浙江省杭州市八县区2022-2023学年高一年级上册数学期末试卷（含答案）

浙江省杭州市八县区2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、单选题

1.集合4={1,2,3,4,5,6},B={2,3,4},则C4B=()

A.1,5,6B.2,3,4C.口，5,6}D.{2,3,4)

2.若a,bER,则“a>b>0”是婚>於，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

14

3.已知cosa=—可，aE(j7Ti,则stria的值为()

A-1B--|c-242口2般

4.函数y=JZogo,5(4x—3)的定义域为()

33

A.[1,+8)B.底，1]C.弓，I〕D.(0,J]

5.三个数3c31log23的大小关系是()

._11„_11

A

-3~2<32<log2332<log注<32

_11

C-3?<log3<D-

2log23<32<32

6.某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重.一顾客欲购买2kg的草莓，服务员先

将1kg的祛码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1kg的祛码放在天平右盘中，在

天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客.你认为顾客购得的草莓是()

A.等于2kgB.小于2kgC.大于2kgD.不确定

7.函数/(久)=/(%—a),若/(2)"(3)<0,则/(—1),f(2),f(3)的大小关系是()

A.f(2)<〃3)B.f(2)f(3)

C-/⑵</(3)<f(-l)D./⑶</(2)

8.定义在R上函数y=f(x)满足/(一%)+/(%)=0,当久>0时，/(%)-x-2x,则不等式/'(%++2)+

/(I-2%)>0的解集是()

A.[-1,3]B.[0,3]C.[1,9]D.[0,9]

二、多选题

1

9.下列说法中正确的是()

A.半径为2,圆心角为1弧度的扇形面积为1

B.若a是第二象限角，贝或是第一象限角

C.VxGR,%2—4%+5>0

D.命题：V%>0,仇％〈汽一1的否定是：3%0>0,lnx0>%0—1

10.已知函数/(%)=sinx—cosx,贝!J()

A.八w的值域为］—/^,V2］

B.点(*,0)是函数y=/(尤)图象的一个对称中心

C.f(x)在区间序为上是增函数

D.若f(>)在区间［-a,a］上是增函数，则a的最大值为手

11.已知函数/'(久)=2"+久—2,g(x)=log2x+x—2,八(工)=炉+支—2的零点分别为a,b,c,则有()

A.c=1,a>0,b>1B.b>c>a

C.a+b=2,c=1D.a+b<2,c=1

12.已知/(%)和g(>)都是定义在R上的函数，则()

A.若/(久+1)+/(1-久)=2,则/(%)的图象关于点(1,1)中心对称

B.函数y=/(%-1)与y=/(I-％)的图象关于y轴对称

C.若g(%+l)=—g。)，则函数g(X)是周期函数，其中一个周期T=2

D.若方程%-(f(x))=0有实数解，则/(g(x))不可能是/+x+l

三'填空题

y2丫0

7,，则/(/(-1))=_________.

{%2+1,%>0

14.写出一个定义域为R值域为［0,1］的函数.

15.若/'(%)=4/—kx+si"(2K+⑴)，k€R,06(0,兀)是偶函数，则k+R=.

16.在平面直角坐标系中，半径为1的圆C与无轴相切于原点。，圆C上有一定点P,坐标是(1,1).假设圆

C以g(单位长度)/秒的速度沿%轴正方向匀速滚动，那么当圆C滚动t秒时，点P的横坐标

%=.(用t表示)

四、解答题

17.求解下列问题:

2

2_________

（1）求值：275+J（兀-4）2+20g207•2兀）;

⑵已知t-3,求泰等察图的值.

18.在平面直角坐标系中，角a与S的顶点均为坐标原点。，始边均为工轴的非负半轴.若点P(卷，勺在角a的

终边上，将0P绕原点。按逆时针方向旋转今后与角0的终边0Q重合.

(1)直接写出6与a的关系式；

(2)求cos(a+g)的值.

