即j3x+4+=0

两个非负数相加和为0,则这两个非负数必定同时是0

+4=Cl,(3)2=0,

4

3,3

又累，

4

2工3X(-2)3

3x+y_'3+_1

xy424

-小

举一反三:

a+—+J2b+1+(c-2)'0、

【变式1】已知,求a"的值.

思路点拨：利用同20,•石三0,-；八三0(心为自然数)等常见的三种非负数及其性

质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得a、匕、。的值，再代入。如后本

题得以解决.

答案：-3.考点六、探究和创新

12.计算：^001<2002x20032004+1思路点拨：近年来，为了突出考察学

生创建思维的水平，中考命题时不仅考查运算的娴熟，精确，更留意考查算理的运用

和敏捷处理运算问题的实力，使运算更加合理简便的实力、我们从复习数起先，就要

加强含字母的式子变形技能的训练及实力的提高.解：设

2001,则原式=+】)("+2)5+3)+】

,Ji』♦刻%+2)+1(把n2+3n看作一个整体)

=+3*)2+2(/+%)+12+31(3)+1

=2001X2004+1=4010005.

13.下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第，;个图形是由“个正方形组成的，通过

视察可以发觉:

*=1n=2n=3N=4

⑴第四个图形中火柴棒的根数是;

(2)第"个图形中火柴棒的根数是.

思路点拨：视察各个图形的根数和图形个数”之间的关系，并由此归纳出第片个

图形中火柴棒的根数.

答案：(1)13；⑵%+1.

4

+1=2-2

1

♦3

=-T2一

1/

+S4-2

14.细心视察图形，细致分析各式，然后解答问题

(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变更规律；

(2)推算出10的长；⑶求出S122232+-102的值.

思路点拨:近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目,

这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础学问，基本技

能，更重点考察了创新意识和实力，还考察了细致视察、分析、归纳、由特别到一般,

由详细到抽象的实力.

⑴由题意可知，图形满意勾股定理，㈣邛

⑵因为2=V2,3=/…，

所以10="诂

(3)S12+S22+S32+-+S102

=(务+争+(亭、…+(亭＞

(1+2+3+“+10)=—

44.

15.(2010山东日照)假如(二十6^^+^^(a,b为有理数)，那么”+占等于()

(A)2(B)3(C)8(D)10

思路点拨：9+忘7=6+4也,64,a+5=10.

【答案】D

16.（2010安徽蚌埠）若旧表示不超过二的最大整数（如等），则

2-4^2][3-^x3J[2001-72000x2001]-。

思路点拨：=,=L=,=L....

2001+或001x2000=[+F________1_________

2001—+^00T12001-72000x2001J1,

原式=2000个1相加=2000

【答案】2000

中考题萃：实数

一、考试目标：

了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数和数轴上的点

一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和肯定值的概念及意义。进一步,

对上述学问理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建

立在应用学问解决问题的基础之上，即将考查的学问、方法融于不同的情境之中，通

过解决问题而考查学生对相应学问、方法的理解状况。了解乘方和开方的概念，并理

解这两种运算之间的关系。了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数

塞的意义和基本性质。

二、中考真题：

_!1

1.（2010北京）一2的倒数是（）A.2B.2C.-

2D.

22.（2010四川内江）一的倒数是（）A.2010B.-2010

11

C.2010D.—2010

£

3.（河北省）（2分）-'的相反数是（）A.7B.-7C.7

D.-7

4.（2010山东济宁）若Jx+》T+3+）=。,贝Ijx-F的值为（）

A.1B.-1C.7D.-7

5.（2010湖南怀化）若则x"、x、x?的大小关系是（）

A.x-1<x<x2B.x<xJ<x"1C.xJ<x<x'1D.<x-1<x

6.（北京）（4分）国家游泳中心“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的

外层膜的绽开面积约为260000平方米，将260000用科学记数法表示应为（）

A.0.26X106B.26X104C.2.6X106D.2.6X105

7.（2010山东省德州）德州市2009年实现生产总值（）1545.35亿元，用科

学记数法表示应是（结果保留3个有效数字）（）

A.154x108元B.1545X10"元c.HxlO】。元D.155x10“元

8.（河北省）（2分）据2007年5月27日中心电视台“朝闻天下”报道，北京市

目前汽车拥有量约为3100000辆.则3100000用科学记数法表示为（）

A.0.31X107B.31X105C.3.1X105D.3.1X106

9.（2010年连云港）今年1季度，连云港市高新技术产业产值突破110亿元，

同比增长59%.数据“110亿”用科学记数可表示为（）

A.1.1X1010B.11X1010C.1.1X109D.11X109

10.（2010四川成都）上海“世博会”吸引了来自全球众多国家数以千万的人

前来参观.据统计，2010年5月某日参观世博园的人数约为256000,这一

人数用科学记数法表示为（）

A.256x10sB.256x10sC.256x10*D.256x10*

11.（湖南邵阳）（3分）如图是一台计算机D盘属性图的一部分，从中可以看出该