19.已知函数/"(%)=%+£

(1)用定义证明f(%)在区间(0,2］上是减函数;

(2)设ae(0,兀)，求函数f(sina)的最小值.

20.已知函数/(久)=Zcos(3%+卬)+2(4>0,to>0,0<⑴<兀)的最小值为1,最小正周期为兀，且/(%)的

图象关于直线》对称.

(1)求/(%)的解析式;

3

（2）将函数y=f（X）的图象向左平移每个单位长度，得到函数y=gQ）,求函数y=。（久）的单调递减区间.

21.为了预防新型冠状病毒，唐彳来回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫

克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x

的函数关系式为y=（得）=a（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开

始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.

22.已知函数/（久）=/0或（2/—2）,g（x）=2loga（x+t）,其中。＞0且（2。1.

（1）当t=l时，求不等式f（＞）Wg（x）的解集；

（2）若函数/（町=篦。）+"一2）/+（1—6。£+8/:+1在区间（2,5］上有零点，求实数t的取值范围.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】依题意QB={1,5,6）.

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合补集的运算法则，进而得出集合B在A中的补集。

2.【答案】A

【解析】【解答】由不等式性质知a>b>0时，a?>房成立，充分性满足，

但a=—2,b=-1时满足a?>房，不满足a>b〉O,不必要.

因此应为充分不必要条件.

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出“a>b>0”是“a?>非”的充分不必

要的条件。

3.【答案】D

【解析】【解答】因为竽），所以sinaV0.

又cosa=—'所以sina=—41—cos2a_

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合角的取值范围和同角三角函数基本关系式，进而得出角a的正弦值。

4.【答案】C

【解析】【解答】函数y=4。讥.5（4久—3）的定义域满足T0={'：j'解管<%<L

故函数定义域为（,,1].

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合偶次根式函数的定义域的求解方法和对数型函数的定义域求解方法，再结合交集

的运算法则，进而得出函数y=，。方,5（4久—3）的定义域。

5.【答案】B

6

【解析】【解答】3--2=14=贵1=皆y/3，3-2=百r-，3--2<1<32-,

32

由于35<28,所以3<2卷

§8r-?

1=log22<log23<log225=5=1.6<v3

所以3今<log23<3分

故答案为：B

3.23

【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出3~1幺的大小关

系。

6.【答案】C

【解析】【解答】设天平左臂长无1，右臂长%2,且血。久2，

设草莓4有劭的，草莓B有。2千克，

诉0xl=a1xx2

所以卜1Xa2=%2X1'

所以。1=*，。2=善，+。2="+宗>2扭.券=2.

x2X1x2X17*2X1

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出你认为顾客购得的草莓大于2kg。

7.【答案】A

【解析】【解答】令/(%)=x2(x-d)-0,解得工=0或％=a,

即函数的零点为0和a,又f(2)/(3)<0,

由零点的存在性定理，得2<a<3,

f(_1)=_1_Q,f(2)=8—4Q,f(3)=27—9a,

所以/(3)>0,/(-1)<0,/(2)<0,

又f(—1)—f(2)=-1-a-(8-4a)=3a-10<0,得f(—1)</(2),

所以/(—l)</(2)</(3).

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合函数零点的求解方法以及零点存在性定理，进而结合作差法比较出/(-

1),f(2),f(3)的大小关系。

7

8.【答案】D

【解析】【解答】Vx1；x2>0,且久1<久2.

xX%11%2

则—f(.2)=1-2"—%2,2*2=(工1—%2)-2+%2,(2*—2),

因为无1<%2，X2>0,所以2犯<2犯，所以2*1-2*2<0,

所以/。1)一/。2)<O

所以/(%1)</(久2)，所以/(久)在(0,+8)上单调递增.

又/'(一X)+/(%)=0，所以/(%)为奇函数.

又工>0时，有人工)>-0)=0,

所以，％<0时，有/(%)<0.

由f(x+2V%+2)+/(I-2%)>0可得，

f(x+1y[x+2)>—f(1—2%)=f(2x—1).

因为x+2怖+2=(怖+1)2+121,

所以由/(%+1y[x+2)(2x—1)可得，x++2>2%—1>

整理可得尢一2々一3W0,SP(V%+l)(Vx-3)<0,

显然依+1>0,所以有«—3W0,解得04久W9.

所以，不等式的解集为[0,9].

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和函数的单调性，进而得出不等式/。+2a+2)+/(1-2久)20

的解集。

9.【答案】C,D

【解析】【解答】对于A项，由已知可得，扇形面积S=*xlx22=2,A项错误；

对于B项，由已知可得90°+k・360°<a<180°+k・360°,keZ,

ry

所以45°+fc-180°<j<90°+/c-180°,keZ.

当k为偶数时，设k=2n,nEZ,则45。+展360。<号<90。+联360。，nEZ,则多为第一象限角；

当k为奇数时，设k=2n+l,neZ,则225。+展360。<多<270。+展360。，nEZ,则多为第三象限角.

综上所述，号是第一象限角或第三象限角，B不符合题意；

对于C项，因为x2-4x+5=(x-2)2+l之0在R上恒成立，C项正确；

对于D项，命题：V%>0,加％<％—1的否定是：3%o>0,lnx()>x0—1,D项正确.

故答案为：CD.

8

【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式、象限角的判断方法、恒成立问题求解方法、全称命题与特称命

题互为否定的关系，进而找出说法正确的选项。

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】因为/(x)=sinx-cosx=V2sin(x

所以函数的值域为［-鱼，V2］，A符合题意；

又因为/4)=&sinG—勺=0,

所以点(今，0)是函数y=/(x)图象的一个对称中心，B符合题意；

当工€自，均时，久-袅［0,兀］,由正弦函数的性质可知函数在［0,可不单调，C不符合题意;

由正弦函数的性质可知函数在［-今，刍上单调递增，

所以由一—可得一•《久<苧，

即函数/(X)=岳皿K—勺在［―今，苧］上单调递增，

又因为/(久)在区间［-a,a］上是增函数，所以aW?

即a的最大值为京D符合题意.

故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象求值域的方法得出

函数f(x)的值域，再结合正弦型函数的图象求出其对称中心，再结合正弦型函数的图象判断函数f(x)在区间耳，

苧］上的单调性，再结合函数f(%)在区间［—a,a］上是增函数的性质结合正弦型函数的图象，进而得出实数a

的取值范围，从而得出实数a的最大值，进而找出正确的选项。

11.【答案】A,B,C

【解析】【解答】人K)在R上递增，/(0)=-1,/(I)=1,所以0<a<l.

gQ)在(0,+8)上递增，g(l)=—1,g(2)=1,所以1<b<2.

hQ)在R上递增，/i(l)=0,所以c=l,则b>c>a,AB选项正确.

由/(%)=2x+x-2=0得2^=—x+2；

由g(x)=log2x+久-2=0得log2x=—%+2；

工；2解咪二1

二1

9

由于y=2”与y-log2x关于直线y=x对称，y=x与y-x+2相互垂直，

所以a+b=2xl=2,C选项正确，D选项错误.

故答案为：ABC

【分析】利用已知条件结合函数的单调性、互为反函数的图象的对称性、两直线垂直的判断方法、函数的零

点求解方法，进而找出正确的选项。

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】A选项，由f(x+l)+f(l—吗=2,得八久+1)—l+f(—久+1)—1=0,

设F(x)=/(x+l)-l,则F(x)+F(-x)=0,

所以F(x)是奇函数，图象关于(0,0)对称，

所以根据函数图象变换的知识可知f。)的图象关于点(1,1)中心对称，A选项正确.

B选项，y=/'(%)与y=f(-久)的图象关于y轴对称，

所以y=f(x-1)与y=/(-(%-1))=/(I-%)的图象关于直线%=1对称，B选项错误.

C选项，g(,x+2)=g(x+1+1)=-g[x+1)=g{x},所以。(久)是周期函数，

其中―一个周期T=2,C选项正确.

D选项,设M是方程x-=0的一个解，则久o-9(了(X0))=0,

所以孙=g(/(久o)),所以/(%0)=f(g(f3))))，

令t=则t=f(g(t)),即方程%=/'(。(久))有解，

当/(g(x))=/+久+1时，方程久=/+%+i,/+1=0无解，所以D选项正确.

故答案为：ACD

【分析】利用已知条件结合函数的图象的对称性、周期函数的定义、判别式法、函数的解析式求解方法，进

而找出正确的选项。

13.【答案】2

【解析】【解答】由题意知，

/(—1)=-1+2=1,/(I)=I2+1=2,

所以—―1))=2.

故答案为：2.

【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式和代入法得出函数的值。

14.【答案】y=|sinx|

10

【解析】【解答】令y=|sinx|,则易知其定义域为R,而由一1<sinx<1W0<|sin%|<1,即y=|sin]|的

值域为[0,1],故y=|sin%|满足题意.

显然y=|cos%|也满足题意，即答案不唯一，这里以y=|sin%]为代表.

故答案为:y=|sinx|.

【分析】利用已知条件结合函数的定义域和值域求解方法，进而找出满足要求的函数。

15.【答案】专

【解析】【解答】依题意，f(x)是偶函数，

所以/(一%)=4x2+kx+sin(—2%+g)=4x2—kx+sin(2x+(p),

2kx=sin(2x+g)+sin(2x—(p),

2kx=2sin2xxcos(pfkx=cos2xxcos?,

.兀

所以k=0,cos(p=0,而Re(0,兀)，所以0=2，

所以k+(p=^-.

故答案为：J

【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，进而结合0的取值范围，从而得出匕9的值，进而得出k+9的值。

16.【答案】gt+cos(gt)

【解析】【解答】将P点的运动分解为沿X轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动.

匀速运动部分：与圆的速度相等，V匀=刍得K=»笏="

顺时针转动部分：以圆心为参照系，P点的运动为半径不变的顺时针转动，

初始P与圆心的连线与X轴的夹角为仇

当P转动冷的角度时，圆向前滚动了，个圆周，即,X2兀xl=£长度，

此时过了看=■!秒，故P在|秒内转动冷的角度，

所以P每秒转动g角度，横坐标为rcos(-0)=1xcos(-奇)=cos看，

所以t秒后P转动gt角度，横坐标为cos(晟t),

综上所述，P运动的横坐标为gt+cos(gt).

故答案为：gt+cos(gt).

11

【分析】将P点的运动分解为沿X轴正方向的匀速运动和绕着圆心的顺时针转动，匀速运动部分：与圆的速

度相等，V匀=七,得久=会；顺时针转动部分：以圆心为参照系，P点的运动为半径不变的顺时针转动，初始

P与圆心的连线与X轴的夹角为仇当P转动3的角度时，圆向前滚动了5个圆周，再结合弧长公式得出3长度，

乙4乙

此时过了京秒，进而得出点P在擀秒内转动3的角度，所以P每秒转动W角度，再结合诱导公式得出其横坐标，所

以t秒后P转动gt角度，从而得出点P运动的横坐标。

、2

17.【答案】(1)解：273+J(兀一4尸+/0。2(47•2兀)

2

314+7r

=(3)3+|兀—引+log2(2)

=32+(4—兀)+(14+兀)=27；

铲s讥(兀一a)+cos(r+a)

用牛：COS(2TT—cr)—sin(—ct)

_sina—cosa_tana-1_3—1_1

-cosa+sina-1+tana-1+3-2'

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合指数幕的运算法则和根式与指数幕的互化公式以及对数的运算法则，进

而化简求值。

(2)利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而得出:CO需S(/7T父—u)—飞%-C%C)的值。

18.【答案】(1)解：由题意可得£=a+$

(2)解：,卷)，.".cosa=sina=卷,

,3773424

・・cos2a=2cos?za-1=2X(9)一1=—云，sin2a=2sincrcosa=2x弓x9二否.

・£=a+甲

・,、c、/ci"、7r.e.7i7V224V23172

,•cos(a+p)—cos(2a+4)=cosn2a,cos.-sin2a,sin4=­x—x—g-Q—•

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合角之间的关系式和旋转方法，进而写出夕与a的关系式。

(2)利用已知条件结合三角函数的定义和二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合两角和的余弦公式，进而得

出cos(a+°)的值。

19.【答案】(1)证明：V%1，%2e(0,2],且尤1<%2,

44(巧一%2)(巧%2-4)

f(Xl)-f(x)=，一(犯+司户

2%1%2

又％1—冷<0，0<%1%2<4，得—4<%62—4<0,

所以(久1-4)>0,即/QD>外型)，

12

所以函数/(%)在(0,2］上是减函数；

(2)解：由0VaV兀，得0<sina<1,

令t=sina,则0<t<1,

/(sina)=sina+可转化为f(t)=t+p

S1K1GLc

由⑴知,

函数f(t)=t+*生(0,1］上单调递减，

所以当t=l时，函数〃工)取得最小值，且最小值为f(5)=5,

即函数/(sina)的最小值为5.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合减函数的定义证出久支)在区间(0,2］上是减函数。

(2)利用已知条件结合角的取值范围和换元法，由/(sina)=sina+荒转化为/(£)=£+*再结合函数

的单调性，进而得出函数的最值，从而得出函数/(s讥a)的最小值。

20.【答案】(1)解：由题意可知—4+2=1,所以4=1,又等=TC=>(A)=2,此时/(%)=cos(2x+①)+2,

由/(%)的图象关于直线％=3对称可知2Xw=攵兀，keZ,所以0=/CT—竽，kEZ,

■JT

由于0<0<7T,故取k=1,则0=可

77"

故f(x)=cos(2x+可)+2

(2)解：将函数y=/(久)的图象向左平移喘个单位长度，

得到函数y=gQ)=/(%+金)=cos(2x+*)+2=—sin2x+2,

令一+2/OTW2%<2"+2/C7T,keZ,角星彳导—4+knW久W4+kn,keZ,

故y=g(久)的单调递减区间为［一/+k兀，^+krc］,kez

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合函数的最小值和平衡位置，进而得出A的值，再利用余弦型函数的最

小正周期公式得出3的值，再结合余弦型函数的图象求对称轴的方法，进而得出⑴的值，从而得出余弦型函数的

解析式。

(2)利用已知条件结合余弦型函数的图象变换得出正弦型函数g(x)的解析式，再结合正弦型函数的图象判断

其单调性，从而得出函数y=或久)的单调递减区间。

21.【答案】(1)解：依题意，当OWxWO.l时，可设y=/ar,且l=0.1k,

解得k=10

又由1=4严-。，解得a=0.1,

13

(10%,0<%<0.1

所以y=\i；

|(自11ni，%>0.1

(2)解:令展)a-ai<0.25,即G)2a-0-2<］,

得2a—0.2>1,解得x>0,6,

即至少需要经过0.6/1后，学生才能回到教室.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合函数建模的方法得出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系式。

(2)利用已知条件结合分段函数的解析式和指数函数的单调性，进而得出至少需要经过0.6/1后，学生才能回

到教室。

22.【答案】(1)解：当t=l时，不等式可化为loga(2/—2)W21oga(%+1),

(2x2-2>0

当0<a<l时，得｛%+1>0，解得久2